Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей

Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей Выполнила студентка IV курса физико-математического факультета (специальность 050201.65 Математика) Лукьяненко Оксана Александровна Научный руководитель: Ст. преп. кафедры дидактики физики и математики Горев П. М. Киров 2007 СОДЕРЖАНИЕ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ 1.1 Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике 1.2 Объектные модели как наглядность обучении геометрии 1.3 Классификация моделей 1.4 Требования, предъявляемые к наглядным пособиям и правила их применения в обучении математике 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ 2.1 Статистические модели при изучении планиметрии 1.1 Плоскостные модели 1.2 Пространственные модели 2.2 Использование динамических геометрических моделей 2.1 Подвижные геометрические модели 2.2 Геометрический конструктор 2.3 Конструирование фигур из бумаги 2.3 Изготовление моделей 42 2.4

Применение моделей на этапах урока 2.5 Недостатки использования моделей 2.6 Опытное преподавание 49 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 58 ВВЕДЕНИЕ Одним из важных предметов курса математики является геометрия. В процессе изучения у учащихся должны сформироваться глубокие и прочные знания предмета, а также умения осмысленно их применять. Однако опыт работы учителей математики показывает, что качество геометрических

знаний и умений учащихся основной школы остается невысоким. Это объясняется тем, что геометрия по сравнению с другими дисциплинами математического цикла является относительно сложным предметом, на ее изучение традиционно отводится небольшое количество времени. И поэтому существует проблема: как в таких условиях обеспечить высокий уровень знаний учащихся. Одним из направлений решения данной проблемы является эффективное использование объектных моделей на

уроках изучения планиметрии. Однако наблюдение за работой учителей математики, анализ методической литературы, периодических изданий по вопросам методики математики показывают, что объектные модели на уроках геометрии используются недостаточно и в основном используются при показе моделей пространственных тел на уроках стереометрии. Способность же учащихся мысленно представлять себе фигуры их положения в пространстве нужно развивать задолго до того, как приходит пора изучать стереометрию.

Но при изучении планиметрии применению моделей уделяется еще меньше внимания. Это можно объяснить тем, что методика их использования недостаточно разработана и учителя математики часто недооценивают возможностей применение объектных моделей, хотя они могут существенно повысить эффективность усвоения материала, а также служить развитию и поддержанию интереса к предмету. Основная цель работы – изучить теоретические аспекты и разработать практические рекомендации к применению

моделей на уроках планиметрии в средней школе. Задачи данной работы:  рассмотреть объектные модели, как наглядность в обучении;  разработать методику работы с моделями по учебнику «геометрия 7 – 9 класс»;  показать, применения моделей на разных этапах урока;  показать, применения моделей на уроке, опираясь на опытное преподавание. Методы исследования:  изучение учебных пособий и методических материалов по планиметрии;

 анализ психологической, педагогической и методической литературы по рассмотренной проблеме;  наблюдение за деятельностью учащихся;  опытное преподавание. В работе представлена классификация объектных моделей, требования, предъявляемые к моделям. Показана связь между наглядными пособиями и объектными моделями. Будет предложен подробный план использования моделей на уроках, в соответствии с приведенной классификацией.

В работе также показаны некоторые методические аспекты по изготовлению моделей, с привлечением учащихся и конспект урока, проведенного 7 классе средней школы № 21 с углубленным изучением отдельных предметов города Кирова, на котором использовались объектные модели. А также анализ проведенного урока. 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ

ГЕОМЕТРИИ 1.1 Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике К понятию наглядности в процессе обучения обращались известные ученые, психологи, специалисты в области теории и методики обучения математике, ученые-математики. Наглядность как принцип обучения ввел в теорию и практику обучения Я. А. Коменский [20]. Русский педагог К.Д. Ушинский указывал, что наглядность отвечает психологическим

особенностям детей, мыслящих «формами, звуками, красками, ощущениями» [20]. Педагогика заимствовала идеи Коменского, Ушинского и их последователей, поэтому объяснения учителя связывались с необходимостью демонстрировать предмет усвоения, представленный в чувственной форме, в виде вещи, картины и т.п с помощью наглядных пособий. Психолог А.Н. Леонтьев одним из первых в мировой педагогике и психологии поставил вопрос о том, что

совершенно недостаточно действовать с помощью наглядных пособий на органы чувств. Необходимы встречные, активные действия учеников. Только в этом случае, воздействующие на органы чувств наглядные пособия трансформируются в психические образы. То есть, воспринимают не органы чувств человека, а человек с помощью своих органов чувств [28]. О роли наглядности в математике говорил крупнейший математик

Д. Гильберт: «В математике встречаются две тенденции: тенденция к абстракции – она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести этот материал в систематическую связь, другая тенденция – тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремиться к живому пониманию объектов и их внутренних отношений» [7]. Наглядность используется для получения знаний о внешних свойствах математических объектов, о взаимосвязи объектов, об их сходстве и различии.

Роль наглядности заключается в том, что она дает возможность показать учащимся глубинные связи между свойствами математических объектов. Психологи считают, что для того чтобы правильно подобрать и использовать наглядность на уроке необходимо определить действия учащихся по отношению к средствам наглядности, а также действия, которые должны будут выполнить учащиеся, чтобы овладеть материалом сознательно [36]. Таким образом, первоначально понятие наглядности относилось лишь к зрительным восприятиям предмета

или явления. Затем оно выросло в понятие чувственного восприятия вообще (слух, зрение, осязание). Позднее к наглядному методу обучения были отнесены наблюдение, опыт и практические приложения математики, а учебные модели, таблицы, картины, схемы и т.п. стали считать наглядными пособиями. 1.2 Объектные модели как наглядность обучении геометрии Изучить форму тела, изображать тело на плоскости, на доске, на бумаге, научиться анализировать, рассуждать,

доказывать, развивать пространственное мышление - это основные задачи обучения математики в школе. Для представления пространственных образов и их изображения используют наглядные пособия, к которым относятся окружающие предметы, техническое оборудование и изготовленные моделей. Планиметрия играет особую роль в развитии пространственных представлений, так как ее образы проще представить. Работа с моделями не только помогает ученику представить форму, но развить пространственное мышление.

После работы с моделями учащиеся лучше строят и конструируют на плоскости. Слово «модель» происходит от латинского «modelus», что означает «мера» [3]. Методист Давыдов В.В. понимал «модель» как образ (в том числе условный или мысленный) или прообраз (образец) какого–либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя» [3].

Под моделью понимают отображение фактов, вещей и отношений определенной области знаний в виде простой, более наглядной материальной структуры [3]. Все модели наглядны для их создателя, для тех, кто их построил, разработал, обладают свойством наглядности. Они наглядны и для тех, кто понимает их, понимает, что они являются моделью определенного объекта. Материальные объекты наглядны потому, что, во-первых, они чувственны, воспринимаемы, ибо представляют собой объективно существующие предметы или конструкции,

аппараты или реальные явления, живые существа, во-вторых, человек, выбравший или сконструировавший ту или иную модель, предварительно создал у себя наглядный образ [3]. В планиметрии широко используются плоскостные модели - отрезки, углы, треугольники и пространственные - пирамида, куб, и другие. Особенность таких наглядных пособий в том, что они имею постоянную форму. С методической точки зрения это имеет положительное значение.

В действительности: модели постоянной формы, будь они из бумаги, из картона, из проволоки или из деревянных планок разных размеров, например два вырезанных треугольника, дают учителю возможность на доске и в короткий срок показать наложение одного треугольника на другой, рассмотреть расположение основных элементов обоих треугольников. Анализ методической литературы [20, 26, 16 и др.] по проблеме обучения планиметрии, разработки конкретных уроков геометрии в 7–9 классах [21, 31, 41, 11, 9 и др.] показали, что самыми

распространенными средством обучения планиметрии в школе являются различные модели плоских и пространственных фигур. 1.3 Классификация моделей В преподавании достаточно широко используются планиметрические модели, стереометрические модели (каркасные, стеклянные, деревянные, картонные), стереометрический набор, тригонометрический круг, стереометрический ящик. Изучив методическую литературу [11, 13, 5, 6, 14, 23 и др.] можно составить следующую классификацию. Модели можно поделить на две большие группы: статистические (неподвижные) и

динамические (действующие). В свою очередь статистические модели можно разделить на следующие виды: 1. Плоскостные модели – модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольников и т. п. 2. Пространственные модели - модели куба, призмы, усеченной пирамиды, конуса, и так далее. Они применяются при изучении пропедевтического курса так и для выделения на них какого-нибудь геометрического образа (например, в прямоугольном параллелепипеде выделяют конкретные образы: точки, отрезка, прямого

угла), или при непосредственном измерении (например, при определении площади). В динамических моделях можно выделить следующие виды: 1. Подвижные модели. Это подвижные модели углов, параллельных прямых, и так далее (сделанных из картона и бумаги). Особенностью подвижной модели состоит в том, что при помощи ее можно легко показать многие частные случаи фигуры одной и той же формы, одного и того же свойства фигуры, называемые предельными

случаями (например, преобразование трапеции в треугольник, треугольника в отрезок). 2. Геометрический конструктор. Он состоит из набора целого ряда отдельных деталей: шарнирных палочек, шпилек, картонных моделей замкнутых фигур, из которых на уроке собирается и составляется нужная фигура. Такие конструкторы часто носят название стереометрического ящика. Например, раздвижная шарнирная модель угла, выглядит следующим образом:

Рис. 1. Раздвижная шарнирная модель угла 3. Конструирование из бумаги – к ним относят модели фигур, образованных перегибанием листа бумаги. С помощью перегибания листа ровной бумаги, можно получить образ отрезка, двойным перегибанием – образ угла, смежных и вертикальных углов, тройным перегибанием можно получить образ треугольника, ромба. 1.4 Требования, предъявляемые к наглядным пособиям и правила их применения в обучении математике Преподавание курса планиметрии без моделей едва ли можно себе представить.

Для того, чтобы использование их в обучении приносило положительный эффект к ним и их изготовлению предъявляются следующие требования. Следует помнить, что использование моделей должно быть в той степени, в которой она способствует развитию мышления, формированию знаний и умений. Демонстрация и работа с наглядными пособиями должны вести к очередной ступени развития, стимулировать переход от конкретно-образного и наглядно-действенного мышления к абстрактному, словесно-логическому.

Наглядные пособия должны быть просты, свободны от лишнего, заслоняющего существенно важное. Например, на модели если есть вспомогательные линии, то все они должны быть бледными (или пунктирными). Равные углы следует сделать одинаковым цветом. Однако стоит помнить, что пособия не должны быть излишне красочными, чтобы этой стороной не отвлекать внимания учащихся. Наглядные пособия должны быть удобны для обозрения, то есть модели и надписи на них должны быть достаточных

размеров, чтобы были видны с дальних парт. Наглядные пособия должны быть выполнены аккуратно Модели должны по возможности изготавливаться самими учащимися, это создает у них некоторые практические навыки. Изготовление наглядных пособий развивает конструктивные способности. Пользование наглядными пособиями должно быть продуманным и оправданным. Нельзя привлекать наглядные пособия в таких случаях, когда они не содействуют пониманию учебного материала.

Например, иногда учителя пытаются иллюстрировать формулу куба суммы двух величин. Для этого они модель куба с ребром, равным a + b, разбивают на параллелепипеды и малые кубы с ребрами a и b. Разбор такого наглядного пособия отнимает много времени, создает излишние трудности для учащихся, в то время как после вывода формулы сокращенного умножения (a + b)2 вывод формулы (a + b)3 не представляет для учащихся никакой трудности. Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил: &

#61485; необходимо ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;  обратить внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;  по возможности показать предмет в его развитии;  предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении моделей;  использовать модели ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать

наглядность в самоцель. Следовательно, умелое применение моделей в обучении всецело находится в руках учителя. Учитель в каждом отдельном случае должен самостоятельно решать, когда и в какой мере надо применять модели в процессе обучения, так как от этого в определенной степени зависит качество знаний учащихся [20]. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ При изучении курса геометрии могут и должны применятся объектные модели.

Одни из этих пособий могут создаваться на самом уроке, как учителем, так и самими учащимися (пригибанием листа бумаги) и тотчас же использоваться. Другие пособия типа конструктора служат для создания той или иной фигуры или комбинации фигур тоже на уроке, но только самим учителем или одним из учащихся, для последующей демонстрации полученного пособия и проведения работы с ним. Подвижные модели служат преимущественно для демонстрации процесса изменения формы или размеров фигуры.

Такие пособия могут изготовлять и сами учащиеся (в порядке выполнении программы по практическим занятиям в учебных мастерских или домашней самостоятельной работы). Наконец, модели фигур постоянной формы имеют наиболее широкое применение для создания отчетливого представления той или иной фигуры, для демонстрации таких операций, как наложение или приложение, и т.п. Многие наглядные пособия, даже большинство их, могут быть плодотворно использованы перед изучением

той или иной темы или отдельной теоремы, чтобы ознакомить учащихся с общим содержанием темы или теоремы; в этом случае наглядные пособия могут служить источником, из которого вытекает новая тема или отдельная теорема. По окончании изучения темы или отдельной теоремы тоже иногда полезно воспользоваться наглядным пособием, чтобы на нем проиллюстрировать ту или иную теорему. А также применятся при решении некоторых задач и при доказательстве некоторых теорем.

Рассмотрим подробно, какие модели и как можно использовать на уроках геометрии в соответствии данной классификации в пункте 1.3. этой работы. 2.1 Статистические модели при изучении планиметрии 2.1.1 Плоскостные модели К ним относят модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольники, изготовленные из картона, бумаги, из проволоки, из деревянных планок. Особенностью таких моделей состоит в том, что они имеют постоянную форму.

Рассмотрим, как можно использовать такие модели на уроке. На уроке измерения длин отрезков. Можно предложить такие модели: два отрезков изготовленных из бумаги. Длину одного из них обозначить за единицу и предложить ребятам измерить длину второго. Сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в отрезке, такую длину будет иметь данный отрезок. Часто такие модели используют при изучении равенства фигур.

Например, модели треугольников, имеющих по 2 соответственно равные стороны, позволяют отчетливо и в короткий срок на классной доске осуществить фактическое наложение одного треугольника на другой и показать возможные случаи расположения основных элементов обоих треугольников, что в значительной мере поможет учащимся понять доказательство теоремы. Такие модели помогают представить расположение фигур относительно друг друга. Например, на уроках взаимное расположение двух окружностей, прямой и окружности.

Нам понадобятся 3 модели: двух окружностей и модель прямой (полоска, вырезанная из бумаги), лучше, если эти фигуры будут разного цвета. Зададим вопрос: «Как могут располагаться две окружности. Учащиеся отвечают: «Они могут пересекаться». Учитель на моделях показывает пересечение (наложение двух фигур друг на друга) и так далее, аналогично и расположение прямой и окружности. 2.1.2 Пространственные модели Геометрические понятия формируются в процессе наблюдения форм, размеров

и взаимного расположения окружающих предметов. С другой стороны, в поисках практических приложений планиметрических знаний мы вынуждены рассматривать пространственные ситуации и выделять в них плоские объекты, на которых действуют изученные нами закономерности. Эти два обстоятельства объясняют необходимость пространственной точки зрения при изучении планиметрии. Говоря о геометрических телах на первом уроке геометрии необходимо указать геометрические тела, которые будут изучаться в курсе математики – это куб, параллелепипед, призма,

пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины известны, какие, не известны детям. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки [7]. Можно рассмотреть классификацию моделей мотивируя, следующим примером. Первого сентября собрались все учащиеся нашей школы, все перепутались – семиклассники рядом со старшеклассниками

и тому подобное. Ставится вопрос: «С чего начнет руководство школы?» Ответ: «Распределить всех по классам». «А почему?» Ответ: «Так как все ученики одного класса одинокого подготовлены. «Вот так разбиваются все тела на классы, на группы, чтобы найти законы и свойства не отдельного тела, а всего семейства тел данной группы, данного класса». После этого тела расставляются на столе в некотором порядке.

В беседе подводятся итоги наблюдений и устанавливаются черты сходства и различия, устанавливается общее и частное. На моделях этих тел желательно, чтобы ученики показали поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно напомнить термины «грань», «ребро», «вершина». Можно выполнить серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и т. д. Интересно сопоставить число граней, вершин, ребер куба и прямоугольного, прямого наклонного параллелепипедов

(термины не сообщаются). Поможет сделать правильный вывод модель куба, у которой вертикальные ребра сделаны из резинок. В руках учителя модель трансформируется из куба в прямоугольный, затем в наклонный параллелепипед. Познакомившись с понятиями плоской и пространственной фигур, намечаем мелом на моделях геометрических тел различные плоские и пространственные фигуры (на кубе, на цилиндре, на шаре и др.). Полезно модели этих фигур изготовить из проволоки: окружность и спираль (кривые на цилиндре), квадрат

и пространственная ломаная линия из ребер куба и т. п. Введя понятие равных и неравных отрезков, исследуем, какие отрезки равны и какие не равны у куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Вместе с кубом можно рассмотреть прямой параллелепипед, в основании у которого лежит ромб и высота равна стороне основания, и тетраэдр. Выясняется, что не только у куба все ребра равны [7].

При введении понятий «окружность», «круг» сопоставляем плоские кривые замкнутые линии и пространственные (на шаре и цилиндре). Здесь доступны для школьников вопросы типа: «В чем сходство и различие между плоскими и пространственными замкнутыми кривыми на шаре?». Доступен пониманию учащихся показ кругов и окружностей на сечениях шара, цилиндра и конуса. Сечение можно показать наглядно, разрезав яблоко ножом; сечения различной формы получим, налив в стакан цилиндрической формы воду и постепенно наклоняя его.

Показав сечение цилиндра в форме эллипса, учитель обращает внимание учащихся, что эту фигуру мы чертим, изображая на плоскости чертежа основание цилиндра или конуса. Дело в том, что если круг наблюдать под разными углами зрения (показывает), то он меняет свою форму от «круглой» до «приплюснутой». Это можно использовать на уроке изучения фигуры эллипса. При изучении темы ломанные и многоугольники необходимо обратить внимание учащихся, что, пересекая плоскостью

конус и цилиндр, можем получить в сечении не только кривые линии, но и ломаные. Демонстрируем соответствующие каркасные или стеклянные модели с выделенными на них сечениями. Понятие «многоугольник» хорошо иллюстрируется на многогранниках. Например, рассматривая пирамиды различных видов, ученики делают вывод, что основание этих тел может являться треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т. д. (отсюда соответственно и названия:

треугольная, четырехугольная, пятиугольная пирамиды). Зато боковые грани пирамид всегда имеют форму треугольников[7]. Познакомившись с понятием угла (образованного лучами и образованного отрезками), рассматриваем различные углы на моделях геометрических тел, подсчитываем, сколько углов сходится в вершинах этих тел, находим на моделях тупые, прямые и острые углы. Виды треугольников также хорошо иллюстрируются на пирамидах

и треугольных призмах. Приложение понятий «равнобедренный треугольник», «равные стороны», «равные углы» к изучению особенностей правильных в неправильных пирамид позволяет моделировать своеобразный естественнонаучный метод исследования. Напомним, что ученикам неизвестны определения правильных и неправильных пирамид. Эти названия учитель сообщил им методом показа: «Вот эта группа тел - правильные пирамиды, а вот эта неправильные» Уже в процессе измерения размеров пирамиды и определения формы их граней ученики находят

общие признаки пирамид: в основании лежит многоугольник, боковые грани - треугольники, сходящиеся в одной общей вершине. Затем находятся признаки, которые отличают правильную пирамиду от неправильной. Имея достаточный набор пирамид (по одной паре на парту), можно организовать наблюдения (и запись в тетрадях) по следующей форме (см. таблицу 1): Таблица 1 Форма для записи наблюдений [38] № Пирамида Форма боковых граней

Форма основания Размер сторон основания Углы основания 1 2 3 4 5 6 1 Правильная Остроугольные равнобедренные треугольники Пятиугольник Все стороны по 10 см. Равные тупые углы 2 Правильная Тупоугольные равнобедренные треугольники Четырехугольник (квадрат) Все стороны равны по 12 см.

Равные прямые углы Неправильная Разносторонние треугольники (есть остроугольный, 2 прямоугольных и 2 тупоугольных Пятиугольник Все стороны равны по 10 см. Углы разные Конечно, сводить результаты наблюдений в одну таблицу нет необходимости. Коллективное подведение итогов может быть организовано так. По вызову учителя ученики сообщают классу о результатах своих измерений (сначала в отношении правильных

пирамид, затем неправильных). После нескольких ответов учитель спрашивает, каковы общие черты одноименных пирамид. Опрос продолжается. Еще после 2 - 3 ответов ребята делают вывод: правильные пирамиды обладают следующими общими свойствами: у них боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники, а в основании лежит многоугольник с равными сторонами и равными углами. «Подтверждается ли это наблюдение для остальных правильных пирамид?» спрашивает учитель у тех, кто еще не был опрошен. «У кого правильная пирамида не

обладает такими признаками?» (В «спорных» случаях измерение повторяется вновь). Рассматриваем точно так же результаты измерений неправильных пирамид (во избежание недоразумений правильные и неправильные пирамиды должны отличаться цветом). Выясняется, что равнобедренная форма граней, равенство сторон основания и равенство углов основания также могут наблюдаться у неправильных пирамид. (Правда, не одновременно), но эти признаки не являются

обязательными для каждой такой пирамиды [38]. При изучении темы «Треугольники» можно рассматривать сечения треугольной формы куба, параллелепипеда и вообще призм. Для удобства проведения измерений лучше брать каркасные модели. При этом, кроме иллюстраций планиметрических понятий и опознания планиметрических объектов на стереометрических моделях, они могут быть использованы как своеобразные объемные чертежи к планиметрическим задачам.

В самом деле, любой чертеж, помещенный в задачнике, можно показать в виде соответствующей грани или разреза стереометрической модели. Особый интерес представляет рассмотрение двух или трех плоскостных объектов, которые не находятся на одной плоскости. Например, ученикам предлагается доказать, что основания треугольной призмы представляют собой равные треугольники. (Какие элементы оснований необходимо для этого сравнить?

Какие возможны при этом варианты?). Возможен и обратный ход мысли: создание пространственной ситуации после рассмотрения планиметрической задачи. Например, после решения задачи: в треугольнике АDС (рис. 2) . Что можно доказать? Выясняется, что равенство сторон АС и АD, а также отрезков СВ и ВD можно доказать и в случае, если и лежат в разных плоскостях (треугольник АСD сгибаем по линии AB). И наоборот, вращая некоторые грани пространственной модели, превращаем пространственную

задачу в плоскую. Рисунок 3, изображающий 2 треугольника АВС и АСD, причем АВ=7 см, мог быть получен из двух граней пирамиды АВСD путем вращения боковой грани АСВ вокруг ребра АС. Другие 2 грани, не участвующие в задаче, можно на чертеже не показывать [38]. При изучении параллелограммов учитель демонстрирует параллелепипед и задает вопросы: «Являются ли параллелограммами

грани модели параллелепипеда?», «Как показать, что противоположные ребра параллелепипеда, лежащие на одной грани, параллельны?» т. д. При изучении темы «Частные виды параллелограмма» (прямоугольник, ромб, квадрат) учитель на этих уроках демонстрирует объемные наглядные пособия, на которых ученики наблюдают эти фигуры на телах и их сечениях. Путем измерений выясняется, чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда, а этот последний - от прямого и наклонного параллелепипедов.

Изучение понятия «трапеция» можно провести при помощи усеченной пирамиды, а также рассматривая трапециевидные сечения стереометрических тел. Задание доказать, что какое-то сечение или грань усеченной пирамиды имеют форму трапеции, приводит учеников к необходимости найти признак трапеции. Весьма удобны на стереометрических моделях практические работы, связанные с непосредственным измерением элементов плоской фигуры, например вычисление площади у трапеции [38].

Модель пирамиды с сечением, параллельным ее основанию, прекрасное пособие для изучения пропорциональных отрезков и подобных треугольников. Точно так же тригонометрические функции острого угла можно рассматривать не только для прямоугольных треугольников, начерченных на доске, но и являющихся гранями или сечениями трехмерных тел. Очевидно, описанный здесь наглядно-интуитивный выход в пространство при изучении курса планиметрии может сопровождаться также обобщением некоторых вводимых понятий.

На это уйдет не очень много времени. Выше уже было рассказано о введении не только плоских, но и пространственных ломаных линий. При изучении перпендикуляра к прямой находим взаимно перпендикулярные ребра на моделях куба и прямоугольного параллелепипеда. Рассматривая модель перпендикуляра к прямой, убеждаемся в единственности перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную на ней точку, если речь идет о плоскости и о бесчисленном множестве перпендикуляров к данной прямой, если речь идет о пространстве [38].

Изучение параллельных прямых лучше начать с анализа возможного расположения прямых в пространстве. Так вводятся параллельные и скрещивающиеся прямые; два вида прямых, не имеющих общих точек. Из наблюдений обнаруживается тот факт, что теорема две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг к другу справедлива и для пространственного расположения прямых (оговариваемся, что доказано это будет в свое время). При доказательстве теоремы: если две прямые

АВ и CD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, то они параллельны. На каркасной модели куба показываем, что это предложение верно только для прямых, лежащих в одной плоскости. Далее вместе с понятием плоского четырехугольника вводится понятие пространственного четырехугольника. Доказывается теорема: сумма внутренних углов четырехугольника равна 1800. Эта теорема верна для плоских четырехугольников. А для пространственных?

Наблюдение покажет, что нет. Неплоские четырехугольники можно наблюдать на каркасных моделях параллелепипеда, соединяя четыре вершины, не лежащие на одной плоскости. Или с помощью четырех палочек и пластилина демонстрируются подвижные пространственные четырехугольники, в которых, сохраняя значение двух углов, можно уменьшать два других угла, что опровергает возможность обобщении теоремы о сумме внутренних углов четырехугольника [38].

Итак, используя стереометрические модели и их разрезы для изучения элементов планиметрии, мы достигаем сразу нескольких целей, главными из которых являются:[38]. 1) обеспечение всестороннего, более глубокого понимания планиметрических зависимостей; 2) развитие пространственны представлений учащихся при изучении планиметрии; 3) применение знаний по планиметрии при решении пространственных задач, т. е сближение обучения с возможными

приложениями в жизни; 4) приложение измерительных и конструктивных навыков к естественнонаучным методам изучения особенностей пространственных фигур; 5) подготовка к изучению систематического курса стереометрии. Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного использования геометрических моделей постоянной формы. Однако такие модели в настоящее время не могут полностью удовлетворять современным требованиям методики преподавания геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометрические преобразования

прочно входят в курс элементарной геометрии. Возникает необходимость при изучении геометрии вводить подвижные наглядные пособия, окружающие идею движения в геометрии. 2.2 Использование динамических геометрических моделей 2.2.1 Подвижные геометрические модели Подвижные геометрические модели в настоящее время широко используются в преподавании геометрии при открытии понятий, теорем и доказательств.

Например, для демонстрации смежных, вертикальных углов, высот, медиан, биссектрис треугольника, параллелограмма, с помощью моделей удобно иллюстрировать движения на плоскости (поворот, параллельный перенос, осевую и центральную симметрию). Гораздо реже используются подвижные модели при изучении различных зависимостей между сторонами и углами треугольника, между величинами проекций и наклонных и т. п. Это изучение чаще всего ведется статично, т. е рассматривается один частный случай, который характеризуется

определенным чертежом. В сознании школьника вместо великого разнообразия случаев, которые описывает изучаемая зависимость, нередко запечатлевается ее «фотография» — застывший неподвижный чертеж. Создается своего рода противоречие между закономерностью общего характера и конкретным чертежом, который вынужден показывать один из частных случаев этой зависимости. Такое положение чревато многочисленными ошибками учеников [38].

Изображая вместо произвольной фигуры ее частный вид, ученик сам создает себе помехи в решении задач, ибо он невольно пользуется теми особенностями чертежа, которые не входят в условие задачи. Например, изображая вместо произвольного прямоугольного треугольника равнобёдренный прямоугольный треугольник, ученик нередко использует при решении задачи навеянное чертежом дополнительное условие: острые углы треугольника равны 45°. По-видимому, возникновению таких серьезных логических ошибок (неверное обобщение)

содействует неправильная постановка преподавания геометрии. Иногда учителя, используя при доказательстве чертеж к теореме, не останавливаются на условиях, допускающих обобщение, и ученики невольно усваивают такое «правило»: по одному чертежу можно судить об общих закономерностях. Естественно поэтому, что при решении задач они стремятся брать наиболее «удобные» случаи. Конечно, говоря об условиях, позволяющих высказать общий вывод при рассмотрении одного чертежа, мы

в известной мере нейтрализуем стремление учеников к «удобным» случаям. Но этого мало: необходимо также устранять причины, приводящие к ошибкам. Как показал опыт, результаты в этом отношении обеспечивает изучение планиметрических зависимостей на подвижных моделях своего рода «подвижных чёртежах» [38]. У многих учащихся отсутствует правильное представление о размерах углов.

Говоря об угле в 30°, чертится угол в 50° и т. п. Недостаток глазомера, отсутствие навыка в обращении с ходовыми углами значительно осложняет работу по решению задач, а также тормозит дальнейшую практическую деятельность учащихся [7]. Для развития у учащихся правильных навыков рекомендуется во время изучения углов, построения их, вывесить в классе на небольшой срок (неделю) образцы часто встречающихся в практике углов:

30°, 45°, 60°, 135°. (см. рис. 4.) Рис. 4. Образцы часто встречающихся углов Модели могут быть двух типов: деревянные и картонные. Ученику дома предлагается изготовить набор небольших моделей различных углов, наклеить их на листе, сделать надписи, поместить в конверт. Интерес учащихся 7 класса вызывает планиметрическая модель, которая иллюстрирует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Углы 1 и 3 треугольника подвижные. Для того чтобы учащиеся выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника, учитель эти углы разворачивает на подвижной модели, так как показано на рис. 5 Рис. 5. Модель разворота подвижных углов При изучении свойства хорды: хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведенного в том же круге. Рис. 6. Модель для изучения свойств хорды Можно использовать следующую подвижную модель.

Модель представляет собой лист картона, на котором начерчена окружность. Вдоль дуги АВD может передвигаться точка В (пуговица) (рис.6). При движении точки В по дуге окружности образуются различные треугольники, обладающие одной общей особенностью две стороны (радиусы) не меняют своей длины. Вспоминая свойство отрезка, приходим к выводу, что любая хорда, не проходящая через центр круга, меньше его диаметра.

На модели, кстати, видно, почему приходится вводить ограничение «не проходящая через центр круга». В этом случае ломаная АОВ выпрямляется и свойство отрезка применить уже нельзя [38]. При изучении темы перпендикуляр и наклонная можно на модели показать их зависимость: перпендикуляр, проведенный из какой-либо, точки к прямой, меньше всякой наклонной проведенной из той же точки в этой прямой. На листе картона (рис.7) начерчены две взаимно перпендикулярные линии

АВ и KD. Точка С подвижная, АС - резинка. Передвигая «точку» С (пуговица), получаем различные прямоугольные треугольники, у которых меняющая свою длину наклонная АС служит гипотенузой, а катет АВ не меняется. Так как гипотенуза больше катета, отсюда следует утверждение теоремы. При доказательстве признака параллелограмма (Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника) можно использовать следующую модель [38]:

Параллелограмм (рис. 8), сделанный из деревянных реечек. Диагональ ВС - резинка, точки А, В, С и D - оси вращения. При любых положениях модели треугольники АВС и BDC равны друг другу. При изучении зависимости между дугой окружности и хордой (Большая дуга стягивается большей хордой, большая хорда стягивает большую дугу). Можно использовать следующую модель: на листе картона начерчена

половина окружности АСК (рис. 9). Так как равные дуги стягиваются равными хордами и наоборот, то, не теряя общности рассуждений, будем откладывать, сравниваемые хорды и дуги, из точки А. По дуге ВК, могут передвигаться подвижные точки С и Е. Хорды АС и АЕ резинки, радиусы ОС и ОА – нити [38]. При движении модели видно, что если увеличивать дугу, то и стягивающая ее хорда увеличивается (резинка

растягивается) и, обратно, увеличение хорды вызывает увеличение дуги. Но это можно не только показать, но и доказать. Каковы бы ни были хорды АС и АЕ, через точки С и Е можно провести прямую (накладываем на точки С и Е прямую стержень, на рисунке он показан пунктиром). Тогда можно видеть, что АЕ больше АС (наклонная, имеющая большую проекцию).

Так как дуга АЕ также больше дуги АС и так как это положение модели мы могли получить, либо увеличивая дугу, либо увеличивая хорду, то отсюда и вытекает сделанный вывод. Рассматривая одно из положений модели, приходим к формулировкам учебника. После того как ученики познакомятся со вписанными углами, можно объяснить тот факт, что перпендикуляр А