Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 8 Векторный анализ (разное)

Задача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .

- искомый угол.

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле .

Дифференциальные уравнения векторных линий поля :

Задача 4. Найти поток векторного поля через поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью .

Задача 6. Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью

Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Задача 8. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Перейдем к цилиндрической системе координат

Задача 9. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса.

Цилиндрический системы координат

Отсюда,

Задача 10. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

отрезок

1)

2)

Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра

Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура .

Формула Стокса