Малоязовская башкирская гимназия
Геометрия
Реферат
на тему:
“Преобразования фигур”
Выполнил: ученик 10 Б класса
Халиуллин А.Н.
Проверила: Исрафилова Р.Х.
Малояз 2003 год
План:
I. Преобразование.
II. Виды преобразований
1. Гомотетия
2. Подобие
3. Движение
III. Виды движения
1. Симметрия относительно точки
2. Симметрия относительно прямой
3. Симметрия относительно плоскости
4. Поворот
5. Параллельный перенос в пространстве
I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь
образом, и получение новой фигуры.
II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.
Подобие
Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при
этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же
число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в
которые он переходят, X’Y’ = k * XY.
Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые –
в полупрямые, отрезки – в отрезки.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
3. Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую
преобразованием подобия.
Гомотетия
Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с
коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит
произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.
Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую
плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость
(или в себя при k=1).
Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и ( - любая
плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости
(. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а
точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k –
коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из
подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’,
а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC
в плоскости (. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При
рассматриваемой гомотетии плоскость (перейдет в плоскость (’, проходящую
через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух
пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с
пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости ( и (’ параллельны,
что и требовалось доказать.
Движение
Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет
расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры
в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y
Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении
переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного
расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в
точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит
между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C.
Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.
Если точка A1,B1,C1 не лежат на прямой, то они являются вершинами
треугольника. Поэтому A1C1