Системы линейных уравнений
1. Критерий совместности
Система
линейных уравнений имеет вид:
a11x1 + a12x2
+ ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2
+ ... + a2nxn = b2 (5.1)
... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
am1x2 + am2x2
+... + amnxn = bm
Здесь
аij и bi (i = ; j = ) - заданные,
а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие
произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
AX
= B, (5.2)
где
A = (аij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных
системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,...,
xn)T,
B
= (b1, b2,..., bm)T -
векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из
свободных членов bi.
Упорядоченная
совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn)
называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел
вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn
каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами,
если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T
такой, что AC ≡ B.
Система
(5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере
одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не
имеет решений.
Матрица
Ã
= ,
образованная
путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется
расширенной матрицей системы.
Вопрос
о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема
Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда,
когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е.
r(A)
= r(Ã) = r.
Для
множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1)
M = Ø (в этом случае система несовместна);
2)
M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом
случае система называется определенной);
3)
M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется
неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество
решений.
Система
имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A)
= n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если
m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0
Для
решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в
которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского
типа:
a11x1 + a12x2
+ ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2
+ ... + a2nxn = b2 (5.3)
... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
an1x2 + an2x2
+ ... + annxn = bn
Системы
(5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения
неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.
2. Метод Гаусса
Исторически
первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений
является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных
исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности,
треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы
линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму
систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные
преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе
преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
3. Формулы Крамера
Метод
Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель
системы (5.3), т.е. определитель матрицы А
Δ
= det (aij)
и
n вспомогательных определителей Δi (i = ), которые
получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных
членов.
Формулы
Крамера имеют вид:
Δ
· xi = Δi (i = ). (5.4)
Из
(5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о
совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля,
то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
xi
= Δi / Δ.
Если
главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δi
= 0 (i = ), то система
имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ
= 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система
несовместна.
4. Матричный метод
Если
матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det
A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с
вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное
решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A-1B
называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной
матрицы.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mathematica.ru