--PAGE_BREAK--2. Рівномірний розподіл, розподіл Пуассона, експоненціальний розподіл, нормальний розподіл та їх застосування
Основною метою аналізу варіаційних рядів є виявлення закономірності розподілу, виключаючи при цьому вплив випадкових для даного розподілу чинників. Цього можна досягти, якщо збільшувати об'єм досліджуваної сукупності і одночасно зменшувати інтервал ряду. При спробі зображення цих даних графічно ми отримаємо деяку плавну криву лінію, яка для полігону частот буде деякою межею. Цю лінію називають кривою розподіли.
Іншими словами, крива розподілу є графічне зображення у вигляді безперервної лінії зміни частот у варіаційному ряду, яке функціонально пов'язане із зміною варіант. Крива розподілу відображає закономірність зміни частот за відсутності випадкових чинників. Графічне зображення полегшує аналіз рядів розподілу
Відомо достатньо багато форм кривих розподілів, по яких може вирівнюватися варіаційний ряд.
РІВНОМІРНИЙ розподіл (прямокутний розподіл) — розподіл вірогідності випадкової величини Х, що набуває значення з деякого інтервалу з постійною щільністю вірогідності.
Випадкова величина має рівномірний безперервний розподіл на відрізку [а,b], якщо
Інтегруючи визначену вище щільність, отримуємо функцію розподілу
Основні моменти безперервного рівномірного розподілу:
РОЗПОДІЛ ПУАССОНА моделює випадкову величину, що є числом подій, подіям за фіксований час, за умови, що дані події відбуваються з деякою фіксованою середньою інтенсивністю і незалежно один від одного. Розподіл Пуассона грає ключову роль в теорії масового обслуговування.
Виберемо фіксоване число λ> 0 і визначимо дискретний розподіл, що задається наступною функцією вірогідності:
Функція вірогідності :
Функція розподілу
Функція моментів розподілу Пуассона, що проводить, має вигляд:
Звідки
ПОКАЗОВИЙ РОЗПОДІЛ — абсолютно безперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними звершеннями однієї і тієї ж події.
Випадкова величина X має експоненціальний розподіл з параметром λ> 0, якщо її щільність має вигляд
Іноді сімейство експоненціальних розподілів параметризують зворотним параметром 1 / λ:
Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.
Інтегруючи щільність, отримуємо функцію експоненціального розподілу:
Функція моментів для експоненціального розподілу має вигляд:
звідки отримуємо всі моменти:
Зокрема
НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ, який також називають розподілом Гауса, — розподіл вірогідності, який грає найважливішу роль в багатьох галузях знань, особливо у фізиці. Фізична величина підкоряється нормальному розподілу, коли вона схильна до впливу величезного числа випадкових перешкод. Ясно, що така ситуація украй поширена, тому можна сказати, що зі всіх розподілів в природі найчастіше зустрічається саме нормальний розподіл — звідси і походить одна з його назв.
Нормальний розподіл залежить від двох параметрів — зсуву і масштабу, тобто є з математичної точки зору не одним розподілом, а цілим їх сімейством. Значення параметрів відповідають значенням середнього (математичного очікування) і стандартного відхилення.
Стандартним нормальним розподілом називається нормальний розподіл з математичним очікуванням 0 і стандартним відхиленням 1.
Щільність вірогідності нормального розподілу
Функція розподілу
Функція моментів нормального розподілу має вигляд
Нормальні розподіли утворюють масштабно-зсувне сімейство. При цьому параметром масштабу є d = 1/ , а параметром зсуву c = — m/ .
За допомогою нормального розподілу визначаються три розподіли, які в даний час часто використовуються при статистичній обробці даних.
РОЗПОДІЛ ПІРСОНУ (хі — квадрат) — розподіл випадкової величини
де випадкові величини X1, X2., Xnнезалежні і мають один і той же розподіл N(0,1).
Розподіл хі-квадрат використовують при оцінюванні дисперсії (за допомогою довірчого інтервалу), при перевірці гіпотез згоди, однорідності, незалежності, перш за все для якісних (категорізованих) змінних, що приймають кінцеве число значень, і в багатьох інших завданнях статистичного аналізу даних.
РОЗПОДІЛ СТЬЮДЕНТА — це розподіл випадкової величини
де випадкові величини U і X незалежні, U має розподіл стандартний нормальний розподіл N(0,1), а X — розподіл хі — квадрат з n мірами свободи. При цьому n називається «Числом мір свободи» розподілу Стьюдента.
Розподіл Стьюдента був введений в 1908 р. англійським статистиком Ст. Госсетом, що працював на фабриці, що випускає пиво. Ймовірносно-статистичні методи використовувалися для ухвалення економічних і технічних рішень на цій фабриці, тому її керівництво забороняло В. Госсету публікувати наукові статті під своїм ім'ям. У такий спосіб охоронялася комерційна таємниця, «ноу-хау» у вигляді ймовірносно-статистичних методів, розроблених Ст. Госсетом. Проте він мав можливість публікуватися під псевдонімом «Стьюдент». Історія Госсета — Стьюдента показує, що ще сто років тому менеджерам Великобританії була очевидна велика економічна ефективність ймовірносно-статистичних методів.
В даний час розподіл Стьюдента — один з найбільш відомих розподілів серед використовуваних при аналізі реальних даних. Його застосовують при оцінюванні математичного очікування, прогнозного значення і інших характеристик за допомогою довірчих інтервалів, по перевірці гіпотез про значення математичних очікувань, коефіцієнтів регресійної залежності, гіпотез однорідності вибірок і так далі
Розподіл Фішера — це розподіл випадкової величини
де випадкові величини Х1 і Х2 незалежні і мають розподіли хі — квадрат з числом мір свободи k1і k2відповідно. При цьому пара (k1, k2) — пара «чисел мір свободи» розподілу Фішера, а саме, k1— число мір свободи чисельника, а k2— число мір свободи знаменника. Розподіл випадкової величини F названий на честь великого англійського статистика Р.Фішера (1890-1962), що активно використав його в своїх роботах.
Розподіл Фішера використовують при перевірці гіпотез про адекватність моделі в регресійному аналізі, про рівність дисперсій і в інших завданнях прикладної статистики.
Виразу для функцій розподілу хі — квадрат, Стьюдента і Фішера, їх щільності і характеристик, а також таблиці, необхідні для їх практичного використання, можна знайти в спеціальній літературі.
Якщо потрібно отримати теоретичні частоти f' при вирівнюванні варіаційного ряду по кривій нормального розподілу, то можна скористатися формулою
де - сума всіх емпіричних частот варіаційного ряду; h — величина інтервалу в групах; — середнє квадратичне відхилення; — нормоване відхилення варіантів від середньої арифметичної; решта всіх величин легко обчислюється по спеціальних таблицях.
За допомогою цієї формули ми отримуємо теоретичний (імовірнісне) розподіл, замінюючи ним емпіричний (фактичне) розподіл, по характеру вони не повинні відрізнятися один від одного.
Порівнюючи отримані величини теоретичних частот f' з емпіричними (фактичними) частотами f, переконуємося, що їх розбіжності можуть бути вельми невеликі.
Об'єктивна характеристика відповідності теоретичних і емпіричних частот може бути отримана за допомогою спеціальних статистичних показників, які називають критеріями згоди.
Для оцінки близькості емпіричних і теоретичних частот застосовуються критерій згоди Пірсону, критерій згоди Романовського, критерій згоди Колмогорова[1].
Найбільш поширеним є критерій згоди К. Пірсона, який можна представити як суму відносин квадратів розбіжностей між f' і f до теоретичних частот:
Обчислене значення критерію необхідно порівняти з табличним (критичним) значенням. Табличне значення визначається по спеціальній таблиці, воно залежить від прийнятої вірогідності Р і числа мір свободи до (при цьому до = m — 3, де m — число груп у ряді розподілу для нормального розподілу). При розрахунку критерію згоди Пірсону повинна дотримуватися наступна умова: достатньо великим повинне бути число спостережень (n50), при цьому якщо в деяких інтервалах теоретичні частоти 5.
Якщо, то розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами розподілу можуть бути випадковими і припущення про близькість емпіричного розподілу до нормального не може бути знехтуване.
В тому випадку, якщо відсутні таблиці для оцінки випадковості розбіжності теоретичних і емпіричних частот, можна використовувати критерій згоди В.І. Романовського КРом, який, використовуючи величину , запропонував оцінювати близькість емпіричного розподілу кривої нормального розподілу за допомогою відношення
де m — число груп; до = (m — 3 ) — число мір свободи при численні частот нормального розподілу.
Якщо вищезгадане відношення 3, то розбіжності можуть бути достатньо істотними і гіпотезу про нормальний розподіл слід відкинути.
Критерій згоди А.Н. Колмогорова використовується при визначенні максимальної розбіжності між частотами емпіричного і теоретичного розподілу, обчислюється за формулою
де D — максимальне значення різниці між накопиченими емпіричними і теоретичними частотами; — сума емпіричних частот.
По таблицях значень вірогідності — критерію можна знайти величину , відповідну вірогідності Р. Еслі величина вірогідності Р значительна по відношенню до знайденої величини, то можна припустити, що розбіжності між теоретичним і емпіричним розподілами неістотні.
Необхідною умовою при використанні критерію згоди Колмогорова є достатньо велике число спостережень (не менше ста).
продолжение
--PAGE_BREAK--3. Використання рядів розподілу при дослідженні банківської системи
За первинними даними щодо розміру кредитування юридичних осіб установами комерційних банків України станом на 01/01/2009 р, наведеними в додатку 1, побудуємо статистичний ряд розподілу та розрахуємо основні показники ряду розподілу.
Визначимо кількість груп, скориставшись формулою Стерджесса:
Визначимо розмір інтервалу, скориставшись формулою:
Визначимо верхні та нижні границі інтервалів, а також кількість статистичних одиниць, які потрапили до кожного інтервалу:
№ інтервалу
Нижня границя інтервалу
Верхня границя інтервалу
Кількість статистичних одиниць
Частота повторення
1
17,96
3250,95
110
0,81
2
3250,95
6483,94
12
0,09
3
6483,94
9716,93
7
0,05
4
9716,93
12949,92
2
0,01
5
12949,92
16182,91
2
0,01
6
16182,91
19415,9
0,00
7
19415,9
22648,89
1
0,01
8
22648,89
25881,9
2
0,01
На основі цих даних будуємо гістограму розподілу установ банків за сумою наданих юридичним особам кредитів:
Графік 1 — Гістограма розподілу установ банків
Таблиця 1 — Розрахуємо основні показники варіаційного ряду, виконавши додаткові розрахунки:
№ інтервалу
Нижня границя інтервалу
Верхня границя інтервалу
1
17,96
3250,95
0,809
601,1555
2
3250,95
6483,94
0,088
5143,238
3
6483,94
9716,93
0,051
7918,739
4
9716,93
12949,92
0,015
11389,66
5
12949,92
16182,91
0,015
13725,71
6
16182,91
19415,9
0,000
7
19415,9
22648,89
0,007
21522,94
8
22648,89
25881,9
0,015
24852,86
Середній розмір кредитування юридичних осіб установами банків України визначаємо за формулою середньої арифметичної зваженої:
млн… грн..
Дисперсія:
Середнє квадратичне відхилення:
Коефіцієнт варіації
— свідчить про неоднорідність досліджуваної сукупності.
Мода:
млн… грн..
Таким чином, найбільша кількість українських банків кредитують юридичних осіб в інтервалі від 17,96 до 3250,95 млн. грн., який і є модальним.
Медіана:
млн… грн..
Таким чином, половина установ банків України кредитують юридичні особи у розмірі меншому за 2016,59 млн. грн.., а половина – на більшу суму.
Візуальний аналіз гістограми розподілу свідчить про те, що функція розподілу установ банків за розміром кредитів, наданих юридичним особам, нагадує показниковий (експоненціальний) або логнормальний розподіл.
Перевіримо гіпотезу про експоненціальний розподіл сукупності (при
За формулою щільності ймовірності експоненціального розподілу
Таблиця 1 — Знаходимо теоретичні частоти розподілу
Для оцінки близькості емпіричних та теоретичних частот використаємо критерій Пірсона:
Обчислене значення критерію необхідно порівняти з табличним (критичним) значенням. Критичне значення критерію персона при рівні значущості 0,05 та мірі свободи дорівнює 2,57.
Оскільки табличне значення критерію Персона більше за критичне, то розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами розподілу не можуть бути випадковими і припущення про близькість емпіричного розподілу до експоненціального повинно бути відхилено.
Перевіримо гіпотез про логнормальний закон розподілу.
Логнормамльний розподіл в теорії вірогідності — це двохпараметричне сімейство абсолютно безперервних розподілів. Якщо випадкова величина має логнормальний розподіл, то її логарифм має нормальний розподіл.
Функція щільності ймовірності логнормального розподілу має вигляд
Графік щільності ймовірності логнормального розподілу
Таблиця 1 — Теоретичні частоти ряду розподілу:
Для оцінки близькості емпіричних та теоретичних частот використаємо критерій Пірсона:
Обчислене значення критерію необхідно порівняти з табличним (критичним) значенням. Критичне значення критерію персона при рівні значущості 0,05 та мірі свободи дорівнює 2,57.
Оскільки табличне значення критерію Персона більше за критичне, то розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами розподілу не можуть бути випадковими і припущення про близькість емпіричного розподілу до логнормального повинно бути відхилено.
Висновки
Статистичні ряди розподілу є одним з найбільш важливих елементів статистичного дослідження.
Статистичні ряди розподілу є базисним методом для будь-якого статистичного аналізу.
Статистичним рядом розподілу є впорядкований розподіл одиниць сукупності, що вивчається, на групи за певною варіюючою ознакою, характеризує структуру явища, що вивчається.
Аналізуючи розраховані показники статистичного ряду розподілу, можна робити виводи про однорідність або неоднорідність сукупності, закономірність розподілу і межі варіювання одиниць сукупності.
Вивчивши основні прийоми дослідження і практики застосування рядів розподілу, а також методику обчислення найбільш важливих статистичних величин, необхідно відзначити, що кінцева мета вивчення статистики в цілому — аналіз явища, що вивчається, — украй важливий для всіх сфер людського життя. Аналіз відображає явища в цілому і разом з цим враховує вплив кожного чинника окремо. На підставі проведеного аналізу можна враховувати і прогнозувати чинники, що негативно впливають на розвиток подій.
Аналіз ряду розподілу українських банків за ознакою «розмір кредитів, наданих юридичним особам», дозволив зробити висновки про те, що більш, ніж половина банківських установ надала юридичним особам кредити в розмірі від 17,96 до 3250,95 млн. грн. Середній розмір наданих кредитів становить млн… грн., а середнє квадратичне відхилення суми наданих кредитів становить млн… грн..
Візуальна оцінка ряду розподілу дозволила висунути гіпотезу про логнормальний або експоненціальний закон розподілу досліджуваної сукупності, але оцінка за критерієм Пірсона не підтвердила ці гіпотези.
Невідповідність нормальному закону розподілу можна пояснити неоднорідністю досліджуваної сукупності.
Об'єктивність результатів статистичного аналізу залежить від ступеня однорідності статистичної сукупності. Якісно і кількісно однорідною вважається сукупність, одиниці якої мають загальні якісні ознаки і близькі по значеннях кількісні (істотні) ознаки.
Проведені дослідження сукупності українських банків за ознакою ознакою «розмір кредитів, наданих юридичним особам» дають підстави стверджувати, що існуєструктурна неоднорідність банків за цією ознакою, обумовлена відмінністю в характері і об'ємах що проводяться різними по величині банками операцій, їх клієнтурою, відношенням з властями і бізнесом, відношенням до них з боку приватних вкладників, доступністю інструментів управління фінансовими ризиками, здібностями привертати ресурси на зовнішньому ринку і так далі.
Таким чином, моделювання банківського сектора не може обмежуватися сукупними агрегатами банківської системи на макрорівні, а вимагає розробки мікромоделей, що враховують особливості різних банків.
продолжение
--PAGE_BREAK--