Формулы, возможнонеизвестные, для решений уравнения Пифагора
Выведены формулы (возможноранее неизвестные, в широко доступной литературе не встречаются) для решенийуравнения Пифагора x^2 + y^2 = z^2. Формулы отличаются от общеизвестных формул древнихиндусов и вавилонян. Формулы древних индусов:
x= a/>–b/>, y=2ab, z= a/>+ b/>, a > b.
Вывод других формул
Известно, что уравнение x/> + y/> = z/> (1)
имеет целые решения,например, общеизвестные тройки чисел Пифагора. Таких решений, доказал ещёЕвклид, имеется бесконечное множество. Тройку целых положительных чисел x,y,z не имеющих общих делителей, назовём оригинальным решениемуравнения (1). Далее оригинальные решения будут обозначаться большими буквами X,Y,Z. Пусть далее везде x yz.
Так как x, yи zчислацелые, то существуют целые положительные числа aиb, такие,что x = z – aиy= z – b, где b a, так как по условию x y. Тогда уравнение (1) запишется следующим образом: ( z— a)/>+ (z— b)/> = z/> (2).
После возведения встепень и группирования из (2) получится следующее уравнение:
z/>– 2 (a+ b) z+ ( a/>+ b/>) = 0 (3).
В результате решенияуравнения (3) относительно zполучим:
z = /> + a + b; x = /> + b; y = /> + a; (4).
Корень /> не может быть отрицательным врезультате решения уравнения (3), потому что по условию не может быть отрицательнымили равным нулю ни одно из чисел x,y.
Все три числа целогорешения содержат корень />, который определяет такие решения и должен бытьцелочисленным. Кроме того, для получения оригинальных решений числа aи bдолжны быть взаимно просты, т.е. не иметь общихделителей отличных от 1.
Число /> является целым в следующих случаях:
-случай 1: a=2c/>, b=d/>,/>=2cd; после подстановки значений a и bв(4) получим:
X=d(2c+d); Y=2c(c+d); Z=2c(c+d)+d/>; (5),
здесь a>b, a–чётное число,b–нечётное, следовательно, X,Z – нечётные, Y– чётное;
-случай 2: a=c/>, b=2d/>,/>=2cd; после подстановки значений a и bв(4) получим:
X=2d(c+d); Y=c(c+2d); Z=c(c+2d)+ 2d (6),
здесь a>b, a– нечётное число,b– чётное, следовательно, X – чётное, а Yи Z– нечётные;
примечание:в случаях 1 и 2 числа c и dцелые и взаимно простые, потому что таковыми являются a и b. Если определены и целы cи d, тоопределены и целы все числа X,Y,Z.
Следствия
Общие формулы (4/>6) для решений уравнения(1) доказывают бесконечность множества троек целых решений и могут бытьиспользованы для получения целых решений, не имеющих общих делителей. Приэтомдолжно всегда быть a>b, атакже aиb должны быть взаимно просты. Так как число bменьшее из последних двух, то удобнообозначать ряды решений по его значению, например, если b=1, то ряд решений P1 (Пифагор).
Ряд P1:b= d/>=1/>,a=2c/>, />=2c, гдеc=1,2,3,…
Подставляя dи cв (5) получим неограниченный ряд оригинальных целых решенийX, Y, Z:
X= 2c+1; Y= 2c(c+1); Z= 2c(c+1)+1.
Первые решения этого ряда:3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145;19,180,181; 21,220,221; 23,264,265; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; …
Ряд P2: b=2d/>=/>,a=c/>, />=2c, гдеc=3,5,7,…
Последовательность c начинается с 3, потому что a> b, и нечётна, чтобы не было общих делителей с b. После подстановки d=1 иcв(6):
X= 2(c+1); Y= c(c+2); Z= c(c+2)+2.
Первые решения этогоряда: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197;32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677;56,783,785;…
Ряд P8: b=2d/>=/>,a=c/>, />=4c, гдеc=3,5,7,…
X = 4(c+2); Y = c(c+4); Z= c(c+4)+8.
20,21,29;28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365;84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; …
РядP9: b= d/>=3/>, a=2c/>, />=6c. где c mod 3/>0,c=4,5,7,8,10,11,…
33,56,65; 39,80,89;51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617;111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205; и т.д.
Диофант в своей«Арифметике» рассматривал особую группу троек целых решений уравнения (1), такназываемые «хромые» треугольники, катеты которых, т.е. Xи Y, отличаются на 1.
Для случая 1 условиесуществования таких решений: d/>= 2c/>– 1.
Ряд D1: 3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849;…
Для случая 2 условиесуществования таких решений: 2d/>= c/>– 1.
Ряд D2: 20,21,29; 696 ,697, 985; 23660, 23661,33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920,927538921, 1311738121;
31509019100, 31509019101,44560482149;
1070379110496,1070379110497, 1513744654945; …
Первый и наименьший такойтреугольник – 3,4,5, для которого c=d=1 (случай 1).С помощью простых формул, исходя изнего, могут быть вычислены сколько угодно много других «хромых» треугольников (m=1,2,3,…):
d/>= c/>+ d/>; c/>= 2d/> + 1; X,Y,Zрассчитываются по (6);
c/>= c/>+ d/>; d/>= 2c/> –1; X,Y,Zрассчитываются по (5).
Например, вычислить 1-йтреугольник ряда D2:
d/>= c/>+ d/> = 1 + 1 = 2; c/>= 2d/> + 1 = />+ 1 = 9; c/> = 3.
X = 2d(c+d ) = 2*2(3+2) = 20; Y = c(c+2d ) = 3(3+2*2 ) = 21;
Z= c(c+2d)+ 2d/>= 3(3+2*2)+2*2/>= 29.
Следующим является треугольник2 ряда D1:
c/>= c/>+ d/> = 3 + 2 = 5; d/>= 2c/> –1 = 2*25 – 1 = 49; d/> = 7.
X = d(2c+d)= 7(2*5+7) = 119; Y = 2c(c+d) = 2*5(5+7) = 120;
Z= 2c(c+d) + d/>= 2*5(5+7)+7/>= 169.
Формулы (4) могут бытьиспользованы для доказательства большой теоремы Ферма, методом бесконечногоспуска, для всех нечётных (в т.ч. всех простых > 2) значений показателя степениn.