Расчет адгезионных характеристик металлов в модели
обобщенного потенциала Хейне-Абаренкова
М.В. Мамонова, Р.В. Потерин, В.В. Прудников, Омский
государственный университет, кафедра теоретической физики
Явление
возникновения связи между поверхностными слоями разнородных конденсированных
тел, приведенных в соприкосновение, получило название адгезии. С физической
точки зрения, адгезия определяется силами межмолекулярного взаимодействия,
наличием ионной, ковалентной, металлической и других типов связи. Возникает
необходимость определения характеристик адгезионного взаимодействия различных
материалов как с точки зрения прикладной, так и фундаментальной науки о
поверхностных явлениях.
В
предлагаемой работе в рамках метода функционала плотности проведен расчет
адгезионных характеристик для ряда металлов. Исследованы влияния различных
приближений, учитывающих дискретность кристаллической структуры и неоднородность
электронного газа в межфазной области раздела. Для расчета влияния
электрон-ионного взаимодействия на адгезионные характеристики металлов нами был
впервые использован обобщенный псевдопотенциал Хейне-Абаренкова. Проведен
сравнительный анализ результатов, полученных с его использованием, с
результатами, полученными с привлечением иных моделей, в частности,
псевдопотенциала Ашкрофта.
Метод
функционала плотности состоит в решении вариационной задачи о нахождении
минимума энергии системы электронов, рассматриваемой на фоне заданного
положительного заряда. В качестве пробных функций электронного распределения,
как правило, выбирают решения формально линеаризованного уравнения
Томаса-Ферми, а вариационным параметром считают обратную длину экранирования .
Рассмотрим
два полуограниченных металла, занимающих области zD. Пусть
положительный заряд фона распределен в соответствии с формулой
где
и - плотности
заряда фона; - ступенчатая
функция. Решение линеаризованного уравнения Томаса-Ферми с использованием
граничных условий, отражающих непрерывность электростатического потенциала (z) и
электрической индукции d/dz при z=D, а также
конечность потенциала на бесконечности, позволяет при связи (z)=-4n(z)/ получить
следующее выражение для плотности электронного распределения n(z) в системе:
где
Определим
межфазную энергию взаимодействия контактирующих металлов, приходящуюся на
единицу площади, как интеграл по z от объемной плотности энергии основного
состояния электронного газа:
В
рамках модели "желе" объемная плотность энергии неоднородного
электронного газа может быть представлена в виде градиентного разложения:
где
есть
плотность энергии однородного электронного газа в атомных единицах, включающая
последовательно электростатическую, кинетическую, обменную и корреляционную
энергии, а
где
- фермиевский
волновой вектор, являются
соответственно градиентными поправками второго порядка на неоднородность
электронного газа для кинетической энергии в приближении Вейцзекера-Киржница и
обменно-корреляционной энергии в приближении Вашишты-Сингви (VS) [1].
Приближение VS является наиболее употребимым для большинства металлов. Учет
только поправки для кинетической энергии без рассмотрения влияния соответствует
приближению хаотических фаз (ПХФ).
Поправки
к межфазной энергии, связанные с учетом дискретности распределения
положительного заряда, вычисляются в рамках модели псевдопотенциала
Хейне-Абаренкова:
усредненного
по кристаллическим плоскостям, параллельным поверхности металлов, и будут
характеризоваться параметрами и
межплоскостными расстояниями . В результате
поправка, связанная с электрон-ионным взаимодействием, принимает вид:
Для
получения поправки к межфазной энергии, связанной с взаимодействием ионов
металлов, мы воспользовались интерполяционной формулой, предложенной в [2].
Тогда
где
- валентности
металлов; - расстояния
между ближайшими ионами в плоскостях, параллельных поверхностям металлов.
В
соответствии с методом функционала плотности величина вариационного параметра находится из
требования минимальности полной межфазной энергии
где
.
Решение
уравнения (10) задает значения параметра как функцию
величины зазора 2D. Итогом решения вариационной задачи является полная
межфазная энергия системы . Зная ее,
легко найти энергию адгезии системы как работу, необходимую для удаления
металлов друг от друга на бесконечность, т.е. . Тогда сила
адгезионного взаимодействия системы определяется как производная по D от
межфазной энергии при :
В
соответствии с вышеизложенной методикой разработана программа численного
интегрирования в (3) при одновременной минимизации в (10). Расчеты адгезионных
характеристик были проведены для ряда простых и переходных металлов, полагая,
что к межфазной границе раздела металлы направлены плотноупакованными гранями.
Значения исходных параметров, использованные для расчета адгезионных
характеристик металлов, приведены в следующей таблице:
Me
Z
а.е.
d, а.е.
c, а.е.
rc, а.е.
Rm, а.е.
а.е.
Al
3
0.027
4.29
5.25
0.96
1.15
0.28
Pb
4
0.019
5.38
6.59
1.46
1.36
-0.67
Cu
2
0.025
3.92
4.80
0.92
1.41
1.21
Fe
4
0.050
3.84
4.70
0.95
1.03
0.94
Cr
4
0.049
3.85
4.72
0.96
1.06
1.02
На
рис.1 приведены графики рассчитанных в рамках модели обобщенного
псевдопотенциала Хейне-Абаренкова значений силы адгезионного взаимодействия как
функции величины зазора 2D для таких пар металлов, как Al-Pb, Fe-Cr, Fe-Pb,
Fe-Al, Al-Cu. На рисунках видно, что на малых расстояниях наблюдается
притяжение металлических поверхностей. Последующий рост величины зазора
сопровождается отталкиванием металлических поверхностей. При этом сила
электростатического отталкивания характеризуется максимумом при и сильным
спадом при . Физически
смена характера электростатической силы адгезии связана с тем, что на малых
расстояниях электронный "хвост" одного металла проникает в ионный
остов противоположного и притягивается последним. При увеличении зазора
электронный "хвост" выходит из зоны взаимодействия с ионным остовом,
взаимодействуя с электронным "хвостом" противоположного металла. Это
вызывает отталкивание металлических поверхностей. Из графиков также видно, что
значения адгезионных характеристик для благородных и переходных металлов
значительно выше, чем для простых металлов.
Рис.
1 Сила адгезионного взаимодействия как функция величины зазора для пар
металлов: 1-Fe-Cr, 2-Fe-Al, 3-Fe-Pb,
4-Al-Cu, 5-Al-Pb
На
рис.2 приведены сравнительные адгезионные характеристики для пары простых
металлов Al-Pb, вычисленные как с использованием псевдопотенциала
Хейне-Абаренкова с обменно-корреляционной поправкой в приближении VS, так и
псевдопотенциала Ашкрофта (псевдопотенциал Хейне-Абаренкова переходит в
выражение для псевдопотенциала Ашкрофта при V0 = 0) с обменно-корреляционной поправкой
в приближении VS и в приближении ПХФ. Последнее обусловлено тем, что в модели
псевдопотенциала Ашкрофта поверхностная энергия алюминия наиболее удачно
описывается обменно-корреляционной поправкой VS, а поверхностная энергия свинца
- ПХФ [3]. Но методика расчета адгезионных характеристик требует использования
единой обменно-корреляционной поправки для обоих контактирующих металлов. Это
требование наиболее полно реализуется, как показано в данной работе, при
использовании для различных металлов псевдопотенциала Хейне-Абаренкова с
обменно-корреляционной поправкой в приближении VS. Вычисления, проведенные в
приближении псевдопотенциала Хейне-Абаренкова, значительно уточняют
соответствующие расчеты, проведенные в рамках модели Ашкрофта, и могут быть распространены
для описания адгезии как простых, так и переходных металлов.
Рис.
2 Сила адгезионного взаимодействия как функция величины зазора для пары Al-Pb: 1 - модель Ашкрофта, приближение VS; 2 - модель Хейне-Абаренкова, приближение VS; 3 - модель Ашкрофта, приближение ПХФ.
Список литературы
Vashishta P., Singwi K.S. Electron
correlations at metallic densities // Phys.Rev. 1972. B6. ò3. P.875-887.
Ferrante J., Smith J.R. A theory of
adhesional bimetallic interfaceoverlap effects // Surface Science. 1973. 38.
ò1. P.77-92.
Вакилов
А.Н.,Прудников В.В.,Прудникова М.В. Расчет решеточной релаксации металлических
поверхностей с учетом влияния градиентных поправок на неоднородность
электронной системы // ФММ. 1993. 76. ò6. С.38-48.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/