Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

2. Математические моделиэлектромеханических систем в пространстве состоянийСпособы получения уравнений состояния реальных физическихобъектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощьюдифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основефизических законов, положенных в основу работы объекта.Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую издвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего наинерционную нагрузку с вязким трением.

Управляющим воздействием для двигателясчитаем напряжение на якоре U t , выходной координатой,угол поворота вала двигателя y t j t .Уравнение электрической цепи имеет вид,где - противо ЭДС, - угловая скоростьвала двигателя, - единыйэлектромагнитный коэффициент.Уравнение моментов будет иметь следующий вид,где ,

J -момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.Выберем следующие переменные состояния х1 i, x2 w, x3 j.Получим Запишем эти уравнения относительно переменных Запишем матричные уравнения где, , .Рассмотрим структурную схему электромеханической системы сдвигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязкимтрением.

Рис. 1. Структурнаясхема электромеханической системы с двигателем постоянного токаЗапишем уравнение состояния для механической системы,представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическимдемпфером. К грузу приложена сила P t ,выходная переменная перемещения x t , управляющие воздействия U t P t .Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил,где - инерционная сила, f - коэффициент вязкоготрения, - сила сопротивлениядемпфера, - сила сопротивленияпружины.

Выбираем в качестве переменных состояния x t и - перемещение искорость перемещения соответственно.Рис. 2.Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкийдемпферТак как дифференциальноеуравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будетравно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двухуравненийгде U t P t - управляющеевоздействие.Добавим к этим уравнениямследующее уравнение выхода.

Эти уравненияпредставляют собой уравнения состояния приведенной механической системы.Запишем эти уравнения состояния в матричном виде Запишем это уравнение вдругом виде где .С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующуюструктурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.Рис.3. Структурная схемаПример Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнениесостояния

RLC цепиРис.2.4. RLC цепьДинамическое поведение этой электрической системы полностьюопределяется при t sup3 t0, еслиизвестны начальные значения i t0 ,ec t0 и входное напряжение e t при t sup3 t0,следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i t и ec t . При указанныхпеременных состояния i t иec t имеемследующие уравнениягде , .Введем следующие обозначенияВ соответствии с этими обозначениями получаемпричем .

Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему ввекторно-матричном виде Запишем матричные уравнения где .