1. Пространство и время: понятия, свойства, процедуры количественного описанияПонятия пространства и времени. Относительность пространства и времени. Материальная точка. Процедуры измерения характеристик пространства и времени. Инвариантность пространственных и временных интервалов в классической физике.Свойства пространства и времени. Принцип симметрии. Рис. 1.1. Взлет космического корабля "Шаттл". Изменение положения корабля, пламени и клубов дыма происходит во времени и по отношению к пространству, окружающему стартовую площадку. Фото NASA Kennedy Space Center Affairs Office все течет, все изменяется ^ Понятия пространства и времени. Из своего опыта вы знаете, что все в окружающем нас мире изменяется, причем эти изменения носят двоякий характер. С одной стороны, происходит движение физических объектов друг относительно друга или их трансформация, а с другой - сами объекты изменяются с течением времени. В природе описанные явления существуют в единстве. Приведем лишь несколько примеров: взлет космического корабля со стартовой площадки (см. рис. 1.1), движение броуновской частицы, движение планет вокруг Солнца, полет НЛО, таяние льда. Изменения, происходящие с телами во времени, могут иметь место и независимо от их перемещения в пространстве. Например, в течение года характерным образом изменяется окружающая нас природа, при нагревании происходит изменение цвета металла. ^ Пространство и время представляют собой категории, предназначенные для описания свойств физического мира. Пространство отражает такие свойства материальных объектов, как протяженность и порядок взаимного расположения. Время отражает такие свойства процессов, как последовательность и длительность. Пространство и время бесконечны. Говорить о пространстве без наличия в нем материальных объектов бессмысленно, точно так же, как бессмысленно говорить о времени в отсутствие каких-либо процессов. Каждое из этих понятий относительно, материя существует в пространстве (относительно пространства), процессы происходят во времени (относительно времени). Часы как инструмент для измерения временных интервалов мгновения, мгновения, мгновения... Процедура измерения времени. Однородность времени. Поскольку понятия пространства и времени являются фундаментальными (они не могут быть введены через другие, более простые понятия), то зададим процедуры их измерений путем численного выражения свойств этих категорий. На начальном этапе не будем акцентировать внимание на том, что пространственные и временные отношения взаимосвязаны друг с другом. В качестве инструмента для измерения времени выберем часы, основные требования к которым заключаются в равномерности, периодичности и воспроизводимости хода. ^ Примеры часов: маятник, совершающий автоколебания, движение Земли вокруг Солнца, колебания атомов в узлах кристаллической решетки. Наиболее точный инструмент для измерения времени - атомные часы, излучающие электромагнитные волны определенной частоты. Эталон времени - секунда, равная 9,192,631,770 периодам излучения радиоактивного изотопа цезий-133 между определенными подуровнями его основного состояния. Для математического описания временных отношений введем понятие мгновения.Мгновение - физически бесконечно короткий временной интервал или интервал, длительность которого много меньше длительности любых других процессов в рассматриваемой задаче. Примем произвольное мгновение за начало отсчета и сопоставим ему значение переменной t0 = 0. Любому другому мгновению в соответствии с показаниями часов можно сопоставить числовое значение tA, отражающее момент времени наступления некоторого события A, или временную координату на оси Ot. Очевидно, что эта величина относительна, поскольку зависит от выбора начала отсчета. Независимой (инвариантной) характеристикой временных отношений по отношению к выбору начала отсчета является временной интервал t, равный длительности промежутка между мгновениями, отвечающими началу и концу какого-либо процесса, t = t2 - t1 > 0. Другими словами, длительность любого конкретного временного интервала, соответствующего событиям, происходящим при одинаковых условиях, не зависит от значения времени, фиксируемого по часам. Т.е. временной масштаб не изменяется и секунда всегда остается секундой независимо от абсолютного значения времени, фиксируемого с помощью часов.^ Промежутки времени инвариантны по отношению к выбору начала его отсчета. В этом выражается важнейшее свойство времени - однородность. Однородность времени проявляется в неизменности физических законов по отношению ко времени проведения испытания. Опыт, поставленный в одинаковых условиях, в разные моменты времени дает одинаковые результаты.^ Другим важным свойством времени является его однородность. Это свойство проявляется в том, что для указания момента наступления какого-либо события или его длительности достаточно одного числа. Положение материальных объектов в пространстве по отношению к наблюдателю - фотографу. Фото Дмитрия Охримчука ^ Процедура измерения характеристик пространства. Свойства пространства. Ориентироваться в окружающем мире можно только относительно расположенных в нем предметов. Любые физические объекты находятся на некотором расстоянии друг от друга и занимают определенную область пространства. Типичным примером этого являются фотографии, на которых фиксируется взаимное расположение объектов относительно объектива камеры (наблюдателя). Рис. 1.2. Линейка как инструмент для задания положения физических объектов в пространстве вариантинвариант Пространственные отношения характеризуем с помощью инструмента - линейки, на которой через равные отрезки, соответствующие эталону длины или его части, нанесены деления (см. рис. 1.2). В качестве эталона длины в системе СИ выбран 1 метр, равный расстоянию, которое преодолевает свет, испускаемый радиоактивным изотопом цезий-133, в вакууме за 1/299,792,458 секунды. Для задания положения тела в пространстве используем физическую модель материальной точки.^ Материальной точкой (частицей) называется тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими характерными размерами, рассматриваемыми в данной задаче. В приведенном выше примере измерений с помощью линейки размер такого тела должен быть мал по сравнению с наименьшим делением ее шкалы. Примем положение произвольной частицы, относительно которой будем производить измерения, за начало отсчета и сопоставим ему значение переменной x0 = 0. Любой другой частице или определенной части тела сопоставим число - пространственную координату xA, соответствующую их положению относительно линейки и выраженную в единицах ее шкалы. Поскольку пространственные координаты зависят от выбора начала отсчета, то они относительны. Рис. 1.3. Декартова система координат Окружающий нас физический мир, а следовательно, и пространство являются трехмерными, т.е. для задания положения материальной точки в пространстве необходимо указать три числа. В большинстве случаев для этого удобно использовать трехмерную декартову систему координат (СК), имеющую три взаимно перпендикулярные пространственные оси. Вид трехмерной СК приведен на рис. 1.3. Положение материальной точки А в Декартовой СК в произвольный момент времени задается тремя независимыми пространственными координатами {x, y, z}. Положение точки А можно также задать направленным отрезком вектором ^ OA, проведенным из начала отсчета в точку расположения частицы. Он называется радиус-вектором r (см. рис. 1.3). Модуль этого вектора равен: r = (x2 + y2 + z2)1/2. (1.1) Кратчайшее расстояние между двумя произвольными материальными точками A и B, или величина пространственного интервала r, находится по теореме Пифагора: r = (x2 + y2 + z2)1/2. (1.2) Направление от одной частицы к другой задается через направляющие косинусы (косинусы углов между направлением вектора r и соответствующими осями координат): cos 1 = x/r; cos 2 = y/r; cos 3 = z/r. (1.3) Система координат, в которой положение точки задается с помощью двух углов , , указанных на рис. 1.3, и радиус-вектора r, называется сферической. На практике используют также полярные координаты, в которых положение материальной точки задается в виде комбинации ее проекции на вертикальную ось Z, кратчайшего расстояния от точки до этой оси и угла , задающего направление на точку в плоскости, перпендикулярной оси Z. Рис. 1.4. Об инвариантности пространственного интервала (длины вектора O'A) по отношению к изменению положения тела отсчета Рассмотрим вопрос о влиянии выбора начала отсчета (точки O) на величину пространственного интервала O'A = r' (см. рис. 1.4). Исходя из рис. 1.4 и выражений (1.2) и (1.3), видно, что инвариантными (неизменными) величинами по отношению к операции сдвига СК являются разности проекций, пространственный интервал и направляющие косинусы. В частности, длина одного и того же отрезка будет неизменной в любой области пространства, где бы он ни располагался. Например, эталон одного метра всегда останется таковым независимо от его местонахождения.^ Пространственный интервал r - инвариантен по отношению к выбору начала отсчета, что обусловлено таким свойством пространства, как однородность.Однородность пространства проявляется в независимости физических законов от положения исследуемой системы в пространстве. Опыт, поставленный в одинаковых физических условиях, в разных местах дает одинаковые результаты. Рис. 1.5. Об инвариантности величины пространственного интервала (длины вектора O'A) по отношению к изменению выбора направления осей системы координат Рассмотрим, как влияет на величину разности проекций вектора O'A ориентация осей координат, начало которой связано с точкой O = O' (см. рис. 1.5). Из геометрических соображений и тригонометрических преобразований следует справедливость системы уравнений (1.4): x' = x·cos + y·sin ;y' = x·cos - y·sin ;z' = z; r' = r.(1.4) Действительно, из рис. 1.5 видно, что r = r';cos '1 = cos(1 - );cos '2 = y'/r' = (r'·sin '1)/r' = sin(1 - ). Тогда выполняются следующие соотношения: x' = r'·cos 1' = r·cos(1 - ) = r·(cos 1·cos + sin 1·sin );y' = r'·cos 2' = r·sin(1 - ) = r·(sin 1·cos - cos 1·sin ). Учитывая, что r·cos 1 = x, а r·sin 1 = y, получим доказываемые уравнения (1.4). Таким образом, пространственный интервал r является инвариантом по отношению к операции поворота осей СК, что обусловлено таким свойством пространства, как изотропность. Важно отметить, что разность проекций вектора r на оси координат, задающая его величину согласно (1.2), не является инвариантом. Изотропность пространства, в частности, проявляется в том, что длина одного и того же отрезка не зависит от его ориентации в пространстве (выбора направления осей координат). Изотропность пространства, в целом, проявляется в независимости физических законов от ориентации физической системы в пространстве.^ Принцип симметрии. Инвариантность пространственных и временных интервалов является отражением свойств симметрии физического мира. В рассмотренных выше примерах симметрия наблюдается по отношению к операциям сдвига начала СК и поворота осей координат. Первое из перечисленных свойств симметрии обусловлено однородностью пространства и времени, а второе изотропностью пространства. Базирующийся на этих свойствах принцип симметрии выполняет существенную роль в объяснении свойств физического мира. Он по своей сути является методологическим принципом, задающим направление познавательного процесса (см. темы 8, 10 и 16). § 2. Системы отсчетаПроцедуры измерения временных и пространственных интервалов с учетом единства пространственно-временных отношений.Системы отсчета и их роль в физике.Способы синхронизации часов. Рис. 1.6. Одноместное измерение временных интервалов. Индекс 1 соответствует началу процесса, индекс 2 его завершению ^ Одноместное измерение времени. Обратимся к единым пространственно-временным отношениям и попытаемся установить способы определения величин временных и пространственных интервалов, необходимые для описания изменения положения физических объектов. Логично предположить, что для корректного описания состояния физических объектов в пространстве и времени необходимо производить одноместное измерение временных и одновременное измерение пространственных интервалов. Одноместное измерение временных интервалов означает, что снятие показаний часов должно производиться в одной точке пространства, в которой начинается и заканчивается некий процесс (см. рис. 1.6). Операция одноместного измерения времени не вызывает проблем, если размером часов в любой точке пространства можно пренебречь. Из рис. 1.6. видно, что если измерение заданного временного интервала t происходит в одной точке пространства, то независимо от выбора положения начала отсчета величина t постоянна. Если процесс начинается и заканчивается в разных точках пространства, то предварительно необходимо провести операцию синхронизации часов, расположенных в этих точках. Рис. 1.7. Одновременное измерение координат объекта (пространственных интервалов). В качестве объекта выбран стержень, расположенный вдоль оси OX Одновременное измерение координат означает, что для определения размеров физических объектов координаты их крайних точек необходимо измерять в один и тот же момент времени по часам, расположенным в месте локализации этих частей объекта (см. рис. 1.7). Из рис. 1.7 видно, что выбор начала отсчета времени не влияет на длину объекта (в нашем примере стержня). Принципиальным условием, без которого нельзя ввести понятие длины движущихся объектов, является необходимость предварительного согласования показаний часов или проведение операции синхронизации часов, находящихся в разных точках пространства, т. к. измерение времени в соответствии с рассматриваемым подходом нужно производить в тех точках, где располагается объект измерений (например, крайние точки стержня). Как уже упоминалось, проведение операции синхронизации необходимо также для измерения временного интервала, соответствующего длительности событий, которые происходят в разных точках пространства.Естественный способ согласования - способ переноса - представляет собой процесс предварительной синхронизации показаний множества часов, сосредоточенных в одной точке пространства, с последующим их переносом по всему пространству. Этот вариант имеет существенный недостаток, поскольку приводит к разным результатам в зависимости от способа переноса, в частности, его скорости. ^ Процедура синхронизации часов способом сигналов. Предложим другой способ. Для синхронизации часов, расположенных в разных точках, необходим обмен информацией об их показаниях (например, с помощью светового сигнала). Поместим дополнительные часы посередине между точками A и B, обозначив ее С. Из этой точки в момент времени tc1 испустим сигнал в направлении A и B. Исходя из результата целого ряда физических экспериментов и постулата о постоянстве скорости света (см. тему 15), скорость светового сигнала не зависит от направления его распространения. Реализуем ситуацию, когда расстояния AС и BС будут одинаковы и равны x/2, а в точках A и B без задержки и изменения величины скорости происходит его отражение. Тогда: x/2 = |xB - xC| = |xA - xC| = V0·(/2),где V0 - скорость распространения сигнала, - промежуток времени от испускания до возвращения сигнала в точку C. На рис. 1.8 приведен график движения, соответствующий распространению светового сигнала. Положения С1 и С2 на рис. 1.8 отображают точку С в моменты времени tc1 и tc2.Рис. 1.8. Схема синхронизации часов способом сигналов Прибытия сигналов в точки A и B являются событиями одновременными, так же как и их возвращение в С. Действительно, В нашем опыте регистрация момента времени происходит с помощью одних и тех же часов в одном и том же месте пространства точке С, следовательно, измерив величину , можно ввести понятие одновременности удаленных событий в A и B, которое определяется временем прихода в них сигнала и равняется (tc1 + tc2)/2. ^ ТО+СК+ часы=СО Системы отсчета. Перейдем к описанию механического движения - простейшего вида движения, заключающегося в изменении положения тел в пространстве с течением времени. Как мы уже показали, положение частицы в пространстве относительно, т. к. определяется выбором начал отсчета пространственной и временной координаты. Следовательно, механическое движение зависит от этих начальных условий. Более того, положение тела в пространстве можно указать только относительно других тел. Невозможно найти физический способ задания положения тела в пустом пространстве. Т.о. для описания движения необходимо начало отсчета СК связать с каким-либо другим телом. Само движение исследуемых объектов будет происходить относительно этого тела. Обусловленность вида механического движения выбором начальных условий является проявлением принципа относительности в механике. Рассмотрим положение исследуемых тел относительно условно неподвижного тела, которое назовем телом отсчета (ТО). Для задания положения исследуемых тел свяжем ТО с началом отсчета выбранной СК. Для описания движения относительно этой СК в каждой точке пространства расположим часы, показания которых предварительно были синхронизованы. Другими словами, для описания положения тел в пространстве и их движения необходимо выбрать систему отсчета (СО).^ Система отсчета система, состоящая из тела отсчета, связанной с ним системы координат и синхронизованных часов. Рис. 1.9. Вид СО, используемой для описания одномерного движенияУправляемый аппарат, планируемый для запуска на Марс в 2003-2004 годах. Фото California Institute of Technology.http://www.jpl.nasa.gov/images/policy/index.html Вид СО, используемой для описания одномерного движения, приведен на рис. 1.9. В общем случае трехмерного движения процедура задания положения материальной точки несколько сложнее. Пример. Проиллюстрируем последовательность задания положения тел в пространстве на примере составления карты поверхности Марса. Выбор СО с точки зрения решения задачи кинематики, конечно, произволен и физические явления (в частности, движение) будут выглядеть в них по-разному. Но, несмотря на это, как мы покажем в дальнейшем, сущность физических законов в соответствии с принципом относительности останется неизменной по отношению к выбору СО. Поэтому с точки зрения кинематики систему отсчета целесообразно выбирать так, чтобы движение по отношению к ней описывалось максимально просто. При этом сама СО выполняет роль инструмента для изучения законов механического движения. § 3. Единство пространственно-временных отношений и их отражение в мире событийОписание единых пространственно-временных отношений в случае одномерного движения. Понятие двумерного мира событий.График одномерного движения или мировая линия в двумерном мире событий.Отражение единства пространственно-временных отношений в четырехмерном мире событий. ^ Описание единых пространственно-временных отношений в частном случае одномерного движения. Двумерный мир событий. Использование СО дает возможность наблюдать за положением частицы в пространстве в разные моменты времени, но не позволяет наглядно следить за динамикой этого процесса. Для устранения этого недостатка введем понятие мира событий. Рассмотрим сначала частный случай одномерного (прямолинейного) движения. Каждому событию, задающему положение частицы в произвольный момент времени в некоторой специальным образом заданной системе координат, соответствуют два числа {xA, tA}, которые играют роль пространственно-временных координат этого события. Таким образом, мы переходим к взаимосвязанному описанию пространственно-временных отношений на плоскости Xt, т.е. к описанию движения в двумерном мире событий. Рис. 1.10. Мировая линия (график движения) в двумерном мире событий. Сложный (неодномерный) характер движения шмеля. “Полет шмеля”.Фото Алексея Хаскина ^ График одномерного движения. Пусть с течением времени положение материальной точки в пространстве изменяется. Это соответствует изменению ее положения в мире событий. Ввиду непрерывности времени данная последовательность точек в мире событий также непрерывна и их можно соединить линией, которая называется мировой линией (МЛ).График движения x = f(t), или мировая линия в двумерном мире событий, представляет собой непрерывную последовательность пространственно-временных координат частицы, отраженную на плоскости Xt. Вид МЛ в некотором произвольном временном интервале для случая прямолинейного движения приведен на рис. 1.10. В наиболее простом варианте движения частицы - одномерном движении с постоянной скоростью, график движения представляет собой прямую. Обратите внимание на то, что для корректного описания движения время необходимо измерять по часам, расположенным в той точке пространства, где происходит событие, и поэтому в каждой точке на оси X должны быть свои часы и своя ось времени. Но поскольку часы синхронизованы, то на рис. 1.10 изображена только одна из этих временных осей, связанная с телом отсчета. Движение частицы всегда сопровождается возрастанием времени, что соответствует ее перемещению вдоль МЛ в мире событий (см. рис. 1.10) слева направо. Это утверждение справедливо для любых СО независимо от выбора начала отсчета. Обратим внимание на одну интересную особенность. В природе существует целый ряд процессов, называемых обратимыми. Рассмотрим в качестве примера колебания груза на пружине в отсутствие сопротивления. Груз при движении в разных направлениях проходит через одни и те же положения без изменений в окружающем мире. Если заснять движение груза на кинопленку и прокрутить ее в обратном направлении, то наблюдатель, глядя на экран, не сможет установить факт изменения направления прокручивания пленки в кинопроекторе, т.е. характер движения не изменился. Законы обратимого движения инвариантны по отношению к выбору направления хода времени, что является проявлением принципа симметрии (симметрии по отношению к отражению в точке, расположенной на оси времени). Рис. 1.11. Пример вида мировой линии в трехмерном мире событий Понятие четырехмерного мира событий. Движение в общем случае трехмерно. Для его описания по аналогии с двумерным миром событий введем понятие четырехмерного мира событий XYZt. Такое представление, с одной стороны, адекватно описывает единые пространственно-временные отношения, а с другой позволяет, как мы увидим в дальнейшем, выявить истинные инварианты преобразований для СО, движущихся с произвольными скоростями, в том числе близкими к скорости света (см. тему 16). Отметим, что в таком подходе к описанию движения имеется существенный недостаток. Четырехмерное пространство невозможно представить. Поэтому обычно рассматривают проекции мировых линий на пространственно-временные плоскости Xt, Yt, Zt и чисто пространственные плоскости XY, XZ, YZ.Пример. На рис. 1.11 представлена мировая линия тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью 0. Проекция МЛ на плоскости Xt, Yt представляет собой графики движения: y = g·t2/2; x = 0·t. Проекция МЛ на плоскость XY дает графическое изображение траектории y = g·(x2/2·02). Обратим внимание на особенности анализа пространственно-временных отношений. Периодическое движение частицы, являющееся основой простейших часов, задается через понятие "пространственный интервал", который, в свою очередь, определяется через характеристики движения, задаваемые с помощью понятия "промежуток времени" (расстояние, на которое распространяется свет за определенное время). Это еще раз напоминает о том, чтоприрода единое многообразие пространственно- временных отношений. В ней мы имеем дело с принципиальными отношениями в мире событий XYZt.Отредактировано: § 1. Способы описания движенияПонятия радиус-вектора и вектора перемещения.Об инвариантности скалярных и векторных величин в физике.Векторный, естественный и координатный способы описания движения материальной точки.Путь и траектория. Понятия средней и мгновенной скорости и ускорения.Скорость прохождения пути.Эквивалентность векторного, естественного и координатного способов описания движения. Рис. 2.1. К определению вектора перемещения Рис. 2.2. Результат серии последовательных перемещений частицы ^ Понятие вектора перемещения. Остановимся на подходе к описанию движения в трехмерном пространстве относительно СО, которую мы условно примем за неподвижную. Положение произвольной материальной точки (частицы) в пространстве в момент времени t можно задать в виде направленного отрезка, называемого радиус-вектором r, который проведен из начала координат (от тела отсчета) к этой точке (см. рис. 2.1). При движении материальной точки в пространстве ее радиус-вектор изменяется. Приращение радиус-вектора r за конечный промежуток времени t (рис. 2.1) называется перемещением. Перемещение как физическая величина обладает рядом свойств, характерных для векторов. Если материальная точка участвует в нескольких последовательных перемещениях, то итоговый результат не зависит от их очередности и определяется как векторная сумма отдельных перемещений (см. рис. 2.2). Если материальная точка одновременно участвует в нескольких перемещениях (например, движение человека в плывущей относительно берега лодке), то опыт показывает, что результат такого движения определяется как векторная сумма отдельных последовательных перемещений (перемещения человека относительно лодки и перемещения лодки относительно берега). Более того, по окончании движения частица окажется в той же точке пространства, как если бы она участвовала в этих перемещениях последовательно. Следовательно, перемещения являются независимыми. Положение результирующего вектора r можно однозначно определить, зная величины его проекций на оси координат, в соответствии с уравнением (1.2). Зная величину и направление результирующего вектора r в некоторой произвольной СК, можно найти их в любой другой СК, воспользовавшись преобразованиями (1.4). Для того, чтобы подчеркнуть векторный характер физической величины r ее обычно называют вектором перемещения. ^ Об инвариантности законов физики, выраженных через скалярные и векторные величины. Чтобы величина могла быть описана вектором, для нее, так же, как и для вектора перемещения, должны выполняться следующие операции: умножение на число (выбор единицы измерения); закон сложения векторов по правилу параллелограмма (принцип суперпозиции) и коммуникативность векторного сложения (независимость конечного результата от порядка выполнения физических операций); равенство векторов при равенстве всех их проекций (эквивалентность координатного и векторного способов описания); правило преобразований при повороте осей координат и изменении положения начала отсчета (однородность и изотропность пространства). Физические законы, записанные в форме скаляров и векторов, являются инвариантными по отношению к выбору начала отсчета и поворота осей координат СО. Другими словами, физические законы, выраженные через скалярные и векторные величины или их комбинации, равноправны по отношению к выбору СК (величины векторов и их взаимная ориентация не изменяются). Рис. 2.3. Иллюстрация векторного способа описания движения (двумерное движение) Рис. 2.4. Иллюстрация естественного способа описания движения (двумерное движение) Рис. 2.5. Иллюстрация координатного способа описания движения Способы описания движения в пространстве. Пусть скалярные f и векторные величины A зависят от времени: f = f(t), A = A(t). Поведение скалярной величины задается обычной аналитической зависимостью f(t). В случае векторов дело обстоит сложнее. Существуют несколько способов выражения зависимости A = A(t): посредством задания значениям вектора A в каждый момент времени - векторный способ (см. рис. 2.3); по параметрам движения, например, величине пути s, пройденного частицей - естественный способ (см. рис. 2.4); по фиксированным ортам декартовой системы координат - координатный способ (см. рис. 2.5). Векторный способ описания движения заключается в нахождении величины и направления радиус-вектора r в любой момент времени, т. е. установлении вида зависимости r(t) = r(t)·er(t), где r(t) - модуль радиус-вектора,er(t) - единичный вектор, задающий направление вектора r. er = r/r = {cos 1; cos 2; cos 3}; (2.1)cos i - направляющие косинусы или косинусы углов между радиус-вектором и осями декартовой системы координат, рассчитываемые согласно (1.3). В случае плоского (двумерного) движения направление обычно задается в виде значения тангенса угла между вектором r и осью OX. Исходя из определения, вектор перемещения r задается как изменение (приращение) радиус-вектора r, произошедшее за время t (см. рис. 2.2): r = r(t + t) - r(t). (2.2)Вектором средней скорости называется величина, равная отношению приращения радиус-вектора к промежутку времени, в течение которого оно произошло. Важно^ § 1. Движение частицы по окружности и его кинематические характеристики Движение материальной точки по окружности как движение с одной степенью свободы.Понятие векторов углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения.Связь угловых кинематических характеристик с линейными. Вращательное движение звезд в галактике. “Галактика Андромеда”. Фото Jason Ware Введение. В предыдущих темах мы рассмотрели описание движения частиц или тел отсчета, с ними связанных. Однако важным является также описание движения систем координат, связанных с твердыми телами и служащих для пространственно-временного описания еще одного класса движений, например, различных вращений. Решив эту задачу и воспользовавшись преобразованиями Галилея, можно описать все возможные случаи движения твердых тел в любых системах отсчета. Перед тем как приступить к изучению кинематики твердого тела, рассмотрим сначала простейший случай движение его составных частей (материальных точек) по окружности и более общий вариант криволинейное движение. ^ Описание движения по окружности. При движении частицы по окружности меняется только направление ее радиус-вектора r(t). Уравнение, характеризующее изменение положения частицы со временем, имеет вид: r(t) = r·er(t), где r = const. (3.1) Рис. 3.1. Движение частицы по окружности Пусть радиус-вектор частицы описывает круговой конус. Тогда его сечение плоскостью ХО'У, перпендикулярной оси OZ, образует окружность радиуса (см. рис. 3.1). В декартовой СК уравнения движения в проекциях на оси координат примут вид: x(t) = ·cos (t); y(t) = ·sin (t), (3.2) а траектория частицы будет описываться уравнением: x2 + y2 = 2. (3.3)Вопрос. Какой вид будет иметь мировая линия при равномерном движении частицы по окружности? В рассматриваемом случае угол изменяется со временем по закону (t) = ·t + 0, а мировая линия в трехмерном мире событий будет представлять из себя винтовую линию, нанизанную на ось Ot и имеющую шаг, равный периоду обращения частицы в плоскости вращения T = 2/. В отличии от движения по спирали значение проекции МЛ на ось Ot все время возрастает. Рис. 3.2. Определение направления вектора элементарного углового перемещения по правилу буравчика (правого винта). Ручку буравчика вращаем по направлению вращения радиус-вектора частицы. Направление вектора d совпадет с направлением поступательного движения буравчика ^ Угловые кинематические характеристики. Рассмотрим движение частицы в плоскости XY в полярных координатах. Соответствующие уравнения записываются следующим образом: = const, = (t). (3.4) В данном случае частица обладает одной степенью свободы и ее движение удобно характеризовать зависимостью угловой координаты (угла) от времени (t). По аналогии с понятием элементарного вектора перемещения dr введем понятие вектора элементарного углового перемещения d. За величину вектора d примем значение угла, на который повернется частица вокруг оси OZ за время dt, выраженное в радианах. Направление вектора d зададим таким образом, чтобы оно совпадало с осью вращения и определялось в соответствии с правилом правого винта (см. рис. 3.2). Рис. 3.3. Установление связи между направлением векторов элементарного углового и линейного перемещений Из вышеизложенного и рис.3.3 следует, что вектора линейного и углового перемещений связаны соотношением (3.5) и не зависят от выбора начала отсчета (точки О) на оси вращения: dr = [d, r]. (3.5) Чтобы быть вектором, величина должна удовлетворять четырем правилам (см. тему 2, § 3), одним из которых является подчинение закону сложения векторов. Рассмотрим случай последовательного поворота частицы на углы d1 и d2 вокруг произвольным образом направленных осей, проходящих через точку О. Элементарное перемещение частицы можно представить как векторную сумму, равную: dr = dr1 + dr2 = [d1, r] + [d2, r], = [d, r], (3.6)где d = d1 + d2. Рис. 3.5. Результаты двух серий однотипных поворотов твердого тела во взаимно перпендикулярных направлениях, проведенных в разной последовательности Таким образом, последовательность перемещений на элементарные углы подчиняется закону сложения векторов и, следовательно, величины dи с этой точки зрения могут быть векторами ( d при t ). Перемещения же на конечные углы этому правилу не удовлетворяют (см. примеры). Рис. 3.4. Положение частицы и векторов ее углового перемещения в серии последовательных поворотов на 90 градусов вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через закрепленную точку Из рис. 3.3 следует, что при повороте на конечный угол модуль вектора перемещения равен: |r| = r·sin·2·sin(/2), и, следовательно, векторное равенство (3.5) в общем случае не выполняется. Для малых углов поворота оно выполняется приближенно и тем точнее, чем ближе величины 2·sin(/2) и sin( друг к другу. Итак, введенная величина d в сравнении с понятиями перемещения, скорости и ускорения не является "естественным" вектором (точка приложения dчетко не определена и находится где-то на оси вращения). Кроме того, вектор d имеет существенный ряд ограничений, связанных с малостью поворота. В силу этих причин элементарное угловое перемещение часто называют псевдовектором. ^ Вектора угловой скорости и ускорения. По аналогии с линейной скоростью введем понятие мгновенной угловой скорости. Ею называется величина, равная производной от вектора углового перемещения по времени: = d/dt. (3.7) Выразим угловую скорость через другие известные нам векторные величины. Модуль линейной скорости равен: x2 + y2)1/2 =