Определенный интеграл

Определенный интеграл ИНТЕГРАЛ от лат. Integer - целый - одно из важнейших понятий математики, возникшее всвязи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, поскорости этой точки , а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работусил за определенный промежуток времени и т. п. СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙСимволвведен

Лейбницем 1675 г. .Этот знак является изменением латинской буквы S первойбуквы слова сумма . Само слово интегралпридумал Я.Бернулли 1690 г Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнеесостояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой полученаподынтегральная функция.

Возможнопроисхождение слова интеграл иное слово integer означает целый.Входе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли. Тогда же , в 1696г появилось и название новой ветвиматематики - интегральное исчисление calculus integralis , которое ввел И. Бернулли.Другиеизвестные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появилисьзначительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразнаяфункция заменило

более раннее примитивная функция , котороеввел Лагранж 1797 г Латинское слово primitivus переводится как начальный F x - начальная или первоначальная, или первообразная для функции f x , которая получается из F x дифференцированием.Всовременной литературе множество всех первообразных для функции f x называется также неопределенным интегралом.Это понятие выделил

Лейбниц, который заметил, что все первообразныефункции отличаются на произвольную постоянную. А называютопределенным интегралом обозначение ввел К. Фурье 1768-1830 , но пределы интегрирования указывал уже Эйлер . Самое важное из истории интегрального исчисленияВозникновение задач интегрального исчисления связано снахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математикамидревней

Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегральногоисчисления в значительно большей степени, чем дифференциальногоисчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод,созданный Евдоксом Книдским ок. 408- ок. 355 до н. э. и широко применявшийся Архимедом ок. 287 - 212 дон. э. .Однако Архимед не выделил общего содержанияинтеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритмаинтегрального исчисления.

Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда наобщедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов винтегральном исчислении они не получили.Деятельность европейских ученых в это время была ещеболее скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило передматематикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур задачи на вычисление площадей фигур

, кубатур задачина вычисление объемов тел и определение центров тяжести .Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 налатинском и греческом языках , стали привлекать широкое внимание, и ихизучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегральногоисчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегральногоисчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеинашли четкое выражение и были доведены

до уровня исчисления.Математики XVII столетия,получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активноприменялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился вДревней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себесоставленной из вертикальных отрезков длиной f x , которым тем не менее приписывали площадь, равнуюбесконечно малой величине f x dx. Всоответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S бесконечнобольшого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, чтоотдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которыесложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительнойоснове И. Кеплер 1571 - 1630 гг. в своих сочинениях Новая астрономия 1609 г. и

Стереометриявинных бочек 1615 г. правильно вычислил ряд площадей например площадьфигуры, ограниченной эллипсом и объемов тело резалось на бесконечно тонкиепластинки .Эти исследования были продолжены итальянскимиматематиками Б. Кавальери 1598 - 1647 годы и Э. Торричелли 1608 -1647годы .В XVII веке былисделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению.

Так, П. Ферма уже в 1629 годурешил задачу квадратуры любой кривой y , где N - целое т.е. вывел формулу , и на этой основе решил ряд задач на нахождениецентров тяжести. И. Кеплерпри выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался наидею приближенного интегрирования. И. Барроу 1603-1677 года ,учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования идифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции ввиде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученныхматематиками XVII столетия, исчисленияеще не было. Необходимо быловыделить общие идеи, лежащие в основерешения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцированияи интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютони Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам подназванием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформилсяобщий метод.

Предстояло еще научиться находить первообразные многихфункций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное ужебыло сделано дифференциальное и интегральное исчисление создано.Методы математического анализа активноразвивались в следующем столетии в первую очередь следует назвать имена Л.Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарныхфункций, и И. Бернулли . В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики

М. В.Остроградский 1801 - 1862 гг В.Я. Буняковский 1804 - 1889 гг П. Л.Чебышев 1821 - 1894 гг. .Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего,что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилосьтолько в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши,одного из крупнейших математиков немецкого ученого

Б. Римана 1826 - 1866гг французского математика Г. Дарбу 1842 - 1917 .Ответы на многие вопросы, связанные с существованиемплощадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом 1826 - 1922гг. теории меры.Различные обобщения понятия интеграла уже в началенашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом 1875 -1941 гг. и А. Данжуа 1884 - 1974 советским математиком

А. Я. Хичиным 1894 -1959 гг. Список использованной литературы1 . Афанасенко Е. И. Детская энциклопедия т.2 М Просвещение , 1964.2 . Вавилов В. В. Задачи по математике. Началоанализа М Наука , 1990.3 .Евграфов Н. Н. Курс физики для подготовительныхотделений вузов М Высшая школа , 1984.4 . Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа

М Просвещение , 1990.5 . Пинсий А. А. Физика М Просвещение , 1994.6 . Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедият.10 М Советскаяэнциклопедия , 1972.7 . Сканави М. И. Сборник задач по математике дляпоступающих во втузы М Высшая школа , 1988.8 . Яковлев Т. Х. Пособие по математике дляпоступающих в вузы М Наука , 1988.