Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

5

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

РЕФЕРАТ

Пояснительная записка: 44 с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.

Данный продукт представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ:

F1(X₁, X₂, X₃)=0,5arctg(X₁+X₂)+0,2ln(1+X²₁+ X²₂+X²₃)-0,05(X₁X₂-X₁X₃-X₂X₃)+85X₁-20X₂+35X₃-99;

F2(X₁, X₂, X₃)=5arctg(X₁+X₂+X₃)-25,5X₁+19,5X₂-15,5X₃+15;

F3(X₁, X₂, X₃)=-0,3cos(X₁-2X₂+X₃)+0,5exp(-0,25(X²₁+X²₂+X²₃-3))-44,75X₁ +20,25X₂+5,25X₃+18.

Модифицированным методом Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие для студентов высших учебных заведений.

В программе реализуются:

1) работа с BGI графикой;

2) работа с файлами.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

1.1. Цель создания программного продукта

1.2. Постановка задачи

2. Математическая модель

3. Описание и обоснование выбора метода решения

4. Обоснование выбора языка программирования

5. Описание программной реализации

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Цель создания программного продукта

Главной целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с многочисленными массивами вычислений.

1.2 Постановка задачи

В данном программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ:

0,5arctg(X₁+X₂)+0,2ln(1+X²₁+ X²₂+X²₃)-0,05(X₁X₂-X₁X₃-X₂X₃)+85X₁-

-20X₂+35X₃-99;

5arctg(X₁+X₂+X₃)-25,5X₁+19,5X₂-15,5X₃+15;

-0,3cos(X₁-2X₂+X₃)+0,5exp(-0,25(X²₁+X²₂+X²₃-3))-44,75X₁+20,25X₂+

+5,25X₃+18.

Начальным приближением (X₀) должны служить X_1,0=0, X_2,0=0, X_3,0=0. Необходимо ввести точность (о) вычисления корня системы уравнений, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения (например, X₁ и X₃). Для этого третья компонента решения (X₃) принимает значение константы. Необходимо указать какая функция будет участвовать в построении графика (например, F₁), а также определить промежутки изменения обеих компонент решения (например, [X_1min; X_1max] и [X_3min; X_3max]).

2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Общий вид решения системы нелинейных арифметических уравнений имеет вид:

F₁(X₁,…,X_n)=0

…

Fn(X₁,…,X_n)=0

, где F_i - функция n переменных.

Решением СНАУ является вектор X=(X₁,…,X_n), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство.

При n=3 - точка пересечения трёх поверхностей.

Модифицированный метод Ньютона - один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X₀. Суть метода заключается в построении последовательности точек X₀, …, X_n, сходящихся к решению.

Рекуррентная формула имеет вид:

X_k+1=X_k+W(X₀)^-1F(X_k), где W(X₀)^-1 - обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I^-1) от начального приближения X₀, а F(X_k) - вектор значений функций СНАУ вектора приближения к корню X, высчитанном, на предыдущем шаге.

Условием окончания выполнения приближений является шаг, на котором k-норма (в данном случае), т.е vF₂²(X_n+1)+ F₂²(X_n+1)+ F₂²(X_n+1), меньше определённой погрешности (о):

vF₂²(X_n+1)+ F₂²(X_n+1)+ F₂²(X_n+1) < о.

3 ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется модифицированным методом Ньютона.

По сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем программно на языке программирования.

4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version 3.1.

Система программирования Borland C++, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования C, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого программного продукта.