Урок №21Алгебра логики. Определение формы сложных высказываний, построение таблиц истинности (урок 2 по теме; тип: урок закрепления)Цели урока: - проверить знание терминологии по теме Логические операции; - научить записывать формы сложных высказываний, строить таблицы истинности сложных высказываний; - ввести понятия: сложное высказывание, тождественно истинное высказывание и тождественно ложное высказывание; - развитие логического и пространственного мышления, памяти, внимательности; - повышение интереса к предмету; - воспитание культуры общения.Этапы урока Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин. Проверка домашнего задания. 10 мин. Контроль знаний (диктант). 9 мин. Закрепление. 20мин. Подведение итогов урока. 2 мин. Постановка домашнего задания. 2 мин.Ход урока Проверяем письменное домашнее задание. Далее проверяем знание логических операций. Проводится данный контроль в виде диктанта по двум вариантам. В первых трёх заданиях учитель диктует запись сложного высказывания, используя научные названия логических операций, учащиеся должны заменить названия специальными обозначениями и записать полученное составное высказывание. В четвёртом и пятом задании даны логические операции и нужно записать соответствующие им названия в алгебре логики, обозначение на естественном языке и построить таблицу истинности. Вариант 1. Вариант 2. 1. «А импликация В конъюнкция С» (ответ: АВ·С) 1. «А дизъюнкция В эквивалентность С» (ответ: АВ С) 2. Ответ: АВ А·В 2. Ответ: А·СВ 3. Ответ: А·ВСАС 3. Ответ: АСВ·D 4.Логическое сложение 4.Логическое умножение 5. Логическое равенство 5. Логическое следование Для проверки можно открыть обратную сторону доски с правильными ответами. Переходим к следующему материалу.§3. Алгебра логики. Определение формы сложных высказываний, построение таблиц истинности Введенные нами пять логических операций дают возможность из простых высказываний строить сложные (составные). Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным. Всякое сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значения простых высказываний, из которых оно построено. Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания. Сложные высказывания часто называют формулами логики высказываний. Реальную задачу мы получаем, как правило, в виде текста на естественном языке. И прежде чем приступить к её решению мы должны выделить простые высказывания, отношения между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму сложного высказывания). Приведём примеры определения формулы сложного высказывания. Е= ^ Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным. Составляющие простые высказывания: А= Ваш приезд необходим; В= Ваш приезд желателен. Формула сложного высказывания: Е= &. Определите самостоятельно формы сложных высказываний: К= Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал. Р=Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. Т= Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку. X= Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно. Теперь для тренировки попробуем выполнить обратное задание. 6. Пусть дана формула сложного высказывания: (&)(&·D) и составляющие простые высказывания:А= Человек с детства давал нервам властвовать над собой;В= Человек в юности давал нервам властвовать над собой;^ С= Нервы привыкнут раздражаться;D= Нервы будут послушны. Какая фраза на естественном языке может быть сформулирована по данной форме? Е= ^ Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К. Д. Ушинский.) Выясним теперь, какие значения будет принимать сложное высказывание в примере 1 при различных наборах, входящих в него простых суждений, т.е. построим таблицу истинности для формулы &. 1 2 3 4 5 А В & 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 ^ Алгоритм построения таблицы истинности Подсчитать n- количество переменных в формуле. Определить число строк в таблице m=2n+ 2, где 2n -количество двоичных наборов, 2-строки заголовка. Подсчитать количество логических операций в формуле. Установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций. Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд n- разрядных чисел от 0 до 2n-1. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью. Построим по данному алгоритму таблицу истинности для формулы А& из примера 2. Порядок выполнения логических операций будет следующим: инверсия С, инверсия В, конъюнкция, импликация. 1 2 3 4 5 6 7 А В С (1)&(5) (4)(6) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 §4. Алгебра логики. Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания Если сложное высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1.) Например, высказывание ^ Демократ- это человек, исповедующий демократические убеждения всегда истинно, т. е. является тавтологией. Все математические, физические законы и законы других наук являются тавтологиями. Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0). Проверить, является ли сложное высказывание в алгебре логики тождественным истинным или тождественно ложным, можно по таблице истинности. Пример. Построим таблицы истинности для формул А и А& А А& 1 2 3 А А 0 1 1 1 0 1 1 2 3 А А& 0 1 0 1 0 0 Первое высказывание будет тождественно истинным. Например, ^ Дождь будет или дождя не будет. Второе высказывание тождественно ложное. Например, Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен). Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, или тождественными, или эквивалентными. Высказывания А и В равносильны (А=В) тогда и только тогда, когда их эквивалентность АВ является тождественно истинным высказыванием. В качестве примера рассмотрим два высказывания: X= Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него. X= . Y= Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его. Y=. Чтобы доказать равносильность сложных высказываний X и Y, достаточно построить из таблицы истинности. Объединим эти две таблицы в одну: 1 2 3 4 5 6 7 8 А В (1)& (2) X= Y=(3)(4) (6)(7) 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 Существуют два варианта рассуждений: Так как значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то по определению X равносильно Y. Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность X и Y тождественна истина, значит, X и Y тождественно истинна, значит, X и Y равносильны.^ Дополнительное задание Формализуйте приведённое ниже высказывание и постройте для него таблицу истинности: F= {Если все стороны четырёхугольника равны, а он не является квадратом, то один из его углов не является прямым}Подведение итогов урока - Сегодня на уроке мы работали со сложными высказываниями. Научились определять формы сложных высказываний, рассмотрели алгоритм построения таблиц истинности для сложного высказывания. Кратко повторить алгоритм построения таблицы истинности. - Мы также рассмотрели понятия тождественно истинных и тождественно ложных высказываний, эквивалентных высказываний, научились с помощью таблиц истинности определять данные типы высказываний.Постановка домашнего задания Разобрать конспект урока. Выучить все определения и алгоритм построения таблицы истинности из конспекта урока. Выполнить упражнения с карточки в тетради. Листочек с классной работой вклеить в тетрадь, карточку принести. Все пункты заданий на карточке учитель должен прокомментировать. ^ Карточка для домашней работы Определите формы следующих сложных высказываний: А) Е= Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце. Б) К= И добродетель стать пороком может, когда её неправильно приложат. (У. Шекспир.) В) Р= ^ Люди получают высшее образование тогда и только тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию. Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний и определите, являются ли эти высказывания тождественно истинными: А) АВА; Б) А(ВА·В); *в) (АВ)(ВА) Докажите эквивалентность следующих высказываний: F1= {Если одно слагаемое делиться на 3 и сумма делится на 3, то и второе слагаемое делится на 3}; F2= {Если одно слагаемое делится на три, а второе не делится на 3, то сума не делится на три}. Дополнительное задание. Выберите высказывание, эквивалентное данному не (неА и не(В и С)). А) А и В или С и А; Б) (А или В) и (А или С); В) А и (В или С); Г) А или (не В или не С). 1 (по книге В. Лысковой и Е. Ракитиной «Логика в информатике)