Пошукова робота на тему:
Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
План
Частинні похідні вищих порядків
Теорема про рівність змішаних похідних
Диференціали вищих порядків
6.11.Частинні похідні вищих порядків
Розглянемо функцію двох змінних />. Її частинні похідні /> і /> є функціями змінних /> і />. Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій /> і /> можна знайти частинні похідні по />та по />. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:
/> — функція /> два рази диференціюється по />;
/> — функція /> диференціюється по />, а потім по />;
/> — функція /> диференціюється по />, а потім по />;
/> — два рази диференціюється по />.
Похідні другого порядку також можна диференціювати по /> і />. Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції/>. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.
Приклад. Знайти другі частини похідних від функції />.
Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
/>; />.
Диференціюємо кожну з них по /> і />. Одержуємо частинні похідні другого порядку:
/>/>/>/>.
В розглянутому прикладі
/>.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.
Теорема. Якщо функція /> та її частинні похідні /> означені і неперервні в точці /> і в деякому її околі, то в цій точці
/>,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.
Нехай /> - диференційована в області /> функція двох незалежних змінних /> і />. В будь-якій точці /> цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
/>.
Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень /> і />, тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши /> і />, одержимо функцію двох змінних /> і />, означену в області />.
Диференціал від цієї функції в будь-якій точці /> області />, якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції /> в точці />. Позначається /> або />.
Отже, за означенням />.
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,
/>.
Якщо функція /> в області /> має неперервні частинні похідні до /> - го порядку включно в кожній точці області/>існують. Обчислимо їх:
/>
/>
/>
тощо.
Введемо символічну /> - у степінь />: вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну /> - у степінь із подальшою зміною степенів /> і />, помножених на />, частинними похідними відповідного порядку від функції />.
Тоді
/>
/> (6.72)
/>
…………………………………………….
/>
Зауваження. Якщо /> - диференційована функція проміжних змінних /> і />, які, в свою чергу, є диференційованими функціями /> і />, то, обчислюючи />, /> і т. д., ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.
Так,
/>
Тут /> /> і /> - не є постійними (постійні />). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.