Содержание:
Аннотация
Исходные данные
1. Применениеосновных теорем динамики механической системы
1.1 Постановка второй основной задачидинамики системы
1.2 Определение закона движения системы
1.3 Определение реакций внешних ивнутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3. Применениепринципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.
3.1 Составление дифференциального уравнениядвижения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.
Анализ результатов
Аннотация
Данамеханическая система с одной степенью свободы, представляющая собойсовокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредствомневесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Системаснабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое телосистемы действует сила сопротивления /> и возмущающая гармоническая сила />. Трениемкачения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения,проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамикисистемы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движенияпервого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализполученного решения с использованием ЭВМ.
Исходныеданные:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> m = 1 кг
/>
/> r = 0.1 м с = 4000 H/м
/>
/>
Часть1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1Постановка второй основной задачи динамики системы.
Расчетнаясхема представлена на рисунке 1.
Здесьобозначено:
/>; />; /> - силы тяжести;
/> - нормальная реакция опорной плоскости;
/> - сила сцепления;
/> - упругаяреакция пружины;
/> - реакцияподшипников;
/> - сила вязкогосопротивления;
/> — возмущающаясила.
Рассматриваемаямеханическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качениекатка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощьюкоординаты S. Начало отсчета координаты совместимс положением статического равновесия центра масс груза (1).
Дляпостроения дифференциального уравнения движения системы используем теорему обизменении кинетической энергии механической системы в форме:
/>
/> - суммамощностей внешних сил;
/> - суммамощностей внутренних сил;
Тогдакинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,
(1.2)/>
(1.3)Груз (1) совершает поступательное движение, /> />;
(1.4)Блок (2) совершает вращательное движение, /> />, где />
(1.5)Каток (3) совершает плоскопараллельное движение, /> />, где />
Кинетическаяэнергия всего механизма равна:
(1.6)/>;
Выразим– через скорость груза (1)
/> /> />
(1.7)/>; />;
Подставляякинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:
(1.8)/>
(1.9)/>
/>;
Найдемпроизводную от кинетической энергии по времени:
(1.10)/>
Вычислимсумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярномупроизведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;
(1.11)/>
Рассматриваемаянами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему,недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтомусумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
(1.12)/>= 0;
Будутравняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скоростикоторых равны нулю:
/>
Суммамощностей остальных внешних сил:
(1.13)/>
Сучетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:
(1.14)/>
где/>приведеннаясила.
Упругуюсилу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумместатического />и динамического /> удлинений:
(1.15)/>
Силавязкого сопротивления />, тогда
(1.16)/>
Всостоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, />=0 и F(t)=0, получаем условие равновесиясистемы:
(1.17)/>
Отсюдастатическое удлинение пружины равно:
(1.18)/>
Подставляя(1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:
(1.19)/>
Подставиввыражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил сучетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:
(1.20)/>
(1.21)/>
гдеk циклическая частота свободныхколебаний;
/>
n –показатель степени затухания колебаний;
/>
1.2Определение закона движения системы
Проинтегрируемдифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравненияскладывается из общего решения однородного уравнения /> и частного решениянеоднородного />:
S = />+ />;
Однородноедифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид: />
Составимхарактеристическое уравнение и найдем его корни:
/>
т.к.n решение однородного уравнения имеет вид:
/>
где/> частноерешение дифференциального уравнения ищем в виде правой части: />
/> далееполучаем:
/>
Сравниваякоэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева,получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
/>
Решаяэту систему получаем следующие выражения:
/> А = 0.04 м;
/> В = — 0.008 м;
Общеерешение дифференциального уравнения:
/>
Постоянныеинтегрирования />определяем из начальных условий,при t = 0 имеем:
/>
Решаяэту систему получаем:
/> />
/> />
1.3 Определениереакций внешних и внутренних связей
Длярешения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетныесхемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощьютеоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количествадвижения.
Тело№1: /> />
Тело№2: />
Тело№3: /> />
Cучётом кинематических соотношений (1.7) полученную систему уравненийпреобразуем к вид:
/>
Решаяэту систему, получаем выражение для определения реакций связей:
/>
/>
2. Построениеалгоритма вычислений:
(2.1) Исходныеданные:
/>
(2.2) Вычислениеконстант:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
(2.3)Задание начального времени: t=0;
(2.4)Вычисление значений функций в момент времени t=0;
/>
/>
/>
(2.5) Вычислениереакций связей:
/>
/>
/>
(2.6)Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;
(2.7)Определение значения времени на следующем шаге />
(2.8)Проверка условия окончания цикла: />
(2.9)Возврат к пункту (2.4).
3.Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода
3.1Применение принципа Даламбера-Лагранжа
Общееуравнение динамике системы есть математическое выражение принципаДаламбера-Лагранжа.
/>
суммаэлементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;
/> суммаэлементарных работ всех инерции сил на возможном перемещении системы.
Изобразимна рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)
Идеальныесвязи: />
Неучитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работаих реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.
Сообщимсистеме возможное перемещение.
/>
Вычисляяпоследовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:
(2)/>
Найдёмвозможную работу сил инерции:
/>
Запишемвыражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;
/>
Используякинематические соотношения (1.7), определим:
/>
Теперьвозможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:
/>
(3)/>
Далееподставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем
/>
Поделивэто уравнение на />, получим дифференциальноеуравнение вынужденных колебаний системы:
/>
Анализрезультатов
Вданной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механическойсистемы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики.Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремяспособами. Во всех случаях коэффициенты />, n, k получилисьодинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об ихправильности. В процессе решения дифференциального уравнения данноймеханической системы были получены законы движения первого груза, его скоростьи ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всехостальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.