Математические методы проверки гипотез

План ВВЕДЕНИЕ 1. ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1. ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 2. ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
3. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ Список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики. Методы математической статистики позволяют проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона, о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности. Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача заключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение, используя выборочные (экспериментальные) данные. Гипотезы о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений называются параметрическими гипотезами. Гипотезы о виде распределения называются непараметрическими гипотезами. Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Проверка осуществляется с помощью статистического критерия. Статистический критерий – это случайная величина, закон распределения которой (вместе со значениями параметров) известен в случае, если принятая гипотеза справедлива. Этот критерий называют еще критерием согласия(имеется в виду согласие принятой гипотезы с результатами, полученными из выборки). Первый раздел посвящен основным понятиям математической статистики: вариационному ряду, статистическим распределениям. Во втором разделе рассмотрены основные выборочные характеристики статистических распределение: математическому ожиданию. Выборочной дисперсии. Третий раздел включает в себя изложение точечных и интервальных оценок распределений, теорию доверительных интервалов. Четвертый раздел излагает основную и главную тему работы – теорию гипотез, являющуюся аналогом теории доверительных интервалов. В заключении подведены итоги
1. ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Полученная в результате статистического наблюдения выборка из n значений (вариант) изучаемого количественного признака X образует вариационный ряд. Ранжированный вариационный ряд получают, расположив варианты xj , где , в порядке возрастания значений, то есть . Изучаемый признак X может быть дискретным, то есть его значения отличаются на конечную, заранее известную величину (год рождения, тарифный разряд, число людей), или непрерывным, то есть его значения отличаются на сколь угодно малую величину (время, вес, объем, стоимость). Частотой mi в случае дискретного признака X называют число одинаковых вариант xi , содержащихся в выборке. В ранжированном вариационном ряду одинаковые варианты очевидно расположены подряд: Вариационный ряд для дискретного признака X принято наглядно и компактно представлять в виде таблицы, в первой строке которой указаны k различных значений xi изучаемого признака, а во второй строке – соответствующие этим значениям частоты mi , где . Такую таблицу называют статистическим (выборочным) распределением. Переход от исходного вариационного ряда дискретного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере: - вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) – 7, 17, 14, 17, 10, 7, 7, 14, 7, 14; - ранжированный вариационный ряд – xj : , где , n = 10; - соответствующее статистическое распределение (, k = 4): xi 7 10 14 17 mi 4 1 3 2. Статистическое распределение для непрерывного признака X принято представлять интервальным рядом – таблицей, в первой строке которой указаны k интервалов значений изучаемого признака X вида (xi–1 – xi ), а во второй строке – соответствующие этим интервалам частоты mi , где . Обозначение (xi–1 – xi ) – указывает не разности, а все значения признака X от xi–1 до xi , кроме правой границы интервала xi . Для непрерывного признака X частота mi – число различных xj , попавших в соответствующий интервал: xjÎ[xi–1 ; xi ):
xj :
xj+2
xn–1
xn
x1
xi–1
mi = 3
xi
xk–1
mk = 2
xk
X Переход от исходного вариационного ряда непрерывного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере: - вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) –3,14; 1,41; 2,87; 3,62; 2,71; 3,95;
- ранжированный вариационный ряд – xj : 1,41; 2,71; 2,87; 3,14; 3,62; 3,95; где , n = 6; - соответствующее статистическое распределение (, k = 3): xi 1–2 2–3 3–4 mi 1 2 3. Если число различных значений дискретного признака очень велико, то для удобства дальнейших вычислений и наглядности статистическое распределение такого дискретного признака также может быть представлено в виде интервального ряда. Вместо частот mi во второй строке могут быть указаны относительные частоты (частости). Очевидно, что сумма частот равна объему выборки (выборочной совокупности) n , а сумма относительных частот (частостей) равна единице: . Далее показаны четыре возможных формы представления статистических распределений с соответствующими краткими названиями: Дискретный ряд частот Интервальный ряд частот xi x1 x2 … xk xi–1–xi x0–x1 x1–x2 … xk–1–xk mi m1 m2 mk , mi m1 m2 … mk , Дискретный ряд частостей Интервальный ряд частостей xi x1 x2 … xk xi–1–xi x0–x1 x1–x2 … xk–1–xk wi w1 w2 wk , wi w1 w2 … wk . Если в статистическом распределении вместо частот (относительных частот) указать накопленные частоты (относительные накопленные частоты), то такой ряд распределения называют кумулятивным. Накопленной частотой называется число значений признака Х, меньших заданного значения x : H(x) = m(ХПереход от дискретного ряда частот к кумулятивному ряду – дискретному ряду накопленных частот задается соотношениями: или в табличной форме: xi x1 x2 x3 … xi … xk xk+1 H(xi) 0 m1 m1+m2 … H(xi–1) + mi–1 … H(xk–1) + mk–1 H(xk) + mk= n. Переход от интервального ряда частот к кумулятивному ряду – интервальному ряду накопленных частот задается соотношениями: или в табличной форме: xi–1–xi –¥–x0 x0–x1 x1–x2 … xi–1–xi … xk–1–xk H(xi) 0 m1 m1+m2 … H(xi–1) + mi … H(xk–1) + mk= n. Накопленной относительной частотой (накопленной частостью) называется отношение числа значений признака Х, меньших заданного значения x , к объему выборки n : , то есть, доля вариант xj в выборке, отвечающих условию xj
По аналогии с теоретической функцией распределения генеральной совокупности , которая определяет вероятность события Х : = P(Х ), вводят понятие эмпирической функции распределения , которая определяет относительную частоту этого же события Х , то есть = . Таким образом, эмпирическая функция распределения задается рядом накопленных относительных частот.
Из теоремы Бернулли следует, что стремится по вероятности к F(x): поэтому эмпирическую функцию распределения можно использовать для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. Дискретный ряд накопленных относительных частот может быть получен двумя равноправными способами: 1) переход от дискретного ряда частостей к кумулятивному ряду – дискретному ряду накопленных частостей задается соотношениями: или в табличной форме: xi x1 x2 x3 … xi … xk xk+1 (xi) 0 w1 w1+w2 … (xi–1) + wi–1 … (xk–1) + wk–1 (xk) + wk= 1; 2) переход от дискретного ряда накопленных частот к дискретному ряду накопленных частостей задается соотношением: Интервальный ряд накопленных относительных частот может быть получен двумя равноправными способами: 1) переход от интервального ряда частостей к кумулятивному ряду – интервальному ряду накопленных частостей задается соотношениями: или в табличной форме: xi–1–xi –¥–x0 x0–x1 x1–x2 … xi–1–xi … xk–1–xk (xi) 0 w1 w1+w2 … (xi–1) + wi … (xk–1) + wk= 1; 2) переход от интервального ряда накопленных частот к интервальному ряду накопленных частостей задается соотношением: Для наглядности принято использовать следующие формы графического представления статистических распределений: · дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (i , i); аналогично, полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (, wi ); · интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частот есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых – интервалы длиной , а высоты – плотности частот . В случае гистограммы относительных частот высоты прямоугольников – плотности относительных частот . Здесь в общем случае , однако на практике чаще всего полагают величину h одинаковой для всех интервалов: . Очевидно для ранжированного вариационного ряда ; . В скобках указаны индексы j исходного ранжированного вариационного ряда. Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников: таким образом, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна единице. В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятностей . Поэтому гистограмму можно использовать для подбора закона распределения генеральной совокупности; · кумулятивные ряды графически изображают в виде кумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат – накопленные частоты Н() или относительные накопленные частоты , а затем точки с координатами (i ; H(i )) или (i ; ) соединяют отрезками прямой. В теории вероятностей кумуляте соответствует график интегральной функции распределения .
Замечание 1. Если в статистическом исследовании исходным является статистическое распределение в виде интервального ряда (сгруппированные данные), а исходный вариационный ряд недоступен, то точное расположение отдельных вариант, попавших в каждый из интервалов неизвестно. Только выбирая в качестве аргумента эмпирической функции распределения правую границу интервала (xi–1–xi), мы уверены, что все варианты, попавшие в этот интервал, будут учтены (просуммированы) в значении накопленной частоты (накопленной относительной частоты), соответствующей этому интервалу.
Поэтому в случае интервального ряда значения и H(x) точно определены лишь для правой границы интервала: x = xi . В остальных точках интервала xi–1 и H(x) можно задать лишь приближенно. Примером может служить кумулята, отрезки прямых которой представляют собой выраженную в графической форме линейную интерполяцию значений и H(x) на интервале xi–1 Замечание 2. В случае дискретного ряда использовать кумуляту для изображения и H(x) можно лишь условно, для наглядности. Более корректным является изображение эмпирической функции распределения (а также H(x)) по аналогии с теоретической функцией распределения дискретной случайной величины ступенчатым графиком – отрезками прямых, параллельных оси абсцисс; длины отрезков – hi = xi – xi–1 , расстояния от отрезков до оси абсцисс – (или H(xi)).
2. ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Для описания основных свойств статистических распределений чаще всего используют выборочные характеристики следующих двух видов: 1) средние; Выборочная средняя: а) характеризует типичное для выборки значение признака X; б) приближенно характеризует (оценивает) типичное для генеральной совокупности значение признака X; – средняя арифметическая; применяется к вариационному ряду (данные наблюдения не сгруппированы); – взвешенная средняя арифметическая (частоты mi , и частости wi называют весами); используется, если данные сгруппированы; непосредственно применима только к статистическому распределению дискретного признака (дискретному ряду). Структурные (порядковые) средние. Если = хмo = хме , то распределение симметричное. При нарушении симметрии равенство нарушается (хотя бы одно). , если n = 2j – четное; хме = хj+1 , если n = 2j+1 – нечетное. Медиана – это серединное значение признака X; по определению: . хмo = xi , если mi = mmax (справедливо только для дискретного ряда). Мода – наиболее часто встречающееся значение признака X. 2) характеристики вариации (рассеяния). – выборочная дисперсия есть выборочная средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака X от выборочной средней (равна “среднему квадрату без квадрата средней”): – выборочная дисперсия; применяется к вариационному ряду (данные наблюдения не сгруппированы); – выборочная взвешенная дисперсия; используется, если данные сгруппированы; непосредственно применима только к статистическому распределению дискретного признака (дискретному ряду); – средний квадрат есть выборочная средняя арифметическая квадратов значений признака X (для вариационного ряда и для дискретного распределения соответственно). – выборочное среднее квадратическое отклонение есть арифметическое значение корня квадратного из дисперсии; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются значения xj признака X от выборочной средней . R = хmax – хmin – размах вариации. – коэффициент вариации; применяют для сравнения вариации признаков сильно отличающихся по величине, или имеющих разные единицы измерения (разные наименования). Замечание. Если исходный вариационный ряд недоступен, приведенные выше формулы вычисления выборочных характеристик, применимые только к дискретному ряду, могут быть использованы для приближенного вычисления выборочных характеристик непрерывного признака, представленного интервальным рядом. Для этого предварительно каждый интервал xi–1–xi заменяется его серединой = (xi–1+ xi) / 2, то есть производится замена интервального ряда дискретным, соответствующим ему приближенно. 3. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Важной задачей математической статистики является задача оценивания (приближенного определения) по выборочным данным параметров закона распределения признака X генеральной совокупности. Другими словами, необходимо по данным выборочного распределения оценить неизвестные параметры теоретического распределения. Статистические оценки могут быть точечными и интервальными.
Задачу статистического оценивания, а также основные виды статистических оценок, рассмотрим для частного случая: пусть признак X генеральной совокупности распределен нормально, то есть теоретическое распределение имеет вид: с параметрами: – математическое ожидание признака X ; – среднеквадратическое отклонение признака X. Точечной оценкой неизвестного параметра называют число (точку на числовой оси), которое приблизительно равно оцениваемому параметру и может заменить его с достаточной степенью точности в статистических расчетах. Точечной оценкой генеральной средней и параметра a может служить выборочная средняя . Точечными оценками генеральной дисперсии могут служить выборочная дисперсия , или, при малых объемах выборки n , исправленная выборочная дисперсия: . Точечными оценками для генерального среднеквадратического отклонения могут служить: – выборочное среднее квадратическое отклонение или – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Формулы, необходимые для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии , приведены в п. 2. Для того чтобы точечные статистические оценки обеспечивали “хорошие” приближения неизвестных параметров, они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Пусть – точечная оценка неизвестного параметра q. Несмещенной называют такую точечную статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру: . Состоятельной называют такую точечную статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. В частности, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной. Эффективной называют такую точечную статистическую оценку, которая при фиксированном n имеет наименьшую дисперсию. Можно показать, что выборочная средняя является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной средней . Для построения интервальной оценки рассмотрим событие, заключающееся в том, что отклонение точечной оценки параметра от истинного значения этого параметра q по абсолютной величине не превышает некоторую положительную величину D . Вероятность такого события . Заменив неравенство на равносильное, получим: . Вероятность того, что доверительный интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр q равна g и называется доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки. Величину D называют точностью оценки. Построим интервальную оценку параметра для двух случаев: 1) параметр s нормального закона распределения признака Х генеральной совокупности известен. В этом случае интервальная оценка параметра с заданной надежностью g определяется формулой: , где D = , t – аргумент функции Лапласа: Ф(t) = . 2) параметр s нормального закона распределения признака Х генеральной совокупности неизвестен. В этом случае интервальная оценка параметра с заданной надежностью g определяется формулой: , где D = , S – точечная оценка параметра s , – значения распределения Стьюдента, которые находим по таблице. Пример. С целью определения среднего трудового стажа на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование трудового стажа рабочих. Из всего коллектива рабочих завода случайным образом выбрано 400 рабочих, данные о трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж оказался равным 9,4 года. Считая, что трудовой стаж рабочих имеет нормальный закон распределения, определить с вероятностью 0,97 границы, в которых окажется средний трудовой стаж для всего коллектива, если известно, что s = 1,7 года. Решение. Признак Х – трудовой стаж рабочих. Этот признак имеет нормальный закон распределения с известным параметром s = 1,7, параметр а неизвестен. Сделана выборка объемом n = 400, по данным выборки найдена точечная оценка параметра а: в = 9,4. С надежностью g = 0,97 найдем интервальную оценку параметра по формуле: . По таблице значений функции Лапласа из уравнения Ф(t) » = 0,485 находим t = 2,17; тогда:
9,4 – 0,18 ген ген С изменением надежности g изменится и интервальная оценка. Пусть g = 0,99, тогда Ф(t) = 0,495, отсюда t = 2,58. Тогда: или 9,4 – 0,22 ген Окончательно: 9,18 ген
Пример. С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллектива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась равной 6,85 часа, а S = 0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с надежностью g = 0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива данного предприятия. Решение. Признак Х – продолжительность рабочего дня. Признак имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Сделана выборка объемом n = 30, по выборочным данным найдены точечные оценки параметров распределения: в = 6,85; S = 0,7. С надежностью g = 0,95 найдем интервальную оценку параметра по формуле: tg находим по таблице, tg = t(0,95; 30) = 2,045. Тогда: , или 6,85 – 0,26 ген Итак, 6,59 ген
4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ Во многих практических задачах точный закон распределения исследуемого признака Х генеральной совокупности неизвестен. В этом случае необходимо проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Выдвигаются нулевая гипотеза Н0 и ей конкурирующая Н1. Н0: признак Х имеет нормальный закон распределения. Н1: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального. Нулевая гипотеза проверяется с помощью критерия согласия. Критерий c2 (“хи-квадрат”) Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий, может применяться для проверки гипотезы о любом законе распределения. Независимо от того, какое распределение имеет Х, распределение случайной величины c 2:
, где – эмпирические частоты, – теоретические частоты; при стремится к c 2 – распределению с k степенями свободы. Теоретические частоты определяются, исходя из предположения о законе распределения генеральной совокупности, в данном случае о нормальном законе. Так как , где рi – теоретическая вероятность, то . Для дискретного ряда: , где , –дифференциальная фун­кция нормированного нормального распределения, шаг , – выборочная средняя, – выборочное среднее квадратическое отклонение. Для интервального ряда: , где Ф(t) – функция Лапласа. Рассчитав теоретические частоты, находят . Из таблицы критических точек распределения c 2 по заданному уровню значимости a (достаточно малая вероятность) и числу степеней свободы k находят (a, k) – границу правосторонней критической области (см. рис. 5). Здесь k = s – r – 1 , где s – число различных значений xi дискретного или число интервалов (xi–1 – xi ) непрерывного признака Х, r – число параметров предполагаемого закона распределения, для нормального распределения r = 2, отсюда k = s – 3. Затем сравнивают и (a, k) и делают вывод.
Рис. 5 При формулировке вывода руководствуются следующим правилом: · если наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы ((a, k)), как показано на рис. 5, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения признак Х имеет нормальный закон распределения, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) случайное; · если наблюдаемое значение критерия попало в критическую область (>(a, k)), то нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) значимо. Пример 9. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности: 14 18 32 70 20 36 10 10 24 34 80 18 22 12. Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0 и ей конкурирующую Н1. Н0: признак Х имеет нормальный закон распределения. Н1: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального. В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область. Проверим гипотезу с помощью случайной величины , которая имеет распределение c 2 с k = s – 3 = 7 – 3 = 4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое значение критерия c 2 по выборочным данным. Расчеты представим в таблице:
14 18 32 70 20 36 10 10 24 34 80 18 22 12 1,6 1,5 0,118 1,25 0,222 8,909 0,333 Итого 200 200 13,932 . » 13,93; (0,05; 4) = 9,5. Сравниваем и (0,05; 4). Так как >(0,05; 4), то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Математическая статистика – наука, изучающая методы исследования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними. Построенные на основании этих методов закономерности относятся не к отдельным испытаниям, из повторения которых складывается данное массовое явление, а представляют утверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса. Такими характеристиками могут быть вероятности, плотности распределения вероятностей, математические ожидания, дисперсии и т.п. Найденные характеристики позволяют построить вероятностную модель изучаемого явления. Применяя к этой модели методы теории вероятностей, исследователь может решать технико-экономические задачи, например, определять вероятность безотказной работы агрегата в течение заданного отрезка времени. Теория вероятностей по вероятностной модели процесса предсказывает его поведение, а математическая статистика по результатам наблюдений за процессом строит его вероятностную модель. В этом состоит тесная взаимосвязь между данными науками. В данной работе были описаны основные понятия математической статистики, теория доверительных интервалов и эквивалентная этой теории – теория гипотез, находящая широкие применения во многих науках.
Список использованной литературы 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1997. 3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1994. 4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике (Теория вероятностей и математическая статистика). Минск: Вышейша школа, 1996. 5. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Самарск. экон. ин-т. Самара, 1992. 6. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 1994. 7. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И. Математика для экономистов. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. –М.: УМиИЦ «Учебная литература», 1998.