Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 9 Аналитическая геометрия (разное)

Задача 1. Написать разложение вектора по векторам

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

векторы и коллинеарны.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами и .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Задача 5. Компланарны ли векторы , и .

векторы , и не компланарны.

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Задача 7. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору .

Т.к. вектор искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

Задача 10. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .

по условию

Отсюда,

Задача 11. Пусть -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость .

Таким образом, точка не принадлежит образу плоскости .

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая .

Зададим координате значение .

Итак, получается точка с координатами

Уравнение прямой

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Подставим в уравнение плоскости

Таким образом, координаты искомой точки

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

- координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, - искомая точка.