4. Лінії другого порядку.4.1 Поняття лінії другого порядкує.Лінія другого порядку – це множина точок, координати яких задовольняють рівнянням видуАх2+Вy2+Схy+Дх+Еy+F=0, (*)Де А,В,С,Д,E,F – дійсні числа. До лінії другого порядку належать такі лінії: коло, еліпс, гіпербола та парабола.4.2 КолоКолом вважають множину точок площини відстані яких від даної точки площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу). Щоб вивести рівняння кола, використаємо прямокутну систему координат 0ху; позначаємо через О1(а,в) – центр кола, через М (х;у) – довільну точку площини і через R - радіус кола. Точка М лежить на колі тоді і лише тоді, коли O1M=R, або Піднесемо обидві частини до квадрату (1)Це канонічне рівняння кола. Якщо центр кола лежить в початку координат, то х2+y2 = R2 (2)Загальне рівняння кола (див.*) буде мати виглядх2 + y2 + mx + ny + p = 0, тобто Коефіцієнт при х2 і y2 рівні між собою У рівнянні відсутній член с ХУ.Приклади. Написати рівняння кола, якщо точки А(-1;4) і В (3;2) є кінцями його діаметра.Розв‘язок: Нехай О1(а;в) – центр кола. Тоді АО1=О1В, томуЗнайдемоТоді остаточне рівняння буде. Знайти центр і радіус кола х2 + y2 + 4x - 6y - 23 = 0Розв‘язок: Згрупуємо однойменні координати:(х2 + 4x )+(y2 - 6y) - 23 = 0 Згадаємо формули скороченого множення:(а ± в)2 = а2 + 2ав + в2Тепер доповнимо в кожній дужці до повного квадрату:(х2 + 2.2x + 4 - 4) + (y2 - 2y3 + 9 - 9) - 23 = 0(х+2)2 - 4 + (y - 3)2 - 9 - 23 = 0(х+2)2 + (y - 3)2 = 36т. Q (-2;3) – центр кола. Радіус R=6.Одержимо рівняння кола в полярних координатах (ρ,). Помістимо початок полярних координат в початок прямокутної системи координат.х=ρ cosφ y=ρ sinφ -зв‘язок між полярними та декартовими координатами. Підставимо ці формули в рівняння кола (2) х2+y2 = R2ρ2 cos2φ + ρ2 sin2φ= R2ρ2(cos2φ +sin2φ)= R2ρ = R (3)- це рівняння кола в полярних координатах.Далі одержимо рівняння кола в параметричному вигляді. Нехай t – кут між віссю ОХ та радіус-вектором довільної точки М(х;у) кола. Точка М(х;у) лежить на колі тоді і тільки тоді коли: (4) Це параметричні рівняння кола.Або , якщо центр кола лежить у точці О1(а;в) (4а)4.3. Еліпс.Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами. Щоб вивести рівняння еліпса, візьмемо на площині дві точки F1 і F2 – фокуси еліпса і розмістимо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОХ проходила через фокуси а початок координат ділив відрізок F1F2 навпіл:Позначаємо відстань між фокусами, яку називають фокальною через 2с: F1F2 = 2с, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів через 2а. Тоді фокуси мають координати F1(-с;0),F2(с;0). За означенням 2a>2c, тобто a>c. Нехай М(х;у) – довільна точка площини. Ця точка лежить на еліпсі тоді і тільки тоді коли F1М + F2М=2а, Перенесемо другий радикал у праву частину, піднесемо потім обидві частини до квадрату:Піднесемо ще раз до квадрату: (:а2в2) (5)Це канонічне рівняння еліпса. Встановимо деякі властивості і дослідимо форму еліпса. 1) Рівняння (5) містить змінні х та у лише у парних степенях, тому, якщо точка (х;у) належить еліпсу, то йому належать також точки (-х;у), (х;-у), (-х;-у). Тому еліпс симетричний відносно осей ОХ та ОУ, а також відносно т О(0;0) – центра еліпса. Отже, достатньо дослідити одну його частину, наприклад, розміщену у першому координатному куті. 2) В першому координатному куті х≥0, у≥0, тому з рівності (5) маємо: звідки випливає, що точки А1(а;0) і В1(0;в) належать еліпсу, причому Х збільшується від 0 до а, а У зменшується від в до 0. Крім того, не існує точок, у яких х>а. Таким чином, частина еліпса, розміщена в першому координатному куті, має форму дуги. Весь еліпс відображається симетрично відносно осей ОХ та ОУ. Т.А1(а;0); А2(-а;0); В1(0;в); В2(0;-в) – вершини еліпса.А1А2=2а та В1В2=2в – велика та мала осі еліпса. Відповідно а та в – велика та мала півосі. Якщо а = в, то х2 + у2 = а2 – коло. Так як а2 - с2 = в2, то при а = в, с=0, тобто коло – це еліпс у якого фокуси збігаються з його центром. Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною, яка називається ексцентриситетом еліпса і дорівнює: = с/а, причому 0 ≤ ≤ 1 (6) Якщо = 0 ,то в = а і еліпс перетворюється в коло; якщо наближується до одиниці ,то еліпс все більше розтягується вдовж осі ОХ. Нехай М(х;у) – довільна точка еліпса з фокусами F1 I F2. Відстані r1 i r2 – фокальні радіус-вектори. - рівняння еліпса в полярних координатах. - параметричне рівняння еліпса, a > 0; b > 0, 0 ≤ t 4.4 ГіперболаГіперболою називається множина точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох даних точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина стала і менше відстані між фокусами. Позначимо через F1 i F2 фокуси гіперболи, відстань між ними через 2с, а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів через 2а. За означенням a Візьмемо на площині прямокутну систему координат ОХУ так, щоб вісь ОХ проходила через фокуси, а початок координат поділив відрізок F1F2 навпіл.Точка М(х;у) площини лежить на гіперболі тоді і лише тоді, коли:|MF1 – MF2| = 2a, або Виконавши такі самі перетворення, як при виведенні рівняння еліпса, дістанемо канонічне рівняння гіперболи: , де в2 = с2 – а2 (7)Встановимо властивості і дослідимо форму гіперболи. Гіпербола симетрична осям ОХ, ОУ і початку координат. Для частини гіперболи, яка лежить у першому координатному куті, з рівняння (7) дістанемо:тобто х ≥ а Точка А1(а;0) належить гіперболі і є точкою перетину гіперболи с віссю ОХ. Гіпербола не перетинає вісь ОУ. Якщо х→ +∞, то у→ +∞. Віддаляючись у нескінченність, змінна точка М(х;у) необмежено наближається до прямої . Відобразивши дугу гіперболи симетрично відносно координатних осей, дістанемо вигляд всієї гіперболи. Гіпербола складається з двох гілок (лівої та правої) і має дві асимптоти (8) Осі симетрії називаються осями гіперболи, а точка перетину осей – її центром. Вісь ОХ перетинає гіперболу в двох точках А1(а;0) і А2(-а;0), які називаються вершинами гіперболи. Ця вісь називається дійсною віссю, а вісь, яка не має спільних точок з гіперболою – уявна вісь. Величини а і в відповідно називають дійсною та уявною півосями гіперболи. Прямокутник із сторонами 2а і 2в називається основним прямокутником гіперболи. При побудові гіперболи доцільно спочатку побудувати основний прямокутник, провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника – асимптоти вершини А1(а;0) і А2(-а;0) гіперболи.Рівняння виражає спряжену гіперболу (показана пунктиром). Якщо а = в, то гіпербола називається рівносторонньою. Ексцентриситет гіперболи визначається як = с/а, > 1. Прямі - директриси гіперболи. (а – дійсна піввісь). - гіпербола в полярних координатах, > 1. (7а) Для гіперболи вигляду параметричні рівняння мають вигляд: . (7б)4.5. ПараболаПараболою називається множина всіх точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, яка називається фокусом і від прямої, яка називається директрисою. Нехай на площині задані фокус F і директриса, причому відстань від фокуса до директриси дорівнює р. Візьмемо прямокутну систему координат ОХУ так, щоб вісь ОХ проходила через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь ОУ ділила відстань між фокусом F і директрисою навпіл.Тоді точка М(х;у) лежить на параболі тоді і лише тоді коли: МВ = МF, абоПіднесемо до квадрату: .- канонічне рівняння параболи (9)Дослідимо форму параболи. Оскільки рівняння містить змінну у у першому ступені, то парабола симетрична відносно осі ОХ. Тому достатньо розглянути лише ту частину, яка лежить в верхній півплощині. Для неї у ≥ 0, .Так як х ≥ 0, то парабола розміщена справа від осі ОУ. При х = 0 → у = 0, тобто парабола проходить через початок координат. При х→ ∞ → у → ∞. Зробивши симетричне відображення, одержимо параболу. Вісь симетрії параболи називається її віссю, точка перетину осі з параболою – вершина. Параметр р характеризує, „ширину” області, яку обмежує парабола. Рівняння у2 = 2рх; х2 = 2ру; х2 = -2ру у яких р > 0 визначають такі параболи:У полярних координатах парабола: (=1). (10) У параметричному вигляді рівняння параболи треба в кожному випадку отримувати окремо. ^ 4.6. Паралельний переніс системи.Нехай нова система координат має осі сонаправлені із старими осями ОХ і ОУ, а її початок розміщено у точці О1(х0;у0).Координати довільної точки М означимо у старій системі (х;у), а у новій (Х;У). Радіуси – вектори цієї точки в обох системах мають один і той же базис , і їх можна представити як: ; ; . Очевидно, що або З рівності векторів слідує рівність їх координат. Тому .Це формули є зв’язком між старими та новими координатами точки.Запишемо загальне рівняння кривої другого порядку (нехай Вху = 0).Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.Якщо А і С одного знаку – то крива еліптичного типу (при А = С – коло). Якщо А і С різних знаків – крива гіперболічного типу. Якщо А ≠ 0; С = 0 (А = 0; С ≠ 0) – крива параболічного типу.Приклад. Привести до канонічного виду та побудувати криву: 4х2 + у2 – 12х + 4у – 3 = 0.Розв‘язок: Коефіцієнти А = 4, С = 1 – ця крива еліптичного типу. Виділяємо повні квадрати змінних:(4х2– 12х) + (у2+ 4у) – 3 = 0 4(х2– 3х) + (у2+ 4у) – 3 = 0 4(х2 – 2х *3/2 + 9/4 - 9/4) + (у2 + 2у *2 + 4 - 4) – 3 = 0 4(х – 3/2)2 +(у + 2)2 = 16 Рівняння прийме простішу форму, якщо покласти х0 = 3/2 а у0 = -2, тобто помістити новий початок координат у точку О(3/2; -2). При цьому Х2/4 + У2/16 = 1 Побудуємо цю криву: а = 2, в = 4.