Булева алгебра

.

ВВЕДЕНИЕ

В данном реферате я попытаюсь раскрыть, некоторые аспекты булевой алгебры. Математическая логика является современной формой, так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. (Другие ее названия: символическая логика, теоретическая логика, логистика.) В формальной логике и, соответственно, в математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся (которые предполагаются правильными), без практических исследований. В действительности, новое открытие, полученное в результате вывода, (так называемый окончательный вывод) в скрытой форме находится в предварительно имеющихся знаниях, в так называемых предпосылках.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Простейшие закономерности выводов открывались человечеством эмпирическим путем в ходе общественного производства (например, простейшие соотношения арифметики и геометрии). Открытие более сложных законов связано с результатами науки формальной логики. Первое крупное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю. В формальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях) математические методы, но развитие логики не успевало за применением таких методов по сравнению с другими областями математики. Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики); отставание оказалось особенно очевидным в новую эру. Главными недостатками формальной логики являлись следующие .

1. Она не сумела привести законы выводов к небольшому количеству надежных логических законов; поэтому подтвердила правильность некоторых выводов на основе экспериментов, которые позже были опровергнуты примерами, доказывающими обратное.

2. Она была неспособна анализировать значительную часть выводов, применяемых в повседневной и научной жизни; доказать правильность или неправильность таких выводов. (Например, не могла доказать, что из правильности предложения “Каждая трапеция является четырехугольником” вытекает правильность предложения “Кто рисует трапецию, тот рисует четырехугольник).

Задача математизации формальной логики была поставлена и осуществлена Лейбницем. Его работу продолжили математики XIX века. На рубеже столетия с открытием противоречий в теории множеств (см. гл. “Теория множеств”) развитие математической логики получило широкий размах. В настоящее время результаты математической логики используются во всех традиционных областях формальной логики; открыты совершенно новые области. В настоящее время “традиционная” формальная логика по сравнению с математической логикой имеет значение только для истории науки.

Математическая логика не претендует на открытие законов мышления вообще, или еще в меньшей степени на анализ философских проблем, связанных с человеческим мышлением. Эти вопросы больше относятся к “логике” (в более общем смысле слова) и к философии. (В дальнейшем под словом “логика” будем подразумевать математическую логику.)

ЧТО ТАКОЕ ВЫВОД?

Для более точного определения предмета математической логики следовало бы уточнить, что подразумевается под термином логически правильного вывода. Чтобы сформулировать хотя бы одно временное определение, рассмотрим пример вывода. (В соответствии с традиционной формой записывания, предпосылки отделяются от окончательного вывода горизонтальной чертой):

(Предпосылки) Если будет раздача премии, то мы выполнили план.

Будет раздача премии.

(Окончательный вывод) Мы выполнили план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Другой, аналогичный пример :

Если мне выпадет туз, то я иду ва-банк.

Мне выпал туз.

Я иду ва-банк.

Обычно вместо предложений (мне выпал туз) и (я иду ва-банк) могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения которых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменными только расположение слов “если” и “то” и расположение предположений, то есть структуру вывода. Пусть А и В обозначает любые заменяющие предложения. Структуру
вывода можно выразить следующей схемой;

Если А, то В

А

В

Под определением, что данная схема представляет собой (логически правильную) схему выводов, подразумевается следующее. Если вместо А и В подставить такие предложения, что предпосылки, полученные врезультате замены, будут правильными, то и окончательный вывод будет правильным. Любой человек, который понимает значение союзов “если . . . то”, поймет, что это правильная схема вывода. В схеме вывода фигурируют несколько слов с постоянным значением, далее несколько символов (букв) с меняющимся значением. Символы с меняющимся значением могут быть переменными разных типов. В соответствии с их типом вместо символов могут быть подставлены разные грамматические формации (например : изъявительные предложения, слова, выражающие свойства, названия предметов и т. д.). В предыдущем примере переменные А и В заменяются только изъявительными предложениями. На основе “регулярной” замены переменных некоторой (правильной) схемы вывода должен возникать правильный вывод.

Но определение “регулярной замены” означает не только соблюдение грамматических правил. В предыдущей схеме А и В могут означать только такие изъявительные предложения, правильность или ложность которых может быть решена однозначно. Такие изъявительные предложения будем называть высказываниями.

На основе любой схемы вывода может быть получен правильный вывод только при соблюдении условий подобного характера. Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики.

Важнейшими главами математической логики являются калькуляция высказываний и калькуляция предикатов. В рамках данных глав может быть исследована схема вывода в самом общем случае при наименьшем числе условий.

В других главах логики рассматриваются специальные схемы вывода, являющиеся менее общими.

КАЛЬКУЛЯЦИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Предметом калькуляции высказываний является анализ таких схем вывода, при которых с заменой переменных на высказывания, получаются правильные выводы.

Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным ; итак:

а) оно не может одновременно быть и правильным, и ложным (принцип непротиворечивости);

б) исключено, чтобы оно было и неправильным, и неложным (принцип исключения третьей возможности).

Свойства “правильное” и “ложное” подразумеваются в их обычном смысле; они не нуждаются в дальнейшем анализе.

При данных обстоятельствах приведенные выше изъявительные предложения удовлетворяют (с “хорошим приближением”) этим двум условиям;

их можно считать высказываниями. Поэтому логика, построенная на этихдвух условиях, может получить весьма широкое применение. Естественно, существуют такие “тонкие обстоятельства”, при которых некоторых изъявительных предложений нельзя считать высказываниями (например, если дано предложение : “Иван просыпается”, вряд ли можно сомневаться в правильности или ложности предложения “Иван спит”). Математические термины определяются таким образом, что предложения, выражающие соотношения между ними, всегда считаются высказываниями; такое положение существует во всех точных науках.

Понятие “высказывание” иногда обозначается словами “утверждение”, “суждение”.

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями. Во многих случаях правильность вывода зависит от вида формирования сложного высказывания. Поэтому необходимо заниматься видом формирования сложных высказываний некоторых типов.

Под термином калькуляции высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний (членов операции калькуляции высказываний) получается такое высказывание (результат операции), правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложностью членов.

ОТРИЦАНИЕ И КОНЪЮНКЦИЯ

Двумя простейшими примерами вышеприведенной операции являются отрицание и конъюнкция. (Операция и результат операции здесь обозначается одним и тем же названием.)

Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание “Неправильно, что А” (или некоторая грамматически преобразованная форма данного высказывания).

По значению выражения “неправильно” отрицание А правильно тогда и только тогда, если самое А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний (в соответствии с вышеприведенным определением).

Пример: Отрицанием предложения “мотор работает” является предложение “неправда, что мотор работает” или, иначе: “мотор не работает”.

Отрицание является одночленной операцией. Отрицание “А” обозначается символом “~А” (читается : “не А”). Применяются также и обозначения “~ А”, “— А”, “А”.

Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание “А и В” (или некоторая грамматически измененная форма данного высказывания). По значению союза “и” конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба ее члена правильны.

Таким образом, конъюнкция также является операцией калькуляции высказываний. Операция конъюнкции “А и В” представляет собой двучленную операцию; ее обозначают, “А & В”, “АВ”. При возникновении конъюнкции союз “и” иногда заменяется другим союзом (например, “Анатолий здесь, но Бориса нет” или “Анатолий здесь, хотя Борис ушел” и т. д.). Это не влияет на правильность или ложность результата, имеет только эмоциональное значение. Иногда союз вообще пропускается. Если сказуемые двух предложений, связанных между собой путем конъюнкции, совпадают, то общее сказуемое представлено только в одном из предложений. Например, конъюнкция “я питаюсь хлебом и питаюсь водой” после преобразования имеет следующий вид: “я питаюсь хлебом и водой”.

Изучение остальных операций калькуляции высказываний уточняется и облегчается с помощью следующего рассуждения.

Пусть свойства высказываний “правильное” и “ложное” называются логическими значениями и обозначаются знаками пил. Правильность (или ложность) некоторого высказывания А выражается и в такой форме, что логическим значением высказывания А является п (или л).

Если задаются логические значения отдельных членов в некоторой операции калькуляции высказываний, то данной операцией логическое значение результата определяется однозначно. Это позволяет определение таких операций для логических значений (кроме вышеприведенного определения для высказываний) следующим образом: На место и членов и результата подставляются логические значения; причем, вместо результата подставляется логическое значение высказывания, образующееся данной операцией из высказываний с соответствующими членам логическими значениями.

Например, отрицания логических значений определяются так:

(так как отрицание правильного высказывания является ложным),

(так как отрицание ложного высказывания является правильным);

а конъюнкции логических значений так:

(так как конъюнкция двух правильных высказываний является правильной),

(так как если одно или оба из двух высказываний являются ложными, то и их конъюнкция будет ложной)

На основе вышеприведенного рассуждения изучение операций, проведенных на высказываниях, может быть заменено изучением операций, проведенных на логических значениях. Этого достаточно для исследования выводов (на уровне калькуляции высказываний).

АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

Операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значении вводятся логические переменные; они обозначаются символами p, q, r, ..., р, р,
… Итак, логические переменные могут принимать два “значения”:

п
или л
.

При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операции обозначается скобками; например, ~(р) А q) (иногда скобки опускаются). Например, вместо выражения (7p)/\q пишется 7р /\ q при предварительном пояснении, что в случае появления выражения без скобок знак относится только к следующему знаку.

В общем смысле слова n
-членной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений пиле длиной выражения n
, а значением ее является одно из двух логических значений пил.

Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В области операций на логических переменных помимо отрицания и конъюнкции оказываются полезными некоторые другие операции.

В области одномерных логических операций фактический интерес представляет только отрицание.

дизъюнкция

Операция называется дизъюнкцией и обозначается символом “p\/q” (иначе ее называют альтернацией, адъюнкцией, логическим сложением), или “р + q”. Дизъюнкция выражается с помощью операций конъюнкции и отрицания.

Связь, созданная между двумя высказываниями при помощи уступительного союза “или”, является такой операцией, которой в области логических значений соответствует операция дизъюнкции: высказывание является ложным тогда и только тогда, если оба высказывания ложны.

(Союз “или” в таком случае применяется в значении допущения, если допускается правильность обоих высказываний). Например: “выпал дождь или полили парк”. Поэтому такое соединение двух высказываний также называется дизъюнкцией. (Символ “V” читается также как “или”).

Операция конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкции.

Таким образом, руководствуясь теоремой,что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания

“ни-ни”

ИМПЛИКАЦИЯ

Операция “р влечёт q” и называется импликацией (с предварительным членом р
и с
последующим членом q).

Допустим, что если р = п, то значение выражения р влечёт q будет или п, или л в зависимости от того, является ли значение q п, или л. Это аналогично тому, что высказывание типа “если А, то В”, в котором первый член А является правильным, считается или правильным, или ложным в зависимости от того, правильный или ложный второй его член В. Поэтому соединению типа “если А, то В” соответствует импликация в области логических значений. Но в то же время при ложном высказывании А предложение типа “если А, то В” может вообще не считаться высказыванием Например: если горит лампочка, то лифт работает.

Если высказывание “горит лампочка” правильно, то правильностью высказывания “лифт работает” однозначно решается правильность вышеприведенного предложения. Но если высказывание “горит лампочка” ложно, то ничего нельзя сказать о правильности вышеприведенного предложения. Можно сказать : надо подождать, пока лампочка загорится Приведем пример, в котором не будет даже возможности “подождать”:

Если 2 * 2 = 5, то Дунай является европейской рекой. Если принять то, что соединение типа “если . . .то” соответствует операции импликации, при соблюдении последнего тождества высказывание “если А, то В” выражалось бы с помощью операций конъюнкции и отрицания в следующем виде : “неправильно, что : А и не В” (здесь присутствует выражение “не В” вместо выражения “неправильно, что В”; таким образом, ясно, что выражение “неправильно, что”, расположенное в начале высказывания, относится не только к Л, но и к выражению “А и не В”). В соответствии с этим приведенные выше два предложения в примере могут быть переформулированы следующим образом:

а) Неправильно, что горит лампочка и лифт не работает.

б) Неправильно, что 2 * 2 = 5 и Дунай не является европейской рекой. Если выражение “горит лампочка” ложно, то ложно и выражение “лампочка горит и лифт не работает”, а отрицание его — по а) — являетсяправильным. Выражение. “2 * 2 = 5” ложно, ложно также и выражение “Дунай не является европейской рекой”; их конъюнкция — также ложна, а отрицание этой конъюнкции — по б) — является правильным. Здесь нет противоречия по сравнению с обычным пониманием вещей, так как обычно не обращают внимание на правильность сложного предложения типа “если . . . то” в том случае, когда первый член соединения является ложным.

Выражения вида “если А, то В” можно считать синонимами выражений вида “неправильно, что: “А и не В”; они называются импликациями (с предварительным членом А, с последующим членом В); для их обозначения применяется символ А влечёт В.

Представленное в области логических значений понятие импликации типа р
влечёт q
соответствует понятию вышеприведенной операции высказывания.

Операции на высказываниях, выражаемые с помощью союзов и частиц, сформулированы недостаточно точно ; в большинстве случаев, они до некоторой степени двусмысленны. По всей вероятности распознавание операций конъюнкции и отрицания наименее проблематично в их грамматической форме представления. Поэтому большое значение имеет возможность выражения любой логической операции через операции конъюнкции и отрицания. Как было показано выше, это позволило нам истолковать образование сложного предложения вида “если . . . то” как операцию.

Упоминаются еще некоторые грамматические синонимы операции “А влечёт В”: “В, если только Л”, “Только тогда А, если В”, “Достаточным условием В является А”, “Необходимым условием А является В”, “В если не А”.

И конъюнкция и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания.

Поэтому любая логическая операция может быть выражена с помощью операций отрицания и импликации.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Последний вид выражения операции эквивалентности.

Так как высказывание p эквивалентно q = n тогда и только тогда, когда p = q, то данная логическая операция соответствует образованию сложного предложения вида “А тогда и только тогда, когда В”. Понимание и логическое значение предложения такого характера, образованного из двух любых высказываний, иногда затруднительно для восприятия человека, как и понимание предложения вида “если . . . то”. Например, “2 < 3 тогда и только тогда, если светит солнце”.

Поэтому данное предложение понимается операцией калькуляции высказываний исключительно в том случае, если считать его синонимом высказываний вида “неправильно, что А и не В, и, неправильно, что не А и В”. В этом случае данная операция “А влечёт В” и называется эквивалентностью.

Часто встречаются следующие синонимы данной операции: “Для А необходимо и достаточно б”, “А именно тогда, когда В”.

Заключение

Булеву алгебру образуют все подмножества некоторого множества. То, что они образуют решетчатую структуру, очевидно. Нетрудно доказать и выполнение дистрибутивности. Нулевым элементом является пустое множество, а единичным — все основное множество. Для каждого подмножества существует дополнительный элемент — дополнение к множеству в теоретико-множественном смысле. Булевы алгебры находят применение главным образом в теории множеств, в математической логике, в теории вероятностей и в функциональном анализе.