Некотрые аспекты методики обучения решению текстовых задач в курсе математики начальной школы

Введение Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершен­ствовать математическую подготовку подрастающего поколения. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей.
С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию младших школьников. Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос – центральный в методике обучения решению задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными. Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами. Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научить детей владеть умением решения задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи. Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания. Объектом исследования является методика обучения решению текстовых задач на уроках математики. Предметом исследования является процесс решения текстовых задач младшими школьниками. Цель – исследовать методику работы над текстовой задачей, выявить новые подходы к решению текстовых задач. Задачи: Ø Анализ литературы по данной проблеме; Ø Выявить роль текстовых задач в процессе обучения; Ø Изучить методику работы над текстовой задачей; Ø Анализ нетрадиционных подходов в методике работы над текстовой задачей; Ø Выявить возможность текстовой задачи для диагностики уровня развития мышления младших школьников; Гипотеза: Я предполагаю, что новые подходы, формы, направления работы над задачей более успешно позволяют организовать процесс решения текстовых задач. Методы: Ø Метод теоретического анализа, синтеза, обобщения и конкретизации; Ø Метод тестирования с помощью методики определения уровня развития логического мышления учащихся; Ø Методы количественного анализа и качественной обработки данных исследования. I. Роль текстовых задач. 1. Развитие младших школьников на уроках математики. Развитие младшего школьника — важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал — одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов. В развитии познавательной деятельности младшего школьника особую роль играет мышление. П.П. Блонский подчеркивал: «Мышление – та функция, интенсивнейшее развитие которой является одной из самых характерных особенностей школьного возраста. Ни в ощущении, ни мнемических способностях нет такой огромной разницы между ребенком 6 – 7 лет и юношей 17 – 18 лет, какая существует в их мышлении», [2,с.82]. В тесной связи с мышлением развиваются все познавательные процессы. Именно с развитием мышления складываются такие важные новообразования школьного возраста, как внутренний план действий (действий «в уме») и рефлексия (умение рассматривать и оценивать свои собственные действия).[25] Математика даёт реальные предпосылки для развития мышления, задача учителя — полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования. Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания. Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны. Ф. Энгельс отменяет, что « .мышление состоит столько же в разложении предметов создания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза», [25,с.135]. Анализ и синтез, взаимно связанные операции мышления, находят постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач. Уже на первых шагах обучения при изучении чисел первого десятка учащиеся пользуются наглядно-действенным анализом (разложением) предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным синтезом (соединением), группируя элементы во множества. Наглядный анализ и синтез сменяется затем анализом и синтезом по представлению: ребёнок может выполнить разложение чисел или их соединение, оперируя со зрительными образами, которые сохраняются в его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании.
Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи. При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез. Анализ и синтез, как взаимосвязанные мыслительные операции находят своё применение при решении текстовых задач.
Ученик под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные, условия и вопрос. При решении составных арифметических задач требуется применить более сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной задачи, так же как и простой, сводится к расчленению его на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условие и искомое должны подвергнутся дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы. В процессе начального обучения математике находит своё применение приём сравнения, то есть выделение сходных и различных признаков у рассматриваемых чисел, арифметических примеров, арифметических задач. После решения задач учащиеся сравнивают, каким действием решается та или другая задача: одна сложением, другая умножением, а затем сопоставляют способы решения с различиями в условиях задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений «больше на несколько единиц» и «больше в несколько раз» и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом её решения. Сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие её элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия. При объяснении учащимся новой для них по способам решения задачи с многозначными числами часто используется приём аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими числами, вычисления над которыми можно выполнить устно. Используя в начальном обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации мышления учащихся, и тем самым способствовали его развитию. 2. Воспитательная роль текстовых задач Проблему математического образования в школе нельзя сводить только к передаче учащимся определенной суммы знаний и навыков по этому предмету. Перед учителями математики стоит и другая, не менее важная задача – реализация возможностей своего предмета в развитии личности учащихся. В свое время Н.И. Пирогов справедливо утверждал, что «… наука нужна не для одного только приобретения сведений, что в ней кроется – иногда глубоко и потому для поверхностного наблюдателя незаметно – другой важный элемент – воспитательный. Кто не сумеет им воспользоваться, тот не знает всех свойств науки и выпускает из рук своих такой рычаг, которым можно легко поднять большие тяжести»,[19,с.10]. Одним из эффективных средств воспитания учащихся является решение математических задач. Математические задачи отра­жают различные стороны жизни, несут много полезной информа­ции, поэтому их решение является одним из звеньев в системе воспитания вообще, патриотического, нравственного и трудового в частности. Хорошо подобранные и правильно методически расположенные задачи помогают ученику усвоить теоретический материал, делают курс математики более интересным, вызывают потребность в новых знаниях и умении самостоятельно их приобретать. Но кроме прямого воздействия (формирование нового знания) содержание задач имеет скрытое «подтекстуальное» влияние на учащихся. Приступая к решению задачи, ученик сначала знакомится с ее формулировкой, решение же пока остается вне поля его деятельности. Поэтому очень важно, чтобы содержание задачи вызывало живой интерес. Полезно, когда тексты задач обращены не только к уму, но и к эмоциям детей, вызывая у них чувство причастности к решению актуальных проблем, стоящих перед нашей страной. При этом воспитательное воздействие содержания задач осуществляется не только через условие задачи, но и непроизвольно, через подтекст материала. С усвоением любой информации связано формирование отношения к ней. Отсюда понятно значение содержания решаемой задачи. Задачи могут рассказать о величии труда на благо Родины, о творческом подъеме народа, о радости, которую испытывают люди от выполнения и перевыполнения плановых заданий. В отдельные задачи удачно вводятся данные о строительстве, о работниках, о положении трудящихся у нас и в других странах, сведения оборонного характера и др. Например, через содержание задач учитель может сообщить учащимся те знания, которые в дальнейшем могут быть полезны им во время службы в армии.[11] Известно, что привычка к труду не рождается с человеком, ее надо воспитывать. Необходимо настойчиво приучать учащихся к систематической работе, постоянно контролируя выполнение домашних заданий, внедрять в сознание ученика понимание важности учебного труда как дела чести и долга. Учебная работа школьников на уроках математики, наряду с рассмотренными направлениями усиления воспитательной направленности школьного обучения, также очень важна. Необходимость убедительной аргументации по ходу решения задач способствует развитию таких волевых качеств, как настойчивость, самостоятельное преодоление трудностей, критическое отношение к себе и к окружающему. Поиски и нахождение самостоятельных путей решения задач и доказательства теорем способствуют развитию творческого подхода к выполняемой работе, духа новаторства. Поэтому учащиеся не должны выступать на уроках в роли пассивных слушателей. На уроке должны использоваться разнообразные виды самостоятельной учебной работы, рациональные приемы учебы. Такая организация обучения математике способствует пониманию того, что смысл жизни человека состоит в труде, что только творческий труд дает удовлетворение всегда, будь то деятельность ученого или ученика. Люди стремятся хорошо работать, чтобы принести как можно больше пользы стране, чтобы сделать ее богатой и могущественной. А это невозможно без знания экономических основ производства и процессов экономической жизни. Еще в школе необходимо у ребят выработать навыки экономического мышления, потребность по-хозяйски относиться к народному добру, расчетливо вести дело, добиваться максимального эффекта при минимуме затрат труда и средств, по государственному подходить к решению хозяйственных задач. Поэтому экономическое воспитание, являясь частью воспитания, играет важную роль в формировании патриотических чувств и убеждений, в подготовке школьников к жизни, к труду. Многое в этом отношении можно сделать при решении математических задач. Тексты задач должны не только давать материал для ума, но и вызывать у детей чувство сопричастности к текущим событиям, желание преодолевать трудности. Однако в учебных пособиях число задач, действующих на эмоции ученика, создающих проблемную ситуацию, невелико. Хотим заметить, что и содержание подобных задач быстро устаревает. Поэтому учитель должен составлять новые задачи и обновлять содержание имеющихся задач, используя сведения периодической печати, статистических сборников, сообщений и т. д.
3. Образовательное значение текстовых задач.
В процессе решения текстовых задач учащиеся усваивают конкретный смысл арифметических действий, знакомятся со знаками для записи выполняемых действий; изучаемые правила сразу же подтверждаются в решении задач. Такие задачи предусмотрены программой каждого года обучения.
Система в подборе задач и расположении их по времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении, а также задач взаимно обратных. При этом имеется в виду, что в процессе изучения математики дети все время будут встречаться с задачами различных видов. Это исключает возможность выработки штампов и натаскивания в решении задач: дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз производить анализ задачи, устанавливая связь между данными и искомым, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения.[20] Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором будет решаться важнейшая задача преподавания математики — развитие мышления и творческой активности учащихся. Наряду с простыми задачами, начиная со второго года обучения, вводятся задачи составные, сложность которых в III IV классах постепенно возрастает. Важно научить всех детей самостоятельно находить путь решения предложенной задач, применять общие подходы к их решению. Дети учатся анализировать содержание задачи, точно объясняя, что известно в решаемой задаче и что неизвестно, что следует из условия задачи, какие арифметические действия и в какой последовательности должны быть выполнены для получения ответа на вопрос задачи; обосновывать выбор каждого действия и пояснять полученные результаты; составлять по задаче выражение и вычислять его значение; устно давать полный ответ на вопрос задач и проверять правильность решения задачи. Необходимо, чтобы учащиеся знали о возможности различных способов решения некоторых задач и сознательно выбирали наиболее рациональный из них. В процессе работы над задачами дети упражняются в самостоятельном составлении задач по различным заданиям учителя. Числовой и сюжетный материал для составления задач берется из окружающей действительности с использованием особенностей той местности, в которой живут дети. Составление и решение такого рода задач способствует не только лучшему осознанию особенностей структуры и хода решения задач различных видов, но и развитию творческой самостоятельности детей, расширению их кругозора, усилению связи обучения с жизнью. В решении текстовых задач отрабатываются математические понятия. При выполнении упражнений, раскрывающих конкретный смысл действий сложения и вычитания, возникает потребность в знаках для записи выполняемых действий. Первоначально знаки действий осознаются детьми как краткое обозначение слов «прибавить» и «вычесть». Рассмотрим, как можно провести знакомство со знаками действий сложения и вычитания. Учитель может предложить детям задачу, сопровождая ее демонстрацией: «Мальчик поймал 2 рыбки и пустил их в ведерко (показывает). Потом он поймал еще 1 рыбку (показывает) и тоже пустил в ведерко. Сколько всего рыбок стало в ведре? (3.) Сколько было рыбок сначала? Обозначим цифрой. Сколько рыбок мальчик еще пустил в ведро? Обозначим цифрой. Сколько всего рыбок стало в ведре? Обозначим цифрой. Мы прибавили к двум один и получили три. Теперь посмотрим, как это можно записать. Это — знак «прибавить», это — «получится», — говорит учитель, ставит знаки и читает запись еще раз.[17] Аналогично рассматривается задача на вычитание. Таким образом, в процессе решения текстовых задач реализуются образовательные, воспитательные и развивающие цели. Решение задач способствует формированию у детей полноценных знаний, определяемых программой. Задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач позволяет углубить и расширить представления детей о жизни, формирует у них практические умения (подсчитать стоимость покупки, ремонта квартиры). Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Содержание многих задач отражает труд детей и взрослых, достижения в области науки, техники, культуры. Процесс решения задач оказывает положительное влияние на умственное развитие детей. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать задачи различными способами.[17] II.Характеристика текстовой задачи и методика работы над ней. 1.Понятие текстовой задачи. Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимает в этой системе текстовые задачи. Текстовая задача — есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения. Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа. Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач. Каждая задача — это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое. Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника.» или «Чему равна площадь прямоугольника?»). Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи. В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.
На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 метра» — недостаточно данных для ответа на её вопрос. Чтобы выполнить эту задачу, необходимо её дополнить недостающими данными.
Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений. Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы: 1.Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу. 2.Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи. 3.Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или несколь­ких величин. Эти значения называют искомыми. Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Понимая роль задачи и её место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и чётко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи. 2.Виды арифметических задач. Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной. Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики — понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и её составными частями.[17] В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей. На первом этапе знакомства детей с простой задачей перед учителем возникает одновременно несколько довольно сложных проблем: 1.Нужно, чтобы в сознание детей вошли и укрепились вторичные сигналы к определенным понятиям, связанным с задачей; 2.Выработать умение видеть в задаче данные числа и искомое число; 3.Научить сознательно выбирать действия и определять компонен­ты этих действий. Разрешение указанных проблем нельзя расположить в определенной последовательности. В занятиях с детьми довольно часто приходится добиваться результатов не одного за другим, а идти к достижению нескольких целей одновременно, постепенно развивая и расширяя достигнутые успехи в нескольких направлениях. При знакомстве с задачами и их решением нельзя избежать специфических терминов, но дети должны их понимать, чтобы осознавать смысл задачи. Работа с детьми по усвоению ими терминологии начинается с первых дней занятий в школе и ведётся систематически на протяжении всех лет обучения. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия. Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей дежурило в школе?» [16] Эта задача включает две простых: 1.В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков дежурило в школе? 2.В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько всего детей дежурило в школе? Как видим, число, которое было искомым в первой задаче, стало данным во второй. Последовательное решение этих задач является решением составной задачи: 1)8 + 2=10; 2)8+10=18. Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время. Запись решения многих составных задач и составление по ним выражения связаны с использованием скобок. Скобки — математический знак, употребляемый для порядка действий. В скобки заключается то действие, которое нужно выполнить раньше. В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи. 3. Способы решения текстовых задач. Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил. При решении задач различными способами ученик привлекает дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. Как правило, различными способами решается те из задач, где этого требует вопрос, поэтому такая работа носит эпизодический характер. В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.
Но надо отметить, что в начальных классах алгебраический способ не применяется для решения задач. Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим. До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашёл должного применения в школьной практике.
Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей. Следует отметить, что благодаря применению графического способа в начальной школе можно сократить сроки, в течение которых ученик научится решать различные задачи. В то же время умение графически решать задачу — это важное политехническое умение. Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую дети ещё не могут решить арифметическим способом и которую можно предлагать во внеклассной работе. Решение задач различными способами — дело непростое, требующее глубоких математических знаний, умения отыскивать наиболее рациональные решения. 4. Общие вопросы методики обучения решению задач. Научить детей решать задачи – значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбрать, а затем и выполнить арифметические действия. В начальных классах ведется работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида. Работа над задачами не должна сводится к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, а затем другого и т.д. Главная ее цель – научить детей осознано устанавливать определенные связи между между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение. Чтобы добиться этого, учитель должен предусмотреть в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени: 1. Подготовительную работу к решению задач; 2. Ознакомление с решением задач; 3. Закрепление умения решать задачи а) Подготовительная работа к решению задач На этой ступени обучения решению задач того или другого вида должна быть создана у учащихся готовность к выбору арифметических действий при решении соответствующих задач: они должны усвоить знание тех связей, на основе которых выбираются арифметические действия, знание объектов и жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах. До решения простых задач ученики усваивают знание следующих связей: 1. Связи операций над множествами с арифметическими действиями, то есть конкретный смысл арифметических действий. Например, операция объединения непересекающихся множеств связана с действием сложения; если имеем 4 и 2 флажка, то чтобы узнать, сколько всего флажков, надо к 4 прибавить 2; 2. Связи отношений «больше» и «меньше» (на сколько единиц и в несколько раз) с арифметическими действиями, то есть конкретный смысл выражений «больше на…», «больше в … раз», «меньше на…», «меньше в … раз». Например, больше на 2, это столько же и еще 2, значит, чтобы получить на 2 больше, чем 5, надо к 5 прибавить 2. 3. Связи между компонентами и результатами арифметических действий, то есть правила нахождения одного из компонентов арифметических действий по известному результату и другому компоненту. Например, если известна сумма и одно из слагаемых, то другое слагаемое находится действием вычитания. Из суммы вычитают известное слагаемое. 4. Связи между данными величинами, находящихся в прямо или обратно пропорциональной зависимости, и соответствующими арифметическими действиями. Например, если известна цена и количество, то можно найти стоимость действием умножения. Кроме того, при ознакомлении с решением первых простых задач, ученики должны усвоить понятия и термины, относящиеся к самой задаче и ее решению (задача, условие задачи, вопрос задачи, решение задачи, ответ на вопрос задачи).[17] Подготовкой к решению составных задач будет умение вычленять систему связей, иначе говоря, разбивать составную задачу на ряд простых, последовательное решение которых и будет решением составной задачи. При работе над каждым отдельным видом задач требуется своя специальная подготовительная работа. б) Ознакомление с решением задач. На этой второй ступени обучения решению задач дети учатся устанавливать связи между данными и искомым и на этой основе выбирать арифметические действия, то есть они учатся переходить от конкретной ситуации, выраженной в задаче к выбору соответствующего арифметического действия. В результате такой работы учащиеся знакомятся со способом решения задач рассматриваемого вида. В методике работы на этой ступени выделяются следующие этапы: 1 этап – ознакомление с содержанием задачи; 2 этап – поиск решения задачи; 3 этап – выполнение решения задачи; 4 этап – проверка решения задачи. Выделенные этапы органически связанны между собой, и работа на каждом этапе ведется на этой ступени преимущественно под руководством учителя. 1. Ознакомление с содержанием задачи. Ознакомится с содержанием задачи – значит прочитать ее, представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче. Читают задачу, как правило, дети. Учитель читает задачу лишь в тех случаях, когда у детей нет текста задачи или когда они еще не умеют читать. Очень важно научить детей правильно читать задачу: делать ударение на числовых данных и на словах, которые определяют выбор действий, таких как «было», «убрали», «осталось», «стало поровну» и т.п., выделять интонацией вопрос задачи. Если в тексте задачи встретятся непонятные слова, их надо пояснить или показать рисунки предметов, о которых говорится в задаче. Задачу дети читают один – два, а иногда и большее число раз, но постепенно их надо приучать к запоминанию задачи с одного чтения, так как в этом случае они будут читать задачу более сосредоточенно. Читая задачу, дети должны представлять ту жизненную ситуацию, которая отражена в задаче. С этой целью полезно после чтения предлагать им представить себе то, о чем говорится в задаче, и рассказать, как они представили. 2. Поиск решения задачи. После ознакомления с содержанием задачи нужно приступить к поиску ее решения: ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомыми и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия. При введении задач нового вида поиском решения руководит учитель, а затем учащиеся выполняют это самостоятельно. В том и другом случае используются специальные приемы, которые помогают детям вычленить величины, данные и искомые числа, установить связи между ними. К таким приемам относятся иллюстрация задачи, повторение задачи, разбор и составление плана решения задачи. Рассмотри каждый из этих приемов. Иллюстрация задачи – это использование средств наглядности для вычисления величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними. Иллюстрация может быть предметной или схематичной. Предметная иллюстрация помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче. Ею пользуются только при ознакомлении с решением задач нового вида и преимущественно в 1 классе. Для иллюстрации задачи используются либо предметы, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче: с их помощью иллюстрируется конкретное содержание задачи.
Наряду с предметной иллюстрацией, начиная с 1 класса, используется и схематическая – это краткая запись задачи. В краткой записи фиксируются в удобообразной форме величины, числа – данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чем говорится в задаче: «было», «положили», «стало» и т.п. и слова, означающие отношения: «больше», «меньше», «одинаково» и т.п.
Краткую запись задачи можно выполнять в таблице и без нее, а так же в форме чертежа. При табличной форме требуется выделение и название величины. Расположение числовых данных помогает установлению связей, между величинами: на одной строке записываются соответствующие значения различных величин, а значения одной величины записываются одно под другим. Искомое число обозначается вопросительным знаком. Многие задачи можно иллюстрировать чертежом. Иллюстрирование в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величин («больше», «меньше», «столько же»). Одно из чисел данных в задаче (число детей, число метров в материи) изображают отрезком, задав определенный масштаб (без употребления этого слова) и используя данные в задаче соотношения этого числа и других чисел, изображают эти числа (в 2 раза больше, на 4 кг меньше) соответствующим отрезком. Задачи, связанные с движением, также можно иллюстрировать с помощью чертежа. Используя иллюстрацию, ученики могут повторить задачу. При повторении лучше, чтобы дети объясняли, что показывает каждое число и что требуется узнать в задаче. При ознакомлении с задачей нового вида, как правило, используется какая- либо одна иллюстрация, но в отдельных случаях полезно выполнить предметную и схематичную иллюстрацию. В процессе выполнения иллюстрации некоторые дети находят решение задачи, то есть они уже знают, какие действия надо выполнить, чтобы решить задачу. Однако часть детей может установить связи между данными и искомыми выбрать соответствующее арифметическое действие только с помощью учителя. В этом случае учитель проводит специальную беседу, которая называется разбором задачи. Рассуждение можно строить двумя способами: идти от вопроса задачи к числовым данным или же от числовых данных идти к вопросу. Чаще следует использовать первый способ рассуждения, так как при этом ученик должен иметь в виду не одно выделенное действие, а все решение в целом. При использовании второго способа разбора учитель прямо подводит их к выбору каждого действия. Кроме того, такое рассуждение может привести к выбору «лишних действий». Разбор составной задачи заканчивается составлением плана решения – это объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку арифметических действий. 3. Решение задачи. Решение задачи – это выполнение арифметических действий, выбранных при составлении плана решения. При этом обязательны пояснения, что находим, выполняя каждое действие. Надо учить детей правильно и кратко давать пояснения к выполняемым действиям. Решение задачи может выполняться устно и письменно. В начальных классах могут быть использованы такие основные формы записи решения: 1. Составление по задаче выражения и нахождение его значения; 2. Запись решения в виде отдельных действий с пояснением или без них; 3. С вопросами; 4. Проверка решения задач. Проверить решение задачи – значит установить, что оно правильно или ошибочно. В начальных классах используются следующие четыре способа проверки: 1. Составление и решение обратной задачи. В этом случае детям предлагается составить задачу, обратную по отношению к данной: то есть преобразовать данную задачу так, чтобы искомое данной задачи стало данным числом, а одно из данных чисел стало искомым. Если при решении обратной задачи в результате получится число, которое было известно в данной задаче, то можно считать, что данная задача решена правильно. 2. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами. При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получаются в ответе на вопрос задачи, если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно. 3. Решение задачи другим способом. Если задачу можно решать различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что задача решена правильно. 4. Прикидка ответа – то есть до решения задачи устанавливается больше или меньше какого- то из данных чисел должно быть искомое число. в)Закрепление умения решать задачи. Для правильного обобщения способа решения задач определенного вида большое значение имеет система подбора и расположения задач. Система должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего задачи должны постепенно усложнятся. Усложнение может идти как путем увеличения числа действий, которыми решается задача, так и путем включения новых связей между данными и искомым. Одним из важных условий для правильного обобщения младшими школьниками способа решения задач определенного вида является решение достаточного числа их. Однако, задачи рассматриваемого вида должны включаться не подряд, а рассредоточено: сначала включаются чаще, а потом все реже и реже, вместе с другими видами. Это необходимо для того, чтобы предупредить запоминание способа решения. Выработке умения решать задачи нового вида помогают упражнения на сравнение решений задач этого вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком- то отношении с задачами нового вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком- то отношении с задачами нового вида. Такие упражнения предупреждают смешение способов решения задач этих видов. Выработке умения решать задачи рассматриваемого вида помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач. К задачам повышенной трудности относят такие задачи, в которых связи между данными и искомым выражены необычно, так же задачи, вопрос которых сформулирован нестандартно, например: «Хватит ли 50 руб., чтобы купить две книги по 18 руб. и ручку за 8 руб.?» Решение задач повышенной трудности помогает выработать у детей привычку вдумчиво относиться к содержанию задачи и разносторонне осмысливать связи между данными и искомым. Задачи повышенной трудности следует предлагать в любом классе, имея в виду одно условие: детям должно быть известно решение обычных задач, к которым сводится решение предлагаемой задачи повышенной трудности. Многие задачи могут быть решены различными способами. Поиск различных способов решения приводит детей к «открытию» новых связей между данными и искомым. Работа над задачами с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше отыскивать связи между данными и искомым. Полезно включать и решение задач, имеющих несколько решений. Решение таких задач будет способствовать формированию понятия переменной.
Упражнения по составлению и преобразованию задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения. Рассмотрим некоторые виды упражнений по составлению и преобразованию задач: 1. Постановка вопроса к данному условию задачи или изменение данного вопроса. Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и искомым, так как при этом дети устанавливают, что можно узнать по определенным данным.
2. Составление условия задачи по данному вопросу. При выполнении таких упражнений учащиеся устанавливают, какие данные надо иметь, чтобы найти искомое, а это так же приводит к обобщению знаний связей между данными и искомым. 3. Подбор числовых данных. 4. Составление задач по аналогии. Аналогичными называются задачи, имеющие одинаковую математическую структуру. Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины. 5. Составление обратных задач. Упражнения в составлении и решении обратных задач помогают усвоению связей между данными и искомым. 6. Составление задач по их иллюстрациям. Они помогают детям увидеть задачу в данной конкретной ситуации. 7. Составление задач по данному решению. Предлагая составить задачу, надо сначала проанализировать данное решение задачи. В отдельных случаях целесообразно подсказать детям сюжет или же назвать величины.[17] III. Нетрадиционные подходы к методике работы над текстовой задачей. 1. Работа над задачей по программе «Гармония» Учебно-методический комплект «Гармония» для четырехлетней начальной школы, создан на кафедре методики начального обучения Московского Государственного Открытого Педагогического Университета им. М.А. Шолохова. Авторы комплекта: профессор, доктор педагогических наук Н.Б. Истомина; профессор, кандидат педагогических наук М.С. Соловейчик; кандидат педагогических наук, доцент Н.С. Кузьменко; кандидат педагогических наук О.В. Кубасова; кандидат педагогических наук, старший преподаватель О.Т. Поглазова; доктор педагогических наук Н.М. Конышева. Входящие в комплект «Гармония» учебники, учебники- тетради с печатной основой являются результатом многолетнего научно- методического поиска путей совершенствования начального образования, который осуществлялся авторами комплекта. В связи с этим первой особенностью комплекта «Гармония» является его направленность на преодоление объективно сложившегося разделения традиционной и развивающих систем обучения на основе органичного соединения подтвердивших свою жизненность положений традиционной методики и новых подходов к решению методических проблем. Вторая особенность комплекта находит выражение в методе воплощения в нем основных направлений модернизации школьного образования (гуманизации, гуманитаризации, дифференциации, деятельностного и личностно- ориентированного подхода к процессу обучения) [10]. Хорошо известно, что успех любого учебника в значительной мере зависит от готовности учителя стать единомышленником автора и методически грамотно, а возможно и творчески реализовать заложенную в учебнике систему. В связи с этим третьей особенностью комплекта «Гармония» является обеспечение взаимосвязи между подготовкой учителя в ВУЗе и его профессиональной практической деятельностью. Авторы комплекта «Гармония» (Н.Б. Истомина; М.С. Соловейчик; Н.С. Кузьменко; О.В. Кубасова; Н.М. Конышева) одновременно являются авторами учебников и учебных пособий, по которым ведется обучение на факультетах подготовки учителей начальных классов в ВУЗах и педколледжах России. Тщательная разработка концептуальных идей во всех учебниках комплекта «Гармония» и оснащение их методическими рекомендациями, разъясняющие учителю эти идеи, позволяет рассматривать комплект «Гармония» как средство повышения уровня профессиональной компетентности учителя и формирования у него нового педагогического сознания, адекватного современным тенденциям развития начального образования. В этом заключается четвертая особенность методического комплекта «Гармония». Специфика содержания каждого учебного предмета находит отражение в его методической концепции и способах ее реализации. В основу построения курса положена методическая концепция целенаправленной работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения. [10] Комплекта «Гармония» предусматривает новый методический подход к обучению младших школьников решению текстовых задач, в соответствии с которым дети знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы те знания, умения и навыки (навыки чтения, усвоение конкретного смысла действий сложения и вычитания, приобретение опыта в соотношении предметных, словесных, схематических моделей, знакомство со схемой, как способом моделирования), которые необходимы им для овладения умением решать текстовые задачи. Только после этого переходят к решению задач, причем дети чертят схемы к задачам, что так же развивает мышление у младших школьников в процессе решения задач. Методическое оснащение комплекта «Гармония» прошло экспериментальную проверку в различных масштабах: на уровне дипломных исследований, которыми руководили авторы предметных комплектов, на уровне кандидатских и докторских исследований и на уровне массовой проверки в практике школ. Учебно-методический комплект по математике для четырехлетней начальной школы (автор Н.Б. Истомина) удостоен премии правительства РФ в области образования за 1999 год. [10] 2. Подход к работе над задачей по системе Л.В. Занкова Дидактическая система, направленная на общее развитие, разработанная под руководством академика Л.В. Занкова, является альтернативной той системе обучения, которая действовала и действует сейчас в практике. В ней решаются такие задачи, которые волнуют учителей: как можно учить детей без принуждения, как развивать у них устойчивый интерес к знаниям и потребность в их самостоятельном поиске, как сделать учение радостным. [1] По математике используется учебник И.И. Аргинской, Л.В. Занкова «Математика», 1990, разработанный на основании дидактических принципов и типических свойств методической системы начального обучения, направленого на общее развитие учащихся. Стержнем системы начального обучения, в рамках которой разработан предлагаемый учебник математики, является достижение максимального общего развития школьников. Работа с задачами является важным аспектом обучения математике. Многократное повторение однотипных задач, не способствует продвижению ни в общем развитии учащихся, ни в овладении действительным умением решать задачи, если под таким умением понимать не умение сориентироваться в отнесении задачи определенному, ранее изученному типу, а умение проанализировать и решить любую задачу определенной степени сложности, требующую использова­ния тex знаний, которые ученик имеет. Для эффективной работы с задачами необходимо, чтобы каждая задача давала пищу для интенсивной умствен­ной деятельности учащихся, а ученик приступал к ее решению, рассчитывая на успех.
Поскольку в задачах начального курса математические отношения представлены, как правило, в виде определенных жизненных ситуаций, для их решения необходимо предложенную ситуацию проанализировать и осмыслить. Однако чтобы анализ вызвал интенсивную мыслительную деятельность, необходима достаточно сложная, не самоочевидная ситуация.
Действительно, простые прямые задачи, которых обычно очень много предлагается ученикам первого класса, дают ничтожно малый результат в овладении умением анализировать предложенную ситуацию. Процесс анализа таких задач у большей части учеников протекает так быстро, что дети его не осознают, а это приносит большой вред в дальнейшем, когда происходит столкновение с более сложными задачами, в которых анализ выступает на первый план. Это не значит, что мы предлагаем полностью исключить прямые задачи из учебного процесса. Нужно только ясно представлять себе, где и с какой целью их использование принесет максимальную пользу. Укажем основные случаи, когда использование простых прямых задач не только желательно, но и необходимо. Прямые задачи могут быть использованы для более глубокого уяснения смысла арифметических действий, где они в этом случае играют роль трамплина, от которого отталкивается учитель, подводя учеников к осознанию операции, приводящей к данному действию. Прямые задачи необходимо использовать и в том случае, когда основное внимание учащихся должно быть направлено не на анализ ситуации, предложенной в задаче, а на другие ее стороны. Такое положение возникает, на­пример, тогда, когда дети знакомятся с частями задачи — условием и вопросом. В этом случае основное внимание учеников должно быть направлено на выявление структуры текста задачи. Поэтому сложная ситуация может создать ненужные в данном случае дополнительные трудности, отвлекающие детей от основного направления работы. И, наконец, прямые простые задачи могут быть необходимы для некоторых наиболее слабых детей, для которых и они субъективно сложны. В этом случае умелое, включение такиx задач в канву урока позволяет слабым ученикам вносить свой вклад в общую работу, сохранять уверенность в своих силах. Однако распутывание сложной жизненной ситуации, а тем более самостоятельный анализ текста задачи в начале обучения в школе для большей части детей представляют чрезмерную трудность. Следовательно, вводить задачи це­лесообразно с некоторой задержкой, не раньше второй четверти. Следует иметь в виду, что сроки начала работы с задачами могут довольно сильно варьироваться в зависимости от состава класса. В предложенном примерном планировании начало знакомства с задачами отнесено на се« редину второй четверти. В учебник в большом количестве включены задания, специально направленные на подготовку к будущей работе с задачами. К ним относятся задания: на сравнение геометрических фигур; на выбор сходных геометрических фигур; на выделение частей сложного чертежа; на составление равносоставленных фигур; на преобразование фигур в соответствии с условием, данным в задании на составление нескольких разных рассказов к рисунку; на составление нескольких разных рассказов к двум рисункам. Все виды заданий косвенно готовят учащихся к дальнейшей работе с задачами, развивая необходимые для этого качества. Во второй или начале третьей четверти начинается работа, включающая анализ текста задачи и ее решение. Дети знакомятся с основными признаками задачи, ее составными частями, узнают новые термины. [1] Умение решать задачу закономерно вытекает из умения работать с ее текстом. Можно выделить четыре основных этапа решения задачи: понимание подстановки задачи; составление плана решения; осуществление плана решения; анализ полученного решения. Только при выполнении всех четырех этапов решение задачи может быть полноценным. К сожалению, в школе преимущественно уделяется внимание второму и особенно третьему этапам. Первый этап считается пройденным, если ученики смогли сказать, что в задаче дано, и что нужно найти. Последний, четвертый этап часто вовсе отсутствует или существует в виде элементарной проверки правильного выполнения действий. Мы исходим из того, что все четыре этапа в решении задач одинаково важны, но на первой ступени знакомства особенно важен именно первый этап — понимание постановки задачи. В это понятие мы включаем различение задачи от других видов заданий, умение выделить основные части задачи, соотнести их взаимное расположение между собой, провести всесторонний анализ ситуации, представленной в тексте задачи, и выделить математические отношения, в ней заложенные. Самый рациональный путь к этому заключается в осознании каждого шага в познании через активную самостоятельную работу как каждого ученика, так и всего класса в целом. [1] На одном из ближайших уроков после знакомства с понятием «задача» начинается работа по выделению условия и вопроса (пока без введения этих терминов). Пусть дети сами пытаются разделить текст задачи на две части по своему усмотрению. Начинается эта работа с задач простейшей конструкции, когда текст состоит из двух предложений, одно из которых является условием, а второе — вопросом. Не страшно, что в этих случаях выделение частей задачи будет происходить по внешним признакам, дальнейшая работа снимет этот недостаток. Сами попытки разделить текст на две части послужат отправным пунктом к более глубокому и полному анализу задачи. Уже через 1- 2 урока необходимо включить задания, где опора на внешний признак — количество предложений недостаточна. Это задачи, в которых условие состоит из двух предложений. После того как дети будут правильно делить задачу на части, опираясь на интуитивное восприятие строения текста, вводятся термины «условие задачи» и «вопрос задачи». Затем вводятся понятия «данные» и «искомое». Таким образом, у учащихся появляются еще четыре признака, которые позволяют в совокупности с ранее найденными определить, задача им предложена или нет. Из этих первых шагов в анализе текста задачи вытекают два основных направления в работе с ним: установление взаимосвязи между всеми этими понятиями; осознание роли каждого из них в задаче. Первое направление осуществляется при помощи наблюдений за расположением в задаче, данных чисел и искомого числа. Эти наблюдения и связанные с ними рассуждения приводят детей к осознанию того, что данные числа всегда стоят в условии задачи, а искомое — в вопросе. Это следующий и крупный шаг в осознании того, что такое условие задачи и ее вопрос. Так, поднимаясь со ступеньки на ступеньку, дети придут к пониманию того, что условие — это часть задачи, в которой рассказывается о том, что известно, а вопрос — это часть задачи, в которой сообщается о том, что нужно узнать. Постепенно дети начинают осознавать также и наличие внутренней связи между условием и вопросом, а, следовательно, и между данными и искомым. Однако нельзя ожидать, что все эти процессы могут быть завершены в первом классе, поэтому многое из того, о чем мы говорили выше и будем говорить дальше, относится ко всему обучению в начальной школе, а зачастую и к более позднему периоду обучения.
Так, на протяжении всех лет обучения в начальных классах необходимо постоянное включение заданий, которые побуждали бы детей активно использовать те представления, которыми они овладели, требовали бы опоры на смысловые признаки в анализе текстов. Этой цели служат тексты задач, имеющие различную конструкцию. Мы рекомендуем использовать следующие конструкции текстов задач:
- условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный вопросительным предложением. Это наиболее простая и чаще всего встречающаяся конструкция текста задачи, позволяющая опираться на внешние признаки при выделении условия и вопроса; - условие выражено в повествовательной форме, за нимследует вопрос, выраженный также повествовательным предложением. Эта конструкция лишает учащихся опоры на один из внешних признаков — наличие вопросительного предложения; - часть условия выражена в повествовательной форме в начале текста, затем вопросительное предложение, включающее вопрос и часть условия; - часть условия выражена в повествовательной форме в начале текста, затем следует также повествовательное предложение, включающее вопрос и часть условия; - текст задачи представляет одно сложное вопросительное предложение, в котором сначала стоит вопрос задачи, а затем условие; - текст задачи представляет одно сложное повествовательное предложение, в котором сначала стоит вопрос задачи, а затем ее условие. Последние четыре конструкции текста задачи не позволяют учащимся использовать при анализе текста задачи внешние признаки. Верно выделить условие и вопрос в них можно только опираясь на смысловые признаки. Параллельно с осознанием взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомым происходит и продвижение в установлении роли каждого из них в задаче. Здесь выделяются два основных направления: осознание того, что отсутствие хотя бы одной части задачи приводит к тому, что задача перестаёт существовать как таковая; осознание взаимосвязи между изменениями частей задачи и ее решением. Первое направление реализуется в работе с текстами, в которых отсутствует тот или иной элемент задачи (условие, вопрос, данные или искомое), их анализе с целью выявления того элемента, который отсутствует, и дополнении текста до задачи. Необходимо, чтобы каждый текст анализировался с точки зрения, задача ли это, до тех пор, пока все дети не овладеют таким анализом. Продвижение во втором направлении осуществляется при выполнении заданий, позволяющих установить, как изменяется решение задачи при изменении какого-либо из элементов задачи и в каких случаях такое изменение происходит, а в каких нет. Можно указать три основных вида таких заданий: задания, где происходит изменение вопроса при неизменном условии; задания, где происходит изменение условия при неизменном вопросе; задания, в которых изменяются данные при сохранении условия и вопроса. Что касается изменения искомого, то оно приводит к изменению вопроса и, следовательно, совпадает с ним. В качестве примера приведем краткое описание работы с двумя задачами, имеющими одинаковое условие, но разные вопросы. 1. У Тани 8 кукол, а у Наташи 6 кукол. Сколько кукол у девочек вместе? Ученики анализируют текст, находят условие и вопрос, данные и искомое, устанавливают, что перед ними задача. Обсуждают, какой должен получиться ответ: больше или меньше данных чисел и почему больше. Затем составляется план решения, и дети решают задачу. Решение выполняется самостоятельно в тетрадях без записи на доске. Ученикам, затрудняющимся в решении, учитель оказывает индивидуальную помощь. Решение обсуждается, исправляются допущенные ошибки. На этом же или на следующем уроке математики предлагается вторая задача. 2. У Тани 8 кукол, а у Наташи 6 кукол. На сколько кукол у Тани больше, чем у Наташи? Работа с этой задачей строится так же, как и с первой. Следующий этап — сравнение задач. Если задачи решались на двух разных уроках, что является лучшим вариантом, учитель предлагает вспомнить первую задачу и записывает ее текст и решение на доске рядом со второй. Ученики сравнивают тексты, выясняют, чем они похожи, чем отличаются. Затем сравнивают решения задач и устанавливают, почему они оказались разными. Прием сопоставления является одним из важнейших как в работе с текстом задач, так и в обучении их решению. Ни в коем случае не следует стремиться к решению большого количества задач. Самое главное — в том, чтобы дети осмыслили содержание задачи и способ ее решения, логически правильно рассуждали. Если учащиеся основательно поработают над двумя задачами, это принесет значительно больше пользы, чем решение двух десятков поверхностно понятых задач. Решение аналогичных задач в непосредственном их следовании друг за другом нельзя использовать как систему. Оно может практиковаться лишь в тех случаях, когда вид задачи представляет значительную сложность для учащихся данного класса. Вообще же решение двух аналогичных задач следует разделять во времени. Такой подход позволяет избежать механического запоминания школьниками хода решения задач, выбора действий по внешним признакам. Он способствует разбору содержания задачи по существу и осмысленному поиску действий по заложенной в задаче зависимости между числами. Что касается записи решения задач, то следует практиковать разные ее формы. При решении составных задач желательна в первое время постановка вопросов в письменном или устном виде. Это позволит более отчетливо осознать ход решения задачи. Когда школьники приобретут некоторый опыт в решении задач, можно удовлетвориться кратким пояснением результата, полученного при выполнении каждого действия. Запись решения так называемой «формулой» может использоваться в первом классе только как обобщение решения, выполненного по действиям. Умение по-разному записать решение задачи является очень важным. Нужно, чтобы дети не были связаны стереотипной формой записи, а могли реализовать тот или иной вид записи соответственно требованию, которое предъявляется им в данный момент, или в соответствии с собственным желанием ребенка. Следует сказать и о применении краткой записи условия задачи. Не вызывает сомнения важность использования такой записи для лучшего осознания математиче­ских связей, заложенных в задаче. Однако, краткая запись принесет ощутимую пользу, если ее выполнение будет вполне осознанным, а это требует большой и кропотливой работы, которая будет осуществляться во втором классе. В первом же классе использовать краткую запись условия задачи не следует. Работа с задачами – один из важных аспектов обучения математике и продвижения в развитии школьников. Источником знаний становится сама жизнь. Эта работа постепенно формирует у учащихся устойчивый интерес к поиску знаний как черту личности. Л.В. Занков на основе методических поисков учителей формулировал типические свойства методики начального обучения - многогранность, процессуальность, коллизии (разрешение противоречий), вариантность. Содержание этих свойств представляет богатство методических приемов и дает широкий простор для творческих поисков учителей.
3. Особенности работы над задачей у Л.Г. Петерсона. Предлагаемый курс математики для начальной школы (1-3) и (1-4) создан на базе психолого-педагогических исследований, проведенных в 70-х, начале 80-х годов. Этот курс является частью единого непрерывного курса математики, который разрабатывается в настоящее время с позиций развивающего обучения, гуманизации и гуманитаризации математического образования.
Обучение в школе строится на основе деятельностного метода, который включает этапы урока: - постановка учебной задачи; - открытие детьми нового знания; - первичное закрепление (с комментированием); - самостоятельная работа с проверкой в классе (решение задач на повторение); - решение тренировочных упражнений; - контроль. Основная особенность деятельностного метода заключается в том, что новые математические понятия и отношения между ними не даются детям в готовом виде. Дети «открывают» их сами в процессе самостоятельной исследовательской деятельности. Учитель лишь направляет эту деятельность и в завершении подводит итог, давая точную формулировку установленных алгоритмов действия и знакомя с общепринятой системой обозначений. Таким образом, дети строят свою математику, поэтому математические понятия приобретают для них личностную значимость и становятся интересными не с внешней стороны, а по сути. Еще одной особенностью использования деятельностного метода является необходимость предварительной подготовки детей в плане развития у них мышления, речи, творческих способностей, познавательных мотивов деятельности. Специальная работа в этом направлении предусмотрена в течении всех лет обучения детей в начальной школе, но особенно на начальных этапах обучения – в I полугодии 1 класса. Методика работы над задачей очень интересна. Была проведена подготовительная работа по обучению детей решению текстовых задач на сложение и вычитание. Учащиеся составляли по картинкам различные задачи, подбирали к ним соответствующие числовые выражения; сравнивали эти выражения. Текстовые задачи систематически включались в устные упражнения. Таким образом, дети факти­чески уже умеют решать простые задачи на сложение и вычитание. На данном этапе обучения уточняются термины, связанные с понятием «задача», рассмат­ривается краткая запись содержания задач с помощью схем, вводится понятие обратной задачи. В игровой, доступной для учащихся форме ставится вопрос о корректности ее формулировки. Вначале можно предложить учащимся составить задачу по картинке, напри­мер: «Было 4 шоколадные конфеты и 3 леденца. Сколько всего было конфет?» Учитель обращает внимание детей на то, что текст задачи можно разбить на 2 части: 1) условие задачи — то, что известно (было 4 шоколадные конфеты и 3 леденца); 2) вопрос задачи — то, что надо найти (сколько было конфет?) Далее учитель просит учащихся составить выражение к этой задаче (4+3) и найти его значение. Полу генное равенство называют решением задачи, а значе­ние выражения (7 конфет) —ответом задачи. Затем поданной картинке учащие­ся составляют все возможные равенства и записывают их в тетради в клетку:
4 + 3 = 7 7 – 4 = 3
3 + 4 = 7 7 – 3 = 4 Для каждого из полученных равенств они придумывают задачу, называют условие, вопрос и выражение к ней. Таким образом, поиск решения сводится к тому, чтобы установить, ищется часть или целое. Разобраться в этом помогает рисунок, но если числа большие, то делать рисунки неудобно — слишком много предметов надо рисовать. На по­мощь приходит схема - отрезок, разбитый на части. Дело в том, что, разбивая отрезок на части, мы получаем те же самые соотношения между частью и це­лым, что и при разбиении совокупностей предметов 4 + 3 = 7 3 + 4 = 7 7 – 4 = 3 7 – 3 = 4 Дети рисуют в тетради в клетку отрезок длиной 7 клеток, разбивают его на части 4 клетки и 3 клетки и еще раз убеждаются в том, что все записанные ими ранее соотношения для разбиения на части конфет выполняются и для разбие­ния отрезка. Значит, наглядно представить содержание задачи можно, сопоста­вив целое всему отрезку, а части — соответственно, частям отрезка. Например, схема к I задаче про конфеты может выглядеть так: На этой схеме весь отрезок обозначает число всех конфет, а части отрезка - число шоколадных конфет и леденцов. Знак вопроса показывает, что ищется целое. Схемы к другим составленным задачам выглядят так: По схемам видно, что в обеих задачах ищется часть, поэтому они решаются вычитанием. При этом количество клеток в каждой части не оказывает никакого влияния на выбор действия и поиск ответа. Поэтому в качестве схемы можно выбрать отрезок любой длины. Важно лишь, чтобы верно было показано, на какие части в данной задаче разбито целое. Учитель поясняет детям, что использование схем особенно удобно для задач с большими числами, когда непосредственный рисунок сделать трудно или же невозможно. Такие задачи нам будут встречаться позже. А пока на простых задачах мы будем овладевать этим удобным способом краткой записи, позволяющим легко и быстро найти ответ на вопрос задачи. Чтобы проверить усвоение учащимися графического моделирования задач, можно предложить им на этом же уроке небольшую работу на 5 - 7 минут. Каждому ученику на листке бумаги раздаются заготовки схем для 3 - 4 задач. Затем учитель читает по 2 раза вслух условие задачи, учащиеся самостоятельно запол­няют схему и рядом записывают решение (выражение и ответ для экономии времени записывать не стоит). (см. Приложение 1) Далее рассматриваются взаимно обратные задачи. Вначале дети самостоятельно решают задачу. При проведении самоконтроля учитель выставляет схему к этой задаче: Затем он закрывает знак вопроса карточкой «5», а число 2 - карточкой «?» и предлагает учащимся составить задачу для получившейся схемы:
«На столе было несколько чашек. После того как поставили 3 чашки, их стало 5. Сколько чашек было на столе вначале?» Аналогично рассматривается случай, когда неизвестным становится число чашек, которые поставили на стол:
«На столе было 2 чашки. Поставили еще несколько, и их стало 5. Сколько чашек поставили на стол?» После этого учитель спрашивает у учащихся, чем похожи и чем отличаются эти задачи. Дети должны догадаться, что во всех задачах говорится об одних и тех же предметах, но известное и неизвестное в них меняется местами. Учитель сообщает, что такие задачи называют взаимно обратными На следующем уроке рассматриваются задачи на сложение и вычитание в 2 действия. Одну из задач такого типа надо разобрать с учащимися фронтально и записать в тетради в клетку, например: «На холме растут 9 деревьев. Из них 3 сосны, 4 березы, а остальные рябины. Сколько рябин на холме?». На доске заранее нарисована заготовка схемы: Дети переносят ее в тетрадь. Проводится беседа, в результате которой условие и вопрос задачи отмечаются на схеме: Учащиеся находят решение, обосновывают его и записывают в тетрадь: 9 - 3 - 4 = 2(р.). (Ищем часть, поэтому из целого вычитаем известные части.) После этого они решают по готовым схемам задачи и записывают решение справа от схемы. Данная методика наиболее удачна, так как дети наглядно усваивают методику работы над текстовой задачей. 4. Новые формы работы над задачей (из опыта) Учитель школы №8, ст. Вязьма Московской ж.д. – Липина Л.А. считает, что важное место в обучении математики отводится задачам. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Что наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но извлекли ли мы из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день – два, то часть учащихся вновь будет испытывать затруднение при решении. Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей. Это: 1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но это окупается. 2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Автор статьи считает, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности. 3. Правильно организованный способ анализа задачи – с вопроса или от данных к вопросу. 4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать «картинку»). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка. 5. Самостоятельное составление задач учащимися. Составить задачу: 1) используя слова «больше на», «столько», «сколько», «меньше в 2, «настолько больше», «настолько меньше»; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и опыту; 4) по выражению и т.д. 6. Решение задач с недостающими или лишними данными. 7. Изменение вопроса задачи. 8. Составление различных выражений по данным задачи и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи. 9. Объяснение готового решения задачи. 10. Использование приема сравнения задач и их решения. 11. Запись двух решений на доске – одного верного и другого неверного. 12. Изменение условий задачи так, чтобы задача решалась другим действием. 13. Закончить решение задачи. 14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче.) 15. Составление аналогичной задачи с измененными данными. 16. Решение обратных задач. Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач, направленных на развитие логического мышления, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни. 5. Методика работы над задачей в 1 классе сш. №16 г. Пятигорска. При прохождении преддипломной практики в г. Пятигорске, в 1 классе мы убедились, что развитие у детей логического мышления - это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Конечно, развитию логического мышления способствуют задачи, так как в процессе их решения мы применяем различные операции мышления: анализа и синтеза, обобщения, конкретизации, что очень важно. Большое место в 1 классе занимают задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, которые, в свою очередь, развивают мышление. С ними столкнулись на практике. Приведем методику работы над данным видом задач. Сначала выдается задача, в которой рассматривается одно множество объектов. В подготовительной работе необходимо с детьми усвоить связи: если прибавить 1 (2, 3) то станет больше на 1 (2, 3), если вычесть 1 (2, 3), то станет меньше на 1 (2, 3), чтобы стало больше на 1 (2, 3), надо прибавить 1 (2, 3), чтобы стало меньше на 1 (2, 3), надо вычесть 1 (2, 3). Эти отношения можно раскрыть, выполняя также упражнения. Положите 5 треугольников. Как сделать, чтобы их стало на 1 больше? (Положите еще один.) сколько станет треугольников? (6.) Положите 1 треугольник, запишите разрезными цифрами, как получилось число 6? (5+1= 6). Сравните числа в записи: было число 5, а стало 6, стало больше или меньше? На сколько стало больше? Почему стало больше на 1? (Прибавили 1). Положите 7 кружков. Как сделать, чтобы их стало на 1 меньше? Уберите 1 кружок. Обозначьте цифрами, как теперь получили число 6? (7 – 1 = 6). Сравните числа в записи: было число 7, а стало 6, стало больше или меньше? На сколько стало меньше? Почему стало меньше на 1? (Вычли 1).
Можно предложить детям примеры с «окошками»: 3 ٱ 1 = 4; 5 ٱ 1 = 4 «Какие знаки «прибавить» или «вычесть» должны быть записаны в «окошках»? Было 3, стало 4. Больше или меньше стало? Значит, прибавить или вычесть надо? Прочитайте получившийся пример».
в ходе таких упражнений дети усваивают зависимость: если стало больше, значит, прибавили, если стало меньше, значит вычли. При выполнении практических действий с предметами, при решении задач дети подмечают также и обратную зависимость: присоединение одного или нескольких предметов к данной группе приводит к увеличению первоначального числа предметов. После такой подготовительной работы проводится ознакомление с решением задач на увеличение (уменьшение) числа на 1. Ученики решают несколько аналогичных задач. Каждый раз они выполняют иллюстрацию и дают объяснение выбору арифметического действия. После ознакомления с решением текстовых задач вводятся задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых рассматриваются два множества объектов. Перед их решением необходимо раскрыть или уточнить смысл выражений «столько же», «больше на», «меньше на». Упражнения, раскрывающие смысл этих отношений, проводятся с первых уроков подготовительного периода. Предлагаем методику работы над задачами этого вида. (см. Приложение 2). На первых порах при решении каждой задачи следует использовать иллюстрации, которые помогут выбору арифметического действия, а позднее достаточно выполнить краткую запись задачи сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно, анализируя при этом задачу. (см. Приложение 2). Постепенно дети усвоят, что увеличение числа на несколько единиц выполняется действием сложения, а уменьшение числа на несколько единиц – действием вычитания. Для закрепления умения решать задачи надо предлагать решать их по представлению без использования наглядных пособий. Полезно выполнять упражнения по составлению и преобразованию задач. Так же развивают мышление задачи на разностное сравнение. С этими задачами учащиеся знакомятся в 1 классе. Во время прохождения практики, я проводила знакомство, а затем закрепление задач этого вида. Работала я так. Подготовительную работу проводил учитель. Упражнения обеспечили усвоение учащимися отношений «больше» и «меньше», а так же двоякий смысл разности: если первое число больше второго на несколько единиц, то второе число меньше первого на столько же единиц. С этой целью дети сравнивали ленты и полоски по длине, предметы по массе, группы предметов. При знакомстве с решением задач на сравнение чисел важно было разъяснить детям, почему задачи, в которых спрашивается, на сколько одно число меньше или больше другого, решаются вычитанием. Вот как провели знакомство. (см. Приложение 3). При решении текстовых задач можно сделать схематические рисунки и еще раз показать, что из большей группы убираем столько предметов, сколько их в меньшей. Затем мы с детьми заучивали правило. Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее. Важно, чтобы дети каждый раз видели и выполняли практические действия, соответствующие вычитанию (убирали, отодвигали предметы). Далее дети решают задачи, опираясь на правило. На этапе закрепления умения решать задачи на разности сравнения учащиеся по представлению выбирали арифметическое действие для ее решения. 6. Возможности использования текстовых задач для развития логического мышления. Анализируя литературу по роли текстовых задач приходим к выводу, что задачи оказывают развивающее влияние на младшего школьника. Этот вопрос рассматривается в первой главе. Интерес к связи между умением решать задачи и развитием мысли младшего школьника, привел к созданию некоторых задач, способствующих развитию логического мышления учащихся. (см. Приложение 4) Работа по диагностике логического мышления была проведена в 3 классе по программе 1-4, принимали участие 18 человек. В педагогической психологии разработано несколько вариантов определения уровня развития мышления у младших школьников. Так, А.З. Зак исследовал общее различение школьников по способу решения предложенных 22 задач: теоретических и эмпирических. До начала решения задач учитель должен сказать: «Дети, вам даны карточки с условиями 22 задач. Задачи 1-4 простые, для их решения нужно лишь внимательно прочитать условие. В задачах 5-10 использованы искусственные слова, они заменяют обычные. Когда вы будете их решать, то можете в уме заменить искусственные слова реальными. Задачи 11 и 12 – сказочные. Их надо решить используя только те (хотя и необычные) сведения о животных, которые даны в задачах. В задачах 13 – 16 нужно в ответе написать, только одно имя. В задачах 17 и 18 одно или два, в зависимости от того, кто как считает. В задачах 19 – 20 обязательно два имени, в задачах 21 и 22 – три имени, даже если одно имя будет повторяться два раза. [21] Качественная оценка решения задач. Если ребенок решил правильно только задачу 1, то это говорит о том, что он не сможет в уме заменить данное отношение на обратное. Если решены задачи 1 и 2, то, следовательно, ребенок сможет действовать в уме, в минимальной степени. Успешное решение задач 1 – 4 свидетельствует об относительно хорошем развитии у него способности действовать в уме, так как он может заменить отношения данные на обратные в самом начале решения однотипных задач. Можно считать, что действие анализа у него развито, но в минимальной степени. Свидетельством этого является тот факт, что он отвлекся от внешнего сходства формулировки вопроса с формулировкой первого или второго отношения объектов в условии задачи. Неверное решение задач с бессмысленными словами есть проявление недостаточно высокого анализа условий, неумение выделить структурную общность этих задач с предыдущими. Так задачи 5, 6, 9, 10 построены как первая, а 7 и 8 – как 3 и 4. О недостаточном развитии анализа может свидетельствовать неверное решение последующих трех пар задач. Это связано с тем, что дети действуют на основе непосредственного впечатления от их условий. Если ребенок в ответе к задачам 17 и 18 написал имя того человека, чье отношение прямо совпадает с вопросом задачи, то можно говорить о недостаточном развитии рефлексии. Отказ от решения задач 18 – 22 или неверное их решение свидетельствует об относительно невысоком развитии действий в уме, поскольку именно при решении этих задач необходимо планировать ход и этапы cвоего рассуждения. [21] Успешное решение ребенком всех задач позволяет говорить об относительно высоком уровне сформированности у него теоретического способа решения проблем, теоретического подхода к проблемным ситуациям. Содержание задания. 1. Толя веселее, чем Катя. Катя веселее, чем Алик. Кто веселее всех? 2. Саша сильнее, чем Вера. Вера сильнее, чем Лиза. Кто сильнее всех? 3. Миша темнее, чем Коля. Миша светлее, чем Коля. Кто темнее всех? 4. Вера тяжелее, чем Катя. Вера легче, чем Аня. Кто легче всех?
5. Катя иаее, чем Лиза. Лиза иаее, чем Лена. Кто иаее всех? 6. Коля тпрк, чем Дима. Дима тпрк, чем Боря. Кто тпрк всех? 7. Прсн веселее, чем Лдвк. Прсн печальнее, чем Квшр. Кто печальнее всех? 8. Вснч слабее, чем Рптн. Вснч сильнее, чем Гшдс. Кто слабее всех? 9. Мнрн уиее, чем Нврк. Нврк уиее, чем Сптв. Кто уиее всех?
10. Вшфп клмн, чем Двтс. Двтс клмн, чем Пнчб. Кто клмн всех? 11. Собака легче, чем жук. Собака тяжелее, чем слон. Кто легче всех? 12. Лошадь ниже, чем муха. Лошадь выше, чем жираф. Кто выше всех? 13. Попов на 68 лет младше, чем Бобров. Попов на 2 года старше, чем Семенов. Кто младше всех? 14. Уткин на 3 кг легче, чем Гусев. Уткин на 74 кг тяжелее, чем Комаров. Кто тяжелее всех? 15. Маша намного слабее, чем Лиза. Маша немного сильнее, чем Нина. Кто слабее всех? 16. Вера немного темнее, чем Люба. Вера намного светлее, чем Катя. Кто светлее всех? 17. Петя медлительнее, чем Коля. Вова быстрее, чем Петя. Кто быстрее? 18. Саша тяжелее, чем Маша. Дима легче, чем Саша. Кто легче? 19. Вера веселее, чем Катя и легче, чем Маша. Вера печальнее, чем Маша и тяжелее, чем Катя. Кто самый печальный и кто самый тяжелый? 20. Рита темнее, чем Лиза и младше, чем Нина. Рита светлее, чем Нина и старше, чем Лиза. Кто самый темный и самый молодой? 21. Юля веселее, чем Ася. Ася легче, чем Соня. Соня сильнее, чем Юля. Юля тяжелее, чем Соня. Соня печальнее, чем Ася. Ася слабее, чем Юля. Кто самый веселый, самый легкий, самый сильный? 22. Толя темнее, чем Миша. Миша младше, чем Вова. Вова ниже, чем Толя. Толя старше, чем Вова. Вова светлее, чем Миша. Миша выше, чем Толя. Кто самый светлый, самый высокий, кто старше всех? Процедура проведения групповых проверок уровня развития мышления у детей начальных классов состоит в следующем. Детям раздают по два листа. На одном напечатаны задачи, а другой лист чистый, для ответов. Время выполнения задания 20 минут. При обработке полученных ответов каждая задача, в зависимости от того, верно или неверно она решена, отмечается знаками «+» или «– ». Если ребенок не успел решить задачу, то она отмечается знаком «0». Затем данные по каждому ученику заносятся в итоговую ведомость. (см. Приложение 5) Пользуясь данными этой таблицы, можно легко подсчитать количество детей (в процентах), которые решили определенное число задач правильно. За каждую верно решенную задачу – 10 баллов, задача с верным ходом решения, но не завершенная 5 баллов, неправильно решенная – 0 баллов. Полученные результаты занесем в таблицу.
№№
Фамилия ученика
Полученный результат 1 Арутюнян А.
72, 7 % 2 Батьканова К.
52, 7 % 3 Букин Д.
72, 7 % 4 Василенко Ю.
45, 5 % 5 Гаямян А.
72, 7 % 6 Гунариди С.
63, 6 % 7 Джанибекова А.
41, 0 % 8 Земско П.
72, 7 % 9 Казанчук П
88, 6 % 10 Кудрина О.
81, 8 % 11 Кузнецова А.
72, 7 % 12 Мовсесян В.
54, 5 % 13 Сардарян С.
56, 8 % 14 Тимохина А.
72, 7 % 15 Фурсов В.
68, 2 % 16 Хачатурян К.
52, 2 % 17 Чернов С.
59, 0 % 18 Шубина К.
72, 7 % Полученные цифры не дают возможность выявить четкие результаты, но позволяют сравнить уровень развития логического мышления учащихся данного класса. Убедимся в этом с помощью построенного графика. (см. Приложение 6) Наиболее высокий уровень развития логического мышления у Казанчук Пети (88, 6%) и Кудриной Оли (81, 8%). У многих учащихся одинаковый показатель – 72, 7%. Но есть ребята, у которых результат ниже среднего. Таким образом, следует больше вводить на уроках математики текстовых задач, способствующих развитию логического мышления.
Заключение Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, что бы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. Текстовые задачи служат также одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отноше­ниями, выражаемыми словами «быть на столько-то больше (меньше)», «быть на столько-то раз больше (меньше)». Они используются и в целях уяснения понятия доли (задачи на нахождение доли величины и искомого значения величины по доле). Текстовые задачи помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.
Если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств без общих элементов. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т.п. [3]
Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры. Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократ­ного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида. [3] Задачи выполняют очень важную функцию в начальном курсе математики — они являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Решение задач - упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением. Нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей многие положительные качества характера и развивает их эстетически. Изучена методика работы над текстовой задачей: понятие и виды задач, способы ее решения, этапы, задачи, общие вопросы методики обучения решению задач. Проведена работа по диагностике логического мышления, которая позволила сравнить уровень развития мышления у учащихся. Были рассмотрены нетрадиционные подходы в методике обучения решению текстовых задач: по системе Л.В. Занкова, Л.Г. Петерсона, комплекту «Гармония», новые формы работы над задачей (из опыта). Наиболее эффективное направление имеет методика Л.Г. Петерсона, так как он рассматривает задачи, опираясь на чертеж, что позволяет усвоить материал более прочно, понятно; учащиеся наглядно видят, что от них требуется в задаче. Данный вопрос не закрыт, необходимо искать новые формы, подходы, направления, новые методические обоснования для более успешного решения текстовых задач.
Литература 1. Аргинская И.И. Обучаем по системе Л.В. Занкова: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991. 2. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения. – М., 1979. 3. Волкова С.И., Столярова Н.Н. //-Начальная школа, 1990, №7, с.35-41. 4. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1981. 5. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте. // Возрастная и педагогическая психология. М., 1973 6. Дубровина И.В. Психология: Учебник для студентов средних педагогических учебных заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 1999. 7. Еникеев М.И. Психологическая диагностика. Стандартизированные тесты. – М.: Издательство «Приор», 2002. 8. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1981. 9. Истомина Н.В. //-Начальная школа, 2002, №2, с.34-38. 10. Истомина Н.В. Методика обучения математике в начальных классах. – Ярославль, ЛИНКА – ПРЕСС, 1997 11. Кожабаев К.Б. О воспитательной направленности обучения математике в школе: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1988. 12. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. (Материал для классных и внеклассных занятий). – М.: Просвещение, 1981. 13. Крутецкий Психология: Учебник для учащихся педагогических училищ. – М.: Просвещение, 1980. 14. Леман И. Увлекательная математика: Перевод с немецкого Ю.А. Данилова. – М.:Знание, 1985. 15. Липина И.А. //-Начальная школа, 1999, №8, с.37-38. 16. Моро М.И. // Учебник для первого класса трехлетней начальной школы. – М.: Просвещение, 1986. 17. Нуралиева Г.В. Методика обучения математике в начальных классах: Учебное пособие для учащихся школьных отделений педагогических училищ. 2-е изд., испр. - Ставрополь: Ставропольсервисшкола, 1999. 18. Обухова Л.Ф. Концепция Жана Пиаже: за и против. – М., 1981. 19. Пирогов Н.И. Избранные педагогические сочинения (составитель А.Н. Алексюк, Г.Г. Савенок). – М.: Педагогика, 1985. 20. Программа общеобразовательных учебных заведений в Российской федерации: Начальные классы (1 – 4) /Составители Т.В. Игнатьева, О.Н. Трунова, Т.А. Федосова. – М.: Просвещение, 1992, с.12 - 86. 21. Рогов В.И. Настольная книга практического психолога в образовании: Учебное пособие. – М.: ВЛАДОС, 1995. 22. Тихомирова Л.Ф., Басов А.В. Развитие логического мышления детей. – Ярославль: ТОО «Гринго», 1995. 23. Труднев В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1975. 24. Фройденталь Г. Математика, как педагогическая задача: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. 25. Хрипкова А.Г. Мир детства: Младший школьник. – М.: Педагогика, 1981. 26. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.