Абрамкина Надежда Юрьевна Студентка 23 группы числовые последовательности реферат

управление образования и науки белгородской областиВалуйский педагогический колледжШкольное отделениеПредметно-цикловая комиссия физико-математических дисциплинАбрамкина Надежда Юрьевна Студентка 23 группычИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИРЕФЕРАТ По специальности 05020152 – преподавание математики в основной школеКвалификация – учитель математики основной школыНаучный руководитель: ПреподавательЕ.И. СтарокожеваВалуйки, 2007Содержание.Введение………………………………………………………………………3 Числовые последовательности. Понятие числовых последовательностей……………………………….5 1.2 Способы задания числовых последовательностей……………………..6 II. Развитие учения о прогрессиях……………………………………………...7 III. Прогрессии. 2.1. Арифметические прогрессии 2.1.1. Арифметические прогрессии в древности………………………….9 2.1.2 Понятие арифметических прогрессий……………………………...11 2.1.3 Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии…13 2.2 Геометрические прогрессии. 2.2.1 Геометрические прогрессии в древности…………………………..14 2.2.2 Понятие геометрической прогрессии………………………………15 2.2.3 Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии….17 Заключение……………………………………………………………………..18 Список литературы……………………………………………………………..19Введение. В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая после­довательность есть функция натурального аргумента. (Так, на­пример, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — показа­тельной функцией натурального аргумента.) Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности: 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел. 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел. 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел. 1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным. Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — мо­нотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них извес­тен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена». Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э. В своей работе я попытаюсь рассмотреть основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, их применение на практике. Расскажу о возникновении термина «прогрессия», (откуда он пошёл, что обозначал), о развитии учения о прогрессиях и т.д. ^ I. Числовые последовательности.Понятие числовых последовательностей.Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество. Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д. таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 …. Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n. Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:; ; ; ; ; … . Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна . Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь . Числа образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают (). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел. 10; 11; 12; 13; …; 98; 99^ 1.2 Способы задания числовых последовательностей.Последовательности можно задавать несколькими способами. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером. Наиболее часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например: последовательность положительных чётных членов =2n. Последовательность правильных дробей: =. Рассмотрим ещё один пример: пусть последовательность задана формулой: =. Подставляем вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, и т.д., получаем:… Рассмотрим ещё один способ задания последовательности. Пример: Пусть первый член последовательности (а) равен 10, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а=10, а=. С помощью формулы а= можно по известному первому члену вычислить второй, затем третий и т.д. Формулу выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться). Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.^ Развитие учения о прогрессиях.Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей. Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно. Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы: 1+2+3+…+n= , 2+4+6+…+2n=n(n+1), 1+3+6+…+(2n+1)=(n+1)2 и др. В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии: 1,2,3,4,5,……………….. 10,102,103,104,105,…………. И указывает на связь между ними, например:, т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10. У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям. Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию. В «Началах» Евклида есть теорема, которая по существу эквивалентна знакомой нам формуле суммы геометрической прогрессии: Sn = (lq-a)/q-1 Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится опять таки по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него. 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1) Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1). И другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века.III Прогрессии.^ 3.1 Арифметическая прогрессия.3.1.1 Арифметические прогрессии в древности. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских па­пирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются при­меры арифметических и геометрических прогрессий. Вот одна вавилонская задача, в которой используется ариф­метическая прогрессия. Задача: «10 братьев, мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом — на сколько он выше?» Итак, мины (мина равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрес­сии, зная, что восьмой брат получает б шекелей. Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни сов­ременной символики, ни готовых формул, вынужден придержи­ваться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии, от мины, или + мины. А вот египетская задача из папируса Ахмеса. Задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры». При решении этой и других аналогичных задач египтяне, ви­димо, пользовались правилом, которое можно записать в совре­еной символике так:. Оно эквивалентно нашей формуле.. Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического характера. Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеется и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.^ 3.1.2 Понятие арифметической прогрессии.Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21 … Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. эта последовательность является примером арифметической прогрессии. Иначе говоря, последовательность () – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие., где d некоторое число. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать её первый член и разность. Например: если а=1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5; …, члены которой – последовательные натуральные числа. Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если это отрицательное число, то такая прогрессия называется убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой её член, вычисляя последовательно второй, третий, четвёртый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы. По определению арифметической прогрессии:,. Точно так же находим, что а=а+5d, и вообще, чтобы найти а, нужно к а прибавить (n-1)d, т.е. мы получим формулу n-го члена арифметической прогрессии. Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:. Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа. При любом n справедливо равенство , и по определению последовательность (аn) является арифметической прогрессией, причём разность этой прогрессии равна k.^ 3.1.3 Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.Обозначим сумму n- первых членов арифметической прогрессии (аn) через Sn и запишем эту суму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:,.Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а1+аn. Действительно, и т.д.число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства, получим:. Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии:.^ 3.2 Геометрические прогрессии.3.2.1 Геометрические прогрессии в древности. В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель. Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии: 1+2+22+…+29. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.Sn=2n+(2n-1),Однако о том, как он дошёл до нее никому не известно. Издавна большой популярностью пользуется следующая задача легенда, которая относится к началу нашей эры. «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 22, 23, … 263. Её сумма равна:264-1=18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли. Любопытно отметить, что в задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах». Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих , не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержаться выкладке о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, по видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач; однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии. ^ 3.2.2 Понятие геометрической прогрессии.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел. Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Рассмотрим последовательность, членами которой являются числа 2 с натуральными показателями: 2, 22, 23, 24, 25, …… Каждый член этой последовательности начиная со второго, получается умножением предыдущего член ан а2. эта последовательность является примером геометрической прогрессии. Иначе говоря, последовательность bn – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия: bn не равно нулю и bn+1=bn·q, где q – некоторое число. Обозначим, например, через (bn) последовательность натуральных степеней числа 2. в этом случае для любого натурального n верно равенство bn+1 = bn·2; здесь q=2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном n верно равенство: bn+1/bn = q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Понятно, что знаменатель геометрической прогрессии всегда отличен от нуля. Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель. Например: Если b1=1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 … . Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой её член:b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3, b5 = b4q= (b1q3)q = b1q4.Из этого следует: чтобы найти bn, мы должны b1 умножить на qn-1, т.е. bn= b1 qn-1.^ 3.2.3 Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии.Выведем формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых членов её через Sn.: Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn-1 + bn. (1) Умножим обе части этого равенства на q: Snq = b1q + b2q + b3q + ... + bn-1q + bnq. Учитывая, что b1q = b2, b2q = b3, b3q = b4, ..., bn-1q = bn, получим : Snq = b2 + b3 + b4 + ... + bn + bnq. (2) Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены: Snq – Sn = (b2 + b3 + ... + bn + bnq) – (b1 + b2 +... + bn-1 + bn) = bnq – b1, Sn(q – 1) = bnq – b1. Отсюда следует, что при q не равном 1: Sn = (bnq – b1)/(q-1). Мы получили формулу n первых членов геометрической прогрессии, в которой q не равно 1, если q равно 1, то все члены прогрессии равны первому её члену. При решении задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде: Sn = (b1(qn – 1))/(q-1).Заключение. Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано о истории их возникновения, о основных понятиях связанных с ними. Список используемой литературы. Алгебра. 9 класс. С.А. Теляковский, Москва, «Просвещение» 1990г. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа» 2001г. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. В.С. Крамор, Москва «Просвещение» 1990г. «История математики», Глейзер. «Математика в школе» Ж. 2002г. Перейти к оглавлению