ФУНКЦІЯ,ЇЇ ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1. Функція багатьох змінних.Означення та символіка
Нехай заданомножину /> упорядкованих пар чисел/>. Якщо кожній парі чисел />за певним закономвідповідає число z, то кажуть, що на множині /> визначенофункцію /> від двох змінних x і /> і записують/>.
Змінну /> називають залежною змінною(функцією), а змінні x та /> – незалежнимизмінними (аргументами).
Множину пар /> значень x та/>, для яких функція /> визначена, називаютьобластю визначення цієї функції і позначають /> або/>.
Множину значень /> позначають />або/>.
Оскільки кожнійупорядкованій парі чисел /> відповідаєв прямокутній системі координат /> єдинаточка /> площини, що те саме, точкадвовимірного простору/>, і, навпаки,кожній точці /> площини відповідає єдинаупорядкована пара чисел/>, то функцію/>, де/>, можна розглядати якфункцію точки /> і замість /> писати/>. Областю визначення /> функції у цьому випадку єдеяка множина точок площини/>.Зокрема, областю визначення функції може бути вся площина, або частина площини,обмежена певними лініями.
Значення функції /> в точці /> позначають /> або/>, або/>.
Лінію, що обмежуєобласть/>, називають межею областівизначення. Точки області, які не лежать на її межі, називаються внутрішніми.Область, яка містить одні внутрішні точки називається відкритою. Якщо ж дообласті визначення належать і всі точки межі, то така область називаєтьсязамкненою.
Функція двохзмінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами.Користуватимемося, як правило, аналітичним способом, коли функція задається задопомогою формули. Областю визначення такої функції вважається множина всіх тихточок площини, для яких задана формула має зміст.
Приклади
Знайти областьвизначення /> функції
а)/>;
б)/>.
Розв’язання
а) Область /> даної функції –множина тих точок />, для яких вираз />має зміст, тобтомножина точок, для яких />. Цеозначає, що функція визначена в точках, які знаходяться всередині кола /> і на його межі, оскількивсі точки, які знаходяться зовні кола задовольняють умову />.
б) Областьвизначення /> цієї функції визначаєтьсяз нерівності/>, тобто/>.
Точки площини/>, координати якихзадовольняють цю нерівність, розташовані під прямою/>,причому точки, які розташовані на цій прямій не належать області/>.
Функцію двохзмінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні. Дійсно, нехайфункція /> визначена в області/>. Кожній точці /> відповідає певне значенняфункції/>.
Графіком функції /> у прямокутній системі /> називається геометричнемісце точок />, проекції яких /> належать області/>. Це геометричне місцеточок утворює в тривимірному просторі /> певнуповерхню (рис.1), проекцією якої на площину /> ємножина/>.
/>
Рисунок 1 –Поверхня у тривимірному просторі
Приклади
а) Графікомфункції />, як відомо з аналітичноїгеометрії, є параболоїд обертання.
б) Графікомфункції /> є гіперболічнийпараболоїд.
При побудовіграфіків функцій двох змінних часто стикаємося із значними труднощами. Взв’язку з цим для зображення функції двох змінних користуються методомперерізів, який полягає у тому, що поверхню />перетинаютьплощинами /> та /> і за графіками кривих /> та/>визначають графікфункції/>.
Можна фіксуватинеx чи/>, а саму функцію/>, тобто перетинати дануповерхню площинами />, де c – довільнечисло, взяте з множини/> значеньданої функції. Таким чином отримаємо криву/>,яку називають
лінією рівня функції. Інакше кажучи, лінія рівня на площині/> – це проекція кривої,яка утворюється при перетині поверхні /> площиною/>. Якщо побудувати лініїрівня для різних значень c, можна отримати уявлення про графік функції двохзмінних.
Приклад
Знайти лініїрівня функції />.
Розв’язання
Лініями рівняданої функції є кола з радіусом /> (рис.2). Зокрема, якщо/>, то отримуємоколо />.
/>
Рисунок 2 – Лініїрівня функції />
Поняття функціїдвох змінних узагальнимо на випадок трьох і більшого числа незалежних змінних.
Нехай/>– деяка множинаупорядкованих трійок />дійсних чисел,тобто точок/>тривимірногопростору/>.
Якщо кожній точці/> за певним закономвідповідає єдине число/>, то кажуть, щона множині/> визначенофункціюu від трьох змінних/> і/> та записують /> або />.
При цьому змінна /> називається залежноюзмінною (функцією), />– незалежнимизмінними (аргументами), множина /> –областю визначення функції.
Областьвизначення функції трьох змінних можна геометрично зобразити у вигляді деякоїчастини тривимірного простору.
Поверхнею рівняфункції/> називають множину всіхточок />, для яких задана функціянабуває одне й те саме значення/>: />.
Приклади
Областювизначення функції
/>
є куля радіуса /> з центром у початкукоординат. Це замкнена область, оскільки їй належать точки сфери/> – межі області.
2. Поверхні рівняфункції/> визначаються рівнянням/>,
· Якщо />,то отримуємо/> – конус;
· якщо/>, то/> – сім’яоднопорожнинних гіперболоїдів;
· якщо/>, то /> – сім’ядвопорожнинних гіперболоїдів.
Лінії та поверхнірівня досить часто зустрічаються на практиці. Зокрема, ізотерми та ізобари єважливими даними для прогнозу погоди.
Якщо число nнезалежних змінних більше трьох, то їх часто позначають однією буквою, але зрізними індексами: />.
Функцію u від цихнезалежних змінних можна визначити так. Нехай задано множину/> упорядкованих систем />з n чисел /> або, що те саме, множинуточок /> n– вимірного простору />.
Якщо кожній точці/>за певним закономвідповідає єдине число u, то кажуть, що на множині/> визначено функцію uвід n змінних: />і записують
/>або/>,/>.
Надалірозглядатимемо функції двох змінних, оскільки результати для функцій двохзмінних легко за аналогією узагальнити на випадок більшого числа змінних.2. Границя функції багатьох змінних
функціяформула неперервність змінна
Введемо поняття/> – околу заданої точки />і поняття збіжної послідовностіточок площини.
Множина всіхточок/>, координати якихзадовольняють нерівність
/>,
де /> – відстань від точки /> до/>, називається />-околом точки />.
Розглянемопослідовність точок/>, />, …, />, яку позначимо символом />. Послідовність точок /> називається збіжноюдо точки />, якщо для довільного числа/> існує номер />такий, що при /> виконуєтьсянерівність/>. При цьому точку /> називають границеюпослідовності /> і записують так:
/>або /> при/>.
Якщо /> при/>, то, очевидно, />, /> при/>.
Тепер розглянемограницю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі функціїоднієї змінної. Нехай функція /> заданав деякій області /> і точка />або/>, але має таку властивість,що в довільному />-околі цієї точкиміститься хоча б одна точка множини/>, відміннавід/>. Число /> називається границеюфункції />в точці />, якщо для довільної,збіжної до /> послідовності точок />, відповідна послідовністьзначень функції />збігається дочисла/>. При цьому пишуть:
/>, або/>.
Наведенеозначення границі функції називають означенням за Гейне або означенням „на мовіпослідовностей”.
Дамо еквівалентнеозначення границі функції за Коші або означення „на мові/>”. Число /> називається границеюфункції />в точці />, якщо для кожного числа /> знайдеться число /> таке, що для всіх точок/>, які задовольняють умову/>, виконується нерівність/>.
Користуючисьозначенням границі функції двох змінних, можна перенести основні теореми програниці для функції однієї змінної на функції двох змінних. Наприклад,правильне таке твердження.
Теорема. Нехай функції /> і /> визначені на одній і тійсамій
множині /> і мають в точці /> границі /> і/>.
Тоді функції/>, мають в
точці /> границі,яківідповідно дорівнюють/>.
Функція /> називається нескінченномалою в точці /> (або при/>), якщо />.
Якщо функція /> має в точці /> границю, яка дорівнює/>, то
функція/> є нескінченно малою вточці />, тому що/>. Звідси випливає, щофункція />в околі точки /> відрізняєтьсявід границі /> на нескінченно малуфункцію.
Приклади
Знайти границі:
а) />
б) />
Розв’язання
а) Якщо/>, то />, тому
/>.
б) Умова /> еквівалентна умові />.
Оскільки />,
То
/>
і, отже,
/>
Означення границіфункції /> змінних при /> аналогічне означеннямграниці при /> , якщо в />-вимірному просторі ввеститаке поняття />-околу: />-околом точки /> називається множина всіх точок/>, координати якихзадовольняють нерівності
/>.
Зокрема, утривимірному просторі /> />-околом точки /> є множина всіх внутрішніхточок /> кулі з центром у точці /> радіуса/>.3. Неперервність функції багатьох змінних
Поняттянеперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою поняття границі.
Нехай функція /> визначена на множині/>, точка /> і довільний />-окіл точки /> містить точки множини/>.
Функція /> називається неперервною вточці />, якщо
/>.(1)
У випадку функціїдвох змінних рівність (1) означає, що коли точка/>,залишаючись в області визначення /> функції/>, наближається до точки/>, то відповідна апліката />поверхні, яка є графікомзаданої функції, прямує до аплікати/>.
Точки, в якихфункція неперервна, називаються точками неперервності, а точки, в якихнеперервність порушується – точками розриву цієї функції.
Приклад
Неперервністьфункції
/>
в довільній точці/>, крім точки/>, випливає із неперервностімногочлена, синуса, квадратного кореня і умови/>;неперервність /> в точці />(0;0) випливає із рівності
/>(п. 2).
Умові (1)неперервності можна надати іншого вигляду. Позначимо
/>, />,/>.
Величини/>, /> називають приростамиаргументів x і />, а/>– повним приростом функції /> в точці/>. З рівності (1) отримуємо:
/>
/>.(2)
Рівність (2) даєще одне означення неперервності.
Функція /> називається неперервною вточці />, якщо повний приріст її вцій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів x та />прямують до нуля.
Функція /> називається неперервною намножині />, якщо вона неперервна вкожній точці /> цієї множини.
Приклад
Функція /> неперервна на всій площині/>, оскільки повний прирістцієї функції в довільній точці /> маєвигляд
/>
/>.
Використовуючипоняття неперервності функції кількох змінних і відповідні теореми про границі,можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудоваскладеної функції з неперервних функцій приводять до неперервних функцій.
Наведемо основнівластивості функції/>, неперервної взамкненій і обмеженій області. Ці властивості аналогічні властивостямнеперервної на відрізку функції однієї змінної. Попередньо уточнимо ряд понятьдля множин точок площини.
Множина /> точок площини називаєтьсязв’язною, якщо будь-які її дві точки можна з’єднати неперервною лінією, якаповністю належить множині/>.
Точка />називається внутрішньоюточкою множини/>, якщо існує
/>-окіл цієї точки, якийповністю міститься у множині/>.
Множину /> називаютьвідкритою, якщо кожна її точка внутрішня.
Областю (абовідкритою областю) називають зв’язну відкриту множину точок.
Точку /> називають межовою точкоюмножини />, якщо будь-який її окілмістить як точки, що належать />, так іточки, що не належать множині />.Множину всіх межових точок області називають межею області.
Область разом зїї межею називається замкненою. Якщо існує круг скінченного радіуса, якийповністю містить область, то вона називається обмеженою.
Замкнена область,в якій визначена функція двох змінних, є аналогом відрізка для функції однієїзмінної.
Тепер сформулюємовластивості неперервних функцій двох змінних у замкненій обмеженій області.
1. Якщо функція /> неперервна взамкненій обмеженій області, то вона обмежена в цій області, тобто існує такечисло />, що для всіх точок областівиконується нерівність/>.
2. Якщо функція/> неперервна в замкненійобмеженій області, то в цій області існують точки, в яких функція набуваєнайбільшого і найменшого значень.
3. Якщо функція/>неперервна в замкненійобмеженій області /> і/>, де />, то існує точка /> в якій/>. Зокрема, якщо/>, а/>, то в області /> існує точка/>, в якій/>.