Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

ГОУ СПО«Кунгурское педагогическое училище»
Формирование умения решенияквадратных уравнений в 8 классеКурсоваяработа
по методикематематики
ИсламовойЭнзиры
Таузифовны
Специальность:050201
Математика
группа: М — 41
отделение:очное
руководитель:
Янкина Л.Г.
преподаватель
математики
Защита состоялась:
Отметка:
2007

Содержание
Введение                                                                                                                 3
Глава 1. Теоретические аспектыобучению решения уравнений в 8 классе
1.1. Из историивозникновения квадратных уравнений                        6
1.2. Основныенаправления изучения линий уравнений в школьном курсеалгебры                                                                                                        12
1.3. Методика изученияквадратных уравнений                                   15
Глава 2. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений
2.1. Урок – лекция потеме «Формула корней квадратного уравнения с четным вторымкоэффициентом»                                                                     23
2.2. Урок – практикумпо теме «Квадратные уравнения»                   28
2.3. Обобщающий урокпо теме «Квадратные уравнения» в форме  игры «Звездный час»                                                                                            32
Заключение                                                                                                            37
Список литературы                                                                                               38
Приложение                                                                                                           39

Введение
Сухие строки уравнений –
В них сила разума влилась.
В них объяснение явлений,
Вещей разгаданная связь.
Л.М.Фридман[10,268].
Уравнения в школьном курсе алгебрызанимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любуюдругую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она нетолько имеет теоретическое значение для познания  естественных законов, но ислужит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственныхформах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различныхвидов уравнений. Овладевая способами их решения, люди  находят ответы наразличные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство,промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнениябольшое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решенияуравнений. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы какэффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширениятеоретических знаний, для развития творческой математической деятельностиучащихся.[10,241].
Автором данной работы выбрана тема«Формирование умения решения  квадратных уравнений в 8 классе», так как онаактуальна в современном мире; это объясняется тем, что уравнения широкоиспользуются в различных разделах математики, в решении важных прикладныхзадач.
Для этой темы характерна большаяглубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении,логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительноеположение в линии уравнений. К изучению темы «Квадратные уравнения» учащиесяприступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасомалгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. Взначительной мере именно на материале данной темы осуществляется синтез материала,относящегося к уравнениям.
Исходя из вышесказанного, автор,выбирая тему курсовой работы, руководствовался ее значимостью и сложностью приобучении учащихся решению квадратных уравнений разного вида.
Цель работы: формирование  представленийо работе над квадратными уравнениями на уроках математики. Исходя из даннойцели, были поставлены следующие задачи:
· изучитьнаучно-методическую литературу, касающуюся  изучению уравнений;
· проанализироватьшкольные учебники и выделить в них место уравнений.
· разработать урокипо данной теме.
Для решения вышеуказанных задач былиизучены следующие литературные источники:
1) Алгебра: Учеб. для 8 кл.общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. – 2-е изд. –М.: Просвещение, 2003. – 287 с.
2) Алгебра: Учеб. для 8 кл.общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 10-еизд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.
3) Мордкович А.Г… Алгебра: учеб. для 8 кл.общеобразоват.  учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.
4) Бекаревич А.Б. Уравнения вшкольном курсе математики. – М.,   2000. – 241с.
5) Глейзер Г.И. История математики вшколе VII – VIII классы. – М., 1982.
6) Колягин Ю.М. Методика преподаванияматематике в средней школе. Частные методики. – М.: Просвещение, 2002.
7) Маркушевич Л.А. Уравнения  инеравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы //Математика в школе. –  2001. — №1. – с.15
8) Методика и технология обученияматематике. Курс лекций:  пособие для вузов / под ред. Н.Л.Стефановой, Н.С.Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
9) Мишин В.И. Методика преподаванияматематики в средней    школе. – М.,1999.- 398с.
10) Оганесян В.А.  Методика преподавания математики всредней школе. – М.: Просвещение, 2003. – 368 с.
Проанализировав некоторые источники,можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современнойметодической литературе.
Объект исследования работы: процессобучения математике.
Предмет: формирование умения решенияквадратных уравнений у учащихся 8-го класса.
Контингент: учащиеся 8-го класса.

Глава 1.Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе
 
1.1. Из историивозникновения квадратных уравнений
 
Алгебра возникла в связи с решениемразнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти однуили несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомымии данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системынескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действийнад данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий надвеличинами.
Некоторые алгебраические приемырешения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад вДревнем Вавилоне.
Квадратныеуравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения нетолько первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностьюрешать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и сземляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самойматематики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эрывавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в ихклинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полныеквадратные уравнения:
/>             />
Правило решения этих уравнений,изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однаконеизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти всенайденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями,изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом онибыли найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, вклинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методырешения квадратных уравнений.
В «Арифметике» Диофанта нетсистематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированныйряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составленияуравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант дляупрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 2. «Найти два числа, зная, чтоих сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом:из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы онибыли равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одноиз них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10- х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:
(10+x)(10—x)=96,
или же
100 —x2 = 96.
x2 — 4 = 0
Отсюда х = 2. Одно из искомых чиселравно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так какгреческая математика знала только положительные числа.
Если решить эту задачу, выбирая вкачестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решениюуравнения:
y (20-y)=96
y2 — 20y+96=0
Ясно, что, выбирая в качественеизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удаетсясвести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
Квадратныеуравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнениявстречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый,Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений,приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх =с, а> 0.                  (1)
В уравнении (1) коэффициенты, могутбыть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Индии были распространены публичныесоревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книгговорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своимзатмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях,предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались встихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийскогоматематика XII в. Бхаскары.
Задача 3.«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует отом, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 3 уравнение:
/>,
Бхаскара пишет под видом:
/>x2 — 64x = — 768
и, чтобы дополнить левую часть этогоуравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,
(х — 32)2 = 256,
х — 32= ±16,
x1 = 16, x2 =48.
Квадратныеуравнения у Аль-Хорезми
В алгебраическом трактате Аль-Хорезмидается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видовуравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равныкорням», т. е. ах2 = bх.
2) «Квадраты равнычислу», т. е. ах2 = с.
3) «Корни равнычислу», т. е. ах = с.
4) «Квадраты и числаравны корням», т. е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корниравны числу», т. е. ах2 + bх =с.
6) «Корни и числаравны квадратам», т. е. bх + с== ах2.
Для Аль-Хорезми, избегавшегоупотребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, ане вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которыхнет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений,пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадаетполностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следуетотметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первоговида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевогорешения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеетзначения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частныхчисловых примерах излагает правила решения, а затем их геометрическиедоказательства.
Приведем пример.
Задача 4. «Квадрат и число 21 равны10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 =10х).
Решение: раздели пополам числокорней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будетискомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат Аль-Хорезми является первой,дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификацияквадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]
Квадратные уравнения в Европе XII-XVIIв.
Формы решения квадратных уравнений пообразцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написаннойв 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработалсамостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый вЕвропе подошел к введению отрицательных чисел.
Эта книга способствовалараспространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии,Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почтиво все европейские учебники  XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратныхуравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = спри всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c,  было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратногоуравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал толькоположительные корни. Итальянские математики          Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательныекорни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта,Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимаетсовременный вид.[5,12].
Истоки алгебраических методов решенияпрактических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из историиматематики, значительная часть задач математического характера, решаемыхегипетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н.э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникализадачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвеннымиусловиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравненияили системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялисьарифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраическихпредставлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи,сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второйстепени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшемосновой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже вдругую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившимихарактерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартномувиду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения вдругую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итогедлительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв,введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVIIвв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом,методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие,вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширенииобласти приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделовматематики.
Итак, ввиду важности и обширности материала,связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математикисвязано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.
1.2. Основные направления изучения линийуравнений в школьном курсе алгебры
Уравнение как общематематическоепонятие многоаспектно. Можно выделить главные области возникновения ифункционирования понятия «уравнение» как:
·  средства решениятекстовых задач;
· особого родаформулы, служащей в алгебре объектом изучения;
· формулы, которойкосвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства),служащие его решением.[12,268]
Каждое из этих представленийоказалось в том или ином отношении полезным.
Названным областям относятся триосновных направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры.
1. Прикладная направленность линииуравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического методарешения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике,поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время, ведущее положениев приложениях математики занимает математическое моделирование (Математическоемоделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторойформальной системы, которая отображает через совокупность математическихопераций над величинами определенную гипотезу о структуре или воспитания).Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, ихсистем определяется тем, что они являются основной частью математическихсредств, используемых в математическом моделировании. [14,246].
2. Теоретико-математическаянаправленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах:
· выделение иизучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;
·  изучение обобщенныхпонятий, относящихся ко всей линии в целом.
Оба эти аспекта необходимы в курсешкольной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими иодновременно наиболее важными математическими моделями. Использованиеобобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии вцелом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемахрешения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В своюочередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия:неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые такжедолжны быть раскрыты в линии уравнений.
3. Направленность на установлениесвязей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовойлинией, причем эта связь — двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессеустановления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширениячисловой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре иначалах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают всвязи с решением каких-либо уравнений.
Например, введение арифметическогоквадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не толькоуравнений вида х2 = b, гдеb—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений срациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.[9,341]
Линия уравнений тесно связана также ис функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов,разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиямна нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутковзнакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказываетсущественное влияние как на содержание линии уравнений, так и на стиль ееизучения. В частности, функциональные представления служат основой привлеченияграфической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.[12,269]
Изучение и использованиепреобразований уравнений и их систем, с одной стороны, предполагают достаточновысокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения иприменения таких преобразований имеются широкие возможности для формированиялогической культуры.
Таким образом, владение содержаниемлинии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так,умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, вчислителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен. В итоге изученияматериала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применениемалгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научитьсяиспользовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда этонеобходимо.
1.3.Методика изучения квадратных уравнений
С началом изучения систематическогокурса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратныхуравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темыхарактерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощьюсвязей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимаетисключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темыучащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большимзапасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.
Умение решать квадратные уравненияслужит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных,иррациональных, высших степеней).
Для того чтобы решить любоеквадратное уравнение, учащиеся должны знать:
· формулунахождения дискриминанта;
· формулунахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решенияуравнений данного вида.
уметь:
· решать неполныеквадратные уравнения;
· решать полныеквадратные уравнения;
· решать приведенныеквадратные уравнения;
· находить ошибки врешенных уравнениях и исправлять их;
· делать проверку.
Решение каждого уравненияскладывается из двух основных частей:
· преобразованияданного уравнения к простейшим;
· решения уравненийпо известным правилам, формулам или алгоритмам.
При изучении темы «Квадратныеуравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения.Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебникиразных авторов, таких как А.Г.Мордкович, С.М.Никольский, Ю.Н.Макарычев,М.И.Башмаков.

Анализ учебниковА.Г.        Мордкович С.М.      Никольский                 Ю.Н.    Макарычев М.И.     Башмаков
1.
-
/>

2.Неполные квадратные уравнения
1.
-
2.Неполные квадратные уравнения
1.
-
2.Неполные квадратные уравнения
1.Историческая справка
2.Неполные квадратные уравнения 3.Полные квадратные уравнения 3.Полные квадратные уравнения 3.Полные квадратные уравнения 3.Полные квадратные уравнения 4.Приведенные квадратные уравнения 4.Приведенные квадратные уравнения 4.Приведенные квадратные уравнения 4.Приведенные квадратные уравнения 5.Теорема Виета 5.Теорема Виета 6.Теорема, обратная теореме Виета 6.Теорема обратная теореме  Виета
Исходя из таблицы можно сделать выводо том, что в учебниках алгебры разных авторов есть сходства и различия. Во всехсовременных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратныхуравнений одинакова. В учебнике под ред. М.И.Башмакова дается историческаясправка, а в других учебниках этого нет. В учебниках алгебры С.М.Никольского иЮ.Н.Макарычева при изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются прямаяи обратная теорема Виета.
Обучение решению уравнений начинаетсяс простейших их видов, и программа [4,131]  обусловливает постепенное накоплениекак их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, спомощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этомнаправлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решенияуравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиесясталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучениемуже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную системузнаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.
Обобщение способов деятельностиучащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделитьследующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:
I этап – «Решение неполных квадратныхуравнений».
II этап – «Решение полных квадратныхуравнений».
III этап – «Решение приведенныхквадратных уравнений».
На первом этапе рассматриваютсянеполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решатьнеполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с =0, где  с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0.  Рассмотрим решениенесколько таких уравнений:
1. Если  ах2 = 0.Уравнения такого вида решаются по алгоритму:
1) найти х2;
2) найти х.
 Например,  5х2 = 0.Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.
2. Если ах2 + с = 0,  с≠0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:
1) перенести слагаемые в правуючасть;
2) найти все числа, квадраты которыхравны числу с.
Например, х2 — 5 = 0, Этоуравнение равносильно уравнению х2  = 5. Следовательно, надо найтивсе числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два /> и — />.  Таким образом, уравнение  х2 — 5 = 0 имеет двакорня: x1 =/> ,       x2 = — />  и других корней не имеет.
3. Если  ах2 + bх = 0, b ≠ 0.  Уравнения такого вида решаются по алгоритму:
1) перенести общий множитель заскобки;
2) найти x1, x2.
Например, х2 — 3х = 0.Перепишем уравнение  х2 – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Этоуравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0,  x2 = 3. Других корней оно неимеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3,то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.
Итак, данные примеры показывают, какрешаются неполные квадратные уравнения:
1) если уравнение имеет вид  ах2 = 0, то оно имеетодин корень х = 0;
2) если уравнение имеет вид ах2+ bх = 0, то используется методразложения на множители: х (ах +b) =0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0.В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = — />;
3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то егопреобразуют к виду ах2 = — с и далее х2.=- /> Вслучае, когда  — />не имееткорней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). Вслучае, когда — /> > 0, т.е. — /> = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня
/> = />, /> = -/>, (в этом случае допускается болеекороткая запись />= />.
Таким образом, неполное квадратноеуравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.
На втором этапе осуществляетсяпереход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа, а ≠ 0, х –неизвестное.
Любое полное квадратное уравнениеможно преобразовать к виду /> , для того, чтобыопределять  число корней квадратного уравнения и находить эти корни.Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D 0.
1. Если D
Например, 2х2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.
D = b2 – 4ас = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = — 40.
Так как D
2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один корень, которыйнаходится по формуле />.
Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение:а = 4, b = — 20, с = 25.
D = b2 – 4ас = (-20)2 – 4*4*25 =400 – 400 = 0.
Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот кореньнаходится по формуле />. Значит, /> 
3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которыенаходятся по формулам:/>; />                         (1)
Например, 3х2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 – 4ас = 82  – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.
Так как  D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Этикорни находятся по формулам:
/>.
Составляется алгоритм решенияуравнения вида ах2 + bx + c = 0.
1. Вычислитьдискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.
2. Если D
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находитсяпо формуле />
4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: /> ; />.
Это алгоритм универсален, он применимкак к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполныеквадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.
Математики – люди практичные,экономные, поэтому пользуются формулой: />.  (2)
Итак, можно сделать вывод, чтоквадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное вышеправило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее  помощью делать необходимыевыводы. [1,98].
На третьем этапе рассматриваютсяприведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0(3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 – 4q.Рассматривают 3 случая:
1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые поформуле />. (4)
2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, какгорят, два совпадающих корня:/>
3. D , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корнейприведенного квадратного уравнения (4) записывают так:/>
Отсюда следует, что:
1) если  /> то уравнение(3) имеет два  корня;
2) если /> то уравнениеимеет два совпадающих корня;
3) если /> то уравнениене имеет корней.
Важным моментом в изучении квадратныхуравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличиезависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.
Теорема Виета. Сумма корнейприведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому спротивоположным знаком, а произведение  корней равно свободному члену.
Иначе говоря, если  x1  и x2 — корни уравнения х2 +px + q = 0,то
/> 
                                           x1  +  x2  = -  p,
                                           x1 x2 = q.                         (5)
Данные формулы называют формуламиВиета в честь французского математика Ф.Виета (1540-1603), который ввел системуалгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был однимиз первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теориюуравнений.
Например, приведенное уравнение х2 — 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведениеравно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому спротивоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Справедлива также теорема, обратнаятеореме Виета.
Теорема, обратная теореме Виета. Еслидля чисел x1, x2,  p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 — корни уравнения  х2 +px + q = 0 [2,49].
Теорема Виета и теорема, обратная ей,часто применяются при решении различных задач.
Например. Напишем приведенноеквадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.
По формулам Виета
– p =  x1 +  x2  = — 2,
q  =  x1 x2  = -3.
Следовательно, искомое уравнениеимеет вид х2 + 2х – 3 = 0.
Сложность освоения теоремы Виетасвязана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитыватьразличие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратноеуравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнениепоявляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновываясвои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.
Например, при нахождении корнейквадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а нена прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремыВиета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этомслучае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашенияпроявляется при разложении квадратного трехчлена на множители
Таким образом, неполные и приведенныеквадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темынеобходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. В целомможно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся накачественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Глава 2.Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений
 
2.1. Урок– лекция по теме «Формула корней квадратного уравнения с четным  вторымкоэффициентом»
 
Цели:
· научить детейрешать квадратные уравнения по новой формуле;
· повторить ранееизученный материал по теме «Квадратные уравнения»;
· развиватьвычислительные навыки детей, внимание, память, математическую речь;
· воспитыватьаккуратность, умение аргументировать свою точку зрения.
Оборудование: карточки с формулами.
Ход урока
1. Домашнее задание.
— Откройте дневники, запишитедомашнее задание: учить формулы, вывод этих формул.
2. Устные упражнения.
— В начале урока повторимтеоретический материал по теме: «Квадратные уравнения».
2.1.Фронтальный опрос.
1. Что называют квадратнымуравнением? (Квадратным уравнением называют уравнение вида вид ах2  + bx + c = 0,где а, b, c – любые действительные числа, причем а ≠ 0).
2. В уравнении 2х +4х2 +1= 0 (на доске).
— Назовите: — старший коэффициент(4);
— второй коэффициент (2)
— свободный член (1).
3. Какое уравнение называютприведенным квадратным уравнением? Пример. (Квадратным уравнение называют приведенным,если старший коэффициент равен 1. Пример: х2 + 3х + 4 = 0).
4. Какое уравнение называют полнымквадратным уравнением? (Полным квадратным уравнением называют уравнение, вкотором присутствуют все три слагаемых, т.е. уравнение, где b, c ≠ 0).
5. Какое уравнение называется полнымквадратным уравнением? (Неполное квадратное уравнение – это уравнение, вкотором присутствуют не все три слагаемых).
6. Что называют корнем квадратногоуравнения? (Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х,при котором квадратный трехчлен ах2 + bx + c = 0 обращается в нуль; такое значение переменной х называюткорнем квадратного трехчлена).
7. Что значит решить квадратноеравнение? (Значит, найти все его корни или установить, что корней нет).
3. Сообщение темы и цели урока.
— Сейчас мы познакомимся еще с однойформулу, по которой можно найти корни квадратного уравнения.
— Будем учиться применять ее прирешении квадратных уравнений.

4. Работапо теме урока.
 
4.1.Историческая справка.
 
— Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч летназад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решатьквадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитиематематики, был французский математик Виет. Формы решения квадратных уравненийпо образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака»,написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Авторразработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задачи первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел
4.2.Объяснение нового материала.
— Записываем в тетрадях для лекцийсегодняшнее число и тему нашего урока: «Формула корней квадратного уравнения счетным вторым коэффициентом».
— Все внимательно слушаем, в тетрадьпока ничего не пишем.
Слова учителя                                           Записина доске
1. Пусть дано квадратное уравнение ах2  + bx  + c = 0
ах2  + bx  + c = 0, со вторым четным  b = 2n. коэффициентом, т.е. b = 2n.
— Тогда уравнение можно записать ах2  + 2nx  + c = 0 в виде:
— Найдем дискриминант (вместо b D = (2n)2 – 4ас =  пишем 2n).
— Что получили?
— Что я могу сделать с этимвыражением?  = 4n2 – 4ас =
(раскрыть скобки)
— Что получиться?
— А дальше можно 4 – вынести заскобки.  = 4(n2 – ас)
— Выражение в скобках обозначимчерез   n2 – ас = D1
D.
— Запишите в тетрадь мои записи сдоски.
2. – От чего зависит количествокорней в       D = 4(n2 – ас) = 4D1
квадратном уравнении? (от значения D).
— От чего зависит значение D? (от значения D1)
— Пусть D > 0, тогда D1  >0 и D = 4D1> 0 D1  >0
/>
— Чему равно D? (4D1)  />
— Что можно сделать дальше? (вынесем />  2 из-подзнака корня).
— Еще что можем сделать? (вынести /> общий множительза скобки и сократить)
— Кто может записать, чему равно x2./>
Микрообобщение: таким образом, если
/>
— Запишите в тетрадь, как мы нашли х1и х2 .
3. Если D1 = 0, то D = 0.D1 = 0 
— Сколько корней имеет квадратноеуравнение? (один корень).
— По какой формуле его можно найти? />
— т.к. b = 2n,подставим вместо b → 2n. />
Таким образом, если D1= 0, то />
/> — Запишите в тетрадь!
4. Если D1
— Что известно о корнях? (корней нет)        корнейнет
5. Рассмотрим эту формулу для х2  + 2nx  + c = 0 приведенного квадратногоуравнения. 
— Какую формулу корней квадратного /> уравнения мы получим? />
а = 1.
— Запишите!
— Внимательно посмотрите, какие естьвопросы?
4.3. Итог:мы познакомились с новой формулой, которая в некоторых случаях облегчает намрасчеты.
 
4.4.Закрепление нового материала.
а) Решаем вместе, один ученик удоски: х2 – 2,4х +1 = 0
b = 2,4; n = — 1,2
D1 = n2 – ас
D1= 1,44 – 1 = 0,44
/>
/>
/>
/>
Ответ: />
б) х2 + 6х + 8 = 0/>
b = 6,  n = 3
D1 = n2 – ас
D1 = 32 – 1*8 = 9 – 8 = 1
/>
/>
/>=-4
/>
/>
Ответ: x1 = — 4, x2= — 2.
в) 3х 2 – 3х + 4 = 0(самостоятельно)
— Корни этого уравнения можно найтипо новой формуле? (нет, т.к. b –число нечетное).
— Решаем уравнение по известной вамуже формуле.
3х 2 – 3х + 4 = 0
D = 9 – 4 * 3 * 4 = 9 – 48 = — 39
D решений нет.
5. Итог урока.
-Что нового узнали сегодня на уроке?
2.2. Урок– практикум по теме «Решение квадратных уравнений» [16,22]
Цели урока:
· отработка общихумений и навыков при решении квадратных уравнений;
· развитиевнимания, навыков самоконтроля и самооценки.
Оборудование: карточки длясамостоятельной работы.
Ход урока:
1.Организационный момент (1 мин)
Сообщение темы и цели – повторим, то,что необходимо знать при решении квадратных уравнений; проверим свои умениярешать квадратные уравнения в самостоятельной работе.
2. Разминка (6 мин)
2.1. Игра «Заполни квадрат».(Упражнение на развитие памяти и внимания). За 10 секунд запомнить, чтозаписано в клетках квадрата, и записать в свой квадрат.А Р У Е Н В Е И Н
Зашифровано слово «УРАВНЕНИЕ»
1.2. Историческая справка. Простыеуравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте,Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним изтех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математикВиет. Имя этого математика нам скоро встретится.
1.3. Повторяем теоретические вопросы(у доски один человек). Записан ход решения квадратного уравнения; ученикрассказывает, остальные записывают алгоритм.
3. Повторение (фронтальный опрос 6мин)
3.1. Вычислите:
а) -4*1*(-4), -4*2*5, -5*6*4;
б) (-10)2, 32, (-7)2
Это нужно уметь при нахождениидискриминанта D.
в) У доски два ученика; правилосложения чисел с разными знаками, правило сложения отрицательных чисел:
г) />,/>,/>,/>. (при нахождении корней).
3.2. Игра «Срочная радиограмма».Класс делится на две команды: девочки – мальчики. В двух конвертах – отдельныеслова. Задача: составить одно математическое предложение из имеющихся слов.Трудность состоит в том, что одного слова не хватает.
«Если ДИСКРИМИНАНТ больше нуля, тоуравнение имеет два различных корня»;
«Если квадратное уравнение вСТАНДАРТНОМ виде, то можно находить дискриминант».
4. Тестовые вопросы (5 мин)
На доске 8 квадратных уравнений. Этизадания на слух, повторяются только два раза. Залог успеха – огромное внимание.
1. 2х2 – 8х +4 = 0;  5. 5х2+ 6х = 0;
2. 3х2 + 4х — 1 = 0;  6. х2 – 8х + 12 = 0;
3. 4х2 – 8 = 0;  7. 3х2 = 0;
4. х2 – 10х + 100 = 0;  8. 14 – 2х2 + х = 0
а) Выпишите номера полных квадратовуравнений
б) Выпишите коэффициенты а, b, c в уравнении 8.
в)  Выпишите номер неполногоквадратного уравнения, имеющего один корень.
г) Выпишите коэффициенты a, b, c в уравнении 5.
д) Найдите дискриминант в уравнении6.
е) Найдите дискриминант в уравнении 4и сделайте вывод о количестве корней.
Проверяем,  оцениваем себя сами:
нет ошибок – «5»
1 – 2 ошибки – «4»
3 – 4 ошибки – «3»
5. Игра « Следствие ведут знатоки » (10 мин )
Прежде чем доверить расследованиесерьезного дела, необходимо пройти проверку.
а) Сможете ли вы отыскать ошибку врешении уравнения?
/> — х2 + 6х + 16 = 0,  
х2 – 6х – 16 = 0,
a = 1, b = — 6, c = — 16.
D = b2 – 4ac = (- 6)2 – 4 * 1 * ( — 16) = 36 +64 = 100
Ошибку ищем по этапам, с самогоначала.
б) Самым трудным и важным деломкаждого ученика является выполнение домашнего задания. Если домашнее заданиевыполнено правильно, то на уроке вы чувствуете себя гораздо увереннее. Домашнеезадание спрятано в кабине, предлагается его найти. Будем действовать, какнастоящие знатоки: четко и слаженно. У нас две бригады следователей. Я даю вамнебольшую зацепку в деле. Бригада, которая будет действовать дружно, первойсправится заданием:
Если вы, верно решите квадратноеуравнение
х2 – 7х +  10 = 0,
то х укажет номер ряда, а х – номерпарты, где находится домашнее задание.
[5;2]
в) Записываем найденное задание:
2х 2+ 7х – 74 = 0.
Вычислите дискриминант. Это и естьномер задания в учебнике. В этом задании восемь уравнений. Можно решить любоеколичество.
6.Самостоятельная работа (12 мин)
Выполнив самостоятельную работу, выузнаете, можете ли решать квадратные уравнения без ошибок.
Первые два уравнения можно проверить(решения на оборотной стороне доски). Третье уравнение, если будет время,проверьте сами по определению корня.
1. х2 + 2х – 25 = 0.
2. 9х2 – 6х + 1 = 0.
3. 3х2 + 8х – 3 = 0.
         7. Подведение итогов урока.
2.3.Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения» в форме игры «Звездный час»[13,14]
Цели урока:
· закрепитьпрактические и теоретические знания и умения учащихся при выполнении заданий потеме «Квадратные уравнения»;
· развиватьсамостоятельность, активность, внимание;
· воспитыватьинтерес к предмету.
Оборудование: звездочки, таблицы сцифрами.
Ход урока:
1.Организациякласса
а)Приветствие
б)Проверка готовности рабочих мест
2.Сообщение темы и цели урока
-Сегодня унас особенный урок, мы проведем с вами «Звездный час» по теме «Квадратныеуравнения», тем самым еще раз проверим свои знания и умения.
3.Закрепление материала
3.1.Знакомство с правилами игры.
— Итак,представим, что мы с вами в студии. Вы игроки, а я ведущая. У вас у каждого напартах лежат таблички с цифрами от 1 до 5.1 2 3 4 5 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
— Итак,послушайте условия игры.
— Я будузадавать всем вопросы, а соответственно поднимать табличку с тем номером,который соответствует правильному ответу. А так же у каждого из вас лежат напартах листочки. За каждый правильный ответ, когда я вам скажу, вы будете нанем чертить звездочку. А в конце игры мы их подсчитаем и оценим работу каждогоиз вас.
3.2.Проведение игры.
— Итак,начинаем игру. Сейчас мы будем работать с вами по 1 таблице
Таблица №11 2 3 4 5
/>
/>
/>
/>
/>
-Итак,сверху вы видите номера ответов, а под ними соответствующие ответы. Я задаювопрос, вы 5 секунд, думаете и поднимаете таблички с правильными ответами.
1. Какой вид имеет квадратноеуравнение.
2. Назовите формулы корнейквадратного уравнения.
3. Назовите неполное квадратноеуравнение.
4. Назовите, чему равен дискриминантквадратного уравнения.
-Хорошо сэтим заданием вы справились хорошо, почти все учащиеся поднимали таблички справильными ответами. А кто ошибался, он еще раз увидел правильные формулы инадеюсь, так же доучит материал.
-А теперьмы все переходим во второй тур. Во втором туре мы выясним знание правил поданной теме. Работать будем со второй таблицей.
Таблица №21 2 3 4 5 Теорема обратная теореме Виета Квадратное уравнение Теорема Виета Неполное квадратное уравнение Приводимое квадратное уравнение
-Я будуговорить вам правило, а вы поднимайте соответствующую карточку.
1) Сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположнымзнаком, а произведение корней равно свободному члену.
-Верно,следующий вопрос, слушайте и поднимайте таблички.
1) Если в квадратном уравнении /> хотя бы одиниз коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется….
-Верно,приведите пример квадратного уравнения.
2) Уравнение вида />, где х переменная, а,в, с – некоторые числа, причем а ¹ 0 называется….
-Верно,приведите пример квадратного уравнения
Следующийвопрос
3) Если числа м и nтаковы, что их сумма равна р, а произведение q, то эти числаявляются корнями уравнения вида />
-Верно,скажите, сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида.
-Верно.
4) Как называются полные квадратныеуравнения, у которых все три коэффициента отличны от нуля и в которых первыйкоэффициент равен 1.
-Хорошо ис этим заданием вы справились.
4.Самостоятельная работа. (Третий тур).
-Вам вэтом туре необходимо выполнить следующие задания. На доске выписаны квадратныеуравнения.
1. х2 – 15х – 16 = 0.
2. х2 – 9х + 20 = 0.
3. 2х2 + 2х – 112 = 0.
4. х2 – 6х + 8 = 0.
-Высамостоятельно решаете эти уравнения в тетради, а потом мы проверим.
-Итак, ябуду называть вам уравнения, а вы поднимайте карточку, соответствующуюправильному ответу.
-Хорошодавайте проверим.
-Поднимитекарточку, соответствующую правильному ответу для уравнения 2х2 + 2х– 112 = 0.
-А теперьсоставьте три неполных квадратных уравнения и решите их.
-Давайтепосмотрим, какие уравнения вы составили
5.Подведение итогов
-Итак, воти подходит к концу наша игра. В ходе игры мы повторили теоретический ипрактический материал, и теперь мы можем подвести урок игры. Подсчитайте своизвездочки
-Ктонабрал от 20 до 25 звезд получают «5»
-Ктонабрал от 20 до 15 звезд получают «4»
-Ктонабрал 15 звезд и меньше получают «3»

Заключение
Автором была выполнена курсоваяработа по теме «Формирование умения решения квадратных уравнений в 8-омклассе». При выполнении данной работы понадобились не только те знания, которыеимеются у самого автора, но и необходимая работа с дополнительной литературой,составление конспектов уроков.
Благодаря выполнению этой работыможно сказать, что материал, связанный с уравнениями, составляет значительнуючасть школьного курса математики. На изучение темы «Квадратные уравнения» попрограмме дается всего 22 ч. Их изучение в современной методике математикисвязано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:прикладная направленность, теоретико-математическая направленность инаправленность на установление связей с остальным содержанием курса математики.
Для этой темы характерна большаяглубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении,логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительноеположение в линии уравнений и неравенств. К изучению темы «Квадратныеуравнения» учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владеядостаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений,понятий, умений. владениесодержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований.Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращениедробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен. Витоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладетьприменением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но инаучиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях,когда это необходимо.

Списоклитературы
 
1) Алгебра: Учеб. для 8 кл.общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. – 2-е изд. –М.: Просвещение, 2003. – 287 с.
2) Алгебра: Учеб. для 8 кл.общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 10-еизд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.
3) Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.
4) Бекаревич А.Б. Уравнения вшкольном курсе математики. – М., 1968.– 196 с.
5) Бурмистрова Т.А. Программыобщеобразовательных учреждений // Математика.- М.: Просвещение,1994.
6) Глейзер Г.И. История математики вшколе VII – VIII классы. – М., 1982.
7) Колягин Ю.М. Методика преподаванияматематике в средней школе. Частные методики. – М.: Просвещение, 1977.
8) Лягущенко Е.И. Методика обучения математике в 5 кл. –Минск, 1976.
9) Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С.Уравнения  и неравенства в заключительном повторении курса алгебры среднейшколы // Математика в школе. – 1994. — №1. – с.
10) Методика и технология обученияматематике. Курс лекций:  пособие для вузов / под ред. Н.Л.Стефановой, Н.С.Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
11) Мишин В.И. Методика преподаванияматематики в средней    школе. – М.,1990.
12) Оганесян В.А.  Методика преподавания математики всредней школе. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.
13) Панкратова Л. Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения»в форме  игры «Звездный час» // Математика.-2002.-№21.
14) Сабинина Л.В. Методика в понятиях и терминах. Ч.1. –М.: Просвещение, 1978. – 320 с.
15) Столяр А.А.  Общая методикапреподавания математики. – М., 1985.
16) Шаталова С. Урок – практикум потеме «Квадратные уравнения».- 2004. -№42