Ряды и интеграл Фурье

ГЛАВА1РЯДЫИ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕОсновныесведенияФункция f x ,определенная на всей числовой оси называется периодической, еслисуществует такое число , что при любом значении х выполняетсяравенство . Число Т называется периодом функции.Отметим некоторые с в о йс т в а этой функции 1 Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.2 Если функция f x период

Т , то функция f ax имеет период .3 Если f x -периодическая функция периода Т , то равны любые дваинтеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т при этоминтеграл существует , т. е. при любых a и b справедливо равенство.Тригонометрическийряд. Ряд ФурьеЕсли f x разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрическийряд 1 ,то это разложениеединственное и коэффициенты определяются по формулам , где n 1,2 .

Тригонометрический ряд 1 рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядомФурье, а коэффициентами ряда Фурье.Достаточныепризнаки разложимости функции в ряд ФурьеТочка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, еслисуществует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.ТЕОРЕМА 1 Дирихле . Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное числоточек разрыва 1-ого рода на

отрезке и этототрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f x монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f x вточках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точкахразрыва рода Функция удовлетворяющая этим условиям называетсякусочно-монотонной .ТЕОРЕМА 2. Если f x периодическаяфункция с периодом , которая на отрезке вместе сосвоей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первогорода, то ряд

Фурье функции f x в точках разрыва к среднемуарифметическому односторонних пределов Функция удовлетворяющая этой теоременазывается кусочно-гладкой .РядыФурье для четных и нечетных функцийПустьf x - четная функция спериодом 2L , удовлетворяющая условию f -x f x .Тогда для коэффициентов ееряда Фурье находим формулы 0 , где n 1,2 .Таким образом, в ряде Фурьедля четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд

Фурье для четной функциис периодом 2L выглядит так Пусть теперь f x - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f -x - f x .Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы , где n 1,2 .Таким образом, в ряде Фурьедля нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и рядФурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так Если функция f x разлагается втригонометрический ряд

Фурье на промежутке то , где , , ,Еслиf x разлагается втригонометрический ряд Фурье на 0,L , то доопределив заданную функцию f x соответствующим образом на -L,0 далее периодически продолжив на T 2L , получим новую функцию, которуюразлагаем в тригонометрический ряд Фурье.Дляразложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечномпроизвольном промежутке a,b , надо доопределить на b,a 2L и периодически продолжить, либо доопределить на b-2L,a ипериодически

продолжить.РядФурье по любой ортогональной системе функцийПоследовательностьфункций непрерывных на отрезке a,b ,называется ортогональной системой функции на отрезке a,b ,если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е.если Системаназывается ортогональной и нормированной ортонормированной на отрезке a,b ,есливыполняется условие Пустьтеперь f x - любая функция непрерывная на отрезке a,b .Рядом Фурье такой функции f x на отрезке a,b по ортогональной системе называется ряд коэффициенты которогоопределяются

равенством n 1,2 Если ортогональная система функций на отрезке a,b ортонормированная, то в этом случаи где n 1,2 Пусть теперь f x - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первогорода на отрезке a,b . Рядом Фурье такой функции f x на томже отрезке по ортогональной системеназывается ряд ,Еслиряд Фурье функции f x по системе 1 сходится к функции f x в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку a,b . Вэтом случае говорят что f x на отрезке a,b разлагаетсяв ряд по ортогональной системе 1

.Комплекснаяформа ряда ФурьеВыражение называется комплексной формой ряда Фурьефункции f x , если определяется равенством , где Переход от ряда Фурье вкомплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощьюформул n 1,2 Задачао колебании струныПустьв состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x 0 и x l.Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободныеколебания.

Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие ввертикальной плоскости. При сделанных вышедопущениях можно показать, что функция u x,t , характеризующаяположение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению 1 , где а - положительное число.Нашаз а д а ч а - найти функцию u x,t , график которой дает формуструны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения 1 приграничных 2 иначальных условиях 3

Сначалабудем искать решения уравнения 1 , удовлетворяющие граничным условиям 2 .Нетрудно увидеть, что u x,t 0 является решением уравнения 1 , удовлетворяющие граничным условиям 2 . Будем искать решения, не равные тождественно0, представимые в виде произведения u x,t X x T t , 4 , где , .Подстановкавыражения 4 в уравнение 1 дает Из которого наша задачасводится к отысканию решений уравнений

Используя это условие X 0 0,X l 0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.a Пусть Тогда X 0 и его общеерешение запишется так откуда и ,что невозможно , так как мырассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.б Пусть . Тогда решив уравнение получим , и, подчинив, найдем, что в Если то Уравнения имеют корни получим где -произвольные постоянные.

Из начальногоусловия найдем откуда , т. е. n 1,2 n 1,2 .Учитывая это, можнозаписать n 1,2 .и, следовательно , n 1,2 ,но так как A и B разные дляразличных значений n то имеем, n 1,2 ,где и произвольные постоянные, которые попытаемсяопределить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению 1 , граничнымусловиям 2 и начальным условиям 3 .Итак,подчиним функцию u x,t начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условияЭти

равенства являютсясоответственно разложениями функций и на отрезки 0, l в ряд Фурье посинусам. Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетнойфункций . Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными иначальными условиями дается формулойгде n 1,2 ИнтегралФурьеДостаточные условияпредставимости функции в интеграл Фурье.Для того, чтобы f x была представлена интегралом

Фурье во всех точках непрерывности и правильных точкахразрыва, достаточно 1 абсолютной интегрируемости на т.е. интеграл сходится 2 на любом конечном отрезке -L, L функция была бы кусочно-гладкой3 в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммойлевого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самойфункции f x Интегралом Фурье функцииf x называется интеграл вида , где

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции Пусть f x -четнаяфункция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричномуотносительно точки x 0 интервалу от четных функций, из равенства 2 получаем 3 Таким образом, интегралФурье четной функции f x запишется так ,где a u определяется равенством 3 .Рассуждая аналогично,получим, для нечетной функции f x 4 и, следовательно, интегралФурье нечетной функции

имеет вид ,где b u определяется равенством 4 .Комплексная форма интеграла Фурье , 5 где.Выражение в форме 5 является комплексной формойинтеграла Фурье для функции f x .Еслив формуле 5 заменить c u его выражением, то получим , где правая часть формулыназывается двойным интегралом Фуpьев комплексной форме. Переход отинтеграла Фурье в комплексной форме к интегралу вдействительной форме и обратно осуществим с помощью формул

Формулы дискретного преобразования ФурьеОбратное преобразованиеФурье.где n 1,2 , k 1,2 Дискретным преобразованиемФурье - называется N-мерный вектор при этом, .ГЛАВА 2ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬРазложение функций в тригонометрический ряд ФурьеИсходные данные Рис. 1 Функция периодическая с периодом . f x T f x Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

Сумма ряда в точках функции сходится кзначению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.Рис. 1 Производная также непрерывна везде, кромеконечного числа точек разрыва первого рода. Вывод функция удовлетворяетусловию разложения в ряд Фурье. 1 F x - кусочно-непрерывна на интервале . 2 F x - кусочно-монотонна. Так как отсутствует симметрия относительноOY, а также центральная симметрия

- то рассматриваемая функция произвольна.Представление функции рядом Фурье. Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительнонадо рассмотреть случай когда n 1.Поэтому формулу для можно записать в виде так как . Отдельно рассмотрим случай когда n 1 . Подставим найденные коэффициенты в получим и вообще. Найдем первые пять гармоник для найденногоряда 1-ая гармоника ,2-ая гармоника ,3-ая гармоника ,4-ая

гармоника ,5-ая гармоника ,и общий график F x , суммавыше перечисленных гармоник. и сами гармоники.Запишем комплексную форму полученного ряда Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты см. теорию ,но при не существует, поэтому рассмотрим случайкогда n 1 т.к. см. разложение выше и случай когда n -1 т.к. И вообще комплексная форма илиили