--PAGE_BREAK--Вид урока: Лекция.
Продолжительность: 2 часа.
Цели:1) Изучить новый метод решения матричных игр.
2) Научить пользоваться программой Mapleпри решении матричных игр графоаналитическим методом.
1 этап: дать краткое описание графоаналитического метода.
2 этап: показать данный метод на примерах.
3 этап:закрепить новый материал и дать домашнее задание.
Ход занятия.
1 этап. Для некоторых классов матричных игр практический интерес представляет графоаналитический метод. Этот метод состоит из двух частей. С начало в матричной игре графически выявляются качественные особенности решения, затем полная характеристика решения находиться аналитически.
Данный метод решения применяется в тех задачах, в которых у одного из игроков ровно две стратегии.
В основе этого метода лежит утверждение, что maxminf(x,y) =minmaxf(x,y) = Vв.
2 этап. Рассмотрим данный метод на задаче под названием «орлянка»
Пример 6.1: Два игрока независимо друг от друга называют числа, если оба числа имеют одинаковую четность, то один получает рубль, если разные, то рубль получает второй.
Решение: Данная игра представлена матрицей А
Здесь игрок 1 и 2 имеет две чистые стратегии. Решаем игру с позиции первого игрока.
Пусть его стратегия х = (α, 1-α), 0 ≤α≤1.
Вычислим хА=(α, 1-α)(1 -1)= (α- (1-α), -α+1-α)=(2α-1, 1-2α). (-1 1)
Обозначим f2(α)=2α-1 и f2(α)=1-2α.
Найдем maxmin(f1 (α), f2 (α))= max( min(2α-1, 1-2α)).
Для нахождения максимина приведем графическую иллюстрацию (1)
Вначале для каждого α € [0,1] найдем min(2α-1, 1-2α). На рисунке (1) такие минимумы для каждого α € [0,1] образуют ломанную – нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка достигает при α € [0,1], которое является решением уравнения f1 = f2 , т.е. 2α-1= 1-2α. Здесь α=1/2. Вторая координата точки Pбудет 2*1/2-1=0. итак P(1/2, 0). В смешанном расширении данной игры max( min(2α-1, 1-2α))=0.
Максиминная стратегия первого игрока хн = (α, 1-α)=(1/2, 1/2). По аналогичной схеме найдем минимаксную стратегию второго игрока. Его стратегию обозначим y=(β, 1-β), 0≤β≤1.
Вычислим Аy=( 2β-1, 1-2β).
Обозначим f1(β)= 2β-1, f2(β)= 1-2β
Найдем minmax(f1(β), f2(β))= min(max(2β-1, 1-2β)).
Проведем геометрическую иллюстрацию на рисунке 2.
Для каждого β€[0,1] найдем min(2β-1, 1-2β).
На рисунке (2) такие минимумы для каждого β € [0,1] образуют ломанную – верхнюю огибающую RST. Затем на огибающей находим наименьшее значение, которое будет в точке S. Координаты точки S(1/2,0).
В смешанном расширении данной игры min(max(2β-1, 1-2β))=0.
YВ=( β, 1-β)=(1/2, 1/2) и выполняется условие, что
VH= maxminаij=minmaxаij= Vв. Значит цена игры V* =0 и седловая точка равна (х*, у*) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)).
Ответ: (х*, у*)=((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)), V* =0.
3 этап. Учитель повторяет последовательность решения данной задачи графоаналитическим методом. Дает домашнее задание.
Домашнее задание: придумать каждому ученику 1 задачу, чтобы она решалась графоаналитическим методом.
Задача:
Графоаналитическим методом найти цену и седловую точку матричной игры, заданную матрицей выигрыша первого игрока.
> with(simplex):
> A := Matrix(4,4, [[4, 2,3,-1],[-4,0,-2,2],[-5,-1,-3,-2],[-5,-1,-3,-2]]);
>
C:={ A[1,1]*x+A[1,2]*y+A[1,3]*z+A[1,4]*t
A[2,1]*x+A[2,2]*y+A[2,3]*z+A[2,4]*t
A[3,1]*x+A[3,2]*y+A[3,3]*z+A[3,4]*t
Ø X:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE );
> f_max:=subs(X,f);
>
> XX:=X*V;
>
Ø C1:={ A[1,1]*p1+A[2,1]*p2+A[3,1]*p3+A[4,1]*p4 >=1,
Ø A[1,2]*p1+A[2,2]*p2+A[3,2]*p3+A[4,2]*p4 >=1,
Ø A[1,3]*p1+A[2,3]*p2+A[3,3]*p3+A[4,3]*p4
Ø >=1,A[1,4]*p1+A[2,4]*p2+A[3,4]*p3+A[4,4]*p4 >=1};
Ø Y:=minimize(f1,C1 ,NONNEGATIVE);
>
>
Ø YY:=V*Y;
>
> VV:=XX*V*L;
Занятие №3 Решение систем неравенств графическим методом
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока:Лекция, урок решения задач.
Продолжительность:2 часа.
Цели:1) Изучить графический метод.
2) Показать применение программы Mapleпри решении систем неравенств графическим методом.
3)Развить восприятие и мышление по данной теме.
План занятия: 1 этап: изучение нового материала.
2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.
3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.
продолжение
--PAGE_BREAK--Ход занятия.
1 этап: Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.
В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.
Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:
1. На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:
Так как и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти. Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).
Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений.
Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ∞, либо min(f)= -∞.
2. Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.
Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что f(C)=f(4;1)=19 – максимум функции.
Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.
В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа a от -∞ до +∞ прямые f=a смещаются по вектору нормали[1]. Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X – первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум f на множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а→-∞ прямая f=a пересекает множество допустимых решений, то min(f)= -∞. Если это происходит при а→+∞, то max(f)=+ ∞.
В нашем примере прямая f=a пересевает область ABCDE в точке С(4;1). Поскольку это последняя точка пересечения, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.
2 этап.
Задача:
Решить графически систему неравенств. Найти угловые решения.
x1+ 2x2
2x1+x2
x1+3x2>=3
5x1-x2>=-5
x1+6x2>=6
x1>= 0, x2>=0
> restart;
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> with(plots);
> with(plottools);
>
> S1:=solve( {f1x[1, 1] = X6[1, 1], f2x[1, 1] = X6[1, 2]}, [x, y]);
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Ответ: Все точки Si где i=1..10 для которых x и y положительна.
Область, ограниченная данными точками: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)
3 этап. Каждому ученику даётся один из 20 вариантов, в котором ученику предлагается самостоятельно решить неравенство графическим методом, а остальные примеры в качестве домашнего задания.
Занятие №4 Графическое решение задачи линейного программирования
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока:Лекция + урок решения задач.
Продолжительность:2 часа.
Цели: 1) Изучить графическое решение задачи линейного программирования.
2) Научить пользоваться программой Mapleпри решении задачи линейного программирования.
2) Развить восприятие, мышление.
План занятия: 1 этап: изучение нового материала.
2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.
3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.
Ход занятия.
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклуюфигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.
Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство
можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)
ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения Lповлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см.рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.
Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора совпадает с направлениемвозрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направлениеубывания ЦФ противоположно направлению вектора.
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня , соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.
При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.
Рисунок 2.1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи.
продолжение
--PAGE_BREAK--