Определение
Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.
Примеры циклических групп:
1. Группа Zцелых чисел с операцией сложения.
2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g= -образующий .
Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.
3. Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение
действующее по формуле: , очевидно является
гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .
Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z.
Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.
Условимся еще о следующем обозначении. Если Fпроизвольная группа, записанная аддитивно, то nFбудет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа Fкоммутативна, то nF- подгруппа Fпоскольку n(x-y)=nx-ny.
Теорема о подгруппах группы Z
Если H-подгруппа группы Z, то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H- циклическая группа с образующим элементом n.
Доказательство:
Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть Hнетривиальна. В этом случае в Hсодержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H=nZ , что и требовалось.
Замечание.
Если k 0 - любое целое, то отображение определенное формулой является изоморфизмом и отображает подгруппу на подгруппу , а значит определяет изоморфизм .
Теорема о структуре циклических групп
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.
Доказательство.
Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H- некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Zи, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/Hимеет порядок n.
В дальнейшем группу Z/nZбудем обозначать . В частности, .
Отметим, что в наших обозначениях, - тривиальная группа.
Элементами конечной группы по определению являются смежные классы:
{nZ, nZ+1, . , nZ+n-1}, которые обозначаются и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.
Теорема о подгруппах группы (n>0).
Если Hподгруппа группы , то H= причем n делится на m нацело. Порядок Hравен =d , и значит .
Доказательство.
Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Zи значит K=mZдля некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме .
Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.
Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.
Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.
Основная теорема теории делимости.
Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что xn+ym=1.
*Доказательство.
Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0Следствие.
Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что xn+ym=(n,m).
В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же (n,m)>0, то числа и взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный результат.*
Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.
Пусть p0 любое целое. Вычет в группе имеет порядок v=n/(n,p).
Доказательство.
Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===, откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок равен k, то k=, то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если kСледствие.
В группе образующими элементами являются в точности те вычеты, для которых (n,p)=1.
Заметим также, что образующими элементами в Zявляются , очевидно, только 1 и -1.
В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество тех вычетов по модулю n, для которых (m,n)=1. Проверим, что относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n. Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y, что xm+yn=1. Переходя к вычетам, находим: = , откуда видно, что .
Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы имеют порядок 2 и потому она не является циклической.
Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.
Теорема о структуре групп простого порядка.
Если порядок конечной группы G равен простому числу p, то .
Доказательство.
Пусть - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p, то он равен p и значит .