Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет ім. ОлесяГончара
КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни “Математика”
на тему
„ВИКЛАДЕННЯ ТЕМИ „ТРИКУТНИКИ" ПО ПРОГРАМІ КУРСА
ГЕОМЕТРІЇ В 7 КЛАСІ СЕРЕДНЬОЇ ШКОЛИ"
Виконавець: студентгрупи
Перевірив:
м. Дніпропетровськ 2010 р.
Анотація
Курсова робота на25 стор.,20 рис., 1 табл., 8 джерел літератури.
Систематизованийучбовий матеріал викладення теми „Трикутники" по новій програмі геометріїдля 7 класу 12 — річної школи. Наведений перелік нових підручників „Геометрія 7клас”, які у 2008 — 2009 році створено у відповідності до Державного стандартута нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.
Результати можутьбути використані в якості практичного посібника — конспекта вчителю привикладені глави „Трикутники" в курсі „Геометрія” для 7 класу середньоїшколи.
The summary
Course work on 25pages,20 fig., 1 tab., 8 sources of the literature.
The educationalmaterial of a statement of a subject „Triangles” under the new program ofgeometry for 7 classes 12 — years schools is systematized. The list of the newtutorials „ Geometry 7 classes ” is given which in 2008 — 2009 are issuedaccording to State standard and new programs on geometry for 7 classes of a school.
The results can beused as the practical grant — abstract to the teacher at a statement of thechapter „Triangles” in a rate „Geometry" for 7 classes of a school.
Зміст
Вступ
1. Трикутник і його елементи
2. Ознаки рівності трикутників
3. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки
4. Висота, бісектриса і медіана трикутника
5. Сума кутів трикутника
6. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників
7. Зовнішній кут трикутника та йоговластивості
8. Нерівність трикутника
Висновки
Список використаної літератури
Вступ
В курсовій роботі конспективновикладений теоретичний матеріал теми „Трикутники" в курсі геометрії 7класу, який згідно “Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-12 класи" (видавництво “Перун”, Київ,2005р. — у науково-методичному журналі “Математика в школі"№2, 2006 р) розподілений на 3 частини в новій програмі курсу „Геометрія” у 7 (введенов 2007/2008 навч. році), 8 (введено в 2008/2009 навчальному році), 9 (введено в2009/2010 рр.) класах 12 річної школи.
У 2007 — 2008навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальнимипланами і програмами 12 річної школи.
Нова програма згеометрії для 7го класу містить такі теми: найпростіші геометричні фігури та їхвластивості; взаємне розташування прямих на площині; трикутники; коло і круг (геометричніпобудови).
В курсовій роботі систематизованийматеріал викладення теми „Трикутники" по новій програмі геометрії для 7класу 12 — річної школи згідно підходу, викладеному в підручниках:
“Геометрія.7 клас”(автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;
“Геометрія.7 клас”(автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;
“Геометрія.7 клас”(автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.
Ці підручникистворено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометріїдля 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.
В роботівикористаний графічний матеріал з посібників:
Погорелов А.В. Геометрия:Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов. — 2е изд. — М.: Просвещение,2001.;
Дергачов В.А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник дляучнів 7-11 класів. — X.: Веста: Видавництво „Ранок”, 2006.
1. Трикутник і його елементи
Трикутникомназивається фігура, що складається із трьох точок, що не лежать на однійпрямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаютьсявершинами трикутника.
На рисунку 1.1наведений трикутник з вершинами /> йсторонами />.
/>
Рис.1.1 Визначенняосновних елементів трикутника [5]
Трикутникпозначається вказівкою його вершин. Замість слова „трикутник ” іноді вживаютьзнак />. Наприклад, трикутник нарисунку 1.2 позначається так: />.
/>
Рис.1.2 Трикутник /> та визначення кутів Ða, Ðb, Ðg при його вершинах А, В, С [5]
Кутом трикутника /> при вершині /> називається кут Ða, утворений напівпрямими /> й /> (див. рис.1.2). Так самовизначаються кути трикутника при вершинах /> і/>.
Два відрізкиназиваються рівними, якщо вони мають однакову довжину. Два кути називаються рівними,якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.
Трикутникиназиваються рівними, якщо в них відповідні сторони й відповідні кути рівні. Прицьому відповідні кути повинні лежати проти відповідних сторін.
На рисунку 1.3 дварівних трикутники /> й />/>.
/>/>
Рис. 1.3 Довизначення рівності трикутників [8]
У них
/>
На кресленнівідрізки звичайно відзначають однією, двома або трьома рисками, а рівні кути — однієї,двома або трьома дужками (див. рис.1.3).
Для позначеннярівності трикутників використовується звичайний знак рівності: =. Запис D/>: =D/> читаєтьсятак: „Трикутник /> дорівнюєтрикутнику />". При цьому маєзначення порядок, у якому записуються вершини трикутника. Рівність />=/> означає, що
/>. А рівність />=/> означає вже зовсім інше: />
Задача 1.1 Трикутники/> і /> рівні. Відомо, що сторона /> дорівнює />, а кут Ð/> дорівнює />. Чому рівна сторона /> й кут Ð/>?
Розв’язок. Тому щотрикутники /> й /> рівні, то в них />, ÐC=ÐR. Виходить, /> м, ÐR=900.2. Ознаки рівності трикутників
Теорема 2.1 (Першаознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними). Якщо дві стороний кут між ними одного трикутника рівні відповідно двом сторонам і куту між нимиіншого трикутника, то такі трикутники рівні.
/>/>
Рис.2.1 До теореми2.1 (ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними) [8]
Доведення.
Нехай у трикутників/> й /> - дві сторони та кут міжними рівні: /> (див. рис.2.1). Доведемо,що трикутники рівні.
Нехай /> - трикутник, дорівнюєтрикутнику />, з вершиною /> на промені /> й вершиною /> в тій же напівплощинівідносно прямій />, де лежитьвершина /> (рисунок 2.2, а).
/>
Рис.2.2, а) Додоведення 1 признаку рівності трикутників [8]
Тому що />, то вершина /> збігається з вершиною /> (див. рис.2.2, б).
/>
Рис.2.2, б) Додоведення 1 признаку рівності трикутників [8]
Тому що /> то промінь /> збігається із променем />
(див. рис.2.2, в).
/>
Рис. .2.2, в) Додоведення 1 признаку рівності трикутників [8]
Тому що />=/>, то вершина /> збігається з вершиною /> (рис.2.2, г).
/>
Рис.2.2, г) Додоведення 1 признаку рівності трикутників [8]
Отже, трикутник /> збігається із трикутником />, виходить, дорівнюєтрикутнику />.
Теорема доведена.
Теорема 2.2 (Другаознака рівності трикутників по стороні й прилеглим до неї кутам).
Якщо сторона й прилеглідо неї кути одного трикутника рівні відповідно стороні й прилеглим до неї кутаміншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доведення.
Нехай /> і /> - два трикутники, у яких />
(рисунок 2.3).
/>/>
Рис.2.3 Додоведення 2ї ознаки рівності трикутників [8]
Доведемо, щотрикутники рівні. Ð
Нехай /> - трикутник, дорівнюєтрикутнику /> з вершиною /> на промені /> й вершиною /> в тій же напівплощинівідносно прямій />, де лежитьвершина />.
Тому що />, то вершина /> збігається з вершиною />. Тому що /> й />, то промінь /> збігається із променем />, а промінь /> збігається із променем />. Звідси витікає, щовершина /> збігається з вершиною />.
Отже, трикутник /> збігається із трикутником />, а виходить, дорівнюєтрикутнику />.
Теорема доведена.
Теорема 2.3 (Третяознака рівності трикутників по трьох сторонах).
Якщо три сторониодного трикутника рівні відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такітрикутники рівні.
Доведення.
Нехай /> і /> два трикутники, у яких />. Потрібно довести, щотрикутники рівні.
Допустимо,трикутники не рівні. Тоді в них />. Інакшевони були б рівні по першій ознаці.
Нехай /> - трикутник, дорівнюєтрикутнику />, у якого вершина /> лежить в однійнапівплощині з вершиною /> відноснопрямій /> (рисунок 2.4).
/>/>
Рис.2.4 Додоведення 3 признаку рівності трикутників [8]
Нехай /> середина відрізка /> й /> - рівнобедрені іззагальною основою />. Тому їхнімедіани /> й /> перпендикуляри прямої />. Прямі /> й /> не збігаються, тому щоточки/> не лежать на одній прямій.Але через точку /> прямої /> можна провести тільки однуперпендикулярну їй пряму. Ми прийшли до протиріччя
Теорема доведена.
Задача 2.1 Відрізки/> й /> перетинаються в точці />, що є серединою кожного зних. Чому дорівнює відрізок />, якщовідрізок /> м?
Розв’язок. Трикутники/> й /> рівні по першій ознацірівності трикутників (рисунок 2.5).
/>
Рис.2.5 До задачі 2.1[8]
У них кути /> й /> рівні як вертикальні, а /> й /> тому, що точка />є серединою відрізків /> і />. З рівності трикутників /> і /> треба рівність їхніхсторін /> і />. А тому що за умовоюзадачі /> м, те й /> м.
Задача 2.2 Утрикутників /> і /> />. Доведіть, що />.
Розв’язок. Нехай /> і /> дані трикутники (рисунок 2.6).
/>/>
Рис.2.6 До задачі 2.2[8]
Побудуємотрикутник />, який дорівнює трикутнику />, і трикутник />, який дорівнює трикутнику />.
Трикутники /> й /> рівні по третій ознаці. Уних /> за умовою задачі; /> тому що />; />, тому що />. З рівності трикутників /> і /> треба рівність кутів />. Тому що за умовою />,/>, а />, по доведеному, то трикутники/> й /> рівні по першій ознаці.
3. Рівнобедрений трикутник, йоговластивості та ознаки
Трикутникназивається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторониназиваються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.
На рисунку 3.1зображений рівнобедрений трикутник />. Унього бічні сторони /> й />, а основа/>.
/>
Рис.3.1 Довизначення рівнобедреного трикутника [8]
Теорема 3.1 (властивістькутів рівнобедренного трикутника)
В рівнобедренномутрикутнику кути при основі рівні.
Доведення.
Нехай /> - рівнобедрений трикутникз основою /> (див. рис.3.2). Доведемо,що в нього />.
/>
Рис.3.2 Додоведення теореми 3.1 [8]
Трикутник /> дорівнює трикутнику /> по першій ознаці рівностітрикутників. Дійсно, />З рівностітрикутника треба, що />.
Теорема доведена.
Трикутник, у якоговсі сторони рівні, називається рівностороннім.
Теорема 3.2 (ознакарівнобедреного трикутника).
Якщо в трикутникудва кути рівні, то він рівнобедрений.
Доведення. Нехай /> - трикутник, у якому /> (рисунок 3.3).
/>
Рис. 3.3 Додоведення теореми 3.2 [8]
Доведемо, що вінрівнобедрений з основою />.
Трикутник /> дорівнює трикутнику /> по другій ознаці рівностітрикутників. Дійсно, /> З рівностітрикутників треба, що />. Виходить, повизначенню трикутник /> рівнобедрений.
Теорема доведена.
Теорема (3.2) називаєтьсязворотньою теоремі (3.1). Висновок теореми (3.1) є умовою теореми (3.2). Аумова теореми (3.1) є висновком теореми (3.2). Не всяка теорема має зворотну,тобто якщо дана теорема вірна, те зворотна теорема може бути невірна.
Теорема 3.3 (властивістьмедіани рівнобедреного трикутника).
У рівнобедреномутрикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою й висотою.
Доведення. Нехай /> - даний рівнобедренийтрикутник з основою/> й /> - медіана, проведена дооснови (рисунок 3.4)
/>
Рис.3.4 Додоведення теореми 3.3 [8]
Трикутники /> й /> рівні по першій ознацірівності трикутників. (У них сторони /> й /> рівні, тому що трикутник /> рівнобедрений. Кути Ð/> й Ð/> рівні яккути при підставі рівнобедреного трикутника. Сторони /> й /> рівні, тому що /> - середина відрізка />)
З рівностітрикутників витікає рівність кутів: />. Томущо кути Ð/> й Ð/> суміжні йрівні, те /> - бісектриса. Тому що кутиÐ/> й Ð/> суміжні йрівні, то вони прямі, тому /> висотатрикутника.
Теорема доведена.
Задача 3.1 Доведіть,що в рівностороннього трикутника всі кути рівні.
Рішення. Нехай /> - даний трикутник зрівними сторонами: /> (рисунок 3.5).
/>
Рис.3.5 До задачі 3.1[8]
Тому що />, то цей трикутникрівнобедрений з основою />. Потеоремі 3.1 />. Тому що />, то трикутник /> рівнобедрений з основою />. По теоремі 3.1 />. Таким чином, />, тобто всі кути трикутникарівні.
Задача 3.2 Сформулюйтей доведіть теорему, зворотну твердженню задачі 3.1
Розв’язок. Узадачі 3.1 умова полягає в тому, що трикутник рівносторонній, а висновок — утім, що всі кути трикутника рівні. Тому зворотна теорема повинна формулюватисятак: якщо в трикутника всі кути рівні, то він рівносторонній.
Доведемо цютеорему. Нехай /> - трикутник зрівними кутами: />. Тому що />, то по теоремі 3.2 />. Тому що />, те по теоремі 3.2 />. Таким чином/>, тобто всі сторонитрикутника рівні. Виходить, по визначенню трикутник /> рівносторонній.Задача 3.3 Доведіть, що бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена звершини, протилежній основі, є медіаною й висотою. Розв’язок. Нехай /> - рівнобедрений трикутникз основою /> і /> його бісектрисою (рисунок 3.6).
/>
Рис. 3.6. Дозадачі 3.3 [8]
Трикутники /> й /> рівні по першій ознаці. Уних сторона /> загальна, сторони /> й /> рівні як бічні сторонирівнобедреного трикутника, а кути при вершині /> рівні,тому що /> - бісектриса. З рівностітрикутників витікає рівність їхніх сторін /> і/>. Виходить, /> - медіана трикутника />. А по властивості медіанирівнобедреного трикутника вона є й висотою.4. Висота, бісектриса і медіанатрикутника
Визначення. Висотоютрикутника, опущеної з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений ізцієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. (рисунок 4.1)
/>
Рис.4.1 Довизначення висоти трикутника (можливі випадки побудови висоти трикутника) [5]
Визначення. Бісектрисоютрикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок бісектриси кутатрикутника, яка поділяє кут при вершині на два рівні кути та з'єднує цю вершинуіз крапкою на протилежній стороні (рисунок 4.2).
Визначення. Медіаноютрикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цювершину із серединою протилежної сторони трикутника (рисунок 4.2).
/> />
Рис.4.2 Довизначення бісектриси та медіани трикутника [5]5. Сума кутів трикутника
Теорема 5.1. Сумакутів трикутника дорівнює />.
/>
/>
Рис.5.1. Визначеннясуми кутів трикутника [5]
Доведення.
Нехай /> - даний трикутник. Проведемочерез вершину />пряму, паралельнупрямій />. Відзначимо на ній точку /> так, щоб точки /> й /> лежали по різні сторонивід прямій /> (рисунок 5.2).
/>
Рис. 5.2. Додоведення теореми 5.1 [8]
Кути Ð/> й Ð/> рівні яквнутрішні навхрест лежачі, утворені січною /> зпаралельними прямими /> й />. Тому сума кутівтрикутника при вершинах />і />дорівнює куту Ð/>.
А сума всіх трьохкутів трикутника дорівнює сумі кутів /> і />. Тому що ці кути внутрішніоднобічні для паралельних /> і /> й січній />, то їхня сума дорівнює />.
Теорема доведена.
З теореми 5.1витікає, що в будь-якого трикутнику хоча б два кути гострі.
Дійсно, допустимо,що в трикутника тільки один гострий кут або взагалі немає гострих кутів. Тоді вцього трикутника є два кути, кожний з яких не менше />.Сума цих двох кутів уже не менше />. А ценеможливо, тому що сума всіх кутів трикутника дорівнює />. Що й було потрібнодовести.
6. Властивості та ознаки рівностіпрямокутних трикутників
Трикутникназивається прямокутним, якщо в нього є прямий кут.
Тому що сума кутівтрикутника дорівнює />, то впрямокутного трикутника тільки один прямий кут.д.ва інших кути прямокутноготрикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює />.
Сторонапрямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, двіінші сторони називаються катетами (рисунок 6.1).
/>
Рис.6.1. Довизначення прямокутного трикутника [5]
Відзначимонаступну ознаку рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі й катету. Якщогіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузій катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (див. рисунок 6.2).
/>
Рис.6.2. Довизначення рівності прямокутних трикутників [8]
Задача 6.1. Доведіть,що в прямокутному трикутнику з кутом /> катет,протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.
Рішення. Нехай /> - прямокутний трикутник ізпрямим кутом /> і кутом />, рівним /> (рисунок 6.3).
/>
Рис.6.3. До задачі6.3 [8]
Побудуємотрикутник />, який дорівнює трикутнику />, як показано на Рис.6.3.
У трикутника /> всі кути рівні />, тому він рівносторонній. Томущо />, а />, то />. Що й було потрібнодовести.7. Зовнішній кут трикутника та йоговластивості
Зовнішнім кутомтрикутника при даній вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника прицій вершині (рисунок 7.1).
/>
Рис.7.1. Довизначення зовнішнього кута трикутника [5]
Щоб не плутати куттрикутника при даній вершині із зовнішнім кутом при цій же вершині, його інодіназивають внутрішнім кутом.
Теорема 7.1. Зовнішнійкут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних з ним.
Доведення.
Нехай /> - даний трикутник (рисунок7.2).
/>
/>
Рис.7.2. Дотеореми 7.1 [5]
По теоремі просуму кутів трикутника
/>.
Звідси витікає, що
/>.
У правій частиніцієї рівності стоїть градусна міра зовнішнього кута d трикутника.
Теорема доведена.
З теореми 7.1 витікає,що зовнішній кут трикутника більше будь-якого внутрішнього кута, не суміжного зним. Задача 7.1. У трикутнику /> проведенависота />. Яка із трьох точок /> лежить між двома точками,якщо кути /> й /> трикутника гострі? Рішення.Точка /> не може лежати між точками/> й /> (рисунок 7.3),
/>
Рис. .7.3. До задачі7.1 [8]
то гострий кут /> як зовнішній куттрикутника /> був би більше прямого кута/>. Точно так самодоводиться, що й точка /> не може лежатиміж точками /> й />. Виходить, точка /> лежить між точками/> й />.8. Нерівність трикутника
Якщо точки /> й />різні, то відстанню міжними називається довжина відрізку />. Якщоточки /> й />збігаються, то відстань міжними приймається рівною нулю.
Теорема 8.1 (нерівністьтрикутника).
Які б не були триточки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней відних до третьої точки.
Це значить, щокожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.
Доведення.
Нехай /> - три дані точки. Якщо двіточки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.
Якщо всі точкирізні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими,наприклад />. У цьому випадку />. Звідси видно, що кожне ізтрьох відстаней не більше суми двох інших.
Допустимо тепер,що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).
/> />
Рис.8.1. Додоведення нерівностей в трикутнику [8]
Доведемо, що />. Опустимо перпендикуляр /> на пряму />. По доведеному />. І тому що /> й />, те />.
Теорема доведена.
Помітимо, що увипадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строганерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше сумидвох інших сторін.
Задача 8.1. Доведіть,що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тількитоді, коли сама є діаметром.
Розв’язок (рисунок8.2).
/>
Рис.8.2. До задачі8.1 [8]
По нерівностітрикутника />, причому якщо центр /> не лежить на відрізку />, то нерівність строга. Рівністьмає місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.
Висновки
У 2007-2008навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальнимипланами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено,що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.
Кількість годин навивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новоюпрограмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основнігеометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно звикористанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення — ознакирівності трикутників і метод доведення від супротивного.
7 клас — Геометрія(1 год на тиждень у І семестр — 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі — 38год, всього 54 год) № п/п Назва теми Кількість годин Кількість тематичних оцінювань I Найпростіші геометричні фігури та їх властивості 4 діагностичне II Взаємне розташування прямих на площині 12 1 III Трикутники 18 1-2 ІV Коло і круг. Геометричні побудови 14 1 V Повторення і систематизація навчального матеріалу 6 1
Навчанняматематики у 7х класах загальноосвітніх навчальних закладах з 2007/2008навчального року здійснюється за новими підручниками:
“Геометрія. 7клас” (автори Бурда М.І., Тарасенкова Н. А) видавництва “Освіта”;
“Геометрія. 7клас” (автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;
“Геометрія. 7клас” (автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;
“Геометрія. 7клас” (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.
Ці підручникистворено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометріїдля 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.
Список використаної літератури
1. Апостолова Г.В. Геометрія: 7: дворівн. підруч. длязагальноосвіт. навч. закл. / Г.В. Апостолова. — К.: Генеза, 2009. — 304 с.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г “Геометрія.7клас” — К.: ”Видавництва “Вежа””, 2008 — 224 с.
3. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. “Геометрія.7 клас” — К:„Видавництво “Освіта”", 2008. — 198 с.
4. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. /Л.С. Атанасян,В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — 3е изд. — М.: Просвещение, 1992. — 335 с.
5. Дергачов В.А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів7-11 класів. — X.: Веста: Видавництво „Ранок”, 2006. — 96 с.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. “Геометрія.7клас” — К:, „Видавництво “Гімназія”", 2008. — 352 с.
7. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики/ В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э.Г. Позняк, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. М.: ФИЗМАТЛИТ,2005. — 488 с.
8. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват.учреждений/ А.В. Погорелов. — 2е изд. — М.: Просвещение, 2001. — 224 с.