Содержание
Введение
1. Майкл Фрэнсис Атьи и Айсадор Зингер. Теорема Атьи-Зингера
2. Людвиг Фадеев. Уравнения «Янга-Миллса»
3. Григорий Перельман.
Одна из "семи математических задач тысячелетия" - гипотеза Пуанкаре
4. Открытия в математике XX в.
Заключение
Список литературы
Введение
В отличие от других наук, математика, как представительница чистого разума, развивается поступательно, вне зависимости от увлечений человечества на том или ином историческом промежутке времени, от революций и катаклизмов общества. Иногда математики любят ставить проблемные вопросы, на решение которых уходят столетия.
Основой развития математики в XX веке стал сформировавшийся математический язык цифр, символов, операций, геометрических образов, структур, соотношений для формально-логического описания и исследования действительности. Язык математики – это искусственный язык, со всеми его недостатками и достоинствами. Он часто точнее, адекватнее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках других наук. Чем чаще наука прибегает к языку математики, тем больше она эволюционирует, тем более глубокие связи и отношения она сможет изучить.
Однажды известного физика Альберта Эйнштейна спросили: “Как делаются открытия?” Эйнштейн ответил: “А так: все знают, что вот этого нельзя. И вдруг появляется такой человек, который не знает, что этого нельзя. Он и делает открытие”. Конечно, это была лишь шутка. Но все же, вероятно, Эйнштейн вкладывал в нее глубокий смысл. Может быть, он намекал в том числе и на собственное открытие более правильной и точной картины мироздания, изложенное им в знаменитой теории относительности. Может быть, он из озорства гения высказал серьезную мысль в шутливой форме. Дело не в том, чтобы “не знать”. Знать надо! А дело в том, чтобы “сомневаться”, не брать на веру все, чему учили деды. И вдруг появляется человек, которого не останавливаетинерция привычных представлений. Вот он и делает открытие.
Именно, потому что прогресс не стоит на месте и всегда находится человек, который “сомневаться”, в современном мире продолжается множество открытий, доказательств, теорем аксиом и т.д. в области математики.
Большинство великих математиков родились в России, хоть сейчас многие из них и не живут в нашей стране, и это большое упущение наших властей. Открытия которые они делают оказывают большое влияние на все развитие науки в целом.
1. Майкл Фрэнсис Атьи и Айсадор Зингер.
Теорема Атьи-Зингера
Высшая награда в области математики - норвежская Премия Абеля - присуждена двум ученым - британцу сэру Майклу Фрэнсису Атьи и Айсадору Зингеру из Соединенных Штатов за работу на стыке физики и математики. Норвежская Академия наук и литературы выделила 6 млн. крон ($858 тыс.) "за открытие и доказательство теоремы об индексе с помощью топологии, геометрии и математического анализа, а также за их выдающуюся роль в создании новых связей между математикой и теоретической физикой".
75-летний Атья из университета Эдинбурга и 79-летний Зингер из технологического института Массачусетса еще 40 лет назад разработали то, что сейчас называется теоремой Атьи-Зингера. Законы природы могут быть описаны дифференциальными уравнениями, которые являются математическими формулами, на базе переменных. Такие формулы могут иметь индекс, который по теореме Атьи-Зингера можно рассчитать с помощью геометрии.
"Теорема об индексе Атьи-Зингера - одно из крупнейших достижений в области математики XX века, глубоко повлиявших на многие важные позднейшие разработки в области топологии, дифференциальной геометрии и теории квантовых полей", - говорится в сообщении о присуждении награды. Награда вручена королем Норвегии Харальдом V на торжественной церемонии, которая состоялась в Осло 25 мая.
4. Людвиг Фадеев. Уравнения «Янга-Миллса»
Национальная академия наук Франции приняла в свои ряды Людвига Фаддеева, академика-секретаря отделения математики РАН. Все академии мира принимают в свои ряды выдающихся иностранных ученых, но старейшая в мире французская академия - самая требовательная и придирчивая. Попасть в ее ряды - удел немногих избранных. Среди наших соотечественников этой высокой чести удостоены академик Владимир Арнольд, ныне работающий во Франции, и Гурий Марчук - в бытность свою президентом АН СССР.
Еще в молодые годы Фаддеев сделал работы в области математической физики, которые создали ему имя в науке. Он вторым после Николая Боголюбова среди наших ученых получил золотую медаль Планка. Во всех учебниках по матфизике можно найти главу "Уравнения Фаддеева". В то время большим авторитетом Фаддеев пользовался за рубежом. Дома приходилось сложнее - он не принадлежал ни к школе Ландау, ни к школе Боголюбова. Тем не менее уже в 42 года, еще в 1976 году, он стал академиком.
Следующим выдающимся достижением Фаддеева стали точно решаемые задачи с нелинейными уравнениями математической физики. Это так называемые солитонные решения. Их история по-своему забавна: впервые уединенную волну, названную солитоном, наблюдал на реке математик XIX века Рассел, который в изумлении оседлал коня и пустился за волной вскачь.
Потом Фаддеев внес решающий вклад в задачи трехмерного рассеяния, в теорию квантовых групп. По мнению коллег, его отличает феноменальная интуиция. Он всегда на переднем фронте, всегда умеет предвидеть, какое направление науки находится на пороге взрыва. В начале научной деятельности кто-то говорил, что Фаддееву везет. Но когда ему повезло много раз, стало ясно, что Фаддеев - законодатель научной моды. И так уж получается, что каждая из его работ со временем приобретает для науки все большее значение.
Может быть, самая крупная его работа - уравнения Янга-Миллса, которые были написаны еще в первой половине XX века и носили чисто абстрактный характер. Фаддеев со своим учеником Виктором Поповым разглядел в этих уравнениях, как он говорит, удивительно красивые вещи, которые привели к открытию новых микрочастиц - кварков и лептонов. В науке утвердился термин "духи Фаддеева". Смысл у термина такой: реально осязаемые частицы могут быть порождены мыслью ученого.
Он давно уже не одиночка. Его признала школа Ландау, а на недавней конференции памяти Боголюбова в президиуме РАН именно Фаддеев вел пленарное заседание. И уже так же знаменита школа Фаддеева. Но ученый грустно сказал нам, что первое поколение его учеников в полном составе уехало за границу. Он воспитал второе поколение - оно тоже за границей. Теперь третья волна. Сам Фаддеев, несмотря на многочисленные предложения, из России уезжать не хочет.
5. Григорий Перельман. Одна из "семи математических задач тысячелетия" - гипотеза Пуанкаре
Известный российский математик Григорий Перельман, считает, что сумел решить одну из "семи математических задач тысячелетия" - доказать гипотезу Пуанкаре. Его заявление вызвало сенсацию в математических кругах. Если доказательство Перельмана будет подтверждено крупнейшими учеными, он сможет получить премию в 1 миллион долларов от Института математики Клэя.
Гипотеза (иногда называемая задачей) французского математика Анри Пуанкаре (1854-1912) формулируется так: любое замкнутое односвязное трехмерное пространство гомеоморфно трехмерной сфере. Для пояснения используют такую картинку: если обмотать яблоко резиновой лентой, то в принципе, стягивая ленту, можно сжать яблоко в точку. Если же обмотать такой же лентой пончик (пирожок с дыркой в середине), то в точку его сжать нельзя без разрыва или пончика, или резины. В таком контексте яблоко называют "односвязной" фигурой, пончик же не односвязен.
Почти 100 лет назад Пуанкаре установил, что двумерная сфера односвязна, и предположил, что трехмерная сфера тоже односвязна. Доказать эту гипотезу не могли с тех пор.
Пуанкаре открыл специальную теорию относительности одновременно с Эйнштейном (1905 г.) и признан одним из величайших математиков за всю историю человечества.
4. Открытия в математике XX в.
В отличие от других наук, математика, как представительница чистого разума, развивается поступательно, вне зависимости от увлечений человечества на том или ином историческом промежутке времени, от революций и катаклизмов общества. Иногда математики любят ставить проблемные вопросы, на решение которых уходят столетия.
Теорема есть некое математическое утверждение, правильность которого требует построения логической цепочки доказательств, основанной на использовании законов формальной логики с привлечением аксиом – истин, принимаемых как само собой разумеющееся, очевидное и доказательств не требующее. Особого интереса заслуживают теоремы, доказательства которых вызывают сомнение или отсутствуют. Такое бывает у непререкаемых авторитетов. Ландау, например, на лекции по теоретической физике в спешке мог пропустить звено логической цепочки «как очевидное», тогда как другим теоретикам «очевидное» могло не даваться многие годы, вызывая в голове ступор.
Юрист по профессии и математик по увлечению (в наше время у юристов подобные увлечения – нонсенс) Пьер Ферма (1601-1665) в письме другу, написанном в 1636 году, выдвинул любопытное утверждение из теории чисел, впоследствии получившее название Великой теоремы Ферма. На полях он оставил следующее сопровождение: «Я располагаю изумительным доказательством, но оно слишком велико для размещения на полях». То есть великий ученый прямо заявил, что доказал свою теорему.
Потомкам пришлось 360 лет разбираться с тем, действительно ли Ферма доказал, или просто соврал. Благо еще удалось бы показать, что теорема неверна, найти один единственный опровергающий пример, но, несмотря на все усилия, сделать этого не удавалось. И формулировка то проще некуда: уравнение Xn+Yn=Zn не имеет целочисленных решений при n>2. При n=2 эта теорема (так называемая теорема Пифагора, предложенная ненавистником бобов более двух тысячелетий тому назад) имеет бесконечное множество решений.
История доказательств Великой теоремы трагична и полна драматизма. Складывается впечатление, будто ехидный Ферма бросил вызов потомкам (открыл ящик Пандоры), а когда речь идет о деле чести, можно представить, как болезненно переживали математики-профессионалы подобную «легкомысленность» в последующие столетия. Можно без преувеличения сказать, что у математиков начался массовый психоз: «почему я не могу доказать то, что доказал Ферма черт знает в какие примитивные времена?» Увлечение превращалось в цель и смысл жизни. Некоторые в буквальном смысле свихнулись на этом.
Перед теоремой пасовали даже такие гиганты мысли, как Гаусс, Леонард Эйлер, доказавший теорему для n=3 и 4, Лежандр (n=5), Дирихле (n=6)…
После того, как в 1907 году состоятельный немецкий любитель математики, наподобие Нобеля, завещал 100 тысяч марок тому, кто докажет Великую теорему, и вовсе начался массовый ажиотаж. Выскочек без образования презрительно называли ферматистами, а говорить о теореме Ферма в высшем математическом свете стало признаком дурного тона, вроде как нецензурно выругаться. Однако в тиши кабинетов и великие прикладывались к «запретному зелью». Мало-помалу появились доказательства для степени nВ эти смутные времена в Японии жил математик Ютака Танияма. Когда ему исполнилось 28 лет, он выдвинул гипотезу (впоследствии получившую название гипотезы Танияма-Шимура-Вейла), что каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма. Гипотеза, казалось, не имеет отношения к теории чисел, она соединяла понятия двумерных и четырехмерных форм: уравнения двух абсолютно разных математических объектов можно разложить в одинаковые математические ряды.
После выступления Танияма на международном математическом конгрессе, состоявшемся в Токио в1955 году, и демонстрации соответствия нескольких эллиптических кривых модулярным формам, многие увидели в этом не более чем забавное совпадение. Через три года Танияма покончил жизнь самоубийством, и о гипотезе забыли.
А в 1985 году произошла революция – немец Герхард Фрей опубликовал следующее заявление: «Если доказать гипотезу Танияма, тем самым будет доказана и Великая теорема Ферма». Заявление Фрея через год удалось строго доказать профессору калифорнийского университета Риббету. Поскольку, однако, у математиков уже сложилась аллергия на теорему Ферма, возиться с доказательством гипотезы Танияма, из которой следует верность теоремы Ферма, из соображений сложности не хотелось. Чем гипотеза Танияма должна быть проще теоремы Ферма?
Поток гениев, однако, не остановить. Как настоящий ученый, английский профессор математики Эндрю Уайлс, зная историю, не обольщался результативностью своих изысканий в области доказательства гипотезы Танияма. Позже он признавался, что работу над Великой теоремой скрывал даже от жены. И все-таки 23 июня 1993 года он набрался храбрости, надел на голову петлю и на математической конференции по теории чисел в Кембридже громогласно объявил о достижении цели.
Такой наглости никто из присутствующих не ожидал от не очень известного математика. Тотчас подключилась пресса. Состоялась публичное доказательство теоремы Танияма, а следовательно и теоремы Ферма. Ошибок никто не обнаружил. Следовательно, масштабное событие произошло: Великая теорема доказана. Но, по закону подлости, за два дня до публикации, хитрый коллега Уайлса Кац, заметил, что «один фрагмент рассуждений опирается на систему Эйлера, на самом деле таковой не являясь». Это была катастрофа. Бедный Уайлс понял, что проиграл, и ему оставалось либо повеситься, чтобы не остаться навсегда осмеянным потомками, либо бросить занятия математикой, сменить имя, сделать пластическую операцию и уехать на край земли, где математические проблемы людям, как говорится, по барабану. Уайлс впал в депрессию: как смотреть коллегам в глаза? Он отказывался от пищи и здоровье его ухудшалось.
Но в сентябре 1994 года, размышляя над узким местом доказательства Уайлса, его коллега Тейлор из Оксфорда неожиданно обнаружил, что если заменить систему Эйлера на теорию Ивасава, то все сойдется. Около года математики изучали непротиворечивость доказательства Уайлса с замечанием Тейлора, и летом 1995 года в ведущем математическом журнале «Анналы математики» было опубликовано доказательство гипотезы Танияма, занявшее целый номер.
Итак, в 1995 году мир признал, что Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма.
Уайлс оказался тем счастливчиком, которому удалось нанести последний нокаутирующий удар по проблеме. Но не следует забывать, что за ним стоят все великие математики предыдущих столетий. Если кому-то покажется незначительность этого события, достаточно вспомнить, что математика стоит в авангарде всех научных достижений, а решение казалось бы «легкомысленной задачи» порождает целые направления в развитии математики. Леонардо да Винчи однажды заметил, что «наукой можно назвать только математически подтвержденное учение».
Так все-таки доказал Ферма свою теорему, или это была гипотеза? Возможно, ему показалось, что доказал, но на самом деле ошибся. Сознательно соврал, упоенный красотой открытия? И этого исключить нельзя. Все же большинство математиков склоняются к мысли, что во времена Ферма нельзя было придумать альтернативное доказательство, как нельзя в эпоху дилижансов и рыцарских турниров изобрести атомную бомбу.
Ферма не доказал, но гениально угадал!
С точки зрения морали, из этой очень поучительной истории следует хотя бы тот маленький вывод, что, внимая пламенной риторике ведущих авторитетов в своей области, каждый имеет право усомниться в справедливости сладкоречивых слов говорящего.
Заключение
Математика – уникальная наука. Она способствует выработке адекватного представления и понимания знания. “Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства” – писал Леонардо да Винчи.
В настоящее время исследования ученых убедительно показали, что возможности людей, которых обычно называют талантливыми, гениальными – не аномалия, а норма. Задача заключается лишь в том, чтобы раскрепостить мышление человека, повысить коэффициент его полезного действия, наконец, использовать те богатейшие возможности, которые дала ему природа, и о существовании которых многие подчас и не подозревают. Поэтому особо остро в последние годы стал вопрос о формировании общих приемов познавательной деятельности.
Роль и значение математики в обществе увеличивается, как и число математиков. Примерная оценка числа математиков в США на 2004 г.– свыше 130 тыс. человек. Многие развитые страны стремятся к увеличению числа математиков и специалистов, владеющих математикой профессионально, в том числе, - за счёт эмиграционных льгот и послаблений. Жаль, что этого пока нет в России, потому что «утечка умов» за границу делает нашу страну беднее как в финансовом, так и в моральном плане.
Список литературы
1. Денисов А.П. Леонтий Филиппович Магницкий. - М., 1967.
2. Дэпман И.Я. Рассказы о решении задач. - Л.:Детгиз, 1964.
3. История отечественной математики. - Т.1. - Киев, 1966.
4. Минковский В.Л. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1966.
5. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. - М.:Просвещение, 1964.
6. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М.:"Вита-Пресс", 1994.
7. Рыбников К.А. История математики. - Т.1.- М.,1963.
8. Энциклопедия «Занимательная математика»