Вычисление собственных чисел и собственных функций
опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Абзалимов Р.Р.
В
настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и
собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения
второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего
задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел
будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.
I.
Регулярная задача
Рассмотрим
следующую краевую задачу:
, (1.1)
, (1.2)
. (1.3)
Здесь
предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей
рассмотрим дифференциальные операторы вида:
, (1.4)
с
граничными условиями
, (1.5)
, (1.6)
где
.
(1.7)
Под
собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x),
удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
;
;
удовлетворяет граничным условиям (1.5) и
(1.6);
удовлетворяет так называемым условиям
сопряжения
(1.8)
В
каждом интервале решения уравнения
(1.4) имеют вид:
. (1.9)
Из
условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
, (1.10)
где
, выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N).
Таким образом, получаем:
(1.11)
Из
первого краевого условия получаем зависимость от , затем,
подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных
значений задачи (1.4)-(1.6):
,
(1.12)
где
выписывается явно.
Пусть
- собственные значения и - соответствующие им собственные функции
задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено
,
и
пусть - собственные
значения задачи (1)-(3) и соответствующие им собственные функции. Введем
обозначение:
. (1.13)
Заметим
прежде, что при .
Тогда
имеет место следующая
ТЕОРЕМА
1.1 Справедливы равенства
,
(1.14)
. (1.15)
Доказательство.
Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на
интервале . Представим
ее в виде
, (1.16)
где
вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения
(1.16) получаем интегральные уравнения:
,
.
Применяя
метод последовательных приближений, получаем:
, (1.17)
где
- решения уравнения (1.4).
Следовательно,
для всего промежутка [0,p] справедливо равенство
(1.15).
Из
(1.15) нетрудно установить неравенство:
, (1.18)
где
при .
Тогда
имеет место следующее равенство:
(1.19)
при
, где - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3),
а - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и
(1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.
Следствие
1.1 ,
.
Следствие
1.2 , где - характеристическое уравнение для собственных
значений задачи (1.4)-(1.6), - характеристическое уравнение для собственных
значений задачи (1.1)-(1.3).
Следствие
1.3 и совпадают со
всеми корнями уравнения .
Следствие
1.4 образуют полную систему собственных функций.
II.
Сингулярная задача. Случай .
Будем
рассматривать задачу
, (2.1)
, (2.2)
где
монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более
одной точки поворота. Таким образом, для любого . В случае,
когда , спектральная
задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной
задачи следует, что ; таким
образом, для каждого задачи на полуоси ставится в соответствие своя
регулярная задача на конечном отрезке . Если бы мы
знали все значения собственных функций ,
соответствующие собственным числам задачи на
полуоси, в точке , то, решая
задачи на конечном промежутке с дополнительным граничным условием , мы могли бы
вычислить все собственные числа задачи на достаточно точно. Исходя из сказанного, можно
утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем
точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых
условия (условие Дирихле) и (условие Неймана). Пусть - собственные числа задач на конечном
промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С
помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА
2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
, (2.3)
где
[1]
.
Справедливость
теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА
2.2 Справедливо неравенство:
.
(2.4)
Доказательство
теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел
(см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и
следствия 1.1.
Замечание
В случае полуограниченного оператора (), данный
выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку
собственных чисел.
Следствие
2.1 , где - длина промежутка .
Пример
.
Известно,
что , где вычисляется
явно. Из следствия 2.1 следует:
.
III.
Сингулярная задача. Случай .
Будем
рассматривать задачу
, (2.1)
. (2.2)
Имеет
место следующая (см. [3])
ТЕОРЕМА
3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет
следующим условиям
;
, при ;
сохраняет знак для больших ;
, где , при ;
.
Тогда
спектр оператора - чисто дискретный и состоит из двух серий
собственных чисел, уходящих на и .
Аналогично
(как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета
собственных чисел заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал
заменяется на , где - достаточно большое положительное число с
дополнительным краевым условием . Нетрудно
установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного
оператора (при ) стремится к
нулю при . С помощью
решения регулярной задачи доказывается следующая
ТЕОРЕМА
3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на
конечном промежутке с дополнительным краевым условием , то
справедливо равенство для всех .
Замечание
1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см.
например [4]).
Замечание
2 Для расчета собственных чисел задачи (2.1)-(2.2), промежуток заменяется на , где - достаточно большое положительное число, с
краевыми условиями и .
IV.
Сингулярная задача. Случай .
Будем
рассматривать задачу
, (3.1)
(3.2)
с
дополнительными условиями:
;
голоморфна в точке , причем ;
при монотонно, и , где ;
при , .
Данная
задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]).
Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что
все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно
возрастающюю последовательность с единственной предельной точкой , а
собственные функции , отвечающие
собственным значениям , имеют в
интервале в точности нулей. В этом случае справедливы все
результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.
Пример
.
Известно
(см. [3]), что - собственные числа.
Введем
обозначения: - приближенные собственные числа, полученные
Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а - приближенные собственные числа, полученные
методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые
представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3),
можно показать (достаточно грубая оценка), что
,
где
вычисляется явно. Для более точной асимптотики
необходимо точно решить уравнение
.
n
Промежуток
1
0.2500
0.25000…
0.247…
(1.16,6.82)
2
0.1111
0.11107…
0.111…
(1.06,16.9)
3
0.0625
0.06249…
0.063…
(1.03,30.9)
4
0.0400
0.39995…
0.041…
(1.02,48.9)
5
0.0277
0.0277715
0.028…
(1.01,70.9)
Список литературы
Митрохин
С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.
Рид,
Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4
Титчмарш.
Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями
второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.
Султанаев
Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.
Жидков
Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.bashedu.ru
[1]
Вопрос о том, как находить значения для расчета
собственных чисел, остается нерешенным