Закономерности соударения твердых тел

Содержание Введение Глава 1. Ударные силы и импульсные движения §1. Импульсное движение материальных точек §2. Общие теории динамики в применении к импульсному движению §3. Импульсное движение твердого тела.
Глава 2. Коллинеарное соударение двух твердых тел §1. Уравнение импульсного движения их решения §2. Волновая теория коллинеарного удара §3. Роль активных сил в теории низкоскоростного удара §4. Падение шара на плоскость Глава 3. Пространственное соударение двух свободных твердых тел §1. Соударение упругих шаров §2. Допустимые значения ударного импульса Литература. Введение С явлением удара каждый человек знакомится с первых своих шагов, что свидетельствует о важности этого явления. Многочиленные при нанесении ударов по этому восходят корнями к доисторическому времени. На определенном уровне развития человечества появилась необходимость в изучении теории удара. У истоков научной теории ударов стояли Гютгенс, Валлис, Рене и другие. Основы теории удара излагаются в большинстве учебных курсов по теоретической механике. Это объясняется большой практической значимостью этого явления. Однако, несмотря на это, до сих пор не существует универсального подхода к вычислению импульсной реакции при соударении тел. На практике продолжительность удара составляет 10-3 – 10-12 с, а силы взаимодействия в точках контакта достигают весьма больших значений. В силу этого удар может привести к значительной деформации или даже к разрушению тел, появлению ударных волн и звуковых колебаний, нагреванию тел и т.д. Правильный учет явления удара невозможен без задания физических свойств соударяемых тел. Этим объясняется многообразие теорий удара – от простейших, основанных на ньютоновском восстановлении и кулоновской теории, до более реалистических моделей динамической теории упругости. Выбор модели для ля решения конкретных задач связан с компромиссом между простотой и реалистичностью, достигнуть которого трудно. В задачах динамики важно исследование поведения системы в течение значительных промежутков времени, за которые может произойти большое число соударений. При этом безударное движение описывается дифференциальными уравнениями, а удар – разностными, что делает невозможным применять метод анализа. Традиционный метод «припасовывания» граничных условий может применяться при решении простых задач, но не позволяет получить результаты общего характера, описывающие качественные свойства движения в системах с односторонними связями. Движение материальных тел под действием тех или иных тел происходит в соответствии с законами Ньютона. Ударные силы характеризуются кратковременностью действия и значительной величиной. В результате координаты рассматриваемой механической системы за время удара не изменяются, а скорости получают конечные приращения. Мерой ударной силы служит ее интегральная характеристика – ударный импульс , задаваемый соотношением
где - промежуток времени, в течение которого действует сила. Под действием ударной силы происходит лишь изменение скоростей без заметных перемещений. Если ударные импульсы заданы или каким-то образом определены, то расчет новых значений скорости производится чисто алгебраически. Существует два типа задач на явление удара: одни из них сводятся к определению приращения скоростей по заданным ударным импульсам, в других ударные импульсы подлежат определению в зависимости от заданных приращений скоростей. В обоих случаях решения описываются одними и теми же алгебраическими соотношениями. С механической точки зрения явление удара характеризуется тем, что скорости точек механической системы (количество движения системы) за весьма малый промежуток времени, в течение которого происходит соприкосновение тел, изменяются на конечную величину. Поскольку при этом ускорения тел оказываются очень большими, то и силы возникающие при ударе, оказываются большими. Хотя эти силы действуют на соударяющиеся тела в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток являются конечными величинами. Силы, возникающие при ударе и действующие на соударяющиеся тела в течение времени соударения, называются ударными силами. Главной особенностью ударных силы является именно кратковременностью действия. За время действия ударных сил действием обычных сил, как правило, можно пренебречь. Импульсы ударных сила за время удара называются ударными импульсами . Ударные импульсы зависят не только от масс и скоростей соударяющихся тел, но и от их упругих свойств. Поэтому полностью описать явление удара можно лишь применяя теорию упругости. Однако, задача теории удара в теоретической механике не облегчается тем, что здесь не исследуется характер деформации, о определяются изменения скоростей точек системы, обусловленное уже совершившимся ударом. Глава 1. Ударные силы и импульсные движения §1. Импульсное движение материальных точек В соответствии со вторым законом Ньютона движение материальной точки массы , движущейся под действием силы описывается соотношением
. Это уравнение представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решение которых эквивалентно определению движения частицы. Если на частицу действует к тому же ударная сила , то на интервале времени имеем
, где - ударный импульс. Отсюда находим, что при
, где знаки «минус» и «плюс» соответствуют началу и концу действия импульса. Если на частицу действует срезу несколько ударных сил , то согласно закону независимости действия сил ударный импульс . При этом ударный импульс равен приращению количества движения частицы. Рассмотрим теперь систему, состоящую из k материальных точек с массами (i = 1, 2, 3 …, k). На каждую из них действуют некоторые внешние силы , а также внутренние силы , отражающие попарные взаимодействие. По третьему закону Ньютона . Если на i-ю частицу системы действует ударная сила , то ее движение описывается уравнением: , где . При последнее уравнение принимает вид:
, где - ударный импульс силы ; - ударный импульс реакций, обусловленный взаимодействием частиц системы. Нужно различать основные типы взаимодействия частиц системы. «Мягкие» типы взаимодействия допускают относительные перемещения материальных течек, которые сопровождаются плавным изменением соответствующих внутренних силы . «Жесткие» взаимодействия характеризуются возникновением значительных усилий при попытке изменения конфигурации системы. В качестве примера рассмотрим систему из двух частиц. Вначале будем считать, что они соединены пружинкой пренебрежимо малой массы. В этом случае внутренняя сила направлена вдоль прямой, проходящей через обе точки, а ее величина является линейной функцией расстояния между ними
,


где с – жесткость пружины, d – ее длина в ненапряженном состоянии, х1 и х2 – координаты частиц. Пусть в начальный момент система находится в равновесии и к точке прикладывается ударная сила течение времени . В этом случае
. При этом начальное значение переменных задается равенствами:
. На интервале решение системы уравнений имеет вид:
, где К моменту окончания удара координаты получают приращение порядка , а для скорости имеем такие выражения:
Отсюда следует, что при
Это соответствует мягкому взаимодействию точек системы по отношению к данному удару. В случае имеем:
, т.е. скорости обеих точек после удара одинаковы. Если частицы соединены при помощи невесомого стрежня неизменной длины d, то в каждый момент времени . При таком соединении частиц находим, что
; . Рассмотренный пример демонстрирует относительность понятий жесткого и мягкого взаимодействия точек системы. Одна и та же упругая связь может приобретать и мягкий, и жесткий характер в зависимости от длительности воздействия удара. Выделение мягких и жестких связей облегчает решение уравнений удара:
. Для первого типа , связи второго типа устанавливают взаимосвязь скоростей и . Однако, два эти случая являются предельными, и, естественно, не исчерпывают всех возможностей. Это соображение особенно следует учитывать при исследования соударения твердых тел с закрепленными точками. §2. Общие теории динамики в применении к импульсному движению 1. Количеством движения системы материальных точке Аi с массами mi (i = 1,2,3…,k) называют векторную сумму
. Под действием ударных сил количество движения системы испытывает изменение:
Вследствие антисимметрии внутренних сил (=) сумма всех внутренних импульсов равна нулю, т.е.
. Поэтому теорема о изменении количества движения системы под действие ударных сил выражается формулой
и читается так: изменение количества движения системы при ударе равно сумме всех внешних ударных импульсов и не зависит от характера внутренних сил. Данную теорему часто используют в несколько иной формулировке, как теорему об импульсивном движении центра масс. Для этого количество движения системы записывают так:
, где М – масса всей системы; - скорость ее центра масс. Положение центра масс определяется радиус-вектором
.
При таком походе теорема о количестве движения системы читается так: изменение количества движения центра масс будет таким же, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы и были бы к нему непосредственно приложены все внешние удары. 2. Кинетическим моментом системы материальных точек относительно некоторой неподвижной точки О называется векторная величина , где - радиус-вектор проведенный из точки О к частице массой mi. Моментом количества движения системы относительно неподвижной оси называется проекция кинетического момента, вычисленного относительно некоторой точки оси, на эту ось. Вычислим изменение кинетического момента под действие ударных сил. В этом случае и изменение кинетического момента
. Поскольку для каждой пары частиц сила взаимодействия между ними направлена вдоль прямой, их соединяющей, то
и изменение кинетического момента
Вектор называется моментом ударного импульса относительно центра О. Последнее соотношение, выражающее собой теорему о изменении кинетического момента системы под действием ударных сил читается так: изменение кинетического момента системы относительно некоторого центра при ударе равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов. Проектируя последнее соотношение на некоторую ось, проходящую через точку О (скалярно умножая на направляющий от оси), получаем:
. В левой части здесь стоит приращение количества движения системы, слагаемые в правой части представляют собой моменты ударных импульсов относительно оси. Отсюда следует, что изменение момента количества движения системы относительно неподвижной оси при ударе равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов относительно оси. 3. Теорема о изменении кинетической энергии системы. Сначала рассмотрим случай одной математической точки. Элементарная работа произвольной силы , действующей на нее, определяется формулой
, где - элементарное перемещение точки. Кинетическая энергия материальной точки
. Отсюда . Если на материальную точку одновременно действует обычая и ударная силы, то
. Умножая последнее равенство скалярно на , получаем
, или
. Интегрируя на промежутке действия ударной силы и пренебрегая продолжительность удара , получаем:
. Следовательно, изучение кинетической энергии материальной точки при ударе равно работе ударной силы. Кинетическая энергия системы материальных точек определяется как сумма:
а ее изменение
Поскольку продолжительность удара , то слагаемым можно пренебречь. Поэтому можно записать, что
, где - работа внешних ударных сил; - работа внутренних ударных сил. Последняя формула определяет собой теорему о изменении кинетической энергии системы под действием ударных сил: изменение кинетической энергии механической системы при ударе равно суммарной работе всех внутренних и внешних ударных сил. Всевозможные пары точек системы можно разбить на две группы: с «мягкими» и «жесткими» взаимодействиями. В этом случае работой сил , относящихся к первой группе, можно пренебречь, уподобив их обычным силам. Если взаимодействия между частицами системы жесткие, то
и работа внутренних ударных сил равна нулю. Следовательно, если к системе материальных точек прилагаются ударные силы, а взаимодействия между точками системы либо пренебрежительно малы, либо абсолютно жестки, то изменение кинетической энергии равно работе только приложенных ударных сил. Приращение кинетической энергии системы при импульсном движении
, где , или
. Если взаимодействия между точками системы мягкие или абсолютно жесткие, то вторая сумма в правой части пренебреженно мала и приращение кинетической энергии системы оказывается равным . §3. Импульсное движение твердого тела. 1. Абсолютно твердым телом в динамике называют систему материальных точек, попарные расстояния между которыми остаются неизменными, т.е. связи между всеми точками системы абсолютно жесткие. С твердым телом можно связать некоторую декартову систему координат , относительно которых все точки тела неподвижны, а сама она может перемещаться относительно инерциальной системы отсчета OXYZ. Для определения скорости любой точки твердого тела, достаточно знать скорость полюса и вектор , называемый мгновенной угловой скоростью. В соответствии с формулой Эйлера, скорость произвольной точки А тела . С помощью формулы решения задачи о действии ударных импульсов на твердое тело можно свести к вычислению приращений и .
Поместим точку О1 системы координат в центр массы твердого тела. Тогда изменение скорости движения полюса О1, являющегося одновременно центром масс системы
, где - масса системы, l – число импульсов, действующих на тело. Кинетический момент твердого тела относительно центра масс
, где J – центральный тензор инерции. Если к телу приложены ударные импульсы Ii (i=1, 2, 3 …, l), то изменение кинетического момента твердого тела относительно центра масс
, где - радиус-вектор, проведенный из центра масс к точке Аi приложения импульса . Поэтому изменением положения тела за время удара можно пренебречь, то выражения для и в системах OXYZ и имеют одинаковый вид. Из последнего соотношения находим, что
. В результате находим, что изменение скорости произвольной точки А твердого тела
Согласно теории Кёнига кинетическая энергия твердого тела
. Отсюда находим, что в случае единственного ударного импульса изменение кинетической энергии тела
Соотношение является формулой Кельвина в применении к импульсному движению твердого тела. Она справедлива и при одновременном воздействии нескольких ударных сил. В этом случае где - скорость точки Аk. 2. Допустим теперь, что тело закреплено в двух точках О и . Тогда оно имеет единственную степень свободы, соответствующую вращению вокруг оси . Пусть в точке А1 прилагается ударный импульс . В этом случае тело оказывает ударное воздействие на точки крепления, а со стороны последних возникают ударные импульсы реакции и . Обозначим через радиус инерции тела относительно оси , тогда момент количества движения относительно этой оси равен , где - угловая скорость вращения. Импульсивные реакции не входят в выражение момента количества движения, так как они не создают момента относительно оси вращения. Их можно попытаться определить из условия неизменности скорости точек О и при ударе. Общие уравнения динамики в данном случае имеют вид:
. Условия неподвижности выглядят так:
. Они позволяют однозначно определить составляющие импульсных реакций, перпендикулярные оси вращения, а также сумму их проекций на эту ось. Что касается изменения кинетической энергии тела с неподвижной осью при ударе, то оно может быть рассчитано по формуле
Кельвина, так как реакции и прилагаются в неподвижных точках и их работа равна нулю. Глава 2. Коллинеарное соударение двух твердых тел §1. Уравнение импульсного движения их решения Будем полагать, что скорость сближения соударяющихся тел такова, что они при ударе не разрушаются и неиспытывают заметных деформаций. При поступательном движении абсолютно твердого тела скорости всех его точек одинаковы. Поэтому достаточно определить одну из них, чтобы знать значение скорости всего тела. Поскольку в этом случае скорости направлены вдоль фиксированной прямой, то их можно рассматривать как скаляры, так же как и ударные силы. Пусть скорости центров масс двух тел и , а ударный импульс, приложенный ко второму из них (по третьему закону Ньютона к первому телу прикладывается импульс ). Тогда по теореме о движении центра масс для каждого из тел имеем:
. Поскольку система двух уравнений содержит три неизвестных, то решений будет бесчисленное множество. В параметрической форме их можно записать
, где - некоторый положительный параметр. В действительности величина может принимать значения из некоторого интервала, что обусловлено двумя ограничениями на характер послеударного движения. Перовое из них состоит в том, что значения скоростей непосредственно перед ударом удовлетворяют неравенству (т.е. тела сближаются), а после удара (т.е. они расходятся). На основе этих неравенств находим, что
.
Втрое ограничение состоит в том, что суммарная кинетическая энергия двух данных тел при ударе не возрастает. По формуле Кельвина находим, что приращение кинетической энергии тел
, или
.
Отсюда находим, что
Окончательно находим, что величина может принимать значения в интервале
Любое значение из данного интервала определяет физически возможное решение системы уравнений
. В частности, при система имеет решение
т.е. имеет место абсолютно неупругий или пластический удар. Если имеет значение
, то система имеет решения
, где . Эти решения соответствуют абсолютно упругому удару. На их основе находим, что
, т.е. относительная скорость отхода противоположна относительной скорости сближения. Наиболее распространен неупругий удар, к которому относятся все промежуточные значения параметра . Такой удар описывается формулой
где . Величина е не может быть определена при помощи основных теорем динамики. На основании серии экспериментов Ньютон установил, что коэффициент е определяется материалами соударяющихся тел и не зависит от скорости сближения. В частности он нашел, что для стеклянных шариков , для железных и т.д. Ньютон также ввел понятие двух фаз удара: первая из них – деформация, характеризуется убыванием относительной скорости соударяющихся тел до нуля (при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругих деформаций); во второй фазе – энергия упругих деформаций переходит в кинетическую энергию тел и тела расходятся. При этом приращение кинетической энергии
. Следовательно, при неупругом ударе (e Понятие двух фаз удара позволяет коэффициенту е придать динамический смысл. Для этого необходимо помнить, что окончание фазы деформации характеризуется значением параметра
. Такое возможно только в случае, когда коэффициент восстановления
. Именно такой смысл вкладывал в коэффициент восстановления Пуассон. С формальной точки зрения, независимость коэффициента восстановления от начальных условий удара является величиной, справедливость которой в каждом конкретном случае подлежит проверке. Опыт свидетельствует о том, что в действительности величина коэффициента восстановления е монотонно убывает с ростом разности , так что при малых скоростях сближения удар близок к абсолютно упругому, а при больших – к пластическому. Тем не менее гипотеза Ньютона остается эффективным и простым средством решения задачи о коллинеарном ударе некотором ограниченном диапазоне скоростей (от десятков сантиметров до нескольких метров в секунду). §2. Волновая теория коллинеарного удара Связи между различными точками твердого тела не являются абсолютно жесткими, а допускают их относительные перемещения. При этом каждая точка тела имеет три степени свободы (по числу пространственных координат), а общее число независимых координат равно 3К. Поскольку аналитическое решение задачи о движении под действием заданных сил и при данных начальных условиях твердого тела как синтез частиц практически невозможно, то плодотворным является представление о твердом теле как о сплошной среде, заполняющей определенный объем в пространстве. Отличие двух моделей твердого тела состоит в наличии и отсутствии внутренних степеней свободы, которые позволяют описать деформации. При этом тело может обладать как кинетической, так и потенциальной энергией, т.е. полная механическая энергия тела складывается из значения Е0, вычисленного без учета деформаций, и внутренней энергии Еn. Внутренние процессы в деформируемых твердых телах имеют волновой характер, т.е. характеризуются быстротой передачи возмущения вдоль среды без переноса вещества (точки тела при этом совершают колебательные движения). Они могут быть описаны уравнениями математической физики, точное решение которых возможно лишь в исключительных частных случаях, включая задачу о коллинеарном ударе. Временем соударения двух деформируемых тел называется промежуток времени, в течение которого в них происходят волновые процессы, сопровождающиеся изменением внутренней энергии. По окончании удара деформируемые тела движутся как абсолютно твердые. Период затухания внутренних колебаний зависит от материалов, из которых сделаны тела, а также от их форм и может достигать нескольких секунд (колокол, камертон), но обычно не превышает долей секунды. Итак, удар деформируемых тел состоит из двух фаз: в первой они контактируют и сообщают друг другу ударные импульсы; во второй – движутся независимо под действием приложенных внешних сил и сил инерции. Будем считать, что внешние силы не зависят от внутреннего состояния тел, поэтому как и в случае абсолютно твердого тела единственной величиной, подлежащей определению является ударный импульс I в формулах:
. Исследуя модели коллинеарного удара деформируемых тел ограничимся случаем продольного соударения двух стержней, так как тела более сложной формы при ударе перестают двигаться поступательно. Для описания состояния стержня выберем инерциальную систему отсчета с осью Х, направленной вдоль него и будем обозначать U = U(x,t) перемещение поперечного сечения, имеющего в момент времени t абсциссу х, от некоторого начального его положения в отсутствии деформаций; S – площадь сечения; - плотность материала. Внутреннее состояние системы характеризуется деформацией и напряжением , т.е. силой, действующей на единичную площадку в данном сечении. Зависимость считается заданной, она определяет упругие и пластические свойства материала. Наиболее простой вид она приобретает для упругой среды. Для упругой среды согласно закону Гука , где коэффициент Е (называемый модулем упругости или модулем Юнга) зависит только от свойств материала. Составим баланс сил для элемента стрежня dx, пренебрегая конечными, т.е. обычными силами. Напряжение на левом конце элемента , а на правом его конце . Масса элемента , а ускорение . По второму закону Ньютона имеем, что
, или (после преобразований)
. Если, к тому же, , то
. В этом случае получаем, что
или . Получается волновое уравнение, в котором константа имеет смысл скорости распространения волны в данном однородном стержне. Для его решения необходимо знать начальные и граничные условия. В начальный момент удара t0 тела ненапряженны, следовательно
. При этом скорости всех точек стрежня одинаковы, за исключением его граничной точки х = х2, соударяющейся со вторым стержнем. На свободном конце стержня х = х1.
, что выражает отсутствие внешней нагрузки. Условие в точке контакта х = х2 зависит от постановки задачи. Например, стержень соударяется с неподвижной абсолютно твердой системой. В этом случае
до тех пор, пока
. Последнее неравенство означает, что стержень в точке контакта сжат, его напряжение свидетельствует о разделении тел. При соударении двух стрежней с одинаковыми сечениями граничное условие выражает равенство действия и противодействия:
, где и - перемещения точек первого и второго стержня соответственно. Удобная форма решения волнового уравнения в задачах об ударе была предложена Даламбером. Решение ищется в виде функции
, где функции и определяются из начальных и граничных условий. В начальный момент удара t0 тела не напряжены и, следовательно,
. Сумму можно выразить, зная распределение скоростей в момент t0. Тем самым можно найти функции и , описывающие волны напряжений в соударяемых телах: первая из них распространяется со скоростью С в положительном направлении, вектор против оси Х. В момент достижения одной из волн конца стержня необходимо вновь определить функции и с учетом граничного условия, что соответствует явлению отражению волны от границы тела. Зная в каждый момент времени распределение напряжений, можно определить момент разъединения стержней и ударный импульс. Рассмотрим в качестве примера соударение стержня, движущегося со скоростью с абсолютно жесткой стенкой. В момент времени t0 скорость всех его точек одинаковы, за исключением точки х = х2,скорость которой равна нулю. Положим, что t0 = 0 и х2 = 0, тогда . В этом случае
, пока . Дифференцируя первое из этих соотношений, получим
при у > 0, пока . На свободном конце х = х1 имеет место равенство
при у > 0. Начальное распределение скоростей описывается формулой
при . В результате решения получаем
при . Формулы , и описывают волну напряжений, распространяющуюся со скоростью С в направлении свободного конца. Во всех точках лежащих левее фронта волны, скорость равна , а напряжение отсутствует; правее от фронта скорость равна нулю, а напряжение
. В момент времени волна достигает свободного конца стержня, при этом он будет равномерно деформирован и полностью остановлен. Такое состояние стержня не будет равновесным, так как оно не удовлетворяет граничному условию . Для определения послеударного движения нужно вычислить значения функций и при у > 0. При волна идет от сечения х1 к х2. При этом в точках левее фронта напряжение отсутствует, а скорость равна – . В момент произойдет полная разгрузка стержня и стержень оторвется от стенки.
§3. Роль активных сил в теории низкоскоростного удара Наличие активных сил влияет на характер удара с никой начальной скоростью. Для количественной оценки этого влияния необходимо составить уравнение импульсного движения с учетом всех действующих сил, а затем исследовать их. Определяющими являются уравнения движения центров масс, которые при коллинеарном ударе выглядит так:
, . Ударная сила Fу имеет максимальное значение, убывающее до нуля при убывании начальной скорости сближения . Поэтому при низкоскоростном ударе активные силы F1 и F2 могут оказаться более весомыми, чем ударная реакция. Вновь рассмотрим соударение деформируемого стержня с абсолютно жесткой преградой. Теперь будем считать, что стержень движется вертикально под действием силы тяжести. При таком движении возможны удары о «пол» или «потолок». В обоих случаях выберем начало отсчета на границе препятствия, так что недеформированный стержень занимает промежуток . Для вывода уравнения движения надо учесть силу тяжести. В результате получим неоднородное уравнение вида
, где знак «плюс» соответствует полу, «минус» - потолку. Функция U(x,t) удовлетворяет начальным и граничным условиям
пока , где будем считать , . Будем искать решение уравнения в виде
, где функции и определяются из начальных и граничных условий. Неоднородное уравнение удовлетворяется при любом выборе дважды дифференцируемых функций и , поэтому ими надо распорядиться в соответствии с другими ограничениями. Из начальных условий можно определить значения функций и при , а затем продолжить их для других значений аргумента при помощи граничных условий. Первые из них (для свободного конца) имеет вид
при у > 0, второе же
, при у > 0, пока . При этом оказывается, что
, при ,
. Момент разделения тел сопровождается изменением знака с меньше на больше в соотношении
. Определим продолжительность контакта при низкоскоростном ударе и определим величины ударного импульса. а) При ударе о пол имеем, что , при , Напряжения в точке контакта остается отрицательным до момента , соответствующего прохождению ударной волны вдоль стрежня в обоих направлениях. В момент времени распределение скоростей и деформаций оказывается следующим:
,
. Наличие силы тяжести приводит к тому, что после отрыва от препятствия стержень остается деформирован, т.е. колебательные процессы внутри него продолжаются. Оказывается, что сумма кинетической и внутренней энергии стержня при ударе увеличивается. Этот кажущийся парадокс объясняется одновременным уменьшением потенциальной энергии в поле силы тяжести вследствие деформации. Величина ударного импульса в этом случае
. б) При ударе о потолок имеем, что
, при , в этом случае деформация в точке контакта имеет вид:
В интервале эта функция может оказаться как отрицательной, так и знакопеременной (в зависимости от скорости сближения ). Если выполнено неравенство
(вид волновых функций соответствует случаю 2 рисунка), то удар описывается формулами
,
.
При этом ударный импульс
. Если же , то напряжение в точке контакта исчезнет раньше, чем ударная волна пройдет стрежень в обоих направлениях. Этот момент и определит окончание удара. При этом , . Итак, продолжительность контакта при ударе о пол имеет значение , а при ударе о потолок либо , либо . §4. Падение шара на плоскость Предположим, что шар, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром, падает вертикально на горизонтальную поверхность с высоты h1. В момент соприкосновения с плоскостью он имеет скорость
. при этом импульс шара был направлен вниз и имел значение
, а кинетическая энергия его в момент удара
. Во время удара между шаром и плоскостью действуют упругие силы. Из-за реакции плоскости движению шара его импульс и кинетическая энергия быстро уменьшаются до нуля. При этом кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругих сил материала плоскости и шара вблизи места соприкосновения. Упругие силы материалов шара и плоскости стремясь восстановить нормальный объем материала отталкивают шар и плоскость друг от друга. При этом потенциальная энергия упругих сил снова превращается в кинетическую энергию шара. Шар отскакивает вверх с некоторой начальной скоростью и поднимется на высоту
. За время скорость шара изменяется на величину
, а его импульс на величину
. Отношение кинетических энергий после и до удара обозначается через :
, . Величина К называется коэффициентом удара (или импульса), а величина К2 – коэффициентом восстановления энергии. Коэффициент К может быть определен непосредственно и опыта. Для этого достаточно знать высоты h1 и h2. Если шар ударяется о плоскость двигаясь под некоторым углом к ее нормали, то скорость его движения можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие. Если предположить, что поверхности шара и плоскости абсолютно гладкие, то до и после удара , т.е. одинаковы. Нормальная же составляющая скорости, как и при нормальном падении, изменит свой знак и может изменить свою величину, если К не равно единица, т.е.
. Если обозначить через и углы, образуемые движением шара с нормалью к плоскости до и после удара, то
, и, следовательно, . Угол падения равен углу отражения только в том случае, когда коэффициент К=1. Глава 3. Пространственное соударение двух свободных твердых тел §1. Соударение упругих шаров Пусть два шара, имеющие массы m1 и m2 и скорости и во время своего движения приближаются друг к другу на расстояние, равное сумме их радиусов. Если их скорости окажутся не параллельными касательной плоскости в точке соприкосновения шаров, то произойдет удар. После удара скорости шаров могут оказаться иными и по величине и по направлению. Обозначим после соударения скорости шаров через и соответственно. Будем считать, что поверхности шаров абсолютно гладкие. Тангенциальные составляющие скоростей шаров при ударе гладких шаров не изменятся, т.е.
, . Нормальные же составляющие могут измениться, т.е.
, . При столкновении шаров явление удара протекает в две фазы: в течение первой фазы шары сжимаются до тех пор, пока нормальные составляющие не станут равными некоторому значению ; после этого начинается вторая фаза удара, в течение которой вследствие упругости происходит восстановление первоначальной формы шаров (при этом скорость одного шара увеличивается, а другого - уменьшается). Явление удара заканчивается в тот момент, когда шары отделяются друг от друга, имея неравные значения нормальных составляющих скоростей. Ударный импульс за первую фазу обозначим через I, а за вторую фазу через . Тогда будем иметь
. Применяя теорему о проекции количества движения на нормаль к обеим фазам удара, получим четыре уравнения (по два для каждого шара):
. На основе этих пяти уравнений находим, что
, . Окончательно имеем, что коэффициент восстановления
, а скорость шаров соответственно

Поскольку тангенциальные составляющие скоростей гладких шаров при столкновении не меняются, то разность их суммарной кинетической энергии в начале и в конце удара
Полагая К = 0 (абсолютно неупругий удар) находим, что потерянная кинетическая энергия
, а общая нормальная составляющая скорости шаров в конце удара
. Полагая К = 1 (абсолютно упругий удар) находим, что потеря кинетической энергии
, а нормальные составляющие скоростей шаров в конце удара

. Если, например, масса шара , то находим, что
, , и, следовательно, можно записать:
, т.е. относительная нормальная скорость шаров в этом случае изменяет свой знак. Кроме того, при скорость первого шара после удара , а второго шара , т.е. такая же, как при ударе о неподвижную стенку. Пусть массы обоих шаров одинаковы. В этом случае
, , т.е. шары при соударении обмениваются своими скоростями. §2. Допустимые значения ударного импульса Пусть система двух твердых тел совершает движение под действием конечных (неимпульсивных) сил. Каждое из тел может занимать произвольное положение в пространстве. Единственное ограничение состоит в невозможности одновременного занятия точками двух тел одинаковых положений. Когда тела сталкиваются, они пытаются нарушить это условие. Однако появляющиеся ударные реакции изменяют распределения скоростей и делают возможным дальнейшее раздельное движение. Классическая теория пространственного удара (стереомеханика) основана на ряде упрощающих предположений, касающихся его продолжительности и величины ударных сил. С одной стороны, продолжительность удара достаточно мала, чтобы пренебречь перемещениями тел, с другой стороны – достаточно велика, чтобы не учитывать волновые процессы. Ударные силы достаточно велики, чтобы пренебречь влиянием «конечных» сил, но все же не столь значительны, чтобы вызвать заметные деформации тел или же разрушение. Совокупность этих условий позволяет свести задачу об ударе к более простой задачи об импульсном движении абсолютно твердого тела. Единственной величиной, подлежащей определению, является ударный импульс , действующий на первое тело со стороны второго (по третьему закону ко второму телу прилагается импульс ). Будем считать размеры области контакта пренебрежительно малой по сравнению с размером тел. Поэтому эту область можно устремить к нулю и считать, что столкновение происходит в единственной точке С, лежащей на обеих поверхностях. Уравнения импульсного движения для каждого тела имеют вид
,
, где и - изменения мгновенных угловых скоростей соответственно первого и второго тела; и - изменения скоростей движения их центров масс; и - радиус-векторы, соединяющие центры масс тел с точкой столкновения С. Вектор нормали направлен от точки С внутрь первого тела, вектор определяет относительную скорость точки контакта. Удар возникает, если угол между этими двумя векторами тупой. Определим область допустимых значений ударного импульса, исходя из следующих требований: 1. Скорости тел после удара допускают дальнейшее движение без взаимопроникновения:
. 2. Суммарная кинетическая энергия системы не увеличивается, так как при ударе не происходит высвобождения потенциальной энергии:
. Геометрически эти условия по предложению Рауса изображают в виде кривой . В момент времени величина равна нулю, и изображающая точка находится в начале координат. На промежутке эта точка перемещается по некоторому закону до конечного положения , полностью определяющего удар: на первое тело действует импульс , на второе . Приращение относительной скорости в точке контакта С
Знак равенства в условии
имеет место, если
, где В – симметрическая положительно определенная матрица. Последнее линейное относительно уравнение описывает плоскость, названную Раусом-плоскостью наибольшего сжатия. Эта плоскость ортогональна вектору и проходит через точку , соответствующую нулевой относительной скорости точки контакта. Радиус-вектор этой точки вычисляется по формуле . Требование 1 выполнятся для всех точек того полупространства, ограниченного плоскостью наибольшего сжатия, которое не содержит начала координат О. Через точку проходит прямая, в точках которой относительная скорость параллельна вектору . Эта прямая задается уравнением . Для анализа условия 2 применим формулу Кельвина к каждому телу
, . Отсюда находим, что при соударении двух твердых тел
. Поскольку , то имеем, что
. Так как матрица В положительно определена и симметрична, то последнее равенство описывает внутренность эллипсоида с центом в точке . Следовательно, область физически допустимых значений ударного импульса представляет собой половину эллипсоида (заштрихованная часть). Существует бесконечное множество , каждый из которых определяет непротиворечивых решений задачи о соударении двух твердых тел. Для определенности надо принять некоторые дополнительные предположения о характере ударных реакций. Одним из таких предположений является их ортогональность к поверхностям соударяемых тел. В этом случае мы будем говорить, что трение при ударе отсутствует. Данное допущение оправдано, например, при прямом ударе двух шаров, а также при произвольном соударении тел любой формы, имеющих абсолютно гладкие поверхности. Удар без трения изображается отрезком прямой, выходящему из начала координат параллельно вектору :
, где - монотонно возрастающая неотрицательная функция, равная нулю при . Эта прямая пересекает плоскость наибольшего сжатия в точке О1 при значении , определяемых из уравнения
, при этом изменение кинетической энергии системы двух тел
. Следовательно, точка О1 лежит внутри эллипсоида энергии и существует отрезком прямой , соответствующий допустимым значениям ударного импульса. Значения определяется условием . При этом . Ударный импульс еще нельзя определить однозначно. Неопределенность можно легко устранить, принимая гипотезу Ньютона о двух фазах удара. В применении к пространственному удару она выражается в постоянстве отношения нормальный составляющих относительной скорости до и после удара:
. Промежуток соответствует значению ньютоновского коэффициента восстановления К от нуля до единицы. Двум предельным случаям удара без трения: , когда (пластический удар) и , когда (упругий удар), отвечают значения К = 0 и К = 1 соответственно. В общем случае, каждому значению коэффициента К из промежутка соответствует вполне определенное, физически непротиворечивое решение задачи о соударении двух твердых тел без трения.
Литература. 1. Аппель П. Теоретическая механика. Т2. – М.: Физматиз, 1960. – 487с 2. Даламбер Ж. Динамика – М., Л.: Гостехиздат, 1950. – 343 с. 3. Голденит В. Удар. Теория и физические свойства соударямых тел. – М.: Строиздат, 1965. – 448 с. 4. Воронков И.М. Курс теоретичекой механики – М.: Физматиз, 1961. – 569 с. 5. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. – М.: Международная программа образования, 1997. – 336 с. 6. Эйхевальд А.а. Теоретическая физика. Ч.III. Механика твердого тела. – М., Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1931. – 220 с. 7. Сахарный Н.Ф. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1964. – 844 с.