Информационные технологии как средство формирования пространственного воображения школьников при

--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--Пространственное воображение в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного воображения. Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции. Общее, что характеризует любой пространственный образ — это отражение в нём объективных законов пространства. Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов — их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими [24, 26].
В современной психологии понятие пространственных представлений связывается с понятием образа объекта или явления, который возникает в результате восприятия. При этом большое внимание уделяется зрительным образам, так как их информационная ёмкость особенно велика. Они позволяют мгновенно схватывать отношения между реальной и представляемой ситуацией. Пространственные представления являются целостными субъективными образами пространственных объектов или явлений, которые отражены и закреплены в памяти на основе восприятия наглядного материала в процессе деятельности. Тогда формирование и развитие пространственных представлений можно рассматривать как процесс создания образов и оперирование ими.
Такой взгляд на пространственные представления был взят за основу многими учёными-методистами [8, 32, 59 и др.] при разработке методики формирования и развития пространственных представлений учащихся. Под пространственными представлениями они чаще всего понимают образ той или иной пространственной (геометрической) фигуры, отношения между ее элементами. Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации и изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами.
Познавательная природа представлений раскрывается в том, что они являются промежуточным звеном при переходе от ощущения к мысли. Ясные и отчётливые представления о геометрических объектах, последовательно образованные в сознании обучаемых, являются прочной основой для усвоения научных знаний. Представление, как важный элемент познания, призвано связывать образы предметов и явлений со смыслом и содержанием понятия о них. Но, в свою очередь, формирование представлений требует овладения понятием, поскольку понятие определяет содержание образа. Пространственные представления по отношению к мышлению являются исходной базой, условием развития, но, в то же время, и формирование представлений требует предварительного овладения понятиями и фактами. Можно сказать, что процесс формирования пространственных представлений о геометрических объектах проходит на основе знаний о них [59].
На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат пространственного воображения, которое сочетает в себе взаимосвязанные компоненты (пространственный и логический) мышления.
Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.
Научное наследие выдающегося швейцарского ученого Ж. Пиаже уже не одно десятилетие вызывает интерес психологов всего мира. Его исследования, «посвященные развитию детского познания — восприятия и особенно мышления, — составляют, — по утверждению П.Я. Гальперина и Д.Б. Эльконина, — одно из самых значительных, если не самое значительное явление современной зарубежной психологии» [13, 596].
Признавая используемый Ж. Пиаже формально-логический подход в качестве возможного описания закономерностей развития мышления ребенка, многие отечественные и зарубежные ученые все же отмечают его ограниченность и пытаются рассмотреть ментальную деятельность как некую новую психическую реальность, образующуюся на определенных этапах развития (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.Ф. Обухова, Д.Б. Эльконин, М. Доналдсон, Р.В. Конелэнд). В частности, пытаясь объяснить психические механизмы, лежащие в основе знаменитых феноменов Ж. Пиаже, П.Я. Гальперин и Д.Б. Эльконин высказали гипотезу о том, что их причина лежит в отсутствии четкой последовательной дифференциации некоторых объективных характеристик предметов, таких как длина, форма, вес и т.д.
Следующий продуктивный шаг в этом направлении был сделан Н.И. Чуприковой [55, 56]. Ей удалось связать указанную гипотезу П.Я. Гальперина и Д.Б. Эльконина с исследованиями, утверждавшими, что, во-первых, дифференциация познавательных структур и процессов составляет релевантный компонент интеллектуального развития (Х. Вернер, Х.А. Уиткин) и, во-вторых, что способность ребенка дифференцировать различные признаки и отношения предметов есть стержневая линия при переходе от непосредственного чувственного познания к абстрактному мышлению (Г. Гегель, И.М. Сеченов, Дж. Миллер, Н.И. Чуприкова). Опираясь на эти и ряд других результатов теоретических и экспериментальных работ, Н.И. Чуприкова поставила задачу обосновать связь феноменов несохранения Ж. Пиаже с недостаточной дифференцированностью отражения различных свойств объектов. В процессе ее решения автором была выдвинута и подтверждена гипотеза, согласно которой за весьма разными, на первый взгляд, приемами формирования у детей, обладающих соответствующими возможностями, способности решать задачи на сохранение всегда лежит процесс выработки дифференцированного отражения различных свойств объектов [55, 56].
Согласно фактам, описанных Ж. Пиаже [43], С.Л. Рубинштейном [46], Н.Н. Поддьяковым [44], Ф.Н. Шемякиным [58], серии экспериментов, проведенных И.С. Якиманской [59] и под ее руководством [10] ребенок выделяет в окружающих его предметах пространственные характеристики дифференцированно.
Овладение ребенком математическими понятиями, а стало быть, и выделение им геометрических характеристик в окружающем пространстве идет путем дифференциации различных свойств двух и трехмерных объектов по их многочисленным признакам.
Применительно к познанию и овладению ребенком пространством Ж.Пиаже выделяет такие «качественные операции, структурирующие пространство; порядок пространственной преемственности и включение интервалов или расстояний; сохранение длины, поверхностей и т.п.; выработка системы координат, перспективы и сечения и т.д.» [42, c.199]. К 15 годам человек уже обладает всеми выделенными Ж. Пиаже феноменами, и процесс дифференциации, как и развития, по мнению ученого, заканчивается.
Довольно полную и обширную феноменологию пространственного мышления удалось получить И.С. Якиманской и в исследованиях, выполненных под ее руководством. И.С. Якиманская и ее сотрудники выявили массу индивидуальных особенностей, описали множество различных признаков и характеристик процесса оперирования пространственными объектами. В частности, они обнаружили присущие отдельным испытуемым три типа оперирования пространственными образами. Их содержание отражено в разных видах задач, требующих: изменения пространственного положения созданного образа (I тип); изменения структуры созданного образа (II тип); длительного и неоднократного изменения и пространственного положения, и структуры (III тип) [10]. Однако в этих работах исследования были акцентированы на выявлении феноменов процесса оперирования пространственными образами и проблемах их формирования. Задача описания психологических механизмов развития этих особенностей и процессов создания образов и ориентации в пространстве посредством дифференциации и интеграции подструктур пространственного воображения не ставилась [10, 42].
Базисными для пространственного воображения являются основные подструктуры: топологическая, проективная, порядковая, метрическая и алгебраическая. С помощью первой из указанных подструктур — топологической — человек выделяет и оперирует такими гомеоморфными пространственными характеристиками, как непрерывность, компактность, связность, замкнутость образа. Проективная подструктура детерминирована феноменом толерантности (отношения сходства) и позволяет индивиду распознавать, представлять, оперировать и ориентироваться среди пространственных объектов или их графических изображений с любой точки отсчета; устанавливать сходство (соответствие) между пространственным объектом и его различными проекциями (параллельной, ортогональной, центральной) и т.д. При этом принципиальным является умение устанавливать соответствие не между различными проекциями одного объекта, а между объектом и его проекциями. Опираясь на порядковую подструктуру пространственного воображения, человеку удается вычленять свойства квазипорядка, линейного или частичного упорядочивания множества различных пространственных объектов, устанавливать отношения иерархии по различным основаниям: ближе — дальше, больше — меньше, ниже — выше, направо — налево и т.д. Метрическая подструктура акцентирует внимание на количественных преобразованиях и позволяет определять числовые значения и величины длин, углов, расстояний. Наконец, с помощью алгебраической подструктуры удается соблюдать законы композиции, устанавливать обратимость пространственных преобразований, «свертывать» их, заменять несколько операций одной [10, 26, 27].
Наряду с этими пятью базисными феноменами пространственного воображения выделяются четыре уровня развития пространственного воображения.
Так, овладение окружающим пространством на ментальном уровне проявляется у ребенка старше трех лет в вычленении топологических характеристик объектов. Оно выражается в рисовании на бумаге, песке, реализации в движении «бесконечных» непрерывных связных линий. Одним из любимых занятий становится хождение по лабиринтам, которыми изобилует литература, адресованная дошкольнику. Здесь он с огромным удовольствием сначала графически, а затем и в воображении отыскивает непрерывный, компактный, связный путь движения.
Далее ребенок начинает дифференцировать окружающее пространство, не только отражая топологические характеристики (непрерывность, компактность, замкнутость и т.д.), но и вычленяя толерантность пространственных объектов, их изображений. Это проявляется в быстром и легком установлении соответствия между похожими предметами, сходными изображениями, предметами и их изображениями, выполненными в различных проекциях и ракурсах. Наличие этого умения свидетельствует о появлении у него проективной подструктуры [10, 25, 27].
Дифференциация пространственного воображения у различных индивидов определяется уровнем развития этого ментального процесса. Как оказалось, у людей с I уровнем развития в пространственном воображении существует лишь одна слаборазвитая подструктура, которую, тем не менее, можно считать доминирующей уже в силу того, что остальные отсутствуют. Это проявляется в том, что в окружающей реальной или воображаемой ситуации они не замечают или с большим трудом вычленяют и отделяют одни свойства и отношения объектов (например, топологические) от других (например, метрических) даже при явной необходимости этого.
II уровень характеризуется тем, что в пространственном воображении наряду с доминирующей существуют и другие (может быть, и все) подструктуры, но выражены они все еще слабо.
Более высоким является III уровень развития данного вида воображения, когда сформированы все подструктуры, но у каждого человека имеется наиболее ярко выраженная — ведущая, которая единственно устойчива и индивидуальна. Характерной чертой внешнего поведения этих индивидов является их постоянное стремление к дифференциации и вычленению в реальной или воображаемой ситуации и у объектов, прежде всего тех свойств и отношений, которые соответствуют своей ведущей подструктуре. Вместе с тем эти испытуемые способны вычленять и оперировать и иными отношениями (топологическими, порядковыми и т.д.), но это происходит лишь при явном требовании [10, 27].
Например, при описании своей комнаты испытуемые с I уровнем развития пространственного воображения хаотично фиксируют имеющиеся в ней предметы. А на вопрос «Как пройти к определенному объекту?» — бессистемно называют некоторые (и релевантные, и нерелевантные) ориентиры. Создать по их рассказу представление о комнате или пути движения очень сложно. Испытуемые со II уровнем проводят описание в рамках одной своей ведущей подструктуры. В случае метрического кластера оно звучит примерно так: «Комната 26м2, в ней четыре окна, две кровати, одна тумбочка», или «Пройдете по этой улице 200м до колонки, затем еще метров 45 и увидите примерно в полукилометре белое здание с тремя огромными витринами». Испытуемые с III уровнем развития пространственного воображения по требованию могут последовательно описать предметы в комнате или объекты, встречающиеся по пути, указать порядок расположения или движения («над кроватью», «повернете налево»), проецировать ситуацию с различных точек отсчета — от себя, от объекта, от экспериментатора («если смотреть от двери», «прямо от вас»). Однако при этом явно доминируют отношения, гомоморфные ведущей подструктуре. В случае метрики — числа и величины в метрах, углах, единицах времени: «Минут через 10 Ваша дорожка повернет примерно на 30°, и в ста метрах будет вокзал», или «Повернете направо, затем налево и резко направо» — при ведущей порядковой подструктуре, и т.д.
Достижением III уровня развития пространственного воображения процесс дифференциации пространственного мышления не заканчивается. Далее он идет в рамках отдельных подструктур, определяя тем самым уровень их развития, что непосредственно влияет и на формирование этого ментального процесса в целом. Например, конкретное оперирование пространственными образами (выполнение мысленных поворотов, симметричных отображений и т.д.) может осуществляться различным образом, по разным типам.
1.3 Особенности использования информационных технологий при изучении стереометрии Применение компьютерных технологий в преподавании математики волнует сейчас многих учителей. Несмотря на разворачивающийся в последние годы “компьютерный бум”, перед нами открываются как перспективы при применении компьютерных технологий, так и трудности связанные с этим вопросом. Трудности, связанные с техническим обеспечением, методическим оснащением, а так же с делением класса на группы, так как классы состоят из 25-30 человек, а в компьютерных классах в основном размещено 12-13 компьютеров. Для этого необходимо удобное расписание, что не всегда возможно. Необходимы обученные учительские кадры, которые свободно владеют общими навыками работы за компьютером.
Рассмотрим пять основных дидактических функций компьютера в преподавании математики [7].
1.     Выполнение упражнений, когда учащимся предлагаются ранжированные по трудности задания.
2.     Электронная доска, использование мультимедиа – проектора на уроках математики.
3.     Моделирование.
4.     Исследование, когда из числа предлагаемых вариантов ученик выбирает, аргументируя, собственное решение.
5.     Математические расчеты в курсах других дисциплин.
Конечно, выполнение всех этих функций предполагает большой труд, как учителей, так и инженеров-программистов.
Ученые говорят об «информационных технологиях» как об инструментарии «информатики». Рассмотрим что такое информатика и информационные технологии.
Информатика– наука, изучающая информацию, информационные процессы в природе, обществе, технике, формализацию и моделирование как методы познания, способы представления, накопления, обработки и передачи информации с помощью технических средств – компьютеров и многое другое [49, 52].
    продолжение
--PAGE_BREAK--Информационные технологии– это совокупность методов, устройств и производственных процессов, используемых обществом для сбора, хранения обработки и распространения информации [48, 52].
Часто информационные технологии называют компьютерными технологиями или прикладной математикой. Фундаментальная наука информатика связана с математикой – через теорию математического моделирования, дискретную математику, математическую логику и теорию алгоритмов. Наряду с фундаментальными науками существуют прикладные науки: вычислительная математика, технология, прикладная математика и пр. Обучающие программы реализуют одно из наиболее перспективных применений новых информационных технологий в преподавании и изучении предмета «Математика», позволяют давать такие наиважнейшие понятия курса математики на более высоком уровне, обеспечивающем качественные преимущества по сравнению с традиционными методами.
Использование компьютера на уроках математики способствует активной деятельности учащихся. Внутренняя формализованность работы компьютера, строгость в соблюдении “правил игры” с принципиальной познаваемостью этих правил способствует большей осознанности учебного процесса, повышают его интеллектуальный и логический уровень. Компьютер является как помощником, так и контролером на стадии тренировочных упражнений. Огромное разнообразие ролей компьютера в учебном процессе в своей основе является сочетанием трех главных функций: компьютер как орудие, компьютер как партнер, компьютер как источник формирования обстановки. Он помогает в значительной степени учителю при проведении урока, делая его отношения с учениками более человечными [49].
Во-первых, компьютер замыкает на себя большую часть контрольных функций и реакций на ошибки ученика. Ошибки, беспощадно фиксируемые компьютером, оказываются в значительной степени частным делом школьника. Учитель освобождается от необходимости выявлять слабые стороны в знаниях учащихся, его отношение к детям становятся более позитивными.
Во-вторых, компьютер, вступая с учеником в партнерские отношения, освобождает учителя от необходимости поддерживать темп и тонус деятельности каждого обучаемого. Благодаря этому учитель получает больше возможностей видеть обстановку в классе в целом или уделять внимание отдельному ученику.
Все это реализуется только в тех случаях, когда урок хорошо оснащен технически и методически обеспечен и сам учитель не принужденно и свободно владеет общими навыками работы за компьютером. Использование новых технологий дает возможность учителю вносить в учебный процесс новые разнообразные формы и методы, что делает урок более интересным. Однако чтобы подготовить урок с использованием компьютерных технологий, затрачивается много сил и времени для этого.
Компьютер расширяет возможности решения сложных стереометрических задач. Он позволяет такого типа задачи сделать наглядно обозримыми, помогает развитию пространственного воображения.
Одной из основных проблем при изучении геометрии в школе является проблема наглядности, связанная с тем, что изображения даже простейших геометрических фигур, выполненные в тетрадях или на доске, как правило, содержат большие погрешности. Современные компьютерные технологии позволяют решить эту проблему. Стереометрия — это одна из немногих, если не единственная область школьной математики, в отношении которой не приходится агитировать за информационные технологии. Современная трехмерная графика позволяет создавать модели сложных геометрических тел и их комбинаций, вращать их на экране, менять освещенность. Поэтому полный интерактивный курс стереометрии, предложенный компанией «Физикон», призван помочь учителю более успешно справиться с решением стоящих перед ним задач, а его использование на уроках геометрии в 10-11 классах сделает доступным сложный учебный материал более широкому кругу учащихся [23, 25].
Приступая в 10 классе к изучению нового раздела геометрии — стереометрии, учащиеся, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство, хотя, казалось бы, новый предмет можно начать «с чистого листа». «Лишнее» измерение создает особенные сложности в начале изучения стереометрии, когда учащиеся сталкиваются с необходимостью представить себе столь абстрактные понятия, как бесконечно протяженные прямая и плоскость в пространстве, которым посвящено большинство теорем и задач курса 10 класса.
Второе затрудняющее школьников обстоятельство — как подойти к доказательству теоремы или решению зачастую весьма абстрактной задачи. А проблема учителей — как научить школьников находить нужный подход. Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации; их приходится как-то обучать геометрическому видению — пониманию теорем и условий задач, сформулированных словесно.
Одним из условий успешного изучения учащимися начал стереометрии является наличие у них развитых пространственных представлений. Под пространственными представлениями понимают умственную деятельность по созданию образов и оперированию ими. Психолого-педагогические исследования пространственных представлений у школьников показывают, что у учащихся 10-х классов оно развито намного слабее, чем у учащихся 7-х классов [8, 10, 59].
Использование при изучении стереометрии вещественных моделей для показа взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве необходимо, но недостаточно. Во-первых, не всегда просто показать расположение объектов внутри геометрических тел; во-вторых, невозможно проследить динамику построений; в-третьих, переход от вещественной пространственной модели к ее изображению на плоском чертеже затруднен для учащихся. Справиться с этими сложностями позволяют прикладные компьютерные программы, строящие трехмерные изображения. Одним из таких инструментальных программных средств может служить графический редактор TRUE SPACE 2.0, разработанный в 1995г. фирмой COLIYARI CORPORATION [1, 36, 40].
Этот редактор позволяет создавать трехмерные изображения произвольной формы методом модификации готовых примитивов. Библиотека примитивов содержит графические образы прямой, плоскости, куба, цилиндра, конуса, сферы, тора. TRUE SPACE 2.0 обладает хорошим качеством изображения пространственных фигур. Редактор дает возможность строить прозрачные объекты, окрашивать определенным цветом их отдельные части или в целом, создавать сочетание различных объектов и новые изображения, рассматривать трехмерные изображения, с различных сторон производя и не производя их перемещения, исключить искажение, которое неизбежно появляется при их проектировании на плоскость. Все это позволяет учителю создать систему задач на развитие пространственных представлений учащихся.
Работа с TRUE SPACE 2. 0 не требует специальной профессиональной подготовки учителя как программиста, достаточно навыков пользователя, так как программа имеет хорошее меню в картинках, а выбор нужной процедуры осуществляется с помощью мыши. Учитель, в зависимости от цели урока может подготовить демонстрационный компьютерный фильм с помощью задания траектории движения пространственного объекта, изменения его формы или построения дополнительных объектов, их закраски и т. п. Построив трехмерное изображение в TRUE SPACE 2. 0, можно сохранить его в файле и получить его фотографическую копию на плоскости, распечатав из любого двумерного графического редактора. Использование этих копий поможет учителю научить учащихся правильно строить плоские изображения пространственных фигур, проиллюстрировать на них требования, предъявляемые к изображениям (наглядность, правильность, простота). Таким образом, использование инструментального программного средства TRUE SPACE 2.0 способствует достижению целей обучения учащихся первым разделам стереометрии.
Элементы компьютерной среды.
Графический редактор «Paint» входит в стандартный комплект программных средств компьютера. Он служит для создания, просмотра и редактирования графических изображений. Созданное изображение может быть распечатано на принтере или записано в виде файла для его дальнейшего использования.
Графический редактор «Adobe Illustrator» является более мощным средством для создания и обработки рисунков, он имеет дело с так называемым векторным изображением
С помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel можно строить графики функций и выполнять несложные вычисления.
Программа 3D See Builder поможет выполнить задачи на построение сечений.
school. еdu. ru. — Российский образовательный портал
zadachi.mccme.ru — информационно- поисковая система
matematica.agava.ru — сайт разнообразных математических задач с решениями для поступающих в вузы.
school. msu.ru — учебно-консультационный сайт для учащихся и преподавателей средних школ.
Мультимедийные учебные пособия: «Алгебра не для отличников», «Геометрия не для отличников», «Тригонометрия не для отличников», «Teach Pro Математика. Решение уравнений и неравенств», «Teach Pro Математика. Тригонометрия. Функция», Л. Боревский «Курс математики 2000», «Математика абитуриенту», «Все задачи школьной математики. Алгебра 7-9, Алгебра и начала анализа 10-11, итоговая аттестация выпускников», «Открытая математика. Планиметрия», «Открытая математика. Стереометрия», «Открытая математика. Функции и графики» 2004г.

1.4 Методика обучения школьного курса геометрии с использованием информационных технологий В настоящее время школьное математическое образование, как всё народное образование, реформируется. Наблюдается резкое сокращение количества часов, отводимых на математические дисциплины. Существуют проблемы и при изучении стереометрии. Формальные знания по этому разделу школьной математики обнаруживаются у большинства абитуриентов. В связи с этим выявляется не только недостаточно сформированное пространственное представление учащихся, но и отсутствие умения выполнять проекционный чертёж и оперировать данными на нем [7, 17, 23, 49].
Создание условий использования информационных технологий имело своей целью увеличить эффективность развития пространственного мышления учащихся подросткового возраста.
Рассмотрим возможные способы применения информационных технологий в процессе обучения стереометрии.
1. Индивидуальное использование информационных технологий каждым из учащихся на уроке.
Такой способ применения информационных технологий предполагает проведения урока в оборудованном компьютерном классе, в котором предусмотрена возможность работы учащихся, как за компьютерами, так и без них. Т.е. тип расстановки компьютеров по периметру класса, а в центре установлены парты для письменной работы учеников.
Мы предлагаем этапы мотивационный и ориентировочный объединить в один – этап использования информационных технологий.
Структура урока будет выглядеть следующим образом:
1.     Организационный этап
2.     Этап использования информационных технологий
3.     Подготовительный этап
4.     Мотивационно – ориентировочный этап
5.     Этап решения задач
6.     Этап разъяснения домашнего задания
7.     Подведение итогов.
Подготовительный этап.
Цель: актуализировать знания и умения необходимые для изучения нового материала.
На данном этапе эффектность мультимедийного сопровождения не сравнима с классическими приемами актуализации знаний. Приоритет мультимедийного сопровождения заключается в том что, воздействуя на все три канала восприятия, происходит активизация всех трех видов памяти: слуховой, зрительной и кинестетической. Активизация всех трех видов памяти в сумме дает более высокую эффективность актуализации знаний и умений. Кроме того, достаточно высокий темп актуализации знаний посредством мультимедийного сопровождения, дает возможность шире хватить знания и умения необходимые для урока. Так на пример при изучении темы «Горизонтальные, вертикальные и наклонный плоские поверхности», для успешного усвоения нового материала, на подготовительном этапе необходимо повторить тему «Горизонтальные, вертикальные отрезки и прямые».
Мотивационно-ориентировочный этап
Объединение мотивационного и ориентировочного этапов связано с тем, что мотивация происходит на всем этапе использования мультимедийного сопровождения. Непроизвольный интерес поддерживает анимация примеров и продуманное использование в мультимедийном сопровождении развивающего пользователя.
Пример урока
Тема: «Горизонтальные вертикальные, наклонные плоские поверхности».
Цели:
1)     Образовательная: Определить способ построения плоской вертикальной поверхности.
2)     Развивающая: Сформировать представление о горизонтально, вертикально и наклонно расположенных плоских поверхностях.
3)     Воспитательная: Формирование ситуативного интереса к изучению геометрии за счет использование мультимедийного сопровождения на уроке.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Оборудование: модели куба, демонстрационные модели фигур.
Ход урока.
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
I.                    Организационный этап.
II.                 Этап работы с мультимедийным сопровождением.
1)                   Подготовительный этап.
Сегодня мы поговорим о расположении поверхностей в пространстве. Для начала вспомним, как могут располагаться отрезки и прямые в пространстве.
Ребята откройте программу и выберите тему «Горизонтальные, вертикальные отрезки и прямые. Взаимно — перпендикулярные прямые»
 «Назовите на рисунке вертикально расположенные ребра куба »
«Покажите на рисунке горизонтально расположенные ребра куба »
«Назовите ребра взаимно перпендикулярные ребра для ребра ВМ расположенные ребра куба »

2)                   Ориентировочный этап
«Ребята откройте программу и выберите тему «Горизонтальные вертикальные, наклонные плоские поверхности. Посмотрим, что знает об этом Пушарик?»
«Расскажите, что вы узнали от Пушарика о расположении поверхностей?»
III.                      Этап решения задач
Покажите, горизонтально, вертикально, наклонно расположенные грани куба.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Можно ли продемонстрировать наклонные плоские поверхности на кубе?
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Найдите вокруг себя горизонтально, вертикально, наклонно расположенные плоские поверхности.
Расскажите о гранях этой фигуры.

Расскажите о гранях этой фигуры.
 
Как вы знаете, представление о вертикальных отрезках может дать отвес. А какой бы способ вы предложили строителям, которые хотят выложит из кирпичей вертикальную плоскую стену дома?

«Достаточно ли использовать только отвес? Не выложат ли строители круглую вертикальную башню, используя отвес».
 «Вывод: для построения плоской вертикальной стены необходимо использовать горизонтально натянутую нить, вдоль которой перемещается отвес»
«Положите карандаш на стол. Как он расположен?
Поверните карандаш по часовой стрелке. Изменилось его расположение?»
«Вывод: Любая прямая линия, расположенная на горизонтальной поверхности, является горизонтальной. Любой отрезок, расположенный на горизонтальной поверхности, является горизонтальным».
«Представьте, что карандаш закрепили на вертикальной поверхности можно ли сказать, что карандаш тоже расположен вертикально?»
«А если карандаш закрепить на наклонной поверхности может ли он быть вертикально расположен?»
«Представьте, что вы один раз обходите башню с часами, имеющую форму куба. Укажите те три изображения башни, которые вы могли бы наблюдать при обходе её с постоянной скоростью. За какое время вы обойдёте башню, если соответствующие изображения какой-либо стены башни зафиксированы в те моменты, когда вы находитесь на одном и том же расстоянии от последнего угла башни. Ответ обоснуйте, описав или изобразив четыре боковые стены башни с часами».
    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--4. Устойчивость пространственных представлений представляет степень свободы манипулирования образом с учетом той наглядной основы, на которой образ первоначально создавался. Свобода такого оперирования проявляется в легкости и быстроте перехода от одного вида наглядности к другому, в своеобразном перекодировании их содержания, что требует умения удерживать в памяти образ пространственного объекта и фиксировать изменения, происходящие в нем, умения анализировать образ пространственного объекта. Такая свобода оперирования характерна для развитых пространственных представлений, в то время как скованность каким-либо одним изображением, неумение увидеть то же самое на другом изображении свидетельствуют о недостаточном их развитии. При изучении геометрии устойчивость пространственных представлений способствует рассмотрению множества различных геометрических образов, в которых сохраняются существенные признаки и изменяются несущественные. Развитию этого показателя способствует широта и гибкость пространственного мышления
5. Полнота пространственных представлений характеризует структуру пространственного образа, то есть набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственное размещение (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов). Следовательно, в структуру образа геометрического объекта включаются представление о форме, величине геометрического объекта, взаимном его расположении относительно других объектов, или взаимном расположении его частей относительно друг друга. Развитию этого показателя способствует глубина и широта визуального мышления.
6. Динамичность пространственных представлений выражается в способности к произвольной смене точек отсчета, к произвольному изменению положения пространственного объекта, его элементов. Изменение систем отсчета позволяет найти такую позицию наблюдателя, с которой субъект, рассматривая пространственную фигуру, знакомиться и с плоскими фигурами, полученными как проекции пространственных на определенные плоскости. Динамичность образа геометрического объекта проявляется в способности не только его видоизменять, но и видеть в статическом изображении движение, перемещение объектов, способ их соединения, получения. Все эти преобразования выполняются уже в «мысленном пространстве», в то время как графические изображения остаются объективно неизменными.
7. Целенаправленность пространственного мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении задач, постоянно ориентируясь на поставленную цель, в стремлении отыскать кратчайший путь ее решения. Наличие этого качества важно при поиске плана решения задачи, при извлечении дополнительной информации из наглядности.
Опираясь на исследования педагогов, психологов и методистов, собственный опыт преподавания стереометрии, нами выделены и обобщены критерии сформированности пространственного воображения школьников 10-11-х классов:
1. Владение мыслительными операциями: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование и т.д.
2. Сформированность следующих умений:
ü  сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);
ü  анализировать образ геометрической конфигурации;
ü  синтезировать образ геометрической конфигурации;
ü  вычленять форму образа геометрического объекта;
ü  определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;
ü  определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;
ü  конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания.
На основе разработанных нами критериев и показателей сформированности пространственного воображения школьников с использованием информационных технологий, анализа педагогической, психологической и методической литературы, собственного опыта, возможностей использования информационных технологий, нами разработана дидактическая модель формирования пространственного воображения учащихся при изучении школьного курса стереометрии с использованием информационных технологий (рис. 1).

 


Задания среза можно представить следующим образом.
1. Какие из предложенных на рисунке фигур являются разверткой правильной 6-тиугольной призмы? (Ответ а))
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT
2. В кубе ABCDEFGH точки M, N и K расположены на ребрах EF, CG, AD соответственно так, что EM = MF, CN: NG = 1: 2, AK: KD = 1: 3. Построить сечение куба плоскостью MNK.
3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани — квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником.
4. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? (5) Какими геометрическими фигурами являются ее грани? (параллелограммами) Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? (да) Изобразите данную призму.
5. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
6. Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 40 и 30 см2. Угол между этими гранями прямой. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (AB= BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?
Констатирующий срез показал, что не все рассматриваемые умения сформированы на данном этапе у школьников.
·  с первым заданием справились 21 человек, что составляет 75%, частично справились 15%, не справились 10%;
·  со вторым заданием справились 38% учащихся, 18% частично справились, а 44% не справились с заданием;
·  с третьим заданием 55% полностью справились, 20% справились частично, 25% не справились;
·  с четвертым заданием 40% справились, 21% справились частично, 39% не справились;
·  с пятым заданием 43% справились, 27% справились частично, 30% не справились;
·   с шестым заданием 48% справились, 27% справились частично, 25% не справились;
·   с седьмым заданием 56% справились, 27% справились частично, 17% не справились (рис. 2).

Под термином «умение сформировано полностью» в данном случае понимается выполнение задания с обоснованием и пояснением ответа, а также хода решения. Под «умение сформировано частично» понимается выполнение задания с нечетким пояснением, либо с пропуском некоторых промежуточных рассуждений в ходе решения. Под «умение не сформировано» понимается невыполнение задания. Чаще всего ошибки возникали в заданиях второго, третьего и седьмого типов из-за определенной неподготовленности к решению такого типа заданий, а также из-за недостаточных теоретических знаний.
Для сравнения результатов констатирующего среза в качестве контрольной группы была взята параллельная группа ТП — 1. После проведенного аналогичного среза были получены следующие результаты.
·  с первым заданием справились 20 человек, что составляет 72%, частично справились 16%, не справились 12%;
·  со вторым заданием полностью справились 40% учащихся, 18% справились частично, а 42% не справились с заданием;
·  с третьим заданием 57% полностью справились, 23% справились частично, 20% не справились;
·  с четвертым заданием 47% справились, 15% справились частично, 38% не справились;
·  с пятым заданием 40% справились, 27% справились частично, 33% не справились;
·   с шестым заданием 45% справились, 30% справились частично, 25% не справились;
·   с седьмым заданием 60% справились, 23% справились частично, 17% не справились (рис. 3).

Как показывают полученные данные и в контрольной группе, и в экспериментальной результаты оказались практически одинаковыми. Но также результаты показали, что большинство ошибок было связано с недостаточной сформированностью пространственного воображения.
Таким образом, в данном параграфе представлена организация проведения разработанной методики, констатирующий срез, его результаты. Далее, более подробно остановимся на анализе каждого занятия проведенных уроков и выделим основные затруднения школьников. Этому посвящен следующий параграф.

2.2 Формирующий эксперимент На втором этапе эксперимента – формирующем – уточнялась гипотеза исследования, рассматривались основные положения курса геометрии в рамках компьютерного обучений; были разработаны входной и выходной контроли для определения уровня знаний, умений и навыков в начале и конце изучаемых тем с целью оценки степени усвоения знаний в процессе обучения и выяснения причин возникающих трудностей.
Данный этап был направлен на формирование и развитие пространственного воображения школьников с использованием информационных технологий.
Эксперимент по формированию пространственного воображения обучения стереометрии с использованием информационных технологий было решено провести на первом курсе Соликамского горно-химического техникума на примере разделов «Цилиндр», «Конус», «Сфера. Шар».
Обучение происходило по разработанной нами методике.
Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения стереометрии является использование упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. В ходе пространственных представлений обучаемый определяет порядок действий, пытается в уме выполнить некоторые из знакомых ему операций, рассмотреть возможные варианты решения задачи, прогнозировать результат. Каждый геометрический образ имеет определенную структуру, позволяющую зрительно выделить и проанализировать его логический «фундамент».
Нами выделены основные типы упражнений, ориентированные на формирование и развитие пространственных представлений при обучении геометрии:
— упражнения на исследование свойств геометрических объектов (узнавание);
— упражнения на изображение геометрических конфигураций (воспроизведение);
— упражнения на преобразование образов геометрических конфигураций (оперирование);
— упражнения на конструирование новых образов геометрических конфигураций.
Разработка данной типологии основана на видах деятельности, составляющих содержание процесса формирования и развития пространственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение, оперирование и конструирование пространственных представлений). Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать упражнения, решение которых требует использования средств наглядности (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словесным описанием и решаемые в воображении.
I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов
Суть этой группы упражнений состоит в следующем: пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Требуется исследовать его свойства — выделить форму, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.
а). Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или словесному описанию. Их основная цель — определить, принадлежит ли данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные пространственные представления и знания о них.
Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?
    продолжение
--PAGE_BREAK--Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?
Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани — квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?
б). Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.
Пример. ABCDEKMO — изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.
в). Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.).
Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются развертками данного куба?
г). Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.
Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости в, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно в стороны AD и CD параллелограмма?
Пример 2. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей  и . При этом р принадлежит. Как она может быть расположена относительно плоскости ?
Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.
В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.
Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.
II. Упражнения на изображение геометрических объектов
Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.
К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.
а). Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.
Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?
Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму.
б). Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.
Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:
Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:
Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:
Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам: треугольная пирамида; треугольная призма;
в). Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.
Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.
Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?
Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.
г). Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.
Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?
Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?
Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n — 1 вершины.
д). Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.
Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:
Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.
Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ — развертка.
III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований на плоскости и в пространстве
Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.
а). Задачи на отыскание множеств точек — образов при определенном геометрическом преобразовании точки.
Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?
б). Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.
Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на плоскости и в пространстве.
Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?
Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра симметрии.
в). Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.
Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.
Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.
Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.
г). Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.
Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К — середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?
IV. Упражнения на конструирование и моделирование новых образов геометрических объектов
Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или графического реконструирования и моделирования образ пространственных объектов.
Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом?
В процессе решения таких задач осуществляется конструирование качественно новых пространственных образов и новых отношений между ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовывать исходный образ по форме, величине, пространственному положению, то есть, их решение требует активного оперирования пространственными образами и высокого уровня развития пространственных представлений и воображения.
Совокупность данных упражнений можно рассматривать как одно из средств развития пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.
Методику формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи информационных технологий рассмотрим на примере изучения тел вращения.
Первые два занятия были посвящены изучению темы «Цилиндр». Эти уроки проводились в соответствии с программой, но на каждом уроке использовалась презентация по данной теме. На них были изучены основные понятия и определения, связанные с цилиндром, выведены формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра; рассмотрены типовые и более сложные задачи по изучаемой теме. [см. Приложение 1]
Далее в течение четырех уроков изучалась тема «Конус». Обучение происходило по той же схеме, что и тема «Цилиндр», а так же здесь был изучен усеченный конус и все определения и формулы, связанные с ним. Были решены задачи, как простейшие, так и более сложные. [ см. Приложение 2]
После чего изучалась тема «Сфера. Шар» (4 часа). [ см. Приложение 3]
В процессе изучения тем «Цилиндр», «Конус» и «Сфера. Шар» нам удалось охватить весь объем теоретической информации. Нами были рассмотрены и отработаны задания на отработку основных умений и навыков, которые являются основными в процессе формирования пространственного воображения. При решении упражнений возникшие затруднения сразу устранялись по мере их возникновения и решались подобные задания на закрепление пройденного материала. Они были достаточно интересны и разнообразны по своему содержанию, отличались новизной формулировок, а также тем, что необходимо было логически мыслить при поиске ответа на поставленный вопрос. На каждом занятие были использованы информационные технологии. Занятия дали положительный результат по формированию умений:
ü  сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);
ü  анализировать образ геометрической конфигурации;
ü  синтезировать образ геометрической конфигурации;
ü  вычленять форму образа геометрического объекта;
ü  определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;
ü  определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;
ü  конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания.
Для сравнения результатов констатирующего среза по формированию пространственного воображения был проведен контрольный срез. Ему посвящен следующий параграф.
2.3 Контрольный срез Для выявления уровня сформированности вышеперечисленных умений с учащимися был проведен контрольный срез и сопоставлен с констатирующим срезом. Контрольный срез также проводился в двух группах. Цель контрольного среза – проверить уровень сформированности пространственного воображения учащихся по сравнению с констатирующим срезом. Кроме того, по результатам решения заданий контрольного среза можно было судить об уровнях сформированности умений работать пространственными фигурами. Все задания объединяла общая цель – сформировать пространственное воображение учащихся с использованием информационных технологий при изучении стереометрии. В срезе содержалось семь заданий, направленных на выявление уровня сформированности пространственного воображения школьников 10 – 11-х классов. Рассмотрим задания одного из вариантов.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT
1. Какие из предложенных на рисунке фигур являются разверткой цилиндра? (Ответ а), б))
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
2. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6см. Определить площадь сечения, проходящего через эти три точки.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
3. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
4. Какая фигура образуется при вращении  вокруг оси (достроить). Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения  вокруг его стороны АС, если АС = 8см, ВС = 5см.
5. В конусе даны радиус основания R и высота H. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани – квадраты. Найдите ребро призмы.
6. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом. Найдите площадь основания конуса, если. ()
7. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен . Найдите площадь полной поверхности конуса.
Контрольный срез показал, что не все вышеуказанные умения оказались сформированы у школьников.
·  с первым заданием справились 95% учащихся, частично справились 5%, не справились 0%;
·  со вторым заданием справились 68% учащихся, 22% частично справились, а 10% не справились с заданием;
·  с третьим заданием 65% полностью справились, 30% справились частично, 5% не справились;
·  с четвертым заданием 74% справились, 23% справились частично, 3% не справились;
·  с пятым заданием 63% справились, 27% справились частично, 10% не справились;
·   с шестым заданием 58% справились, 27% справились частично, 15% не справились;
·   с седьмым заданием 66% справились, 27% справились частично, 7% не справились (рис. 4).


По сравнению с констатирующим срезом ошибок наблюдалось гораздо меньше.
В контрольном классе при проведении аналогичного контрольного среза результаты получились следующие:
·  с первым заданием справились 75% учащихся, частично справились 18%, не справились 7%;
·  со вторым заданием справились 48% учащихся, 35% частично справились, а 17% не справились с заданием;
·  с третьим заданием 55% полностью справились, 20% справились частично, 25% не справились;
·  с четвертым заданием 50% справились, 21% справились частично, 29% не справились;
·  с пятым заданием 50% справились, 28% справились частично, 22% не справились;
·   с шестым заданием 48% справились, 37% справились частично, 15% не справились;
·   с седьмым заданием 56% справились, 27% справились частично, 17% не справились (рис. 5).


Таким образом, в экспериментальной группе результаты улучшились, благодаря тому, что процесс обучения шел по разработанной методики с использованием информационных технологий.
Назовем те умения, которые оказались сформированы лучше остальных: сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью); анализировать образ геометрической конфигурации; вычленять форму образа геометрического объекта; конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Самым сложным оказалось проводить с учащимися работу по формированию умения синтезировать образ геометрической конфигурации; умения определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов; умения определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта. Причина того, что эти умения оказались сформированы хуже связана, прежде всего, с тем, что сами задания на эти умения достаточно сложны, а также сказывается недостаточный уровень сформированности логического мышления и пространственного воображения у учащихся 10 — 11 классов, который необходимо целенаправленно развивать, подбирая соответствующие задания и упражнения, приучая школьников рассуждать самостоятельно.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Таким образом, можно сделать вывод о том, что с помощью нашей методики вышеперечисленные умения в большей степени сформированы. На основе проведенных срезов и анализа занятий была сделана количественная и качественная оценка результатов проведенного апробирования.
Выводы по второй главе:
1. Для проверки эффективности разработанной методики использования информационных технологий как средства формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии была проведена работа по ее апробированию, состоящая из трех этапов: констатирующего среза, формирующего эксперимента, контрольного среза
2. В процессе констатирующего среза была проведена самостоятельная работа, результаты которой позволили сравнить уровень сформированости пространственного воображения учащихся контрольной и экспериментальной группы.
3. Результаты контрольного среза показали, что использование информационных технологий на различных этапах урока позволяет повысить уровень сформированности пространственного воображения учащихся.
4. Анализ результатов констатирующего и контрольного срезов позволяет сделать вывод об эффективности разработанной методики использования информационных технологий как средства формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии.
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Настоящее исследование посвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике — развитие пространственного мышления учащихся в процессе изучения геометрии. Основным средством для решения этой проблем был выбран компьютер, который позволил выделить новый вид учебной наглядности — компьютерная анимация, реализующаяся посредством пакета стандартных программ PowerPoint.
В соответствии с поставленными целями перед данной выпускной квалификационной работой и результатами, полученными в ходе исследования, можно сделать следующие выводы:
Анализ научно-методической литературы, посвященной вопросам формирования и развития пространственных представлений, позволил выделить основные психические и физиологические основы восприятия человеком объектов окружающего мира. В результате была выработана общая схема восприятия, которая легла в основу разработанной методики формирования пространственных представлений.
Была выявлена возможность применения компьютерной анимации в процессе формирования пространственных представлений. Компьютерная анимация заполнила некоторый пробел в процессе формирования пространственного образа геометрического объекта, она позволила осуществить плавный переход от натуральной вещественной модели к условно-графическому изображению — чертежу, что в значительной степени повышает уровень объективности пространственных представлений обучаемого.
Была разработана соответствующая методика формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации и дидактическая модель формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии с использованием информационных технологий. По результатам опытной работы можно сделать вывод о положительном влиянии разработанной методики на формирование пространственных представлений учащихся. Систематизация результатов научно — методических исследований позволила выявить условия формирования пространственных представлений обучаемых: использование различных видов деятельности, в первую очередь деятельности по решению специально подобранных упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых; взаимосвязь формирования пространственных представлений с развитием логического мышления и речи учащихся; использование рациональной системы средств наглядности. Как показала практика преподавания, учет и использование этих условий и приемов успешно способствует работе по развитию пространственных представлений обучаемых. Опытная работа по применению разработанной методики показала ее эффективность. Опытная работа доказала, что целенаправленное и рациональное внедрение в практику новой учебной наглядности — компьютерной анимации ведет к повышению уровня развития пространственных представлений учащихся.
Сделанные выводы дают основание полагать, что справедливость гипотезы исследования экспериментально подтверждена, все поставленные задачи исследования решены и цель достигнута.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.                             Азевич А.И. Несколько компьютерных программ [Текст] / А.И. Азевич // «Математика в школе» — 2002г. №10, — с. 41.
2.                             Арнхейм, Р. Визуальное мышление [Текст] / Р. Арнхейм // Хрестоматия по общей психологии. — М.: Изд-во МГУ, 1981. – с. 216.
3.                             Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учеб. для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов – М.: Дрофа, 2005. – 395с.
4.                             Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов – М.: Дрофа, 2005. – 204с.
5.                             Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов – М.: Дрофа, 2005. – 236с.
6.                             Брунер Дж. О понимании детьми принципа сохранения количества жидкого вещества // Исследование развития познавательной деятельности / Под ред. Дж. Брунера. — М.: Педагогика, 1971. — 250с.
7.                             Верещагина Н.Н. Преподавание математики в классе с компьютерной поддержкой [Текст] / Н.Н. Верещагина. — http:/centen fio.ru/
8.                             Величковский, Б.М. Психология восприятия [Текст] / Б.М. Величковский, В.П. Зинченко, А.Р. Лурия. — М., 1973. – 215с.
9.                             Виленкин Н.Я. Математика [текст] / Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало, В.Б.Рождественнская, Л.П.Лаврова — М.: Просвещение, 1997.-315с.
10.                        Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся [Текст] / Под ред. И.С. Якиманской. — М.: Педагогика, 1989.– с.142.
11.                        Выготский Л.С. Психология искусства [Текст] / Л.С. Выготский — М.: Искусство, 1987. – 198с.
12.                        Выготский Л.С. Педагогическая психология [Текст] / Л.С. Выготский. — М.: Педагогика-пресс, 1996. – 98с.
13.                        Гальперин П.Я., Эльконин Д.Б. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления: Послесловие [Текст] / Флейвелл Дж. Х. Генетическая психология Жана Пиаже. М.: Просвещение, 1967. — 621с.
14.                        Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум [Текст] / В.Я. Гельман. – Питер, 2003г. – с. 78.
15.                        Геометрия: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1994. – 207с.
16.                         Грайс Д.Графические средства персонального компьютера [Текст] / Д. Грайс. М.: Мир, 1989. – 123с.
17.                         Дубровский В. Н.Стереометрия с компьютером [Текст] / В.Н. Дубровский // «Компьютерные инструменты в образовании» — 2003. № 6, с. 34.
18.                         Дубровский В.Н. и др. Интерактивные стереочертежи к учебнику А.В. Погорелова / В.Н. Дубровский — www.mto.ru/katal/index.html.
19.                        Залогова Л. А. Практикум по компьютерной графике [Текст] / Л.А. Залогова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 178с.
20.                        ЗазнобинаЛ. С. Медиаобразование в современной российской школе [Текст] / Л.С. Зазнобина. Магистр. — 1995. — с. 17- 29.
21.                        Запорожец, А.В. Избранные психологические труды [Текст] / А.В. Запорожец. — М., 1986. –316 с.
22.                        Зинченко В.П. Исследование визуального мышления [Текст] / В.П. Зинченко // «Вопросы психологии» — 1973. №2., с. 56-73.
23.                        Зубрилин А. А., Пауткина О. И.Некоторые пути формирования пространственных представлений и пространственного воображения на уроках математики и информатики в средней школе [Текст] / А. А. Зубрилин, О. И. Пауткина // «Педагогическая информатика» — 2002. № 3, с. 34-45.
24.                        Кабанова — Меллер Е.Н. Анализ развития пространственного мышления школьников [Текст] / Е.Н. Кабанова — Меллер // «Советская педагогика» — 1956. №4, с. 28-38.
25.                        Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике [Текст] / И.Я. Каплунович. — Новгород, 1996. –243с.
26.                        Каплунович И.Я. Развитие структуры пространственного мышления[Текст] / И.Я. Каплунович // Вопросы психологии — 1986. № 2., С. 56 — 66.
27.                        Каплунович И.Я. Содержание мыслительных операций в структуре пространственного мышления [Текст] / И.Я. Каплунович // Вопросы психологии — 1987. № 6., С. 115 — 122.
28.                        Каплунович И.Я., Петухова Т.А. Пять подструктур математического мышления: как их выявить и использовать в преподавании [Текст] / И.Я. Каплунович, Т.А. Петухова // «Математика в школе». — 1998. № 5., С. 45 — 48.
29.                        Капустина Т.В. Компьютерная система «Mathematica 3.0» [Текст] / Т.В. Капустина // «Математика в школе» — 2003г. №7, стр. 37.
30.                        Кондрушенко Ю.М. Формирование пространственных представлений в связи с развитием логического мышления учащихся при изучении начал стереометрии: Автореф. дисс. канд. пед. Наук [Текст] / Ю.М. Кондрушенко. — М. — 1993. — 86с.
31.                        Котов Ю. В., Павлова А. А.Основы машинной графики: Учебное пособие для студентов худож.-граф. фак-тов пед. ин-тов [Текст] / Ю.В. Котов, А.А. Павлова. — М.: Просвещение, 1993. – 43с.
32.                        Линькова Н.П. К вопросу о развитии пространственного мышления [Текст] / Н.П. Линькова. — М.: Просвещение, 1991. — 127с.
33.                        Лурия, А.Р. Ощущения и восприятие [Текст] / А.Р. Лурия. — М., 1975. – 256с.
34.                        Лурия А.Р. Ум мнемониста. Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления [Текст] / А.Р. Лурия. М.: Изд-во МГУ, 1981. – 187с.
35.                        Мордухай-Болтовский Д.Д. Психология математического мышления. Вопр. филос. и психол. [Текст] / Д.Д. Мордухай — Болтовский. М., 1908. Кн. 4.
36.                        Мураховский В. И. Компьютерная графика: Популярная энциклопедия [Текст] / В.И. Мураховский. М.: АСТ-Пресс, 2002. – 156с.
37.                        Окулов С.М.Основы программирования [Текст] / С.М. Окулов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 234с.
38.                        ПетроваН. Новые технологии образования [Текст] / Н. Петрова // «Вестник Российского Гуманитарного Научного Фонда» — 1996. №1, — с. 154-162.
39.                        Петрова Н. Компьютерная графика и анимация на персональном компьютере / Н. Петрова // CD-ROM «Энциклопедия персонального компьютера», R-Style, 1996.
40.                        Петросян В.Г., Газарян Р.М. Решение задач на построение в Paintbrush [Текст] / В.Г. Петросян, Р.М. Газарян // «Информатика и образование». — 2005. №1, с. 34-45.
41.                        Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2000. – 383с.
42.                        Пиаже Ж. Структура интеллекта: Избр. психол. труды [Текст] / Ж. Пиаже. — М.: Просвещение, 1969. С. 55 — 231.
43.                        Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия [Текст] / Ж. Пиаже // «Вопросы психологии». — 1964. № 6, с. 121 — 126.
    продолжение
--PAGE_BREAK--44.                        Поддьяков Н.Н. Формирование у дошкольников способности наглядно представлять перемещения предметов в пространстве [Текст] / Под ред. А.В. Запорожца и А.П. Усовой. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. – 265с.
45.                        Резник, Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики [Текст] / Н.А. Резник, М.И. Башмаков // «Математика в школе». — 1981. — №1, с. 4-7.
46.                        Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л. Рубинштейн. — СПб.: Питер, 2002. — 720с.
47.                        Семакин И. Г., Шестаков А. П.Основы программирования [Текст] / И.Г. Семакин. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. – 317с.
48.                        Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур с помощью «Adobe illustrator» [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов // л «Математика в школе».- 2002г. №10, с.46.
49.                        Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. — М.: Дрофа, 2003г. – 365с.
50.                        Соловьев М. Трехмерный мир 3D Studio Max 5.0: Самоучитель пользователя [Текст] / М. Соловьев. — М.: Солон-Пресс, 2002. – 425с.
51.                        Третьяк Т.М., Егоренкова И.Д. Преподавание геометрии в 7-8 классах использованием информационных технологий [Текст] / Т.М. Третьяк, И.Д. Егоренкова. — ito.bitpro.ru/1998-1999/firms.html.
52.                        Угринович Н.Д.Информатика и информационные технологии: Учебник для 10—11 классов [Текст] / Н.Д. Угринович. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. – 279с.
53.                        Феоктистов Т.И. Графический редактор PAINT [Текст] / Т.И. Феоктистов // «Математика в школе». — /2003г. №7, с.41.
54.                        Чашук И.В. Компьютерные технологии на уроках математики [Текст] / И.В. Чашук. — ito. bitpro.ru/1998-1999/c.html.
55.                        Чуприкова Н.И. О природе феноменов несохранения в задачах Пиаже [Текст] / Н.И. Чуприкова // «Вопросы психологии». — 1988. № 6, с.41— 52.
56.                        Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение (Психологические основы развивающего обучения) [Текст] / Н.И. Чуприкова. — М.: АО «Столетие», 1995. – 196с.
57.                        Шафрин Ю. А.Информационные технологии: В 2 ч. Ч. 2: Офисная технология и информационные системы [Текст] / Ю.А. Шафрин. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 423с.
58.                        Шемякин Ф.Н. Ориентация в пространстве. Психологическая наука в СССР [Текст] / Ф.Н. Шемякин. — М., 1959. С. 140 — 142.
59.                        Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников [Текст] / И.С. Якиманская. — М.: Просвещение, 1980. – 325с.

Приложение 1 Конспект урока по теме «Цилиндр. Решение задач»
Тема: Понятие цилиндра. Решение задач (2часа).
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Ø  ввести понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов;
Ø  выведение формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра;
Ø  рассмотрение типовых задач по изучаемой теме;
Ø  формирование навыков решения задач на нахождение элементов цилиндра,
Ø  способствовать развитию пространственного воображения и речи учащихся.
Задачи:
1. Познакомить учащихся с понятиями цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов (боковая поверхность, основания, образующие, ось, высота, радиус);
2. Научить учащихся выводить формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра;
3. Научить учащихся решать задачи на нахождение элементов цилиндра, площади поверхности цилиндра;
4. Работа на готовых чертежах;
5. Закрепить знания и умения учащихся по изучаемой теме.
Этапы урока:
1.Организационный момент – 2 мин.
2. Актуализация опорных знаний – 10 мин.
3. Изучение нового материала — 10 мин.
4. Закрепление нового материала — 25 мин.
5. Решение задач – 25 мин.
6. Итог урока — 4 мин.
Дидактические материалы и оборудование: Доска, мел, компьютер, проектор, учебник.
Ход урока
1.                Организационный момент.
— Здравствуйте, садитесь.
Открываем тетради, записываем тему нашего урока «Понятие цилиндра. Решение задач». Сегодня на уроке мы введем понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов; выведем формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра; рассмотрим типовые задачи по изучаемой теме, а также решим более сложные задачи.
2.                Актуализация опорных знаний.
Перед тем, как изложить новый материал, необходимо проверить знания по теме «Круг. Окружность», которая нам потребуются при изучении нашей темы. В ходе фронтального опроса учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:
1. Назовите знакомые вам фигуры вращения (круг, окружность)
2. Чем отличается круг от окружности?
3. Дан отрезок АВ. Какая фигура получится при вращении вокруг точки А точки В? (окружность)
5. Какую фигуру образует отрезок АВ при вращении его вокруг точки А? (круг с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АВ)
6. Какой многоугольник называется вписанным (описанным) в окружность?
— Какие предметы окружающей остановки напоминают вам цилиндр?
3.                Изучение новой темы.
— Дает определение цилиндрической поверхности, цилиндра и его изображение на плоскости. Показывает слайд 1.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
— Рассматривает варианты получения цилиндра, слайд 2.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
— Понятие осевого сечения цилиндра, формулировка его свойств, слайд 3.
— Докажите устно эти свойства.
-Рассматривает неосевые сечения цилиндра: сечения цилиндра плоскостью, параллельной и перпендикулярной оси цилиндра (слайды 4 и 5).

 SHAPE  \* MERGEFORMAT —
Вводит понятие касательной плоскости цилиндра (слайд 6).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
— Ребята как вы думаете, что собой представляет развертка цилиндра? Показывает слайд 7.
-Вместе с учениками выводит формулу площади боковой и полной поверхностей цилиндра.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Закрепление нового материала.
Для того чтобы выяснить, как учащиеся усвоили новый материал, им предлагается ответить на следующие вопросы, ответы на которые обсуждаются всем классом:
1. Укажите среди окружающих вас предметов в природе, технике объекты, имеющие формы цилиндра.
2. При вращении какой фигуры получается цилиндр?
3. Я буду показывать основные элементы цилиндра, а вы их называете.
4. Может ли осевое сечение быть: прямоугольником; квадратом; трапецией? почему?
5. Цилиндр катится по плоскости. Какая фигура получается при движении его оси?
4.                Решение задач.
— А сейчас давайте начнем решать задачи. Сначала решим четыре задачи на готовых чертежах устно (слайды 8 — 11).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT     продолжение
--PAGE_BREAK--

Хорошо, а теперь следующие задачи решаем письменно (слайды 12-14).
— А сейчас открывайте учебники и начинаем решать задачи №2, №3, №5 [41, с. 334].
№2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
№3. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
№5. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
5.                Итог урока
— Итак, ребята, на этом уроке вы познакомились с понятиями цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементами. Вывели формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра и научились применять эти формулы при решении задач. Запишите домашнее задание П. 181 — 183, №4, №6 [41, с. 334]. Спасибо за урок, до свидания.

Приложение 2 Конспект урока по теме «Конус»
Тема: Конус (4 часа).
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Ø  формирование понятий конической поверхности, конуса, усеченного конуса и их элементов;
Ø  умение работать с рисунком и читать его;
Ø  выведение формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса;
Ø  рассмотрение типовых задач по изучаемой теме;
Ø  формирование навыков решения задач на нахождение элементов конуса, площади поверхности конуса;
Ø  способствовать развитию пространственного воображения и речи учащихся.
Задачи:
1. Познакомить учащихся с понятиями конической поверхности, конуса, усеченного конуса;
2. Научить учащихся выводить формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;
3. Закрепить навык работы с данными формулами при решении типовых задач;
4. Работа на готовых чертежах;
5. Закрепить знания и умения учащихся по изучаемой теме.
Этапы урока:
1.Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление нового материала.
5. Историческая справка.
6. Усеченный конус.
7. Решение задач.
8. Итог урока.
Дидактические материалы и оборудование: Доска, мел, компьютер, проектор, учебник.
Ход урока
1.                Организационный момент.
— Здравствуйте, садитесь.
 Открываем тетради, записываем тему нашего урока «Конус». Сегодня на уроке мы введем понятия конической поверхности, конуса; рассмотрим типовые задачи по изучаемой теме.
2.                Актуализация опорных знаний.
Перед тем, как изложить новый материал, необходимо проверить знания по теме «Круг. Окружность», «Цилиндр», которые нам потребуются при изучении нашей темы. В ходе фронтального опроса учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:
1. Назовите знакомые вам фигуры вращения (круг, окружность, цилиндр).
2. Чем отличается круг от окружности?
3. Дан отрезок АВ. Какая фигура получится при вращении вокруг точки А точки В? (окружность)
4. Какую фигуру образует отрезок АВ при вращении его вокруг точки А? (круг с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АВ)
5. Какой многоугольник называется вписанным (описанным) в окружность (около окружности)?
6. Дайте определение цилиндра.
7. Какие предметы окружающей остановки напоминают вам цилиндр?
8. Назовите и покажите основные элементы цилиндра.
3.                Изучение новой темы.
Сегодня мы рассматриваем пространственную геометрическую фигуру — «круглое», геометрическое тело — конус (слайд 1).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

А теперь запишем определение новых понятий в тетрадях по теории и построим чертеж конуса.
Конической поверхностью называется поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой перпендикуляра, проведенного к плоскости окружности через ее центр. Эти отрезки называются образующими конической поверхности.
Изображение конуса на чертеже (слайд 2)
Комментарий учителя к построению: изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. Здесь, граница круга — окружность — изображается на плоскости эллипсом.
Сообщает, что конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (слайд 3)
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

 SHAPE  \* MERGEFORMAT  
— Ребята как вы думаете, что собой представляет развертка цилиндра? Показывает слайд 4.
— Дается определение сечения, и рассматривают различные сечения конуса: (слайды 5 -7)
1)     Сечение, проходящее через ось конуса, называется осевым. Какую фигуру представляет это сечение? (равнобедренный треугольник);
2)     Сечение, проходящее через вершину конуса но не ось, — треугольник. Какой вид у треугольника? Чем являются боковые стороны?
3)     Сечение, перпендикулярное оси конуса, — круг, (S1). Как найти коэффициент подобия сечения и основания? Как по радиусу основания найти радиус сечения?
4)     Сечение плоскостью, пересекающей все обра­зующие, — эллипс.(S2)
5)     Сечение плоскостью, параллельной двум обра­зующим конуса, — гипербола (S3)
6)     Сечение плоскостью, параллельной одной образующей, — парабола (S4)
— Вводит понятие касательной плоскости. (слайд 8)
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Закрепление нового материала.
— Назвать две образующие конуса, сравнить их. Сделать вывод. (Добиться от учеников вывода равенства двух образующих конуса.)
— Назвать углы наклона образующих конуса к плоскости основания, сравнить их. (Доказательство равенства углов.)
— Каков угол между осью конуса и основанием. Почему?
— Каков вид треугольника АОР? (слайд 9)
— Каким способом можно получить конус?
4.                Историческая справка
Исторически появление эллипса, параболы и гиперболы связано с изучением конических сечений математиками Древней Греции. Основной труд Апполония Пергского так и назывался — «Конические сечения» (III век до н.э.). Эти кривые интересны еще и тем, что траектория движения небесных тел происходит по одной из этих кривых. Это так же траектория движения космических ракет.
5.                Усеченный конус.
Сегодня мы познакомимся еще с одной геометрической фигурой и ее свойствами. Посмотрите на экран, там вы видите модель конуса. Проведем секущую плоскость, перпендикулярно оси конуса (слайд 10). Эта плоскость разбивает наш конус на две части. Одна часть – это меньший конус, а другая называется усеченным конусом. А теперь изучим модель усеченного конуса (слайд 11).
6.                Решение задач.
— А сейчас давайте начнем решать задачи по изученной теме. Сначала решим задачи на готовых чертежах (слайды 12-15).

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
 SHAPE  \* MERGEFORMAT