Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине Математика Алгебра Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы. В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя числовые характеристики матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства. Пусть дана квадратная матрица Аaijn n, где аij R Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок. Подстановка 1 2 n называется взаимно-однозначное 1 2 n отображение множества М1,2 n на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, Snn Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию -

если у подстановки четное число инверсии, то она четная -если-нечетное число инверсий, то она нечетная. Для обозначения четности подстановки используется символ sgn -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений1 единичная-четная 2 sgn 1 sgn 3 одна транспозиция меняет четность подстановки. Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого

столбца матрицы со знаком sgn где -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е. Asgna1 1 a2 2 an n , Aaijnn приняты также обозначения для определителя def A, Д. Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие 1. AAt,где Аt -трансионированная 2. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю 3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю. 5. Перестановка двух строкстолбцов матрицы изменяет знак определителя. 6. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее определитель. 7. Если i-строка столбец матрицы имеет вид ia1 ak b1 bk c1 ck,то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы

совпадают с элементами матрицы. 8. Если строку столбец матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число. и другие. Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij Mij и его алгебраического дополнения Aij . Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число -1ij

Мij Имеет место теорема о разложении по элементам строки столбца. Теорема 3 . A a1jA1j a2jA2j anjAnj или Aai1Ai1 ai2Ai2 ain Ain . Доказательство разобьем на три случая Cлучай 1. a11a1n A a21a2n ann Mnn 0ann Воспользуемся для доказательства определением определителя Asgna1 1 a2 2a n-1, n-1 a n n Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в

определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен sgn a1 1 a 2 2 a n-1, n-1 a n n a n n sgn a 11 a 2 2 a n-1,n-1,где 1 2 n-1 n 1 2 n-1 1 2 n-1 n , 1 2 n , т.к 1 2 n-1 n 1 2 n 1 2 n-1 n 1 2 n ,то sgn sgn . Мы видим, что в скобках определитель порядка n-1,полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому AannMnn, что и требовалось доказать. Случай 2. a 11 a 1j a 1n

A a ij A ij 0 a ij 0 a n1 a nj a nn Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим A11 a1j a1n a11 a1j a1n a11 a1n a1j A n-i n-i n-j 0 aij 0 an1 anj ann an1 ann anj an1 anj ann 0 aij 0 0 0 aij n- Mijaij ijaijMijaijAij Случай 3. Aa1iA1i a2iA2i aniAni. A11 a1j ann a1j0 0 a1j 0 0 A21 a2j a2n 0 a2j 0 0 a2j 0

A an1 anj ann 00 anj 0 0 anj a1jA1ja2jA2j anjAnj Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера. Теорема 4. Крамера. Если A не равен нулю, то система aijxjbi, где i1,n j1,n имеет

единственное решение, которое находится по формуле xi , где A , xi-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов. Пусть 1 aijxjbj, ij1,n, A 0. Запишем систему 1 в виде матричного уравнения 2 AXb, где А-основная матрица системы X1 b1 X X2 , b b2 xn bn Если A 0 А-1 А-1АХА-1b XA-1 b. Известна теорема утверждающая, что

A-1 A , где A -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда A11 A21 An1 b1 b1A11b2A22 bnAn1 X A b A12 A22 An2 b2 b1A12b2A22 bnAn2 A1n A2n Ann bn b1A1nb2A2n bnAnn x1 x2 , xn что и позволит получить формулу Xi , где A , i1,n Вопрос 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов вещей, явлений, процессов.

Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. ABa,b, aA, bB. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название бинарное отношение.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения АА. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А. Обозначения Wa,b ,a,bA aWb, a,bA a,bW,где a,bA Например, бинарные отношения являются 1. на множестве прямых. 2. на множестве чисел. 3. изоморфизм на множестве алгебр. 4. эквивалентность систем и др. Бинарные отношения могут обладать свойствами 1 рефлексивность aA, aWa 2

симметричность a,bA, aWbbWa 3 транзитивность a,b,c A,aWb и bWcaWc 4 связность a,bA,aWbbWa 5 антирефлексивность aA,a,aW 6 антисимметричность a,bA,aWb,bWaab В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают классификацию, которую представим схемой Бинарное отношение функциональность эквивалентность порядок xA, yA рефлексивность, антисимметричность, fxy cимметричность, транзитивность транзитивность строгий порядок нестрогий порядок

антирефлексивность рефлексивность частичный порядок полный порядок не обладает свойством обладает связностью связности Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WAA, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются сравнение по модулю, изоморфизм алгебр и другие. Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно

задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее. Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством. Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение. Теорема 2. Бинарное отношение задает на A0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности KaxxWa x,aA a-образующий элемент класса. свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются сравнение по модулю, изоморфизм алгебр и другие. Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества.

Рассмотрим это подробнее. Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством. Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение. Теорема 2. Бинарное отношение задает на A0 разбиение. Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности a-образующий элемент класса.

Классы эквивалентности обладают свойствами 1. aA попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka . Это утверждение следует из введенного определения класса. 2. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,ca , b c. c,bKa a c, c a , c b a b a b Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим. 3. Классы не пересекаются, т.е. КаКb Пусть КаКbсКаКbсКа,сКbсWа,cWbаWс,сWbаWbКаКb.

Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы A,W-эквивалентности Ka ,Kb a классы-подмножества A b классы-неизвестного подмножества c классы-не пересекающиеся d Ka A , аА Имеет место и обратное утверждение. Теорема 3.Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности . Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно,

A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A. Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs принадлежность одному подмножеству, то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность. Обозначим множество классов эквивалентности через Aw. Это новое множество называют фактор-множеством.

Итак, Aw Ka a A . Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности 1. Hа множестве дробей ab, аZ, bN зададим отношение аbсdadbс. Тогда класс эквивалентности Каbxy xyab-рациональное число, а KabAW-множество рациональных чисел. 2. Z, abmod ma-bm, KaZmZm-основное множество кольца классов вычетов. 3.

Ф-множество фигур, -подобие. Это отношение рождает понятие форма фигуры как класса подобных фигур. Вопрос 5 . Элементы теории групп. Алгебра как наука изучает различные алгебры векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы.

Введем понятие алгебры. Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств A,V ,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций. Опр. 2. Пусть дано множество A . Алгебраическая операция на множестве А называется отображение f АА, т.е. для a,bA, cAabc Опр. 3. Группой называется алгебра G, с одной алгебраической операцией , удовлетворяющей свойствам аксиомам 1.a,

b,cG, abcabc, 2.eG,aG eaaea. 3.aG, aGaaaae. e-нейтральный элемент относительно операции а-симметричный относительно операции для а. Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы. Теорема 4 свойства группы. В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения axb, xab разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еG, e1,e2-нейтральный единственный, рассмотрим 1e1eee1e. 2 e2eee2, откуда получим e1e1ee1ee2ee2e2, т.е. e1e2. 2. Пусть для aG, a1-1, a2-1-обратный для а. Рассмотрим 1 a1-1aaa1-1e 2 a2-1aaa2-1e , откуда получим a1-1aa2-1ea2-1a2-1, a1-1aa2-1a1-1ea1-1 a2-1a1-1. 3. axb aGa-1 aa-1a-1ae. Домножим уравнение на a-1 a-1axa-1bexa-1bxa-1b. Пусть уравнение имеет два решения x1, x2 ax1b, ax2b-

равенства, домножим на а-1 x1a-1b, x2a-1b. В силу алгебраичности операции x1x2, что и требовалось доказать. Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции. Опр. 5. Подмножество К группы G, называется подгруппой, если оно само является группой

K Теорема 6. критерий подгруппы. Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия 1.a,bK, ab,baK. 2.aK, a-1K. G-группа, K G. Пусть K G подруппы, тогда по определению К-группа. Следовательно, 1,2 выполнены. G-группа, K G, 1, 2. Покажем, что K G, т. е. К-группа. Для доказательства необходимо проверить четыре условия 1.

Замкнутость К относительно групповой операции. 2. Ассоциативность этой операции. 3. Существование нейтрального элемента. 4. Существование для каждого элемента обратного. Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КG. Проверим 3 Т. к. aK, a-1K ,условие 1, то аa-1 К. Но аa-1 е, следовательно, еК, что и требовалось доказать.

Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой подгруппой. Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие. Пусть G-группа, K G-подгруппа. Зададим отношение сравнения по подгруппе К abmod K ab-1 K. Проверим, что отношение -является эквивалентностью.

1.aG a-1G, aa-1e, eK aa-1K aamod K -рефлексивно. 2.abmod Kab-1K, a-b-1-1Kba-1Kbamod K-симметрично. 3.abmod K, bcmod Kab-1K, bc-1K ab-1bc-1K ac-1K acmod K -транзитивно. Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G. Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g

G, g и покажем, что gKghg hK, gG Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество. Kg gGG-фактор-множество. Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе abmod Kb-1aK. Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем КgG и gKG, a KggG и gKgG-образуют фактор-множества.

Возможен случай, когда для gG, KggK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру. Зададим операцию на множестве смежных классов Hgg, где нормальная подгруппа группы

G так Hg1Hg2Hg1g2 . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е если a, aHg1, b,bHg2, то ababmod H, т.е. ab, abHg1g2. abh1g1h2g2h1h2g1g2hg1g2abHg1g2 abh1g1h2g2h1h2g1g2hg1g2abHg1g2, следовательно ab, ab принадлежит одному классу, т. е. Операция на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу. Теорема 7.

Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу. Т. к. G, H G-нормальная, Hgg GG . Зададим операцию Hg1Hg2Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой. 1.Hg1Hg2Hg3Hg1Hg2g3Hg1g2g3Hg1g2g3Hg1g2Hg 3Hg1Hg2Hg3операция ассоциативная. 2. HgHeH Hg, H HgHHgHeHgeHg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.

3.Hg, Hg-1 HgHg-1Hgg-1HeH Hg-1HgHg-1gHeH, семейство класса Hg-1 выполняет роль обратного для Hg, т.е. Hg-1Hg-1. так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают GH и называют фактор-группой. Вопрос 6 Элементы теории колец. В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо. Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение

алгебры. Опр.1 Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств A,U , где А множество элементов любой природы, а U-множество операций. Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций. Опр.2 Кольцом называется алгебра K с двумя бинарными операциями, которые удовлетворяют следующим свойствам 1. K аддитивная абелева группа, 2. - ассоциативно, 3.

Имеет место два дистрибутивных закона, то есть а,в,с К , авсваса. Кольцо как алгебра допускает классификацию, представим е схемой Кольцо С единицей, т.е. Без единицыКоммутативны т.е. Не коммутативны С делителями нуля, т.е. Без делителей нуля. Замечание Определение всех классов колец предоставляется сформулировать читателю.

Опр.3Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называеться областью целостности. Примером области челосности является кольцо Z , колцо многочленов от одной переменной K , где К- область челостности. Так как кольцо это алгебра, а алгебра это множество, то есть смысл говорить о его подмножествах, среди которых особый интерес представляют подкольца. Опр.4 Подмножество I кольца К называется его подкольцом, если оно само является кольцом относительно

операции кольца К . Для проверки является ли рассматриваемое подмножество кольца К его подкольцом удобно пользоваться критерием подкольца. Теорема 5.критерий подкольца Подмножество I кольца К является подкольцом тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если 1 2 g Пусть где быть подкольцом .Покажем что 1 и 2 имеют место.

Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно 1 выполнено. Выполнимость 2 вытекает из того что I замкнуто относительно умножения. Ы Пусть , 1,2 выполнены. Покажем, что I подкольцо, т.е. что I кольцо. Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из 2 следует, что I замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что

. Рассмотрим условие 1. Пусть ,но ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I, следовательно, I кольцо. Так как , то это подкольцо. Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введм это понятие. Опр. 6 Подкольцо I кольца K называется идеалом если для В кольце с существует особый идеал Такой идеал называется главным идеалом.

Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным Пусть К является областью целостности. Зададим на нм отношение сравнения по идеалу I . Опр.7 . Легко проверить, что отношение эквивалентности 10.т.к.а-а0I, то отношение рефлексивно 20. Если а вmod I а-вI в-аI в аmod I отношение симметрично 30.Если а вmod I, в cmod I а-в I, в-с I а-вв-с а-с I а cmod I отношение транзитивно.

Как известно, отношение эквивалентности задат разбиение. Ка - класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е. 1 классы эквивалентности не пустые, 2 классы не пересекаются, 3 классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением 4 каждый элемент из

K входит в один из классов 5 объединение классов вычетов совпадает с кольцом. Множество классов вычетов Ка а К называется фактор-множество. Имеет место теорема о фактор-множестве. Теорема 8 Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов является кольцом. Для доказательства выполним следующие процедуры 1 зададим операции и проверим их корректность 2 операции

подчиняются аксиоматике кольца. 1.КаКвКав , КаКвКав Ка , Кв покажем, что ав Ка , ав Кав , Кв ав Покажем, что Кав , Кав Если и ав ав что доказывает, что введнные операции корректны, т.е. являются алгебраическими. 2.КаКвКсКаКвсКавсКавсКавКсКаКвКс сложение ссоциативно КаКвКавКваКвКа сложение коммутативно КаК0Ка0Ка К0I идеал выполняет роль нулевого элемента относительно

сложения КаК-а Ка-а К0 I К-а -Ка противоположные классы Ка.Кв.Кс Ка.КвсКавсКавсКав.Кс Ка.Кв.Кс Ка .КвКс КаКвс Кавс Кавас КавКас Вс рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому - кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I. Кроме отношения сравнения по идеалу

I в кольце рассматривается ещ отношение- отношение делимости . Рассмотрим его. Опр. 7Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует такое , что авс. а называется делимое, в делитель, с частное. И обозначается Отношение делимости позволит ввести ещ одно отношение ассоциативности элементов - а в а в в а. Элемент называется обратимым в К если для него существует такое, что ав1.

Элементы а и в называют так же делителями единицы. Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е. 10 - рефлексивно а , а а. 20 - антисимметрично а в, в а а в. 30 - транзитивно а в, в с, то а с. 40 а,в с ав с, ав с. 50 а1,а2, ,аn , aI c а1,а2, ,аn с. и ряд других свойств.

Отношение является отношением эквивалентности. 10 а а а. 20 а в а в, в а в а. 30 а в, вс а в, в с а с ca a c в a, с в с в ,в а с а Вопрос 7 Гомоморфизм колец В вопросе ставиться проблема взаимосвязи алгебр на примере колец, которые описываются гомоморфизмом. Предлогаеться решить проблему взаимосвязи кольца, фактор-кольца с другим кольцом, которая задатся теоремой об эпиморфизме колец.

Предварительно введм ряд понятий. Прежде всего, сформулируем определение алгебры и гомоморфизма алгебры. Опр.1 Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств A,U , где А множество элементов любой природы, а U-множество операций. Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций. Опр.2 Гомоморфизмом алгебр называется отображение одной из них в другое, сохра - няющее операции, т.

е. если А , В алгебры , с U, W множествами опреаций, f гомоморфизм А в В , то U, существует W. Гомоморфизм алгебр допускает классификацию Свойства fГомоморфизмМономорфизмЭпиморфизмИзоморф изм 1.Сохранение операций 2.x y1 fx1 y1 Все св-ва 1 - 3 Сформулировать определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма предоставляется читателю. Рассмотрим гомоморфизм колец. Опр.3 Гомоморфизмом кольца

K в называют отображение f Сохраняющее операции, т.е. fавfа fв fавfа fв. Опр.4 Ядром гомоморфизма f называется множество элементов из К, образы которых равны нулю кольца К, т.е. Ker f Теорема 5 Ker f кольца К в является идеалом К g а,в Ker f fa0 K, fв0K кK fa-вfа-вfаf-вfа-fв0- 00 K а-в Ker f fакfа fк0 fк0

Ker f fкаfк fа fк 00 Ker f ,что и доказывает, что Ker f кольцо К в К является идеалом К Имея К и идеал его I , можно задать отношение сравнения по идеалу. Известно, что это отношение является эквивалентностью поэтому задано разбиение, а следовательно, фоктор - кольца. Рассмотрим отображение Е К К I, где ЕxKx Покажем что Е гомоморфизм эпиморфизм . ExyKxyKxKyExEy

ExyKxyKxKyExEy. Kx K I x K, ExKx . Это позволяет утверждать что Е - эпиморфизм . Теорема 6 Если f K K эпиморфизм, то существует изоморфизм K Ker f на K такой, что эпиморфизм f равен композиции Е и изоморфизма. g Для доказательства теоремы предварительно рассмотрим и зафиксируем условие теоремы. К, К - кольца , f KK, fxx-эпиморфизм, тогда f обладает ядром

Kerf, которое является идеалом K. Становиться возможным К фиксировать по Ker f I, получаем фактор кольцо К Ker f. Рассмотрим Е К Ker f, где ExKx эпиморфизм. Теперь можно приступать к доказательству теоремы, которое предполагает выполнение процедур по плану 1 покажем что для x,yKx , fxfy, 2 зададим отображение KKer f K так Kxfx, 3 проверим, что - гомоморфизм эпиморфизм мономорфизм.

4 f E. Итак, покажем, что для x,yKx, fxfy. Пусть fxfy fx-fy0 fx-y0 x-y Ker f x ymod Ker f xKx yKy ,что противоречит условию Поэтому утверждение верноИзобразим условие теоремы и результат доказанного схемой K x f fx K y Ker f 0 E Kx 0 K Ker f Зададим отображение Кker fK , Kxfx. KxKyKxyfxyfxfyKxKy KxKyKxyfxyfxfyKxKy, те -гомоморфизм.

КхКуКхКу.Пусть это не такпусть КхКуfхfух и у из одного класса,что противоречит условию т.е мономорфизм. хК т.к. f- эпиморфизм, то хК, fхх, тогда Кх Кker f EхКх, а Кхх, что позволяет утвердждать - эпиморфизм Итак , -изоморфизм Кker f и К. Пусть оЕх оЕхЕхКхfхоЕf Вопрос 8 . Делимость в кольце целых чисел В вопросе ставится проблема отношения делимости в кольце целых

чисел и возможное его приложение для нахождения НОД и НОК целых чисел. Опр.1. Число а называется делящимся на число во, если существует такое число с, что авс, а называют в этом случае делимым, в делителем, с частным. Обозначают отношение . Отношение делимости на обладает рядом свойств 1 а 0, аа, Доказательство 2 а0, в0, а в, ваав, а0 аа1аа 3 а,в,с, ав и вс ас ававс

Истинность названных трех ваваd ааdса1аdс Свойств позволяют утверждать, а1-dс01-dс0dс1 нет делителей редко Что отношение делимости d и с делением 1, т.е.равны 1 или -1 является нестрогим частичным ававк асmкас порядком. всвсm 4ав ,свавс, авс 5 асвс, с0ав и ряд других Убедимся в том, что отношение делимости не обладает свойством связности , т.е. является частичным. Это легко проверить примером 45. Потому естественным образом возникает проблема деления целого числа

на другое не равное нулю. Такая ситуация описывается теоремой о делении с остатком. Т 2. а,в0, gч такие, что авgч, где 0чв Теорема содержит в себе две о существовании и о единств. Рассмотрим ихдоказательства. Случай 1. а0.Проведем доказательство методом матиндукции. а0 0в00, где видно , что g0, r0 ап и пусть теорема для п верна, т.е. 1 пвgr, 0r , 0в ап1 прибавим к обеим частям равенства 1 по 1, получим п1вgr1.

Исследуем r1.Если r1в, то теорема верна для п1, если r1в,то п1вg10 и теорема вновь верна. На основании принципа матиндукции можно утверждать,что теорема верна для любого целого числа а0. Случай 2. а0, тогда -а0 и теорема для этого числа верна, т.е авgr 0rв. Поступим так Ав-g-r, прибавим к левой части и вычтем в, получим ав-g-вв-rab-1-g b-r, где 1-g, в-r в, при r0, т.е. теорема верна. Пусть для а,в0 существует два варианта авg1r1, авg2r2, где 0r1,r2в.

Заметим, что g1g2r1r2. Действительно, если r1r2r1-r2вg2-g10, в0g2-g10 G1g2, g1g2g2-g10r1-r20r1r2. Поэтому рассмотрим случай, когда r1r2, тогда вg1r1вg2r2r1-r2вg2-g1. Так как 0 rb, 0r2b, то r1-r2b. С другой стороны bg2-g1bg2-g1g1g2b, Т.е. R1-r2b, что привело к противоречнию. Теорема доказана. Рассмотрим возможное применение отношения делимости и отношения с остатком для введения и способа вычисления

НОД и НОК двух целых натуральных чисел. Введем определение НОД и НОК. Опр.3 Наибольшим общим делителем двух целых чисел а и в называется такой Их общий делитель, который делится на всякий другой их общий делитель. Опр.4. Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется такое их общее кратное , на которое делится всякое другое их общее кратное. НОД и НОК двух чисел и большего числа можно находить способом разложения

на простые множители. Здесь рассмотрим другие способы в частности, алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида представляет собой конечный процесс деления одного числа на другое, затем второго числа на первый остаток, затем первый остаток деления на второй и так до тех пор, пока деление завершится без остатков. Это считается возможным, потому что остатки будут неотрицательным числом, убывают, что бесконечным быть не может. Оформим этот процесс математически аbg1r1, 0r1b, br1g2r2, 0 r2r1, rk-2rk-1gkrk,

0rkrk-1 rk-1rkgk1 rk10 и докажем теорему о нахождении НОД чисел. Заметим, что НОД чисел обозначаем так НОД ав, или просто а,в Теорема 5 Последний, отличный от нуля, остаток в алгебре Евклида является НОД ав. Для доказательства требуется предварительно рассмотреть две леммы Лемма 1 авgr, то а,вв,r a,bdad1bda-bgdrdd общий делитель в и r, т.е если в,rd1,то d1d 1 в,rd1bd1, rd1ad1d1общий

делитель a и b,dd1 2 Из 1 и 2 следует, что dd1 Лемма 2 ав а,вв Теперь допишем теорему. Из последнего равенства в алгоритме Евклида следует, что rk-1,rkrk. А из предпоследнего, по лемме, следует, что rk-2,rk-1rk-1,rkrk Поднимаясь от равенства к равенству в алгоритме Евклида получим а,в,rk Что и требовалось доказать. Решим вопрос о нахождении

НОК а,в.Обозначим НОК а,вm И докажем теорему Теорема 6 maba,d. Для доказетельства воспользуемся определением НОК. Напишем, что ава,в делится на а и на в. а,вaa1d, тогда ababa1db1dda1b1ab1a1b, что и доказывает утверждение. bb1d a1,b11 Покажем, что любое кратное чисел а и в делится на m.Пусть М общее кратное а и в Мак, МвmMabsabsddaba,bsd

Maba,b, что и требовалось доказать. Используя определение НОК а,в можно Сделать вывод, что maba1b Вопрос 9 Элементы теории сравнения с кольце В вопросе решается проблемы возможности задания бинарного отношения cравнение по модулю m в кольце целых чисел, его свойств, среди которых построение новых алгебр из . Пусть -кольцо целых чисел, m , m 1 Опр.1 Числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если а-вm.

Записывается авmodm. Легко показать, что введенное бинарное отношение на является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности ,симметричности ,транзитивности. Действительно 1 a-a0, 0maa modm 2 ab modma-bmb-amba modm 3 ab modm, bc modma-bm,a-bb-cma-cm ac modm Это очень важное свойство отношения сравнения,т.к. в таком случае оно задает разбиение На , что рождает фактор множество Кmm, как множество классов эквивалентности.

Общая теория колец рассматривает эту ситуацию и утверждает, что m x- кольцо. Здесь же мы рассмотрим порождение другой алгебры мультипликативной группы. Для этого введем понятие взаимной простоты класса и модулем m. Класс Каа называется взаимнопростым с m, если а,m1, где а образующей класса Ка Однако в теории классов известно, что таким обьразующим может быть любой элемент из этого класса.

Рассмотрим множество классов вычетов, каждый из которых взаимно прост с m. Известно, что количество чисел, взаимно простых с модулем определяет функцию Эйлера gm ,и что остатком от деления целых чисел на m составляют полную систему вычетов Взаимно простые с m следует искать среди классов Ко,К1,К2 Кm-1. Пусть такими классами будут r1,r2,rgm .

Такую систему классов называют приведенной Системой классов вычетов и их представителем приведенной системы вычестов r1,r2,rgm. В этой системе ровно gm элементов, ri,m1, ri,m1 Теперь докажем теорему о приведенной системе классов вычетов. Теорема 2. Приведенная система классов вычетов по модулю не образует мультипликативную группу. Для доказательства теоремы необходимо проверить существенные признаки мультипликативной группы, т.е.

проверить 1 замкнутость относительного умножения, 2 ассоциативность умножения, 3 существование единичного элемента, 4 существование для каждого элемента обратного. Рассмотрим r1,ri,rgm,где ri,m1, напомним ,что rirjrirj. rim1 rj,m1 1 ri,m1 rj,m1 Если предположить, что rirj,m1, то это будет означать, что най р-простое число такое, что rirjp1 mp Если ri или rj делятся на р, то нарушаем условие 1.Если ri p, то по известному утверждению, abp,a,p1bp,

следует, rip, что также приводит к противоречию 1. И так, rirj,p1 rirj,p1, т.е.rirgr1,r2,rjm, что утверждает с необходимостью замкнутость очередного умножения. Так как классы вычетов rim, то умножение Так как 1,m1, то ri1, т.е. единый класс в рассматриваемом множестве есть. Пусть а, а,m1, рассмотримar1,ar2,argm.Легко показать, что Это тоже приведенная система вычетов.

Тогда ari1ari1, т.е. для ri Существует класс ему обратный аri-1. Можно существование обратного класса доказать и таким Способом a,r2rgmrj, сократим на ri, получим r1,r2rj-1,rj1 rgm1, тогда r2rgmr1-1,r1r3rgmr2-2 и т.д что подвтерждает факт существования для каждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана. Теория сравнения имеет всевозможное применение.

В частности, теория сравнения Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак Делимости на m, m1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т.е. anan-1a1a0gangnan-1gn-1a1g1a0g. Теорема 3.Паскаля Число ааn,an-1a1,a0g делится на m,m1 тогда и только

Тогда, когда на m деления в число anrman-1rn-1a1r1a0r0, где ri остаток От деления gi на m. gmg0r0, g1mg2r1,gnmgnrn g0r0m0dm,g1r1m0d0 gnrnm0d0. Используя свойства сравнения легко получаем, что angna0g0anrna0r0 m0d0. Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы. Общий признак позволяет вывести частный признак. Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число

записано в десятичной Системе исчисления. 1. m3, g10,тогда 1011mod3, 101 mod3, используем лемму, можно утверждать, что остатки ri 1, по по признаку Паскаля anan-1a010ana0mod3, откуда можно сфоормулировать признак делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в десятичной делится на 3. Пусть Р, т.к. Р Р, то аSs a1 a0, где fх аSхs a1х a0 Рх, f . Пусть gх линейный элемент для , т.е. gх bnхn b1х b0.

Разделим fх на gх 1 fх gх g1х rх, 0 deg rх n, т.е. rх с0 с1х сn-1хn-1. сiр. положим х в 1, получим f g g1 r, т.к. g 0, то f r, т.е. с0 с1 сn-1n-1. Получили, что такое представление однозначное. Пусть с0 с1 сn-1n-1 и d0 d1 dn-1n-1. Рассмотрим многочлен цх с0 - d0 с1 - d1х сn-1 - dn-1х n-1, причем ц 0, т.е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого является корнем, что противеречит линейности многочлена для . Если цх существует, то он нулевой, поэтому сi di, что и доказывает теорему.

Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби. Пусть алгебраический элемент степени n 1 не из Р Пусть fх, hх два многочлена из Рх, h 0. Тогда в р может быть дробь . Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации степеней . Это возможно, так как любой элемент из р есть линейная комбинация 1, n-1

Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования. Пусть gх минимальный многочлен для степени n. Т.к. h 0, то hх gх hх, gх 1 uh vg 1. Т.к. g 0, u h 1 u . Следовательно, f u , где fх, uх Рх, а f , u Р. Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так 1 рассмотрим hх и gх минимальные , если 2 с помощью алгоритма евклида подобрать uх такой,

что hх gх vх gх 1 3 найти u f u Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной. Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена. Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры. Определение 1. Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где множество элементов любой природы, а V множество операций. Одной из алгебр является кольцо.

Определение 2. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями сложение и умножение удовлетворяющих следующим свойствам 1. K аддитивная абелева группа 2 ассоциативная операция 3. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом. Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена. Определение 3. Многочленом fx называется сумма anxnan-1xn-1 a1xa0, где aiK, x неизвестное, xK, x01, 1x

x. ai называют коэффициентами многочлена, an- старшим, a0 свободным членом. Определение 4. Суммой двух многочленов и называется многочлен hxfxgx, hxckxk c0, где ciaibi. Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где . Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через Kx и рассмотрим алгебру Kx Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом.

Теорема 6. Алгебра многочленов Kx с коэффициентами из кольца K образует кольцо. 1. fxgxhxfxgxhx fxgxgxfx fxgxhxfxgxhx fxgxhxfxgxfxhx Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами. 2 называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т.е выполняет роль нулевого элемента в алгебре

Kx. 3. fx-anxn a1x-a0-fx называют противоположным многочленом для многочлена fx, он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то Kx - кольцо, которое обозначают Kx и называют кольцом многочленов над кольцом K. Теорема 7. Если K область целостности, то Kx тоже область целостности. Для доказательства этой теоремы введем понятие степени многочлена.

Степенью многочлена fx называется максимальный показатель степени x с коэффициентом отличным от нуля. Обозначение deg fxn, где an0. Степень многочлена обладает свойствами deg f g max deg f, deg g deg fg deg f deg g, если K область целостности. Доказательство свойств степени многочлена осуществляется на основе двух аргументов во-первых, на основании выполнения операций во-вторых, на основании целостности K. Приступим к доказательству теоремы. Требуется проверить выполнимость 1 коммутативности умножения

и 2 отсутствие делителей нуля. 1 коммутативность умножения следует из определения умножения многочленов над областью целостности, где умножение элементов коммутативно. 2 fx , deg fxn0, gx , deg gxm0, deg fxgxdeg fxdeg gx nm 0 deg fg nm 0 cnm 0 fg , это и доказывает отсутствие делителей нуля в Kx, где K область целостности. Пусть возникла ситуация, где требуется многочлен fx anxn a1xa0 разделить на двучлен x-a. Это можно сделать с помощью алгоритма, который принято в математике

называть схемой Горнера. Построим этот алгоритм. fx x-agxrx, где fx anxn a1xa0, gx bnxn b1xb0 . Воспользуемся свойством степени, получим deg fx deg x-agxrx maxdeg x-agx, deg rx deg x-agxdeg x-adeg gx. Из этих равенств можно сделать вывод, что mn-1, deg rx0, т.е. rx число, т.е. anxnan-1xn-1 a1xa0x- -abnxn b1xb0r. Раскроем скобки справа и приравняем коэффициенты многочленов. Для удобства одновременно воспользуемся схемой. anan-1

A2a1a0abn-1bn-2abn-1an-1 b0ab1a1b0ab1a1rab0a0anxnbn-1xn bn-1an an-1xn-1bn-1xn-abn-2xn-1 an-1bn-1-abn-2 bn-2an-1abn-1 b1ab2a2, b0ab1a, rab0a0. Введем понятие корня многочлена. Определение 8. Число xa называется корнем многочлена fx, если значение многочлена fa равно нулю. Рассмотрим теорему Безу о делении многочлена на двучлен x-a. Теорема 9. Безу Остаток от деления многочлена fx на двучлен x-a равен fa. fx, x-a.

Поделим, fxx-agxr, мы установили, что r число. Подставим xa в равенство, получим fa0gar, откуда вытекает утверждение теоремы fa r. Из теоремы вытекает следствие fxx-a xa корень уравнения. fx x-a fxx-agxfa по теореме Безу, fa0 xa корень fx Пусть xa корень многочлена, т.е. fa0 fxx-agx по теореме Безу, т.е. fx x-a. Вопрос 11. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел. В алгебре многочленов имеют место две взаимно пересекающиеся, взаимно дополняющие линии.

Это вопросы существования и количества корней многочлена и разложение многочлена на неприводимые множители. В вопросе представлено решение этих аспектов для кольца многочленов над полем комплексных чисел, т.е. для кольца Cx, где C поле комплексных чисел. Итак, пусть P поле. Определение 1. Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени имеет в этом поле корень. Алгебраической замкнутостью обладает поле

C, это решается основной теоремой алгебры. Теорема 2. Любой многочлен положительной степени из кольца Cx обладает по крайней мере одним корнем. Примем эту теорему без доказательства в силу того, что она требует предварительного доказательства ряда теорем из математического анализа. Из основной теоремы алгебры вытекает ряд следствий, их и рассмотрим. Следствие 3. Неприводимым над полем C многочленом является многочлен только первой степени.

Для доказательства этого утверждения введем определения приводимого и неприводимого многочлена. Многочлен fxPx называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени. В противном случае многочлен называется неприводимым. Приступим к доказательству следствия 3. Пусть дан fxCx. Пусть он приводим. Покажем, что 1. рассмотрим fxa1xa0, degfx1.

Предположим, что fx приводим. Тогда по определению приводимого многочлена fxf1xf2x, где degf1x 0, degf2x 0. Однако по условию degfx11001, то есть degf1x0degf2x0, что противоречит свойству степеней. Полученное противоречие и доказывает неприводимость многочлена а1ха0. Пусть deg fx 1, тогда по основной теореме алгебры он обладает корнем. Пусть таким корнем будет ха. По следствию из теоремы

Безу fxx-af1x. Так как degx-a1, degfx 1, degx-af1xdegx-adegf1x, то degfx 0 то есть fx приводим, что противоречит условию. Таким образом, неприводимым над полем С является только многочлен первой степени. Следствие 4. Если fxCx, degfxn1, то его можно представить в виде сx-a1x-a2 x-an, где ai корни его, а сС. Пусть fxc1xc0 c1x-a1, где ,то есть для многочлена fx утверждение верно он представляется в виде и а1

корень его, а с1 старший коэффициент. Далее, проведем доказательство методом математической индукции. Пусть теорема верна для многочлена степени меньшей или равной n-1, то есть fxcx-a1 x-an-1, где a1, a2, an-1 его корни, а с старший коэффициент. Пусть fx неприводим, а это возможно только для n1, для этого случая теорема верна. Либо fx приводим, тогда fxgxhx, где степени gx и hx меньше n, для них теорема верна. В силу свойства степени fxcx-a1 x-an, то есть множителей будет ровно n.

По следствию из теоремы Безу аi корни fx, если расткрыть скобки в правой части и воспользоваться равенством многочленов, то с старший коэффициент fx. Теорема доказана. Из этого в следствии с необходимостью вытекает еще два. Следствие 5. Количество комплексных коней многочлена fxCx совпадает с его степенью. Следствие 6. Любой многочлен fxCx положительной степени n можно представить в виде fxcx-a11x-a22 x-

akk, где 1 kn, ai его корни. Такое представление носит название канонического. Возможность такого представления вытекает из следствия 4 и допустимости повторяющихся корней, то есть кратных корней многочлена. В теории многочленов над С имеет место теорема, устанавливающая связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Теорема 7. Пусть fxCx, degfxn, an1 то есть fx нормирован, тогда как известно, fxx-a1x-a2 x-an, где

имеет место соотношение а0 -1n a1 a2 an a1 -1n-1 a1a2 an-1 a2a3 an an-2 a1a2 a1a3 an-1an an-1 -a1 a2 an эти соотношения называются формулами Виета. Однако, справедливости ради, надо отметить, что Виет нашел эту зависимость только для случая положительных корней, в общем виде эта теорема установлена А. Жирарое. Вопрос 12 Кольцо многочленов над полем действительных чисел R. В алгебре имеет место теория многочленов. Многочлен введен по определению как выражение fxanxnan-1xn-1

a1xa0, где aiK кольцо, x01, 1x x. Введение операций и многочленов позволило построить алгебру многочленов, которой является кольцо многочленов над кольцом К и обозначается Кx. Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца К взято поле. Такими числовыми полями являются C, R, Q. В силу существования операции деления в поле, стало возможным рассматривать два взаимосвязанных

вопроса в теории многочленов корни многочлена и разложение многочлена на неприводимые многочлены. Рассмотрим решение этой проблемы для кольца многочленов над R. Теорема 1. Комплексные корни fxКx, то есть с действительными коэффициентами попарно сопряженными. Пусть fxКx, и пусть zabi a,bR комплексное число, являющееся корнем fx, причем degfx2 в противном случае fx комплексных корней иметь не может. Покажем, что a bi, b0 тоже является корнем fx. f an nan- n-1 a0

воспользуемся свойством сопряжения , то есть является корнем fx, что и требовалось доказать. Рассмотренная выше теорема позволяет доказать теорему о неприводимом многочлене из Rx. Напомним определение приводимого и неприводимого многочленов. fx называется неприводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени и неприводимым, если этого сделать нельзя. Рассмотрим fx a1xa0, aiR. его нельзя представить в виде произведения двух

многочленов меньшей положительной степени в силу того, что 11001. Решать будем вопрос о приводимости и неприводимости многочлена fxRx степени большей или равной 2. Теорема 2. Неприводимый многочлен fxRx, degfxn2 ассоциирован с многочленами x-a2b2,где xabi комплексный его корень. Пусть fxRx, degfxn2, пусть xabi, b0 корень fx, он неприводим. Прежде всего отметим, что у такого многочлена нет действительных корней, иначе бы fxx-a f1x следствие

из теоремы Безу, что противоречило бы его неприводимости. По теореме о сопряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами fx обладает еще одним корнем x2a bi, где x2 . Рассмотрим x-x1x-x2x-a2b2. Разделим fx на многочлен , получим 1 fxx-a2b2gxrx. Так как степень делителя равна 2, то degrx 2, то есть rxcxd.

Подставим в 1 x1abi и x2a-bi, мы получим Так как b0 , то c0, тогда d0, то есть rx . Это означает, что fx . Но fx неприводим, потом deg gx0, то есть gxR. Что и подтверждает ассоциированность fx и . Теорема 3. Рассмотренная выше теорема позволит сделать ряд выводов 1. Неприводимыми многочленами над R могут быть многочлены не выше второй степени.

2. Многочлен fxRx, degfx1 может быть представлен в виде , где если среди корней есть кратные, то можно представить и в виде , где Si кратности корней, а tj кратности сопряженных мнимых его корней. Представление называется каноническим представлением fx. Теорема 4. Теоремы 1, 3 позволяют сделать с очевидностью вывод о том, что четность действительных корней совпадает с четностью его степени. Вопрос 13. Кольцо многочленов над полем рациональных чисел

Q. Теория многочленов утверждает, что множество многочленов fx an xn a1 x a0, где ai K кольцо, x01, xK, 1xx с операциями сложения и умножения образуют кольцо многочленов над кольцом K и обозначают Kx. Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца K рассматривается поле P. В силу того, что в поле P есть операция деления, становится возможным построить теорию корня многочленов и теорию приводимых и неприводимых многочленов.

Рассмотрим, как решается эта проблема в Qx. Напомним, что корнем fx называется такое число xa, что fa0. fx называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух многочленов меньшей положительной степени, в противном случае его называют приводимым. Итак, пусть Qx, fx Qx, где fx an xn a1 x a0 1, сформулируем и докажем теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если многочлен имеет рациональные коэффициенты, то он легко преобразуется

к ему ассоциированному с целыми коэффициентами. Поэтому теорию существования и нахождения корней fx Qx рассматривают именно для такого варианта, т.е. fx Qx, а ai Z. Теорема 1 Если Q, где p,q1, является корнем многочлена 1 fx an xn a1 x a0, ai Z, то p является делителем свободного члена, а q-делителем старшего коэффициента an. Если Q корень fx, то f 0. Подставим в 1 вместо x, получим 0 an a1 a0, приведм к общему знаменателю,

получим 0 an pn an-1 pn-1 q a1 p qn-1 a0 qn 2. Преобразуем 2 2.1 0 an pn qan-1 pn-1 a1 p qn-2 a0 qn-1 an pn q Qq, qQq an pn q, p,q anq, т.е. q-делитель старшего коэффициента 2.2 0 pan pn-1 a1 qn-1 a0 qn pQ a0 qn p, pQ p, a0 qn p, q,p1 a0 p, т.е. p-делитель свободного члена, что и доказывает теорему. Следствие 2 Если fx Qx, а ai Z, an1, то он обладает только целыми корнями, которые находятся среди делителей свободного члена. Истинность этого утверждения очевидна в силу того, что an1, а делители 1

являются только 1, следовательно, q1 и Z. Т.к. pZ находятся среди делителей, то утверждение верно. Решим проблему неприводимости многочлена из Qx, вернее о степени такого многочлена. Решение этой проблемы предложено Эйзенштейном и носит название критерий Эйзенштейна о неприводимости многочлена в Qx. Заметим, что решение этой проблемы тоже есть смысл рассматривать для fx Zx, поскольку Q является полем частных области целостности

Z. Теорема 3 Пусть fx cn xn c1 x c0, ci Z. Пусть все коэффициенты fx, кроме старшего, делятся на p2. Тогда fx неприводим в Zx. Доказательство проведм методом от противного. Пусть fx Qx или fx Zx приводим, т.е. существуют такие gx, hx Zx, что fx a0 ak xk b0 bm xm gxhx, ak 0, bm 0, k m n, причем 1 k, m n. Тогда c0 a0b0, cn akbm. Так как c0p, c0 неp2, c0 a0b0 a0 неp

Л b0 неp пусть a0p, b0 неp. Так как cn неp, то ak неp, bm неp, тогда у gx есть коэффициент делящийся на p и неделящийся на p. Пусть as коэффициент gx с наименьшим s таким, что as неp, т.е. a0, a1 as-1p, а as неp. Найдем cs as bs as-1 b1 a0 bs s n, т.к. as неp, b0 неp, то as b0 неp, число as-1 b1 a0bs p, по свойству делимости в кольце Z, cs неp, s n, а это противоречит условию. Получено противоречие в силу предположения, что fx - приводим.

Что и доказывает теорему о неприводимости fx. Следствие 4 Если p простое число и n любое целое положительное число, то многочлен xn-p неприводим в Qx. Теорема 3 и следствие 4 позволяют сделать вывод о том, что в Qx существуют неприводимые многочлены любой степени. Поэтому решение проблемы нахождения корней fx и разложения его на неприводимые многочлены затрудненно

и требует в каждом конкретном случае особого подхода. Вопрос 14. Простое алгебраическое расширение поля. Пусть дано поле P. Px- кольцо многочленов от одной переменной над полем P. Обратимся к понятию алгебраической замкнутости поля P. Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен fxPx обладает хлтя

бы одним корнем. Введем такое понятие элемент Р называется алгебраическим над полем Р, если существует fxPx, для которого является корнем. Пусть дано поле Р и Р, F поле. Определение 1. Простым расширением поля Р с помощью элемента называется наименьшее подмножество поля F, содержащее Р и . Простое расширение поля Р с помощью

F обозначается Р. В вопросе решается проблема о строении Р и возможности применения этой теории для освобождения знаменателя дроби от алгебраической иррациональности. Для решения обозначенной проблемы рассмотрим РffxPx, где Рa0a1 annaiP, nN. Легко проверить, что Р подкольцо поля Р. Теорема 2. Пусть Рx кольцо над Р, Р простое расширение

Р с помощью элемента . Пусть Рх на Р отображение такое, что fxf. Тогда 10. aP, a 20. x 30. гомоморфизм и эпиморфизм 40. Ker fx Рx f0 Р 50. Фактор-кольцо РхKer изоморфно кольцу Р. 10 и 20 следуют из определения . 30 fxgx fg, fgfg, 11, это проверяется непосредственно, поэтому гомоморфизм fР, fx

Рx, fxf эпиморфизм. 40 следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения . Рассмотрим 50. Так как Ker идеал Рх, то становится возможным Рх факторизовать, получить РхKer , тогда по основной теореме об эпиморфизме колец РхKer Р. Рx РxKer, fxKfx. РxKer Р, где Kfxf изоморфизм. Следствие 3. Если - трансцендентный элемент над полем

Р, то Рх Р. В силу трансцендентности над Р, Ker0 и Рx0 Р, кроме того изоморфизм, то есть Рx0 Рx следовательно, Рx Р. Определение 4. Пусть Рх кольцо многочленов над полем Р. Пусть алгебраический элемент над полем Р. Минимальным многочленом над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого является корнем.

Обозначим минимальный многочлен для над Р через gx, deg gxn называют степенью алгебраического элемента над Р. Легко показать 1 gx существует для каждого алгебраического элемента 2 gх неприводимый многочлен в Рх над Р 3 gx для определяется однозначно. 1 вытекает из определения алгебраического элемента. 2 из определения минимальности gx. 3 из предположения, что существует два многочлена g и h и их неприводимости, они ассоциированы, а так как они неприводимы, то gxhx.

Теорема 5. Пусть алгебраический элемент степени n над Р Р и gx его минимальный многочлен степени n, тогда имеют место 10. Если f0, где fx Рх, то fx gx 20. Рхgf Рх 30. Рхgf поле 40. РР. Пусть корень fx, то есть f0, известно, что g0, тогда f,g либо 1, либо нет. Первое невозможно, так как по известной теореме fx x- и gxx

Следовательно, f,g1, то есть они не являются взаимно простыми, поэтому fx делится на gx. Зададим гомоморфизм Рх Р, fxfKer fx,f0 состоит из многочленов, делящихся на gx, поэтому Ker Jgx идеал Рх Рхgx Р , так как РР, то Р область целостности Рхgx в силу тоже область целостности. Покажем, что любой элемент из Рхgx ненулевой обратимый. Пусть смежный класс то f0, тогда fx не делится на gxfx,gx , но , что и требовалось

доказать, то есть Рхgx поле, а так как эта алгебра изоморфна Р, то Р тоже поле являющееся подполем поля Р. Но Р минимальное подполе поля F, следовательно, Р Р, откуда получаем, что РР. Эта теорема позволяет установить строение простого алгебраического расширения Р. Пусть - алгебраический элемент над P, а Р простое алгебраическое расширение P, пусть степень равна n 0.

Тогда Теорема 6. Любой элемент поля Р однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1 n-1 с коэффициентами из P. 4 Вопрос 15. Простые и составные числа. Рассмотрим N натуральные числа. Введем понятие простого и составного числа. Опр.1 N а называется делящимся на число в, в 0, если существует такое число с, что а вс, при этом а делимое, в делитель, с частное. Все натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются

на группы 0, 1, р1, р2 а1, а2 где 1 обладает только один делитель, рi двумя, а для аi существует более двух. Опр.2 Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два различных делителей. 1 и само число р, составным, если имеет более двух делителей. Введенное определение позволит выражать числа натуральные через простые. Это описывается теоремой, которую называют основной теоремой арифметики.

Теорема. 3 Любое n , n 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел с точностью до перестановки сомножителя. В теореме содержится две теоремы о существовании разложения и его единственности. 7 Пусть n , n 1. Для доказательства исследуем метод математической индукции. n 2, 2 простое число, следовательно n 2 и есть его разложение. Предположим, что для любого натурального числа, меньшего n, теорема верна и докажем для n.

Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n вс, где в,с и меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого n , n 1. Докажем единственность разложения на простые множетели методом математической индукции. n 2, 2 2.

Разложение единственное. Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два n p1p2 pк q1q2 qs 1. Из равенства 1 видно, что правая часть делится на p1.

А т.к. в правой части числа простые, то 1 существует число qi, которое делится на p1 2 p1, qi 1. Следовательно, p1 qi. Пусть qi q1, разделим обе части равенства 1 на p1, получим, что и левая часть и правая часть числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n p1p2 pк разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать. Если среди простых множителей окажутся равные, то их объединяют в степень

и получают представление n в виде , которое называют каноническим разложением натурального числа. В теории натуральных чисел имеет место теорема, решающая вопрос о количестве простых чисел во множестве . Теорема 4. Евклида Множество простых чисел в бесконечно. Проведем доказательство методо от противного. Пусть простых чисел конечное число p1p2 pк. Рассмотрим p1p2 pк1. Исследуем полученное число 1 1 оно простое или составное pi, i 1, к 2

N pi i 1, к , т.к. при делении на pi получен остаток 1 3 составное. Если составное, то ему надлежит делиться на 1, и еще на какое-нибуть простое число см. ниже, но это не так, поэтому не является составным. Полученное противоречие и доказывает теорему. Теорема 5. Наименьший, отличный от 1 делитель составного числа, является простым числом. Пусть n имеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех

делителей. Пусть это натуральное число к, т.е. n к . m к, m , к 1. Исследуем к. Если к p простое число, то теорема верна. Если к составное число, то к к1 m1, тогда n к1 m1 m, n к1, к1 к, что противоречит выбранному наименьшему значению. Это и доказывает теорему. Достаточно часто в математике приходитс для числа а выяснять, является оно простым или составным. Для решения подобных задач предложен способ, носящий название решето

Эратосфена или способа отсеивания чисел кратных 2,3 p Опишем этот способ. Если даны числа натурального ряда 1,2,3,4,5 n, то для установления какими они являются простыми или составными, поступают так вычеркивают 1,2 и каждое второе, ибо каждое второе начинается от 3, делится на 2, поэтому является составным. Затем повторяем эту процедуру для 3. 3 вычеркивается и каждое третье, ибо 6 третье по счету за 3, делится на 3. названную процедуру повторяют до простого

числа с не превосходящего . Оставшиеся числа являются простыми. Такой алгоритм можно использовать и для установления чисел в промежутке от n1 до n2. Опишем его спецификацию . Если надо установить какие числа в промежутке от n1 до n2 являются простыми, то поступим так 1 выясним простое или составное является число n1 1.1 Проверим его делимость на 2,3,5,p . Если оно не делится на эти простые числа, то оно простое 1.2

Если оно делится хотя бы на одно из этих чисел, то оно составное. 2 при выяснении простого числа n, одновременно поступаем так 2.1 если n , то вычеркивают его и каждый второй как в первом случае и переходим к n1 1 2.2 если n1 2, то к числу добавляем 1 и вычеркиваем n1 1 и любое второе за ним 2.3 если было 2.1, то переходим к n1 1 и проверяется делим его на 3, повторяем процедуру решета Эратосфена переходит к n1 2 2.4 Если было 2.2, то проверяют делимость на 3 2.4.1. если

n , то проверяю решето Эратосфена и переходят следующему. не вычеркнутому числу и исследуют его делимое на 5 2.4.2. если n1 3q r, то в зависимости от r 1 или r 2, добавляем 1 или 2 и n1 1, n1 2. И любое третье по счету и т.д. 2.5 Если n1 оказалось простым, то все не вычеркнутые числа тоже простые. Если n1 оказалось составным, а ni простое, то все стоящие за ni числа остальные простые.