8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких аргументов, сами эти аргументы и производные различных порядков от искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального процесса или явления, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. В зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи решения ОДУ обычно подразделяют на одноточечные (задачи с начальными условиями или задачи Коши) и многоточечные. Среди многоточечных задач наиболее часто на практике встречаются так называемые граничные задачи, когда дополнительные условия ставятся на концах рассматриваемого отрезка. Мы будем рассматривать модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В них неизвестные функции зависят только от одной переменной.^ 8.0. Постановка задачи КошиОбыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (1) Решением дифференциального уравнения является некоторая функция y(x), которая при подстановке в выражение обращает его в тождество. Существует множество решений (так называемых частных решений) дифференциального уравнения (1), которые могут быть объединены и записаны в виде общего решения y = y(x, C) , (2) где С – произвольная постоянная. Геометрически это можно интер-претировать как семейство интегральных кривых, каждая из которых является графиком решения (1). Для выбора одной кривой из семействанеобходимо задать начальные условияy(x0) = y0, (3) то есть одну точку на искомой кривой.Как правило, практическое значение имеет всегда частное решение ДУ. Задача нахождения частного решения уравнения (1), соответствующего начальным условиям (3), называется задачей Коши. Итак, требуется решить задачу (1*) где . Т.е. требуется найти интегральную кривую y = y(x), проходящую через заданную точку (x0, y0) при выполнении равенства y’ = f(x,y).Существование и единственность решения уравнения обеспечивается теоремой Пикара.Теорема. Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G, определяемой неравенствами , и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у: , то на некотором отрезке , где h — положительное число, существует и притом только одно решение задачи (1).Здесь М — постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b.Если f(x,y) имеет ограниченную в G производную f ’y(x,y),то при (x,y)G можно принять М = max .^ Методы решения ОДУ В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем при решении практических задач эти методы оказываются, как правило, либо совсем бесполезными, либо их решение связано с недопустимыми затратами усилий и времени. Для решения прикладных задач созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений, которые условно можно подразделить на три основные группы:1. Аналитические методы, применение которых даст решение ОДУ в виде аналитической функции (метод Пикара);2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика (метод Эйлера);3. Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы (метод Рунге-Кутта). Ниже рассматриваются некоторые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (1*). Что же касается дифференциальных уравнений n-ого порядка: (4)для которых задача Коши состоит в нахождении решения y=y(x), удовлетво-ряющего начальным условиям (5)где – заданные числа, то их можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка.Так, например, уравнение второго порядка (6) можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка при помощи стандартной замены: (7)Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения Очевидно, что ставить вопрос об отыскании приближенных значений интеграла или решения y(x) уравнения (1) можно в том и только в том случае, если решение y(x), удовлетворяющее условию (3), существует и единственно. Как известно из теории дифференциальных уравнений, для этого достаточно, чтобы фигурирующая в правой части уравнения (1) функция f(x,y) была непрерывна в рассматриваемой области по обоим аргументам и имела ограниченную частную производную .^ Численное решение систем ОДУ Метод Рунге-Кутта применяется также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть, например, дана система дифференциальных уравнений: (11)где .Под решением системы (11) понимается любая совокупность функций (y1(x), y2(x),…,yn(x)), которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает их в тождества. Так как система дифференциальных уравнений имеет бесчисленное множество решений, то для выделения одного конкретного решения , кроме уравнения, нужны дополнительные условия. В простейшем случае задаются начальные условия (12) что приводит к задаче Коши.Задача Коши. Найти решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям (12), где х0 - фиксированное значение независимой переменной и данная система чисел. Если х интерпретировать как время, а у1, …, уn- как обобщенные координаты некоторой механической системы, то получим следующий аспект задачи Коши: зная дифференциальные уравнения, управляющие механической системой, а также состояние ее в начальный момент времени х0, определить состояние системы в любой момент времени х. Задавшись некоторым шагом h и введя стандартные обозначения xi=x0+ih и yi=yi(x), ∆yi=yi+1-yi при i=0,1,2,…, положим:(13)Согласно методу Рунге-Кутта ∆y0приближенно определяют по формуле (14)отсюда Далее, приняв (x1,y1) за исходные данные и повторяя тот же процесс, находим y2. Аналогично вычисляются yi(i=3,4,5,…).Более подробно с методами решений систем уравнений можно познакомиться в [13].