I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Вычислить предел 3v1 x4 - 1 lim x0 x sin x e1 Решение. 1 1 x4 - 1 3v1 x4 - 1 0 3 1 3 lim 1 x4 1 x4 lim x0 x sin x e3 1 0 3 x0 x sin x e3 1 1 1 4 x4 x4 x3 3 3 3 lim lim lim x0 x sin x e3 1 x0 x sin x e3 1 x0 1 cos x e3 1 4 x3 3 4 x2 4 x lim lim lim lim x x0 1 cos x e3 1 x0 sin
x e3 1 e3 1 x0 sin x x0 4 lim x 0. e3 1 x2. Найти асимптоты функции y 2 x arctg x2 Решение. Данная функция определена для x Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как lim 2 x arctg x2 и lim 2 x arctg x2 x x- Определим, существуют ли наклонные асимптоты f x 2 x arctg x2 arctg x2 k lim lim lim 2 x x x x x x 2 2 2 lim 2. x x - 2 arctg x2 Заметим, что lim 2 2 lim 2. x- x x- x 2 b lim fx kx lim 2x arctg x2 -
2x lim arctg x2 . x x x 2 Также b lim arctg x2 . x- 2 Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y 2x . 4 Ответ вертикальных и горизонтальных асимптот нет, 2 y 2 x - наклонная асимптота. 3. Определить глобальные экстремумы x3 f x - x - 3x, при x - 2, 3 Решение. Данная функция определена для x-2, 0.
Находим производную x3 f x - x2 3x x2 - 2x - 3 и критические точки 3 x2 - 2x - 3 0 x1 -1 или x3. Исследуем знак производной в окрестности точки x1-1, т.к. x1 -2,0 f x -1 x f x В точке x1 -1 производная f x 0 и в окрестностях точки x1 производная меняет знак, поэтому в этой точке функция имеет экстремум. 2 Вычислим значение f -1 1 . 3 Т.к. x2 -2, 0, то вычислим значения функций на концах данного интервала 2 f -2 3 f 0 0.
Среди функций находим наибольшее и наименьшее 2 inf f x - -2, -2, 0 3 2 sup f x 1 -1. -2, 2 Ответ f -2 - т. глобального минимума, 3 2 f -1 1 т. глобального максимума. 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции x3 f x - x - 3x 3 Решение. Область определения функции вся числовая ось. D f x Вычислим первую производную и исследуем ее знаки f x x2 -
2x - 3 и определяем критические точки f x 0 при x1 -1, x3. Исследуем знак первой производной до и после критической точки. f x -1 3 x f x f x 0 для x - -1 U 3 функция возрастает f x 0 для x -1 3 функция убывает. В точках x1 -1, x2 3 производная f x 0, и в окрестностях этих точек она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы. 2 Вычислим значения f -1 1 т. максимума, f 3 -9 т. минимума.
3 Ответ x - -1 U 3 функция возрастает x -1 3 функция убывает 2 f -1 1 т. максимума, f 3 -9 т. минимума. 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f x 1 x4 Решение. D f x Находим производные f x -41 x3 f x 121 x2. Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода 121 x2 0 x 1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки f x 1 x
Следовательно, для x - f x 0 и график функции выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через точку x 1 f x не меняет знак. Значит, точка M 1 0 не является точкой перегиба графика данной функции. Ответ x - график функции выпуклый вниз нет точек перегиба функции. II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции x2 1 f x x - 1 Решение. 1. D f x - 1 U 1 . -x2 1 x2 1 2. f -x -x - 1 x 1 Функция не является четной или нечетной. x2 1 3. Т.к. lim то прямая x 1 является вертикальной асимптотой. x1-0 x - 4. Горизонтальных асимптот функция не имеет, т.к. x2 1 x2 1 lim и lim x x -
1 x- x - 1 Определим, существуют ли наклонные асимптоты x2 1 f x x - 1 1 2 k lim lim lim 1 1 x x x x x x x2 x 2 Заметим сразу, что lim 1 1. x- x x2 - x x2 1 x 1 b lim fx kx lim - x lim 1. x x x - 1 x x - 1 x 1 Также b lim 1 . x- x - 1 Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y x 1 . 5. Вычислим первую производную 2 f x 1 - и определяем критические точки x -12 x1 1 2, x2 1- 2, x3 1
Исследуем знак первой производной до и после критической точки. f x x 1- 2 - 1 - 1 2 f x f x 0 для x - 1 - 2 U 1 2 функция возрастает f x 0 для x 1- 2 1 U 1 1 2 функция убывает В окрестностях точек x1 1 2, x2 1 - 2 производная f x 0 меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы. Вычислим значения f 1 - 2 2 2 2 т. максимума, f 1 2 2 2 2 т. минимума.
6. Находим вторую производную 4 f x x 13 Вторая производная не существует в точке x -1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки f x 1 x Следовательно, для x - 1 f x 0 и график функции выпуклый вверх, а для x 1 f x 0 выпуклый вниз. Т.о при переходе через точку x 1 f x меняет знак. Т. к. D f x - 1 U 1 , то нет точек перегиба графика данной функции.
7. Точки пересечения с осями координат если x 0, то f x -1 f x 8. Результаты этих исследований наносим на график. 2. Найти локальные экстремумы функции f x, y 2xy - 4x - 4y Решение. Находим частные производные первого порядка f x x, y 2y - 4 f y x, y 2x - 4. Решая систему 2y - 4 0, 2x - 4 0, находим стационарную точку
M 2. Находим вторые частные производные f xx x y 0 f xy x y 2 f yy x y 0. Для стационарной точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта M 2 2 A 0 B 2 C 0 A C B2 - 4 0 экстремума нет Ответ нет точек экстремума. 3. Определить экстремумы функции f x y xy , если x2 y2 2, x 0, y 0 Решение. Т.к. x2 y2 2, то x 2 y2. F y yv2 y2 . Вычислим первую производную y2
F y 2 y2 - и определяем критические точки при x 0, y 0 2 y2 y 1 x 1. M1 1 1 y 2 x 0. M2 0 2 критические точки. f y 0 1 - 2 x Ответ M 1 1 1 т. максимума III Интегральное исчисление функции одного переменного 1-3. Найти неопределенный интеграл dx dx 2 3 2 3 x 3 1. arctg C. x2 x 1 x 0, 52 0, 75 3 3 t arctg x arctg x dx 2. dx dt 2t dt t2
C arctg2 x C. x 1 x 2 x 1 x u ln x 1 x 1 dx dv 2ln x 1 x 11,5 3. x 1 ln x 1dx 1 2 x 11,5 - du dx v . 3 x 1 3 2x 11,5 dx 2ln x 1 x 11,5 4x 11,5 C. 3x 1 3 9 4. Вычислить 6 6 3 2- 3 x sin x2 dx - 0,5 cos x2 - 0,5 cos 0,5 cos 0 - 0,5 . 0 0 6 4 4 5. Определить длину кривой, описываемой графиком функции 2 y 2 x1,5 , -1 x 2 3 2 2 2 2 3 x3 2 16 2 L 1 y 2 dx 1 2 - x dx 4 . -1 -1 3 3 3 3 -1 2
Ответ L 4 . 3 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Сборник задач по высшей математике для экономистов Учебное пособие Под ред. В. И. Ермакова. М. ИНФРА-М, 2005. 575 с. Высшее образование. 2. Ермаков В. И. и др. Справочник по математике для экономистов. М. Выс. шк 1997 320 с. 3. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для
ВУЗов М. Издательство НОРМА, 2000 104 с. 4. Колмогоров А.Н Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа Учебник для вузов 3-е изд изм. и доп М 2001 672 с. 5. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике Практическое пособие М. АО Финстатинформ, 2004. 6.
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа В 2 т СПб. ГКМ Формика, 2002.