Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТКАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИКУРСОВАЯ РАБОТАна тему Приближенное вычисление определенного интегралапри помощи квадратурной формулы Чебышева Студента 2-го курса ПоляковаЕ.В.Научный руководитель КупринаЛ.А. Днепропетровск 2000г.Содержание.1. Общая постановка и анализ задания.

1. Введение 2. Вывод формул численного интегрирования с использованиеминтерполяционного полинома Лагранжа 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников4. Общая формулаСимпсона параболическая формула 5. Квадратурная формула Чебышева2 . Решение контрольного примера 3. Integral. pas. Алгоритм.4. Заключение и выводы.5. Список литературы.6.

Листингпрограммы. Вывод на экран.1. Общая постановка ианализ задачи. 1. Требуется найти определенный интеграл I по квадратурной формуле Чебышева.Рассмотрим, чтопредставляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляетсобой площадь криволинейной трапеции

ограниченной кривыми x 0, y a, y b и y Рис. 1 .Рис. 1. Если f x непрерывна на отрезке a,b , и известна ее первообразная F x , тоопределенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона- Лейбница F b - F a где F x f x Однако во многих случаях F x не может быть найдена, или первообразнаяполучается очень сложной для вычисления.

Кроме того, функция часто задаетсятаблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование. Задача численного интегрирования состоитв нахождении приближенного значенияинтеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функцииf x в некоторых точках узлах отрезка a, b . Численное определение однократногоинтеграла называется механическойквадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .

Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом,мы получим квадратурные формулы вида где xk - выбранные узлы интерполяции Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции k 0,1,2 n . R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.При расчете к ней добавляются ещеразличные погрешности округления.

Разобьем отрезок интегрирования a,b на n равных частей системойточек xi xo i h i 0,1,2 n xo a xn b h b-a n и вычислим подинтегральнуюфункцию в полученных узлах yi f xi i 0,1,2 n 2. Вывод формул численногоинтегрирования с использованием интерполяционного полинома ЛагранжаПусть для y f x известны в n 1точках X0,X1,X2 Xn промежутка a,b соответствующие значения f xi yi i 0,1,2 n .

Требуется приближенно найти По заданным значениям Yi построимполином Лагранжа. Заменим f x полиномом Ln x . Тогда где Rn f ошибка квадратурной формулы. Отсюда,воспользовавшись выражением для Ln x , получаем приближенную квадратурнуюформулу Для вычисления коэффициентов Аi заметим что 1.коэффициенты

Ai при данномрасположении узлов не зависит от выбора функции f x 2.для полинома степени n последняяформула точная.Пологая y xK k 0,1,2 n , получимлинейную систему из n 1 уравнений где k 0,1 n , из которой можноопределить коэффициенты А0,А1 АN.Определитель системы естьопределитель Вандермонда Заметим, что при применении этогометода фактическое построение полинома Лагранжа Ln x является излишним.Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан

С.М.Никольским.Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул 1.3 Заменим дугу АВ стягивающей еехордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла B y 0 a b x рис 3.1 Криволинейная трапецияРис. 2. Метод трапеций.Рис. 3. Метод среднихпрямоугольников.

По методам трапеций исредних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадейпрямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина точность , и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольникакакая-либо малая величина точность , а высота определяется по точкепересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции долженпересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей для метода трапеций ,для метода средних прямоугольников .1.4.

Общая формулаСимпсона параболическая формула Пусть n 2m есть четноечисло и yi f xi i 0,1,2 n - значения функции y f x для равноотстоящихточек а x0,x1, ,xn b с шагом Применив формулу Симпсонак каждому удвоенному промежутку x0,x2 , x2,x4 x2m-2,x2m длины 2h ивведя обозначенияs1 y1 y2 y2m-1s2 y2 y4 y2mполучим обобщенную формулуСимпсона Остаточный член формулыСимпсона в общем виде где xk

I x2к-2,x2к 5. Квадратурная формула Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу вида функцию f x будем исать в виде когда f x многочленвида f x ao a1x anxn .Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлахf x1 a0 a1x1 a2x12 a3x13 anx1nf x2 a0 a1x2 a2x22 a3x23 anx2nf x3 a0 a1x3 a2x32 a3x33 anx3n .f xn a0 a1xn a2xn2 a3xn3 anxnnполучим формулу Чебышева. Значения х1,х2 хn для различных n приведены втаблице 3.Таблица 3

Значения х1,х2 хn для различных n. n I ti n i ti 2 1 2 0,577350 6 1 6 0,866247 3 1 3 0,707107 2 5 0,422519 2 0 3 4 0,266635 4 1 4 0,794654 7 1 7 0,883862 2 3 0,187592 2 6 0,529657 5 1 5 0,832498 3 5 0,321912 2 4 0,2. Решение контрольного примера где a 0 b при n 5 f x sin x i xi yi 1 0,131489 0,131118 2 0,490985 0,471494 3 0,785 0,706825 4 0,509015 0,487317 5 0,868511 0,763367 x1 p 4 p 4 t1 p 4 p 4 -0,832498 0,131489x2 p 4 p 4 t2 p 4 p 4 -0,374341 0,490985x3 p 4 p 4 t3 p 4 p 4 0 0,785x4 1- x2 1-0,490985 0,509015x5 1- x1 1-0,131489 0,868511y1 sin x1 sin 0,131489 0,131118y2 sin x2 sin 0,490985 0,471494y3 sin x3 sin 0,785 0,706825y4 sin x4 sin 0,509015 0,487317y5 sin x5 sin 0,868511 0,763367I p 10 0,131118 0,471494 0,706825 0,487317 0,763367

p 10 2,560121 0,8038779.3.Описание программы Integral. pas. Алгоритм.Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий всебе аргументы xiПроцедура FORM -используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yiПроцедура CHEB- используя массивы xi и yi, высчитывает поквадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.Процедура

TABL- это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов аргумент- функция При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.После вводаграниц интегрирования используется процедура VVOD, а затемвысчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.После этого используем процедуры FORM и CHEB .Получив результат, выводим таблицу процедура

TABL и интеграл. 4. Заключение и выводы.Таким образом очевидно,что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формулеЧебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.Чтобы максимальноприблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбратьметод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какойбудет взят шаг интегрирования.Хотя численные методы ине дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегдаможно

решить задачу интегрирования аналитическим способом. 5.Список литературы 1. Ракитин Т.А Первушин В.А. Практическое руководство по численным методам сприложением программ на языке Basic 2. Крылов В.И. Приближенные вычисления интегралов - М. Физмат.3. Демидович иМарон Основы вычислительной математики 4. Копченова и Марон Вычислительная математика в примерах и задачах 5.

Вольвачев А.Н Крисевич В.С.Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск. 1989 г. 6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г. 7. Скляров В.А. Знакомьтесь Паскаль. М. 1988г. 6. Листинг программы.Программа написана наязыке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг program integral uses crt const n 5 k -0.832498

l -0.374541 z 0.0 type aa array 1 n of real var x,y aa a,b,h,ich real заполнение х-сов в массивх 5 procedure vvod var a,b real var c aa var i integer t aa Begint 1 k t 2 l t 3 z t 4 l t 5 k for i 1 to n-1 doc i b a 2 b-a 2 t i for i n-1 to n doc i 1 - c n 1-i end заполнение y-ков в массивеу 5 procedure form var x aa var y aa var i integer Beginfor i 1 to n doy i sin x i функция end процедура для расчета интеграла поквадратурной формуле Чебышева procedure cheb var y aa var ich real var i integer

Beginich 0 for i 1 to n doich ich y i h end процедура вывода таблицы procedure tabl var i integer Beginwriteln writeln i t x y writeln writeln 1 ,k 9 6, ,x 1 9 6, ,y 1 9 6, writeln 2 ,l 9 6, ,x 2 9 6, ,y 2 9 6, writeln 3 ,z 9 6, ,x 3 9 6, ,y 3 9 6, writeln 4 ,l 9 6, ,x 4 9 6, ,y 4 9 6, writeln 5 ,k 9 6, ,x 5 9 6, ,y 5 9 6, writeln end Beginclrscr writeln П Р О Г Р А М МА Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я writeln

О П Р Е Д Е Л Е Н НО Г О И Н Т Е Г Р А Л А writeln writeln Введите границыинтегрирования a,b readln a,b vvod a,b,x h b-a n writeln h ,h 9 6 form x,y cheb y,ich tabl writeln I ,ich 8 6 end. Вывод результата П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А Введите границы интегрированияa,b 0 1.5708 h 0.314160 i t x y 1 -0.832498 0.131556 0.131177 2

-0.374541 0.491235 0.471716 3 0.0 0.785400 0.707108 4 -0.374541 0.508765 0.487099 5 -0.832498 0.868444 0.763325 I 0.804383