Расчет симметричных автоколебаний нелинейной САР

Содержание Введение План курсовой работы по ТАУ 1. Расчёт амплитуды и частоты периодических режимов графоаналитическим методом гармонического баланса
2. Уточнённый численный расчет параметров периодических режимов 2.1 Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений 2.2 Расчет граничного значения коэффициента усиления и построение зависимости параметров периодических режимов от значений варьируемого параметра 3. Цифровое моделирование системы и получение временной диаграммы ее переходного процесса на ЭВМ. Построение проекции фазовой траектории 4. Выводы по работе Список литературы Приложение Вариант задания АП 4
Автопилот горизонтального руля.
Рис. 1. Принципиальная схема автопилота. Рис. 2. Структурная схема автопилота. Параметры системы: Тр=0,2 Тс=0,2 Кр=К1=1,25 В=1,8 Кс=К2=0,28; КОС – Варьируемый параметр. Нелинейный элемент типа «Упор». где:

Введение
В связи с развитием технологий возникает трудоемкость решения теоретических задач, необходимых для синтеза оптимальных по качеству систем управления. Большие возможности в решении этих трудностей открывает теория автоматического управления. В настоящее время основное значение приобретает четкая аналитическая формулировка алгоритма решения задачи и реализуемость его с помощью ЭВМ. Новые возможности позволяют решить задачи, связанные как с системой автоматизации проектных работ при создании автоматических систем управления технологическими объектами и автоматизации производственных научных экспериментов, так и в автоматизированных системах научных исследований. При этом особое значение приобретает теория нелинейных систем при детерминированных воздействиях, теория линейных и нелинейных систем при случайных воздействиях, а также теория оптимальных и адаптивных автоматических систем при детерминированных и случайных воздействиях. Описание систем управления линейными дифференциальными уравнениями с той или иной степенью точности применимо далеко не ко всем системам. Существует множество систем, процессы в которые принципиально не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями, и при их исследовании необходимо пользоваться нелинейными дифференциальными уравнениями. Переход к нелинейным дифференциальным уравнениям определяется как учетом нелинейностей реальных характеристик элементов системы, так и дополнительным введением в систему элементов с существенно нелинейными характеристиками. Обычно в первом случае нелинейности учитывают для рассмотрения изменения качества процесса управления за счет влияния нелинейностей, присущих реальной системе, и исправления нежелательного эффекта, возникающего под влиянием этих нелинейностей. Во втором случае речь идет о повышении качества процессов или о получении принципиально новых алгоритмов управления за счет введения дополнительных нелинейных элементов. При этом удается повысить быстродействие и точность системы, уменьшить перерегулирование или компенсировать нежелательное действие имеющихся нелинейностей. Кроме того, для управления нелинейными объектами с немонотонными экстремальными характеристиками применяют особые схемы управления с автоматическим поддержанием оптимального режима работы объекта. Существует большое число нелинейных автоколебательных систем управления, в которых колебания являются свойством нормального режима работы системы. В этом случае под устойчивой работой системы понимают устойчивость автоколебаний в неустойчивой с точки зрения линейной теории системе. Само по себе определение устойчивости в этом случае изменяется. Цель данной работы заключается в расчёте параметров автоколебаний в нелинейной системе автопилота горизонтального руля. Эта система работает по принципу следящей системы управления, в которой происходит слежение за некоторой измеряемой величиной. Закон изменения её заранее неизвестен, а управляемая величина должна с заданной точностью воспроизводить измеряемую величину или некоторую функцию измеряемой величины. Автоколебания – явление, свойственное только нелинейным системам, и сам термин «автоколебания» относится к теории нелинейных колебаний. Бывают случаи, когда автоколебания являются полезным явлением. Но также бывают и обратные, когда автоколебания желательно исключить. Наличие или отсутствие автоколебаний можно регулировать несколькими способами. Например, с помощью параметров самой системы (коэффициентов передачи), что и делается в данной работе, либо с помощью применения корректирующих цепей. Корректирующие цепи позволяют резко понизить амплитуду автоколебаний и поднять частоту или вовсе подавить их при малой зоне нечувствительности релейной характеристики. План курсовой работы по ТАУ «Расчёт симметричных автоколебаний нелинейной САР» 1. Рассчитать амплитуды А и частоты w периодических режимов в САР при различных значениях варьируемого параметра графоаналитическим методом гармонического баланса, исследовать устойчивость этих режимов и определить, какие из них являются автоколебаниями. При построении годографов применять ППП. Привести листинги ввода исходных данных и расчёта. Оцифровать графики значениями параметров w и А, указать масштабы на осях. 2. Рассчитать на ЭВМ численным методом решения уравнений гармонического баланса те же величины, что и п.1, а также граничное значение варьируемого параметра, при котором автоколебания находятся на границе своего возникновения и исчезновения. Построить зависимости параметров автоколебаний от значений варьируемого параметра. Привести листинги исходных данных и расчёта. 3. Выполнить с помощью ППM цифровое моделирование системы при значения варьируемого параметра больших и меньших граничного. Получить при этом временную диаграмму переходного процесса и соответствующую ей проекцию фазовой траектории в плоскости «величина-скорость». Привести схему моделирования, распечатки диаграмм процессов во временной и фазовой областях. 4. Сделать выводы по работе, охарактеризовав процессы в САР, влияние варьируемого параметра, степень совпадения результатов расчета и моделирования и т.п. 1. Расчёт амплитуды и частоты периодических режимов графоаналитическим методом гармонического баланса. Преобразуем исходную структурную схему заданной нелинейной системы к расчётной, состоящей из последовательно соединённых нелинейного элемента НЭ и преобразованной в единый блок линейной части ЛЧ. При этом сигнал задания xo полагается равный нулю, так как расчёт осуществляется для симметричных автоколебаний. Рис. 3. Расчетная схема. Условием возникновения периодических режимов в представленной на рис. 3 нелинейной системе является основное уравнение гармонической линеаризации: 1+WЛЧ(jw)WНЭ(A)=0, (1) где WЛЧ(jw) - частотная передаточная функция ЛЧ; (2) WНЭ(A) – комплексный коэффициент передачи гармонически линеаризованного НЭ, WНЭ(A)=q(A)+jq’(A). , Поделим обе части уравнения (1) на WНЭ(A): , (1¢) Подставим выражения WЛЧ(jw) и WНЭ(A) в формулу (1¢): . Помножив на знаменатель, получим: w2(TCTPw2–1) – jw3(TC+TP) + (q(A)+jq’(A))(kP(kC – kOCTCw2) + jwkOCkP) = 0. Графическое решение уравнения (1) соответствует точкам пересечения кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) = -1/ WНЭ(A), по которым из кривой WЛЧ(jw) можно определить частоты wi возможных периодических режимов, а их амплитуды Ai определяют из кривой ZНЭ(A). Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществляется по расположению этих кривых относительно друг друга. Рассматривая ZНЭ(A) как параметр D-разбиения из уравнения (1), можно установить, что границей D-разбиения при этом является кривая WЛЧ(jw). Нанеся на эту границу штриховку по известному правилу (слева по ходу при возрастании w), выделяя тем самым область устойчивости (с заштрихованной стороны характеристики ЛЧ системы). Расчёт и построение кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществляем с помощью ЭВМ в области пересечения этих кривых в алгебраической форме: WЛЧ(jw)==U(w)+jV(w), где U(w) и V(w) - это соответственно вещественная и мнимая части частотной передаточной функции ЛЧ системы. U(w)=; V(w)=; Из формулы (2) определим U1=kР(kС- kОСTCw2), V1=kРkОСw, (3) U2=w2(TCTРw2- 1), V2= – w3(TC+TР). (3’) Тогда: ; Построим с помощью программного математического пакета Mathcad 2001 годографы функций WЛЧ (jw) и ZНЭ (А) при значениях варьируемого параметра КOC=0 ; 0.015 ; 0.03 ; 0.045 ; 0.06 ; 0.75 ; 0.111; 0.123. Данные для расчета: Полученные графики приведены в приложении 1. Из графиков находим точки пересечения годографов, для каждого из значений варьирующего параметра определяем частоту и амплитуду автоколебаний в точках, где периодический режим устойчив и сделаем выводы. · При KOC = 0: автоколебания в точке М1 A = 2.218; w = 0,555; · При KОС= 0.015: автоколебания в точке М2 А = 2.153; w = 0,56; · При KОС = 0.3: автоколебания в точке M3 А = 2.09; w = 0.565; · При КОС = 0.45: автоколебания в точке M4 А = 2.029; w =0.57; · При КОС = 0.06: автоколебания в точке М5 А = 1.968; w = 0.575; · При КОС = 0.075: автоколебания в точке М6. А = 1.923; w = 0.579; · При КОС = 0.111: автоколебания в точке М7. А = 1.796; w = 0.588; · При КОС = 0.123 годографы WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) не пересекутся, процесс автоколебаний не наблюдаем
2. Уточнённый численный расчёт параметров периодических режимов
2.1. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений Характеристика НЭ, входящего в заданную нелинейную систему, неоднозначна (q'(A) ¹ 0), поэтому основное уравнение (1) метода гармонической линеаризации распадается на два уравнения:
{ X(A,w) = U2(w) + U1(w)q(A) – V1(w)q’(A) = 0, (4) Y(A,w) = V2(w) + U1(w)q’(A) + V1(w)q(A) = 0 ; Решим данную систему уравнений с помощью программного математического пакета MathCAD 2001. Результаты расчёта поместим в таблицу. Ниже приводится листинг исходных данных для ввода в ЭВМ, а так же расчёт параметров А и w периодических режимов в САУ при Кос=0. (5) Используя тот же программный математический пакет рассчитаем значения А и w автоколебаний при других значениях варьируемого параметра. Полученные результаты сведем в таблицу 1. Koc A
w
0
2,2196
0,5548
0,015
2.1529
0.56001
0,03
2.0891
0.5651
0,045
2.0283
0.5701
0,06
1.9704
0.5749
0,075
1.9158
0.5795
0,111
1.798
0.588 2.2. Расчет граничного значения коэффициента усиления и построение зависимости параметров периодических режимов от значений варьируемого параметра Граничным называется минимальное значение варьируемого параметра КОС ЛЧ САУ, при котором автоколебания находятся на границе своего возникновения и исчезновения. При граничном значении КОС характеристики ЛЧ и НЭ системы автоматического управления имеют одну общую точку соприкосновения или касания (кривые WЛЧ (jw) и ZНЭ (А) имеют общую касательную).
Так как точка соприкосновения принадлежит вещественной оси координат комплексной плоскости, на которой строятся кривые WЛЧ(jw) и ZНЭ(А), то сначала найдем соответствующее значение w и Koc приравняв к нулю мнимую часть частотной передаточной функции WЛЧ(jw), а вещественную приравняем (–1). Затем из основного расчётного уравнения метода гармонического баланса при найденных значениях w и КОС найдем значение амплитуды A. Ниже приведен листинг программы расчета w и КОС. Решим системы уравнений (4) и (5). В результате решения указанных уравнений определим амплитуду А, частоту w и граничное значение коэффициента КОС ЛЧ. При заданных значениях параметров САУ существует точка соприкосновения WЛЧ(jw) и ZНЭ(A). При этом амплитуда А=B, частота w=wp , а граничное значение коэффициента обратной связи ЛЧ можно найти из основного расчетного уравнения (1). Он равен КОС = 0.1105. В этом случае амплитуда А=B. Результаты расчета граничного коэффициента ОС ЛЧ и соответствующих ему параметров приведены в таблице 2. Зависимости параметров периодических режимов от различных значений варьируемого параметра, в том числе и граничного, приведены в таблице 1 и таблице 2. Таблица 2.
A
1.797
w
0.5876
KOC
0.1105 Графики зависимости амплитуды А и частоты w от значения варьируемого параметра КОС изображены на рис. 4 и рис. 5. Рис.4. Зависимость А(к) Рис.5. Зависимость w(к)
3.Цифровое моделирование системы и получение временной диаграммы ее переходного процесса на ЭВМ. Построение проекции фазовой траектории.
Моделирование заданной нелинейной системы производится с помощью ППM MATLAB6.0. Структурная схема системы представлена на рисунке 6.
Рис. 6. Структурная схема. В этом пакете применяется структурный метод моделирования, когда каждое звено САУ моделируется соответствующим функциональным блоком. Каждому функциональному блоку схемы моделирования присваивается свой номер и составляется спецификация её структуры и параметров. Временные диаграммы будем снимать с помощью блока Scope, а фазовые траектории с помощью блока XY Graph. При Кос=0 ,А = 0,5 получим следующие характеристики и траектории. Рис.7. Фазовая траектория при Кос=0, А = 0,5. Рис.8. Временная характеристика при Кос=0, А = 0,5. Фазовая траектория (рис.7) наматывается на устойчивый предельный цикл, что соответствует также устойчивому характеру автоколебаний с постоянной амплитудой (рис.8). При Кос=0,05 ,А = 0,1 получим следующие характеристики и траектории. Рис.9. Фазовая траектория при Кос=0,05 ,А = 0,1. Рис.10. Временная характеристика при Кос=0,05 ,А = 0,1. Фазовая траектория (рис.9) наматывается на устойчивый предельный цикл, что соответствует также устойчивому характеру автоколебаний с постоянной амплитудой (рис.10). При А = 4, Кос = 0,12 получим следующие характеристики и траектории. Рис.11. Фазовая траектория при А = 4, Кос = 0,12. Рис.12. Временная характеристика при А = 4, Кос = 0,12. Фазовая траектория (рис.11) имеет вид сходящегося процесса, что соответствует устойчивому процессу колебаний с уменьшением их амплитуды (рис.12). Процесс уменьшения амплитуды происходит за длительное время что характеризует Кос как близкий к граничному значению. При А = 4, Кос = 0,3 получим следующие характеристики и траектории. Рис.13. Фазовая траектория при А = 4, Кос = 0,3. Рис.14. Временная характеристика при А = 4, Кос = 0,3. Фазовая траектория (рис.11) имеет вид сходящегося процесса, что соответствует устойчивому процессу колебаний с уменьшением их амплитуды (рис.12). Процесс уменьшения амплитуды происходит за короткое время, что характеризует Кос как сильно отличающийся от граничного значения. Как видно из полученных графиков (рис.9 - рис.14) наилучшая область варьируемого параметра КОС находится в пределах значений от 0 до 0,11. Так как в этой области наблюдаются колебания с малой частотой и амплитудой близкой по величине к зоне нечувствительности нелинейного элемента типа «упор». Сведём в таблицу данные полученные при моделировании. Таблица 3.
№
Кос
А
w
Тр
Тс
Кр
Кс
1
0
2,2
0,53
0,2
0,2
1,25
0,28
2
0,05
2,1
0,56
3
0.12
4
0.3 При Кос = 0 и Кос = 0,05 начальные значения выбирались соответственно А=0,5 и А=0,1. Данный выбор обусловлен тем, что переходный процесс имеет плавно раскручивающийся вид. При Кос = 0 установившиеся автоколебания наблюдаются после двух периодов, т.к. А=0,5 , а при Кос = 0,05 и меньшем значении А=0,1 установившиеся автоколебания появляются после 7-8 периодов.

4. Выводы по работе В данной курсовой работе исследовалась нелинейная система автопилота горизонтального руля. Проводился расчет симметричных автоколебаний и их параметров. По итогам теоретических расчетов проводилось цифровое моделирование системы. В исследуемой системе, в зависимости от варьируемого параметра (КОС), наблюдались устойчивые, либо сходящиеся автоколебания. При значении 0≤КОС
При значении КОС больше 0.11 в системе наблюдаются сходящиеся автоколебания. Данный режим неприемлем для практического применения. Моделирование системы выполнялось с помощью ППП MATLAB. При моделировании системы при значении варьируемого параметра, лежащего в пределах от 0 до 0.1105 в системе наблюдались устойчивые симметричные автоколебания, что наглядно представлено на рисунках 7 - 10. При моделировании системы со значениями варьируемого параметра, лежащими в пределах от 0.111 и выше, в системе наблюдались сходящиеся автоколебания, что наглядно представлено на рисунках 11 – 14. Параметры автоколебаний, полученные в результате моделирования, подтвердили результаты сделанного расчета.
Список литературы 1. Теория автоматического управления: Учеб. для ВУЗов: в 2 ч. /Под ред. А.В. Нетушила. М.:Высш.шк., 1983. Ч.2.432 с. 2. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория автоматического управления» – Савин М.М., Пятина О.Н., Елсуков В.С. - НГТУ Новочеркасск 1994г. 3. Теория автоматического управления: Учеб. для ВУЗов: в 2 ч. /Под ред. А.А. Воронова. М.:Высш.шк., 1986. Ч.2.504 4. Конспект лекций по курсу «Теория автоматического управления» Часть 2. Приложение.