Система счисления 2

Содержание

Что такое система счисления?

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сложение в различных системах счисления

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Деление в различных системах счисления

Что такое система счисления?

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления
вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления
вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием
.

Основание позиционной системы счисления
— количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением
цифры
называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами
:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями
(есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно
и помехоустойчиво
;

· возможно применение
аппарата булевой алгебры
для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы
— быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Количество p

различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием
системы счисления – "p
"
. Любое число N

в позиционной системе счисления с основанием p

может быть представлено в виде полинома от основания p

:

N = a_n
pⁿ
+a_n-1
p^n-1
+ ... +a₁
p+a₀
+a_-1
p^-1
+a_-2
p^-2
+ ...

(1.1)

здесь N

– число, a_j


– коэффициенты (цифры числа), p

– основание системы счисления (p

>1
). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N

=

a_n
a<sub>n


-1</sub>


...

a

₁


a

₀


.

a

_-1


a

_-2


...

Перевод чисел в десятичную систему
осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему
счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример:
Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ:
75₁₀
= 1 001 011₂
= 113₈
= 4B₁₆
.

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.
Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием
необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125₁₀
2 с.с.

1. Переведем целую часть:	2. Переведем дробную часть:	3. Таким образом:
		2310 = 101112 ; 0.12510 = 0.0012 . Результат: 23.12510 = 10111.0012 .

Системы счисления называются кратными
, если выполняется соотношение: S = R^N

, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа из системы счисления
R
в кратную ей систему счисления
S
поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N
разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S
.

Таблица

Перевести 1101111001.11012 "8" с.с.	Перевести 11111111011.1001112 "16" с.c.

Для перевода числа из системы счисления
S
в кратную ей систему счисления
R
достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R
, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00
512) и младших (15,124000
) разрядах.

Перевести 305.48 "2" с.с.	Перевести 7B2.E16 "2" с.с.

Если требуется выполнить перевод из системы счисления S
в R
,
при условии что они не являются кратными
, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K
, такую что: S =
K
^N

и R
=
K
^N

.

Перевести 175.24₈
"16" с.с.

Результат: 175.24₈
= 7D.5₁₆
.

Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную
систему счисления.

Для всего этого примеры

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему
очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную,
его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:

Сложение в различных системах счисления

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Деление в различных системах счисления

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.