Усложнение решающего правила при управлении в задачах
распознавания образов
Бекмуратов К.А.
Рассматривается
один из возможных принципов усложнения решающего правила непрерывного
пространства признаков, порождаемого опорными объектами конкретного образа.
Предложена процедура нахождения предельного значения размерности признакового
пространства, в котором возможно кусочно-линейное разделение образов и гарантированы
требуемые качество и надежность распознавания, необходимые в системах
управления.
В
работе [1] описан метод формирования пространства непрерывных признаков,
приводящий к безошибочному разделению образов. Введено понятие непрерывного
признака и показано, что если набирать пространство только из определенных в
[1] признаков, то можно достичь безошибочного разделения образов.
В
данной работе так же, как и в [2], рассмотрим случай, когда в пространстве
непрерывных признаков размерности n безошибочное разделение обучающей последовательности
невозможно.
Пусть
на некотором множестве мощности объектов определены
подмножества при , представляющие собой образы на обучающей выборке
Допустим,
что - подмножество на , соответствующее конкретному образу , а - подмножество на , соответствующее остальным
образом
Требуется
с использованием обучающую выборки найти решающее правило
, указывающее принадлежность
любого объекта из одному
из
заданных образов или с вероятностью
ошибки, не превышающей , достигаемой с
надежностью (1-), и определить целесообразности усложнения решающих правил
при синтезе непрерывных признаковых пространств.
Если
обучающая последовательность не может быть безошибочно разделима выбранным
решающим правилом, то в общем случае справедлива теорема Вапника - Червоненкиса
[3], смысл которой состоит в том, что если в n-мерном пространстве признаков решающее правило совершает ошибок при
классификации обучающей последовательности длины , то с вероятностью можно утверждать, что вероятность ошибочной классификации
составит величину, меньшую ,
,
где
N- число всевозможных
правил заданного класса, которое можно построить в пространстве заданной
размерности.
Предположим,
что в процессе обучения из последовательно поступивших непрерывных свойств
относительно опорных объектов синтезирована
подсистема непрерывных признаков. В зависимости от состава случайной и
независимой выборки процесс обучения может остановиться при любом значении n, но если разделение
конкретной обучающей выборки наступило в n-мерном пространстве, то число N всевозможных решающих правил в классе
не должно превышать числа всех подмножеств множества, состоящего из элементов,
т.е.
,
где
.
Логарифмируя
получим
(1)
Если
учесть , то (1) принимает вид
, (2)
где
можно оценить в виде
(3)
Подставляя
(3) в (2), получаем
(4)
Используя
теорему Вапника-Червоненкиса [3], можно вычислить предельную размерность пространства
, (5)
которая
при заданных гарантирует требуемые e и h.
Пусть
вычислено максимально допустимое значение размерности пространства в виде (5) и в этом
пространстве фиксирована линейная решающая функция
(6)
Далее,
для того чтобы в процессе обучения синтезировать пространство, в котором
линейное решающее правило (6) безошибочно разделило бы обучающую выборку длины , и при этом размерность пространства не превышала бы , необходимо на признаки наложить
дополнительные требования. Зная
предельную размерность простанства (8), можно оценить
минимально допустимую разделяющую силу каждого выбираемого признака в виде
Минимально
допустимая разделяющая сила признака позволяет при синтезе непрерывного
пространства использовать не все признаки, а выбирать только те, разделяющая
сила которых удовлетворяет неравенству
Допустим,
что в синтезированном пространстве непрерывных признаков размерности n линейная решающая функция
(9) совершает ошибки с частотой . Тогда рассмотрим соотношение
, (7)
где
N* - соответствует
решающему правилу, работающему с частотой ошибки , N**-
безошибочно разделяющая обучающая последовательность длины .
С
использованием этого соотношения, можно
установить целесообразность усложнения решающего правила в случае, если в
пространстве размерности n
ещё не достигнуто безошибочное разделение обучающей выборки.
Известно
[3], что если вместо линейного правила используется кусочно-линейное и оно
безошибочно разделяет обучающую выборку длины l, то в соответствии (7) вместо n следует выбирать величину
n=nk+k
, (8)
где
k - число линейных
решающих правил, составляющих искомое кусочно - линейное правило. Используя
соотношения (7) и (8), ответим на вопрос: стоит ли усложнять решение, если
линейное правило в пространстве размерности n не обеспечивает безошибочного разделения обучающей выборки. Для
этого нужно сделать подстановку:
, (9)
В
этом случае усложнение решающего правила, определяемое числом k, не приведёт к снижению вероятности
ошибки, если будет выполнено соотношение (7) после подстановки (8). Из этого
условия можно найти такое значение k, выше которого теряет всякий смысл усложнение решающего
правила, действующего в пространстве непрерывных признаков размерности n:
.
(10)
Таким
образом, если выбирать n
и k согласно (5) и
(10), то процедура позволяет, при синтезе пространства, использовать не все
признаки, а выбирать только те, разделяющая сила которых позволяет при заданных
обеспечить требуемые
значения ε и η.
Список литературы
1.
Бекмуратов. К.А. Процедура формирования непрерывных признаковых пространств при
последовательном обучении. Узб. Журнал // «Проблемы информатики и энергетики».-
1994.-№4.-С.17-20.
2.
К.А. Бекмуратов. Пошаговая проверка целесообразности усложнения решающего
правила при последовательном обучении задаче распознавания. Узб. Журнал //
«Проблемы информатики и энергетики». -2000. -№1. – С. 16-19.
3.
Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов.(Статистические
проблемы обучения). – М.: Наука, 1974. –С. 415.