Кольцевой
орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов
В 1978 г. нами была опубликована работа
«Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной
системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что
периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со
знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми
рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...),
см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от
резонансного значения nT в %.
Таблица 1
Тело
Т, лет
n
nT, лет
δ%
Ме
0,24085
377
90,800
1,98
В
0,61521
144
88,590
0,50
З
1,00000
89
89,000
0,03
Ма
1,88089
47
88,401
0,71
С
29,4577
3
88,373
0,74
89,033
0,79
Ц
4,605
18
82,893
0,10
Ю
11,862
7
83,035
0,06
У
84,015
1
84,015
1,24
Н
164,78
1/2
82,394
0,71
П
247,69
1/3
82,565
0,50
82,980
0,52
Однако, кроме описанных в статье случаев
проявления «золотого сечения» в Солнечной системе, нам удалось выявить ещё ряд
новых интересных примеров такого же рода. В частности, мы обнаружили, что
величины, обратные эксцентриситетам планетных орбит также близки к числам Люка
и Фибоначчи (см. табл. 2, где e – эксцентриситет орбиты, а n – число Люка или
Фибоначчи).
Таблица 2
Тело
1/e
n
1/ne
δ%
П
4,021
4
1,0054
0,44
Ме
4,863
5
0,9726
2,91
Ма
10,711
11
0,9737
2,80
Ц
13,157
13
1,0121
1,10
С
17,946
18
0,9970
0,40
Ю
20,652
21
0,9834
1,79
У
21,195
21
1,0093
0,82
З
59,772
55
1,0867
8,56
Н
116,686
123
0,9486
5,52
В
147,058
144
1,0212
2,01
1,0010
2,63
Так как орбиты планет эллиптичны и
постепенно прецессируют, то каждая из них занимает кольцевую область между
двумя круговыми орбитами с радиусами:
rπ = (1 –
e)a
(1)
rα = (1 +
e)a
(2)
где rπ – радиус орбиты в
перигелии,
rα – радиус орбиты в
афелии,
a – большая полуось орбиты.
Этим круговым орбитам соответствуют свои
периоды, а интервал периодов может быть найден по следующей формуле:
(3)
где T – период обращения планеты, а
ΔT – будет шириной орбиты, выраженной в терминах периодов. Назовем эту
величину «периодом ширины орбиты». При этом оказалось, что «период ширины
орбиты» связан с перодом обращения планеты, расположенной через одну орбиту
ближе к Солнцу, следующим соотношением:
kΔTn = Tn–2
,
(4)
где k – целое число, чаще всего, близкое
к единице, т.е. имеет место своеобразный резонанс, названный нами «кольцевым
резонансом» (см. табл. 3).
Таблица 3а
Тело
ΔT, лет
k
kΔTn, лет
В
0,0125
5
0,0627
З
0,0501
5
0,2509
М
0,5266
1
0,5266
Ц
1,0497
1
1,0497
Ю
1,7228
1
1,7228
С
4,9235
1
4,9235
У
11,890
1
11,890
Н
4,237
7
29,659
П
184,28
0,5
92,140
Таблица 3b
Teло
T, лет
kΔTn / kΔTn–2
δ%
k
kΔTn / kΔTn–2
δ%
Сл
0,0694
0,903
10,0
11/2
0,993
0,61
Ме
0,2408
1,041
4,8
24/5
1,000
0,07
В
0,6152
0,855
16,0
7/6
0,998
0,08
З
1,0000
1,049
5,6
20/21
0,999
0,02
Ма
1,8808
0,915
8,4
12/11
0,999
0,02
Ц
4,6052
1,069
7,6
14/15
0,997
0,16
Ю
11,862
1,002
0,8
1/1
1,002
0,28
Ст
29,457
1,006
1,3
7/1
1,006
0,73
У
84,015
1,096
10,3
5/11
0,997
0,24
0,993
7,2
0,999
0,24
Как видно из таблицы, при грубой подборке
коэфициента k он чаще всего принимает значение 1 и даёт отклонение от
резонансности, равное 7,2%, а при более тонкой подборке коэфициента, когда он
не целочислен, но равен отношению небольших чисел, это отклонение имеет
величину только 0,24%. Учитывая, что на самом деле мгновенный период обращения
планеты меняется в широких пределах, можно считать, что резонанс всегда
соблюдается даже при грубой подборке k. Как оказалось, экваториальный период
вращения Солнца и все «периоды ширины орбит» планет земной группы имеют между
собою общий резонанс. Для планет, внешних по отношению к Земной орбите также
имеет место общий для них резонанс. Причём средние отклонения от резонансности
для обеих групп планет не превышают 0,55%. Период общего резонанса для внешних
планет превосходит аналогичный период для земной группы планет в 28 раз (см.
табл. 4).
Таблица 4
Тело
ΔT
n
ΔT / n
δ%
В
0,0125
2
0,00627
0,19
З
0,0501
8
0,00627
0.16
Сл
0,0694
11
0,00631
0,86
Ме
0,1483
24
0,00618
1,35
Ма
0,5266
84
0,00627
0,10
0,00626
0,53
Ма
0,5266
3
0,17553
0,30
Ц
1,0497
6
0,17495
0,02
Ю
1,7228
10
0,17228
1,58
Н
4,2370
24
0,17654
0,88
Ст
4,9235
28
0,17584
0,48
У
11,890
68
0,17485
0,08
0,17500
0,55
Если рассмотреть ширину орбиты в
терминах частот обращений планет, то мы получим «частоту ширины орбиты». Как
выяснилось, эти величины, нормированные на «частоту ширины орбиты» Нептуна,
образуют числовые ряды, близкие к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 5) со
средним отклонением от резонансности меньше 3%.
Таблица 5
Тело
Δν, год–1
Δν / ΔνН
n
Δν / nΔνН
δ%
Н
0,000156
1,0000
1
1,0000
1,62
У
0,001690
10,8346
11
0,98496
3,17
П
0,003305
21,1871
21
1,00890
0,72
С
0,057000
36,5384
34
1,07465
5,75
Ю
0,012286
78,7564
76
1,03626
1,97
В
0,033516
212,564
199
1,06816
5,11
З
0,050200
321,794
322
0,99936
1,68
Ц
0,049938
320,051
322
0,99394
2,23
Ма
0,150818
966,782
987
0,97951
3,69
1,01619
2,88
Мы рассматривали до сих пор интервалы
периодов и частот, определяемых через радиусы круговых орбит, ограничивающих
эллипсы орбит. Однако, интересно рассмотреть разности мгновенных периодов
обращения планет в афелиях и перигелиях орбит т.е. интервал, в пределах
которого меняется мгновенный период при движении планеты по орбите. Назовём
этот интервал «девиацией периода» Расчёт её будем вести по формуле:
(5)
При этом оказалось, что наблюдается
резонанс между «девиацией периода» планеты и периодом соседней планеты,
расположенной ближе к Солнцу:
kΔT *n
= T *n–1
(6)
См. табл. 6, где значки π, 0,
α – определяют значения мгновенных периодов в перигелии, на среднем
расстоянии и в афелии. Мы видим, что чаще всего наблюдается k = 2. Среднее
отклонение от резонанса равно 1,75%.
Таблица 6
Тело
ΔTn*
k
k ΔTn*
Тело
T*n–1
kΔT*n
/ ΔT*n–1
δ%
Ме
0,2024
1/3
0,0674
Сле
0,0694
0,97099
2,58
В
0,0167
9
0,1505
Меπ
0,1553
0,96968
2,72
З
0,0669
9
0,6023
Вπ
0,6068
0,99253
0,35
Ма
0,5442
2
1,0884
Зα
1,0338
1,05279
5,69
Ц
1,4040
4/3
1,8720
Ма0
1,8808
0,99528
0,08
Ю
2,3000
2
4,6000
Ц0
4,6052
0,99888
0,28
Ст
6,5757
2
13,1514
Юα
13,0539
1,00746
1,14
У
15,8730
2
31,7460
Сα
32,8829
0,96542
3,17
Н
5,6494
15
84,7412
У0
84,0152
1,00864
1,26
П
254,336
7/11
161,850
Нπ
161,981
0,99919
0,31
0,99608
1,75
На самом деле, учитывая, что изменение
мгновенного периода происходит в широких пределах, мы можем считать, что
резонанс всегда соблюдается гораздо точнее.
Наконец, рассмотрим соотношения
экстремальных значений мгновенных периодов на соседних орбитах в ближайших
апсидах. Например, отношение мгновенного периода в афелии орбиты к такому же
периоду, но уже в перигелии последующей орбиты, расположенной дальше от Солнца
(см. табл. 7, где T1* – мгновенный период в афелии
орбиты, а T2* – мгновенный период в перигелии
последующей). Исключение составляют только Меркурий,где вместо перигелийных и
афелийных периодов взяты средние периоды и Венера, где вместо афелийного
периода взят средний период. Резонансный коэфициент равен отношению небольших
чисел, на 85% состоящих из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).
Анализ таблицы показывает, что эти
соотношения близки к резонансным со средним отклонением от резонансности 0,53%.
Таблица 7
Тело
T2*
Тело
T1*
k
kT1*
T2*
/ kT1*
δ%
Ме0
0,2408
Сле
0,0694
7/2
0,2432
0,990304
1,03
Вπ
0,6068
Ме0
0,2408
5/2
0,6021
1,007897
0,73
Зπ
0,9669
В0
0,6152
11/7
0,9667
1,000202
0,03
Маπ
1,6162
Зα
1,0338
11/7
1,6246
0,994791
0,57
Цπ
3,9432
Маα
2,1604
11/6
3,9608
0,995554
0,50
Юπ
10,7539
Цα
5,3472
2/1
10,6944
1,005564
0,50
Стπ
26,3072
Юα
13,0539
2/1
26,1079
1,007633
0,70
Уπ
76,3596
Стα
32,8829
7/3
76,7268
0,995213
0,53
Нπ
161,981
Уα
92,2326
7/4
161,407
1,003557
0,30
Пπ
144,369
Нα
167,630
6/7
143,683
1,004770
0,42
1,000548
0,53
Выводы
Величины, обратные эксцентриситетам орбит
планет образуют числа, близкие к числам Люка и Фибоначчи.
Периоды ширины орбитальных колец
находятся в резонансе с периодами планет, расположенными через одну орбиту
ближе к Солнцу.
Частоты ширины орбитальных колец
находятся в резонансе с частотами обращения планет, расположенных дальше от
Солнца через одну орбиту.
Периоды ширины орбитальных колец как
земной группы планет, так и планет, внешних по отношению к земной орбите,
образуют две группы тел с общими резонансами внутри группы.
Частоты ширины орбитальных колец,
нормированные на частоту ширины орбиты Нептуна, образуют числовой ряд близкий к
числам Люка и Фибоначчи.
Девиации периодов обращений планет
находятся в резонансе с периодом обращения соседней планеты, расположенной
ближе к Солнцу.
Экстремальные периоды в ближайших
апсидах соседних планет находятся в резонансе, а числовые коэфициенты
резонансов на 85% состоят из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).
Имеют место ещё и другие резонансные
соотношения для частот ширины орбит, девиаций частоты и экстремальных значений
частот планетных орбит, но ввиду ограниченности объёма работы мы этих
результатов вычислений не приводим.
Список литературы
К.П. Бутусов. «Золотое сечение в
Солнечной системе». Проблемы исследования Вселенной, вып. 7. М.-Л., 1978.