Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Беловский Филиал Кемеровского Государственного Университета Построение графика функции различными методами самостоятельная работа учащихся Дипломная работа Выполнила студентка VI курса математического факультета Денисюк Надежда Научный руководитель Сафонова В.Ю. Белово 2001 Оглавление. Наименование Стр. Введение 3

Глава 1. Самостоятельная работа, их виды и формы 5 Глава 2. Построение графика функции, примы и методы 1. Анализ программ и учебников 2. Построение графика функции с помощью преобразования 3. Применение производной к построению графика функции 31 Глава 3. Формирование умений самостоятельной работы при изучении функций в школьном курсе математики 37

Литература 45 ВВЕДЕНИЕ. Школа должна дать учащимся не только определенную сумму знаний, но и привить умение самостоятельно пополнять свой запас знаний, чтобы ориенти- роваться в стремительном потоке современной научно технической информации Академик А. Александров. В условиях высокого уровня развития науки и техники особые требования предъявляются к подготовке учащихся в школе. Задача образования не может сводиться только к вооружению учащихся определнной суммой знаний.

Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретенными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях. В настоящий период, когда развитие науки и техники происходит чрезвычайно быстро, когда делаются вс новые и новые научные открытия, когда появляются неизвестные ранее отрасли науки, техники, экономики, исключительную значимость приобретает проблема подготовки учащихся к самостоятельному овладеванию новыми

знаниями, к изучению научной и технической литературы. Одним из условий успешной трудовой деятельности и самостоятельного овладевания новыми знаниями является достаточно высокий уровень развития мышления и речи. Достижению этого уровня способствует обучение всему циклу школьных предметов, составляющих содержание среднего образования. Изучая гуманитарные и естественно-математические дисциплины, ученик не только

расширяет имеющийся запас знаний, но и овладевает определнными интеллектуальными умениями, обогащает свою речь, т.е. поднимается на новую ступень своего развития. Роль математике в этом процессе исключительно велика. Изучение математике создает предпосылки для развития логического мышления, овладения навыками дедуктивных рассуждений, формирование точности и лаконичности речи.

Однако успешность реализации этих предпосылок во многом зависит от того, насколько эффективно организован в этом направлении учебный процесс. Поэтому одно из требований подготовки учащихся к творческому труду и самостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний состоит в такой организации учебной деятельности учащихся на уроках и при выполнении домашних заданий, которая обеспечивает осуществление целенаправленной и систематической работы по формированию интеллектуальных умений учащихся и развитию их речи.

Другую сторону вопроса составляет формирование у учащихся некоторых общих учебных умений. Для того чтобы самостоятельно изучать научную и техническую литературу, необходимы определнные навыки работы с текстом. Сюда относится умение читать текст, насыщенный информацией, вычленять из него главное, ставить перед собой вопросы и находить в тексте ответы на них, определять, что осталось не выясненным до конца, четко формулировать, что именно надо выяснить, обращаться за справкой к другому разделу книги

или другой литературе и т.п. Вместе с тем, для того чтобы подготовить учащихся к применению знаний в конкретных условиях, к решению сложных вопросов, выбору из имеющегося набора решений оптимального варианта и т.д необходимо сформировать определенные умения в решении задач. Их компонентами являются умения вычленять некоторые взаимосвязи, вытекающие из условия задачи, составлять план решения, осуществлять решение, привлекая в случае необходимости справочный материал, оценивать

результат, проверять правильность решения. Несмотря на то, что вопрос о самостоятельной работе стоит перед школой давно, этот метод обучения не находит и сегодня должного применения, Анализ школьной практики показал, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13 всего времени урока, причем и это время на уроке мало эффективно. Проводя ту или иную самостоятельную работу учащихся, учителя рассматривают е как самоцель, не обращая

внимания на то, способствует ли она активной мыслительной деятельности ученика или нет. Часто большое число самостоятельных работ направленно лишь на выполнение заданий по образцу, среди которых мало заданий творческого характера. Один из недостатков в методике проведения самостоятельных работ состоит в однообразии их видов, используемых учителем. Абсолютное большинство самостоятельных работ на уроках математике приходится на закрепление изложенного

учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся. Значительно меньшее число их используется при изучении нового материала. Самостоятельная деятельность учащихся повышает эффективность обучения лишь в том случае, когда учителем проведена рациональная е организация. Глава 1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ИХ ВИДЫ И ФОРМЫ Под самостоятельной работой понимают работу выполняемую извне без активной помощи.

Провести более четкую границу между самостоятельными работами и работами, выполняющими под руководством учителя довольно трудно. Но для практике знание этого вопроса не имеет существенного значения. Более важным представляется знание смысла использования самостоятельной работы при обучении математике. Самостоятельная работа в обучении математике не самоцель, она необходима для перевода знаний извне, во внутреннее достояние учащегося, необходима для овладения этими знаниями, а также для осуществления

контроля со стороны учителя за их усвоением. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации, такой постановкой образовательного процесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активности ученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении. Самостоятельная деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях, от воспроизведения действий по образцу и узнавание объектов путем их сравнения

с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях. Переходом с одного уровня на другой должен осуществляться полностью, только когда учитель будет убежден, что учащийся справится со следующим уровнем самостоятельности, иначе в атмосфере спешки и нервозности у ученика возникают пробелы в знаниях. Очень важно, чтобы содержание самостоятельной работы, форма и время е выполнения отвечали основным целям обучения данной теме на данном.

В то же время учителю нужно знать, что злоупотребление самостоятельной работой в учебном процессе также вредно как и е недооценка. Бывает так ,что учитель включает в урок самостоятельную работу без особой необходимости, просто ради разнообразия, не продумав е содержание и форму организации. Результаты бывают плачевны или дети не готовы выполнить задание, или не хватило времени и т.п. Но, если учитель, составляя план урока, продумал место и время самостоятельной работы четко, определил

ею общее содержание, разбил задания по разным уровням сложности то она сыграет свою положительную роль. Поэтому учителю важно знать формы и виды самостоятельных работ, их место в процессе обучения. В зависимости от целей от целей, которые ставятся перед самостоятельны ми работами, они могут быть 1 Обучающими 2 Тренировочными, 3 Закрепляющими, 4 Повторительными 5 Развивающими 6 Творческими, 7 Контрольные. 1. Смысл обучающих самостоятельных работ заключается в самостоятельном

выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ развитие интереса к изучаемому материалу привлечение каждого ученика к тому что объясняет учитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты дают себе знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал. Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания,

также при непосредственном введении нового содержания, при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснения нового, когда знания учащихся еще не прочны. Учителю необходимо знать следующие особенности обучающих самостоятельных работ их надо составлять в основном из заданий непродуктивного характера, проверять немедленно и не ставить за них плохих оценок. Так как самостоятельные обучающие работы проводятся во время объяснения нового материала или сразу

после объяснения, то их немедленная проверка дает учителю четкую картину того, что происходит на уроке, какова степень понимания учащимися нового материала, на самом раннем этапе его обучения. Цель этих работ -не контроль, а обучение, поэтому им следует отводить много времени на уроке. К самостоятельным обучающим работам можно также отнести составление примеров на изученные свойства и правила. 2. К тренировочным самостоятельным работам относятся задания на рас познавание различных

объектов и свойств. В тренировочных заданиях часто требуется воспроизвести или непосредственно применить теоремы, свойства тех или иных математических объектов и др. Тренировочные самостоятельные работы состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила. Конечно эта работа мало способствует умственному развитию детей, но она необходима, т.к. позволяет выработать основные умения и навыки тем самым создать базу для дальнейшего

изучения математики. При выполнении тренировочных самостоятельных работ еще необходима помощь учителя. можно разрешить пользоваться и учебником и записями в тетрадях, таблицами и т.п Все это создает благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях они легко включаются в работу и выполняют е. К таким работам можно отнести выполнение заданий по разно уровневым карточкам.

Сейчас такие дидактические материалы выпущены по алгебре и геометрии для всех классов. По этим карточкам учащиеся привыкают работать самостоятельно. Учителю удобнее ими пользоваться, если он соберет комплот карточек по темам. Каждый комплект может состоять из 8-10 вариантов разного уровня. 3. К закрепляющим можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления

и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного типа учитель определяет нужно ли еще заниматься данной темой. Примеры таких работ в изобилии встречаются в дидактическом материале. 4. Очень важны так называемые повторительные обзорные или тематические работы.

Перед изучением новой темы учитель должен знать, познавательны ли школьники, есть ли у них необходимые знания, какие проблемы смогут затруднить изучение нового материала. 5. самостоятельными работами развивающего характера могут быть д.з. по составлению докладов на определенные темы, подготовка к олимпиадам, научно творческим конференциям, проведение в школе дней математики и др. На уроках-то самостоятельные работы, требующие умения решать исследовательские задачи.

6. Большой интерес вызывают у учащихся творческие самостоятельные работы, которые предполагают высокий уровень самостоятельности. Здесь учащиеся открывают для себя новые стороны уже имеющихся у них знаний, учатся применять эти знания в новых неожиданных ситуациях. Это задания на нахождение второго, третьего и т.д. способа решения задачи. 7. Контрольные работы являются необходимым условием достижения планируемых результатов обучения.

По существу разработка текстов контрольных работ должна быть одной из основных форм фиксирования целей обучения, в том числе и минимальных. Поэтому, во-первых, контрольные задания должны быть равноценными по содержанию и объему работы во-вторых, они должны быть направлены на отработку основных навыков, в-третьих, обеспечивать достоверную проверку уровня знаний в-четвертых, они должны стимулировать учащихся позволять им продемонстрировать прогресс в своей общей подготовке.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ Работа с книгой Упражнения Выполнение практических и лабораторных работ Проверочные самостоятельные, контрольные работы, диктанты, сочинения Подготовка докладов, рефератов Домашние опыты, наблюдения Техническое моделирование и конструирование ТИПЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ

РАБОТ в соответствии с уровнями самостоятельной деятельности Воспроизводящие Реконструктивно-вариативные Эвристические творческие ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ФРОНТАЛЬНЫЕ ГРУППОВЫЕ Самостоятельная работа может рассматриваться как дидактическое родство, с помощью которого учитель организует деятельность ученика на уроке и при выполнении домашнего задания, активная

самостоятельная деятельность предлагает наличие у учащихся многих умений. Основными из них являются 1.работа с книгой учебником, математическим текстом, справочниками, таблицами и.др работа по плану, алгоритму, предписанию. Навыки работы учащихся по плану особенно успешно развиваются на уроках геометрии. Работа по образцу, решение задачи стандартного вида. Умение работать по образцу не приходит само собой, а требует специальных приемов работы учителя, на

уроках математики можно применить карточки с пропусками для многократного использования карточки удобно вложить в полиэтиленовый пакет. Тогда учащиеся заполняя пропуски, пишут на пленке, после проверки работы карточка вынимается из пакета и может быть использована повторно, написанное на пленке легко стирается. Классификация. систематизация учебного материала успех самостоятельной работы нередко зависит от умения систематизировать учебный материал. Одна из сторон самостоятельного мышления - сформированность привычки

к самоконтролю и умение его проведения. Здесь учащемуся могут быть предложены различные рекомендации, они учат давать рецензию на ответ товарища, другие учат на уроке проверять решение задач по такой памятке а Проверьте, правильно ли выписано условие задачи б Верно ли сделан чертеж в Просматривается ли логический план решения задачи г Достаточно ли обоснованно решение, рационально ли оно д

Что вам мешало при проверке, есть ли замечании при проверке е Ваша оценка работы ж Работа по собственной инициативе. Для того, чтобы самостоятельную работу приблизить к практической деятельности, полезно проводить лабораторные работы. Их можно дифференцировать как по содержанию, так по методам выполнения- от простейших задач практического характера на .непосредственное применение знаний до серьезных исследовательских работ,

связанных с конструированием и математическим моделированием. Лабораторно- практические работы развивают учащихся навык приближенных вычислении, учат пользоваться таблицами и микрокалькуляторами, справочной литературой, проводить различные измерения и построения геометрических фигур, а тем самым демонстрируют прикладной характер математики. Однако проведение лабораторных работ сложнее в методическом отношении, чем организация других видов

самостоятельных работ. Они требуют от преподавателя большей подготовки, их проводят 2-3 раза в год. Математика как никакой другой предмет позволяет формировать нужный для самостоятельной работы навык самоконтроля за своей работой. Остановимся на специфике формирования навыков самоконтроля при проведении математических диктантов, которые желательно проводить после изучения соответствующего материал каждого пункта задачи учителю большей частью приходится составлять самому ,т.к. число задач с установкой на

самоконтроль составляет менее 20 от общего числа заданий, имеющихся в учебниках и учебных пособиях по математике для средней школы. Ответы к заданиям заготавливаются заранее и по окончанию диктанта представляют их для пользования учащимся. При проведении диктантов учитель должен четко представлять себе результативность следующих видов работ а проверка диктантов только учителем б взаимопроверка работ соседями по парте в взаимопроверка работ соседями по варианту г самопроверка

Наиболее высокий объективных оценок, как правило бывает при взаимопроверке соседей по варианту. Самый низкий- соседей по парте, т.к. обмен работами в этом случае приводит к перемене варианта задания. Продуктивность самостоятельной работы зависит во многом от общих умений познавательной деятельности, поэтому учащихся нужно ориентировать на развитие умений обобщать, классифицировать, систематизировать и строить различные схемы изучаемого материала. При этом целесообразно подчеркивать, что например построение

таблиц, схем графиков в ходе изучения материала позволяет увеличивать объем запоминаемой информациипо сравнению с запоминаем на слух на 15-20. Организация самостоятельной работы на уроке вызывает большие трудности, здесь нельзя ограничится фронтальными воздействиями учителю необходимо дифференцировать работу учащихся, организовывать управление ею, приблизить самостоятельную работу к реальной практической деятельности. Решение каждой их этих задач достигается с помощью учебного оборудования.

Уже давно и прочно в практику школы вошли дидактические материалы, составленные по вариантам с различным уровнем трудности заданий. Управление самостоятельной работой учащихся в значительной мере можно поручить ТПО таблицы программного обеспечения. При этой работе облегчается управление классом со стороны учителя. Доказательство теоремы можно провести в виде структированного текста, содержащего блоки. Обращение к таким таблицам не только способствует непроизвольному и прочному запоминанию, но и учит

самостоятельному изучению нужных сведений, работе со справочной информацией. Хочется отменить организацию уроков- зачетов, которые называются математическими рингами, где ярко выражена самостоятельная работа при подготовке. За неделю до зачета предлагаются учащимся теоретические вопросы по определенной теме, которые он должен подготовить. К зачету учащиеся переписывают вопросы, а слева оставляют место для оценок за ответы на них.

До зачета договорится, что на своих карточках с тыльной стороны учащиеся проведут красную или желтую, или зеленую полосу, красная полоса обозначает, что обладатель такой карточки уверен в своих знаниях и хочет выйти на ринг одним из первых, желтая полоса свидетельствует о томи, что ученик не слишком уверен в своих знаниях, а зеленая говорит еще о меньшей уверенности. 1-ый вопрос по теории ученики берут из предложенного заранее им списка, а дополнительные вопросы могут

быть какими угодно по данной теме. Ребята могут их записывать из учебника или придумывать сами. Можно предложить и занимательную задачу и чем она оригинальна, тем больше баллов получит тот, кто е предложил, ребята должны быть настолько хорошо подготовлены, чтобы отвечать с ходу. При ответах разрешается делать на доске схематические чертежи, краткие записи. Если ответ надо подтвердить доказательством, отвечающий получает несколько минут для подготовки.

Пока один ученик готовится, вопросы задают другому. За правильностью ответов учитель следит вместе с классом. Каждому ученику разрешается дополнить или i поправить отвечающего. Его активность также оценивается баллами, заработанные баллы выставляются в специальную ведомость. Е. ведет ученик- контролер. В ведомости несколько граф, в которых проставляются баллы за работу заранее

установленного типа. Опрос сильных учащихся продолжается г целый урок. На втором этапе математического ринга учащиеся экзаменаторы . рассаживаются ,по одному за пронумерованные столы. Этот номер вопроса в списке вопросов, предложенных перед зачетом. Учащиеся, переходя от стола к столу должны побеседовать с каждым экзаменатором, но последовательности бесед они устанавливают сами. Тот из учащихся, кто почувствовал затруднение, может обратится к учебнику.

Ребята с желтой полосой могут воспользоваться учебником дважды, ас зеленой трижды. Штрафные очки им при этом не присуждаются. На третьем этапе математического ринга происходит подведение итогов, подсчет полученных баллов и выставление каждому участнику определенной оценки. Условия выставления баллов следующие 13а ответ на каждый их обязательных вопросов - по 10 баллов, 23а решение коллективной задачи-10 баллов 33а сообщение по теме -

20 баллов 43а активное участие в опросе - 3 балла 53а оперативность - 5 баллов 63а дополнительную задачу-20 баллов. После подведения итогов учащимся выставляются оценки. Если ученик получит от 110-140 баллов-5, от 90-100 баллов 4, от 70-90 баллов-3, от 60 и меньше. Решение учеником домашней задачи считается самостоятельной работой, но степень самостоятельности здесь установить трудно. Однако выполнение учащимися различных практических заданий связанных с построениями,

измерениями при условии, что они индивидуализированы можно всегда считать самостоятельной работой. Эффективность самостоятельной работы, формирование навыков самостоятельной деятельности во многом зависит от своевременного анализа результатов работы, когда у ученика еще не окончен процесс корректировки собственных знаний, когда образно говоря, он еще не успел поспать быть может ошибочную информацию в память, очевидно, что анализ самостоятельной работы должен носить обучающий характер, т.е. не просто констатировать количество

ошибок, а производить их разбор, с тем, чтобы учащиеся смогли до конца понять вопросов котором сделали ошибки. В управлении самостоятельной работой школьников у учителя наблюдаются такие ошибки а Учителя нередко совершенно избегают единых для всех учащихся учебных заданий из-за боязни списывания, но без этого вообще невозможно организовать учебно-познавательную деятельность, работу всего класса, б Другая ошибка - когда учебная работа задается фронтально, но учитель не следует за тем, чтобы она

сразу протекала в индивидуальной фазе, когда все ученики самостоятельно независимо друг от друга пытаются выполнить упражнение, решить задачу. Устная работа в таких случаях ведется лишь с активом класса, ведь ответы первых опрошенных учеников дают подсказку остальным. Учебные задания, предназначенные для устной работы должны быть не громоздкими, своего рода учебными заданиями на сообразительность, различных вычислительных расчетов, а ответ имел лаконичную, не громоздкую

форму. Если при проведении самостоятельной работы учитель сталкивается и с такими трудностями аучащиеся заканчивают работу не одновременно, поэтому целесообразно включать дополнительные задания для тех, кто работает быстрее. бтрудно подобрать задание, однако посильное для всех учащихся. Если выполняется ряд однотипных упражнений, то здесь его посильность реализуется его объемом трудно организовать проверку самостоятельной работы. Можно использовать вращающуюся доску или кодоскоп для

проверки самостоятельной работы. Самостоятельная работа как прием обучения может входить почти во все методы обучения, воспитывать в учениках потребность самостоятельно добывать знания, умение творчески пользоваться объяснениями учителя, помощью товарищей, книгами, конспектами одна из важнейших целей нашей работы. ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИЙ ПРИМЫ И МЕТОДЫ 1. Анализ программ и учебников Алгебра, 7, Алгебра,

8, Алгебра, 9, авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Тема Основная цель График функции ykxb. График функции ykx. В данной теме начинается работа по формированию учащихся умения находить значение функций по известному значению аргумента по графику и решать по графику обратную задачу. Учащиеся должны понимать, как влияет знак коэффициента k на расположение координатной плоскости графика

функций ykx, где k как зависит от значений k и b взаимная расположение графиков двух функций вида ykxb. График функции ykx. При изучении свойств функции ykx, важно рассмотреть с учащимися расположение в координатной плоскости графика этой функции при k0. График функции yx. При изучении функции yx, полезно остановится на вопросе о е связи с функцией yx2 , где х График функции yax2bxc. Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции уах2,

е свойств и особенностей графика. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции yax2bxc может быть получен из графика функции уах2, двух параллельных переносов вдоль осей. Примы построения графика функции yax2bxc обрабатываются на конкретных примерах. При этом следует обратить внимание на формирование умения указывать координаты параболы, е ось симметрии, направление ветвей параболы. Алгебра, 7 , Алгебра,

8 , Алгебра, 9 , авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Тема Основная цель Функция ykxb и е график. В данной теме начинается работа по формированию у учащихся умения находить значение функций по известному значению аргументапо графику и решать по графику обратную задачу. Функция ykx и е график Учащиеся должны понимать как влияет знак коэффициента k на расположение координатной

плоскости графика функций ykx, где k0, как зависит отзначений k и b взаимное расположение графиков двух функций при k0. Функция ykx и е график При изучении свойств функции ykx, важно расмотреть с учащимися расположение в координатной плоскости графика этой функции при k0 Функция y x и е график При изучении функции y x, полезноостановится на вопросе о е связи с функцией yx , где х0. Функция yax2bxc е свойства и график Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения

функции yаx2 , е свойств и особенностей графика. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции yax2bxc может быть получен из графика функции yax двух параллельных переносов вдоль осей. Примы построения графика функции yax2bxc отрабатываются на конкретных примерах. При этом следует уделять внимание формированию умению указывать координаты вершины параболы, е ось симметрии, направление ветвей параболы. Алгебра, 7 ,

Алгебра, 8 , Алгебра, 9 , Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. График функции. Функция ykx и его график Вводится понятие график функции. начинается работа по формированию у учащихся умений находить значение функции, заданной графиком, по известному значению аргумента, а также определять по графику функции значение аргумента, если значение функции задано. Изучение линейной функции предшествует изучение функции

ykx и ее график. Рассматривается зависимость расположения графика функции от значения коэффициента k. Учащиеся должны понимать, как влияет знак k на расположение графика. Функции yx , yax , yax bxc и их графики Научит строить график квадротичной функции. Последоательно знакомить с графиками и свойствами этих функций. Построение этих графиков на конкретных примерах осушествляется по точкам.

Основное внимание уделяется построению графика с использованием координат вершины параболы, нулей функции если они имеются и нескольких дополнительных точек. Преобразования же графиков являются вспомогательным материалом. Формируются умения определять по графику промежутки возростания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции Функция ykx Выработать умение устанавливать основные свойства читать график, по заданному

графику функции yx , yx , y1x, y x, ykx, yax bxc и изображать эскизы графиков этих функций. Математика 7 Арифметика. Алгебра. Анализ данных , Математика 8 Алгебра функции. Анализ данных , Математика 9 Алгебра функции. Анализ данных , авт. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. Тема Основная цель

Графики зависимостей yx, y-x, yx2, yx3, y x . Графики реальных зависимостей Познакомьтесь с графиками зависимостей yx, y-x, yx2, yx3, y x , сформировать первоначальные навыки интерпретации графиков реальных зависимостей. Учащиеся должны уметь достаточно быстро строить графики, указывая несколько характерных точек, изображать эти графики схематически. Рассматривается график y x . Специальное внимание уделяется работе с графиками реальных зависимостей

температуры, движения и др. Акцент ставится на умение считывать с графика нужную информацию. Графики функций ykx, ykxl, ykx. Графики реальных зависимостей При построении графиков формулируется представление об общих свойствах функции нули, промежутки, монотонности, сохранение знака График функции yax2bxc. Научит строить график квадратичной функции, по графику читать е свойства учащимся сообщается, что графиком квадратичной функции является парабола, рассматриваются

готовые графики квадратичной функции и анализируются их особенности наличие оси симметрии, вершины направление ветвей, расположение по направлению к оси. Учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на е симметрию. Сначала рассматриваются свойства и график функции yax2, затем показывается как при сдвигах параболы yax2 вдоль осей координат получаются графики новых квадратичных функций. Здесь формируется умение находить вершину и ось симметрии графиков квадратичных функций, заданных формулами

yax2q, yaxp2, yaxp2q. Рассматриваются некоторые примеры, связанные с переносом вдоль осей координат произвольных графиков. Центральным моментом является доказательство того, что график любой квадратичной функции yax2bxc может быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболы yax2, после чего учащиеся могут находить абсциссу вершины параболы по известной формуле. Значительное место отводиться задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические

представления. Старшая школа Алгебра и начала анализа, 10 11 класс, авт. М.И Башмаков. Тема Основная цель Графики тригонометрических функций Изучить свойства и графики тригонометрических функций, учащиеся должны хорошо усвоить вид графиков тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции Изучить графики показательной и логарифмической функции

Алгебра и начала анализа, 10 - 11 , авт. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. Графики тригонометрических функций Особое внимание нужно обратить на графическую интерпретацию свойств.Значительно расширит возможности учащихся в построении графиков функции рассмотрение вопроса о преобразовании графиков параллельный перенос на заданный вектор, растяжение вдоль оси

Ох, что позволит осознано строить графики гармонических колебаний Применение производной к исследованию функции и построению е графика Существенное внимание следует уделить решению разнообразных задач связанных с иследованием функции. Алгебра и начала анализа, 10 - 11 , авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Тема Основная цель

Степенная, покозательная, логарифмическая функции их свойства и графики Познакомить учащихся с графиками этих функций. Познакомить их с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и покозателей степени. Особое внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику. Тригонометрические функции и их графики. Научит учащихся строить графики тригонометрических функций.

Учащиеся должны научится выполнять эскизы графиков, используя эти свойства, а также устонавливать эти свойства по графику. Применение производной к построению графиков функций При изучении графика функций полезно показать построение графиков функций, которой не являются неприрывной на всей области определения. И особенности построения графиков четной и не четной функции. Программа для школы с углубленным изучением математики.

Алгебра, 8, авт. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др. Алгебра, 9, авт. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев. Тема График функции. Простейшие преобразования графиков параллельные переносы вдоль координатных осей. График функции ykx. График дробно линейной функции.

График функции вида y x, y x-mn. Отражение свойств функции на графике. Преобразование графиков функций симметрия относительно осей координат и относительно прямой yx. Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций связанных с модулем. Примеры построения графиков рациональных функций. Графики функций yx, yx. Графики функций yxn, y x. Алгебра,

8, Алгебра, 9, авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нелеков, С.Б. Суворова, Учебные пособия, Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 9 класса, авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Тема Построение преобразование графиков функций. График функции ykx. График дробно линейной функции.

График функции вида y x, y x-mn. График квадратичной функции. Построение графиков функций. График функций y-fx, yf-x, y-f-x, y fx yf x . Графики функций y x и yx Алгебра и математический анализ, 10, Алгебра и математический анализ, 11, авт. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. Тема

Построение графиков функций элементарными методами. Преобразование графиков. Графики дробно линейных функций. Графики функций, связанных с модулем. Графики взаимно обратных функций. Построение графиков функций с помощю производной. Графики тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции 2.

Построение графика функций с помощью преобразования Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. График функций вида yAf xbB может быть получен из графика функций yfx при помощи следующих геометрических преобразований а Осевой симметрии относительно оси 0X б осевой симметрии относительно оси 0Y в центральной симметрии

относительно начала координат точки 0 а Параллельного переноса сдвига вдоль оси 0X б параллельного переноса сдвига вдоль оси 0Y а Растяжения или сжатия по направлению оси 0X б растяжения или сжатия по направлению оси 0Y Отметим, что а При осевой симметрии относительно оси 0X точка x y переходит в точку x -y б При осевой симметрии относительно оси 0Y точка x y переходит в точку -x y в При центральной симметрии относительно начала координат x y переходит в точку -x -y а

При параллельном переносе вдоль оси 0X точка x y переходит в точку xa y, где а некоторое число при этом перенос происходит вправо, если а0, и влево, если а0, и вниз, если b0, p 1 вдоль оси 0X относительно 0Y точка x y переходит в точку px y б При растяжении сжатии в q раз q0, q 1 вдоль оси 0Y относительно 0X точка x y переходит в точку x qy Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования табл. 1, использование которых позволяет из известного графика функции yfx строить графики

других функций рис. 1 - 11. Таблица 1 HYPER13 EMBED Excel.Sheet.8 HYPER14HYPER15 Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций Пример 1. График функции y2x-3 получается из графика y2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 3. Переписав 2x-3 в виде 2x-32, замечаем, что график функции y2x-32 можно получить из графика функции y2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок

длины 32 рис. 12. Пример 2. График функции y4x2 получается из графика функции y x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x2 в виде 2x2 , замечаем, что график функции y x2 можно получить из графика функции y x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y рис. 13. Пример 3. График функции y 2x-3 получается из графика y 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3. Переписав 2x-3 в виде182x , замечаем, что график функции

y182x можно получить из графика функции y2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X рис. 14. Пример 4. Построить график функции y12arctgi4-x Решение построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме рис. 13 arctg arctg-x 12arctg-x 12arctg-x-14. Пример 5. Построить график функции yax2 bxc, a 0. Решение квадратный трехчлен ax2bxc можно записать в виде axb2a24ac-

b24a. Отсюда видно, что график функции yax2 bxc, получается из параболы yx2 по следующей схеме x2 ax2 ax2 ac b2 4a axb2a2 4ac-b2 4a т.е. для построения графика ya x2bxc надо Растянуть в а раз, если а 1 сжать а раз, если а 0 в промежутке - -2. Далее, 0 -2 2, f0-80, а потом fx0 в промежутке 2 . На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к

настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечены известные точки0 -8, 2 0, -2 0. Это ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшее исследование позволяет ответить на вопрос, как строить график. 6 Изучим поведение функции вблизи границ области определения. Поскольку Df- , такими границамиможно считать - и . преобразовав выражение x4-2x2-8 к виду x2- x2-2-8

x2, замечаем, что если х или х то у . Асимптот график не имеет. 7 Исследуем функцию на экстремум имеем y 4 x3-4x4xx-1x1 Прировняв производную нулю, находим три корня 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки - -1, -10, 01, 1 . Если х1, то у0, а в остальных промежутках знаки чередуются справа на лево, смотри рисунок.

Составим таблицу x -