Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп

Дипломна робота. Факторізації чотирьохмірних симплектичних груп

Зміст
1.Введення
2.Перелік умовних позначок
3. Основні поняття
4. Ізометрії
5. Проективніперетворення
6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп
7. Центри
8. Комутанти
9. Теореми про простоту
10. Основні результати
Висновок
Список використаних джерел
1.Введення
Кінцева група /> допускає факторізацію, якщо /> для деяких підгруп/> і /> групи />. При цьому виникаютьдві задачі: які факторізації допускає задана група /> і як будова співмножників /> і /> впливає на будовусамої групи />.Природно, що вивчення кінцевих груп, що володіють факторізацією, дає можливістьглибше зрозуміти будову кінцевої групи. Дана тематика вивчалася такими видними математикамияк Ф. Хол, С.А. Чунихин, Х. Виландт, Л.С. Казарін, Д.И. Зайцев, С.А. Сискин і ін.Ними був доведений ряд глибоких результатів у теорії кінцевих груп. Аналогічні задачівиникають і в інших розділах математики (наприклад, в алгебрах Чи).
Після завершення класифікації кінцевих простих неабелевихгруп актуальної стала задача одержання факторизаций конкретних простих неабелевихгруп і, зокрема, простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Дані питаннярозглядалися Н. Іто, що одержав всі факторізації лінійних груп лієвського рангу1 над кінцевим полем Галуа, а також С. Блаумом, що описали факторізації лінійнихі унітарних груп розмірності 3.
У дипломній роботі розглянуті факторізації чотирьохмірнихсимплектичних груп. Для таких груп знайдені всі максимальні факторізації.
2.Перелік умовних позначок
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими.Буквами /> позначаютьсяпрості числа.
Будемо розрізняти знак включення множин /> і знак строгоговключення />;
/> і /> - відповідно знаки перетинання й об'єднаннямножин;
/> - потужність множини />;
/> - порожня множина;
/> - множина всіх простих чисел;
/> - деяка множина простих чисел, тобто/>;
/> - доповнення до /> у множині всіх простих чисел;зокрема, />;
Нехай /> - група. Тоді:
/> - порядок групи />;
/> - порядок елемента /> групи />;
/> - одиничний елемент і одинична підгрупагрупи />;
/> - множина всіх простих дільників порядкугрупи />;
/> - множина всіх різних простих дільниківнатурального числа />;
/> - група — група />, для якої />;
/> - група — група />, для якої />;
/> - підгрупа Фратіні групи />, тобто перетинаннявсіх максимальних підгруп />;
/> - найбільша нормальна розв'язна підгрупагрупи />;
/> - найбільша нормальна />--підгрупа групи/>;
/> - найбільша нормальна />--підгрупа групи/>;
/> - />--холовська підгрупа групи />;
/> - силовська />--підгрупа групи />;
/> - доповнення до силовської />--підгрупи в групі/>, тобто />--холовська підгрупагрупи />;
/> - /> є підгрупою групи />;
/> - /> є власною підгрупою групи />;
/> - /> є максимальною підгрупою групи />;
/> - /> є нормальною підгрупою групи />;
/> - /> є мінімальною нормальною підгрупоюгрупи />;
/> - індекс підгрупи /> в групі />;
/>;
/> - централізатор підгрупи /> в групі />;
/> - нормалізатор підгрупи /> в групі />;
/> - центр групи />;
/> - циклічна група порядку />;
Якщо />, то />.
Якщо />, />, то />.
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов,позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартніпозначення:
/> - клас всіх груп;
/> - клас всіх розв'язних груп.3. Основні поняття
Групою називається непуста множина /> з бінарною алгебраїчноюоперацією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:
1) операція визначена на />, тобто /> для всіх />;
2) операція асоціативна, тобто /> для будь-яких />;
3) в /> існує одиничний елемент, тобто такийелемент />, що/> для всіх />, що /> для всіх />;
4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного/> існує такийелемент />, що/>.
Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елементволодіє зворотним, називається групою.
Групу з комутативною операцією називають комутативноюабо абелевої. Якщо /> - кінцева множина, що є групою, то/> називаютькінцевою групою, а число /> елементів в /> - порядком групи />.
Підмножина /> групи /> називається підгрупою, якщо /> - група щодо тієїж операції, що визначена на />. Запис /> означає, що /> - підгрупа групи />, а /> - що /> - власна підгрупагрупи />, тобто/> й />.
Теорема 1 Непуста підмножина /> групи /> буде підгрупою тоді й тільки тоді,коли /> й /> для всіх />.
Нехай /> - непуста підмножина групи />. Сукупність всіхелементів групи />, з кожним елементом множини />, називається централізатороммножини /> вгрупі /> й позначаєтьсячерез />.
Лема 2 1. Якщо /> - підмножина групи />, то централізатор /> є підгрупою.
2. Якщо /> й /> - підмножина групи /> й />, то />.
3. Якщо /> - підмножина групи /> й />, то />.
Центром групи /> називається сукупність всіх елементівз />, з кожнимелементом групи. Центр позначається через />. Ясно, що />, тобто центр групи /> збігається із централізаторомпідмножини /> вгрупі />. Крімтого, />.
Зафіксуємо в групі /> елемент />. Перетинання всіх підгруп групи />, що містять елемент/>, назвемо циклічноюпідгрупою, породженої елементом />, і позначимо через />.
Теорема 3 Циклічна підгрупа />, породжена елементом />, складається ізусіляких цілих ступенів елемента />, тобто />.
Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.
Нехай /> - елемент групи />. Якщо всі ступені елемента/> різні, тобто/> для всіх цілих/>, то говорять,що елемента /> маєнескінченний порядок.
Якщо /> - непуста підмножина групи /> й /> те /> й />. Елемент /> називається перестановочнимз підмножиною />, якщо />. Рівність /> означає, що для будь-якогоелемента /> існуєтакий елемент />, що />. Якщо елемент /> перестановочний з підмножиною/>, то /> й />. Сукупність всіхелементів групи />, перестановочних з підмножиною />, називається нормалізаторомпідмножини /> вгрупі /> й позначаєтьсячерез />. Отже,
/>
5. Нехай /> - непуста підмножина групи />, /> - довільний елементгрупи />. Тоді:
1) />;
2) />;
3) />;
4) />;
5) якщо /> - підгрупа групи />, те />.
Підгрупа /> називається нормальною підгрупою групи/>, якщо /> для всіх />. Запис /> читається:"/> — нормальнапідгрупа групи />". Рівність /> означає, що для будь-якогоелемента /> існуєелемент /> такий,що />.
Теорема. 6 Для підгрупи /> групи /> наступні твердження еквівалентні:
1) /> - нормальна підгрупа;
2) підгрупа /> разом з кожним своїм елементом міститьвсі йому сполучені елементи, тобто /> для всіх />;
3) підгрупа /> збігається з кожною своєю сполученоюпідгрупою, тобто /> для всіх />.
Нехай /> - підгрупа групи />. Тоді:
1) />;
2) якщо /> й />, те />;
3) /> - найбільша підгрупа групи />, у якій /> нормальна;
4) якщо />, те />. Обернено, якщо />, те />;
5) /> для будь-якої непустої підмножини/> групи />.
У кожній групі /> тривіальні підгрупи (одинична підгрупа/> й сама група/>) є нормальнимипідгрупами. Якщо в неодиничній групі /> немає інших нормальних підгруп, тогрупа /> називаєтьсяпростій. Одиничну групу /> вважають непростий.4. Ізометрії
Знакозмінні простори
Векторний простір /> над полем /> називається знакозмінним,якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма />, тобто відображення /> з наступними властивостями:
/>
/>
/>
/>
для всіх />, />, /> з /> і всіх /> з />. Відзначимо наслідок цих співвідношень:/>. Якщо /> - знакозмінна формай /> - довільнийелемент із />,то відображення />, певне формулою />, і складний об'єкт, що євихідним векторним простором /> із цією новою формою />, буде знакозміннимпростором, що ми позначимо через />.
Уявлення знакозмінного простору /> в знакозмінний простір /> (обоє над полем/> і з формами,позначуваними через />) є по визначенню лінійне перетворення/> простору /> в />, таке, що /> для всіх />, />. Інвективне уявленняназивається ізометрією /> в. /> Простору /> й /> називаються ізометричними, якщо існуєізометрія /> на/>. Нехай /> позначає уявлення,/> - ізометрію``в'', а /> або/> - ізометрію``на''. Очевидно, що композиція дві ізометрії — ізометрія й перетворення, зворотнедо ізометрії, — також ізометрія. Зокрема, множину ізометрій простору /> на себе є підгрупоюзагальної лінійної групи /> абстрактного векторного простору />; вона називаєтьсясимплектичною групою знакозмінного простору /> й позначається через />. Для будь-якогоненульового елемента /> з /> маємо />.
Пропозиція.7 Нехай /> - лінійне перетворення знакозмінногопростору /> взнакозмінний простір />. Припустимо, що існує база /> простору />, така, що /> для всіх />, />. Тоді /> - уявлення.
Доказ. Це тривіально треба з визначень.
Кожному знакозмінному простору /> зі знакозмінною формою /> зіставимо відображення/> й /> простори /> в сполучений простір/> (/>розглядається якабстрактний векторний простір над />). По визначенню відображення /> зіставляє довільномуелементу /> з/> лінійний функціонал/>, певний формулою/>, а /> переводить /> в. /> Легко перевіряється,що /> і /> є лінійними перетвореннями.
/> - матриця /> над /> називається косо симетричною,якщо />, і знакозмінної,якщо /> й наголовній діагоналі коштують нулі. Таким чином, знакозмінні матриці є косо симетричними.Обернено, косо симетричні матриці є знакозмінними, якщо характеристика поля /> не дорівнює />. Розглянемо знакозміннийпростір />. Миможемо асоціювати з базою /> простору /> матрицю, у якої на місці /> коштує />. Назвемо /> матрицею знакозмінногопростору /> вбазі /> й будемописати />
Якщо існує хоча б одна база, у якій /> має матрицю />, то будемо писати/>. Матриця />, асоційована зізнакозмінним простором /> зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної.Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що /> в базі /> й /> - матриця переходу від першої базидо другого, тобто />. Тоді /> звідки видно, що зміна матриці простору /> при зміні бази описується співвідношенням/>.
Якщо /> - абстрактний векторний простір збазою /> й /> - довільна знакозмінна/> - матрицянад />, то існуєєдиний спосіб перетворити /> в знакозмінний простір, таке, що /> в />, а саме, покласти />, де /> - елемент, що стоїтьв матриці /> намісці />. Пропозицію 8 Припустимо, що /> - знакозміннийпростір, /> -його база й /> в./> Тоді матричнийізоморфізм, певний базою />, відображає /> на групу всіх оборотних/> - матриць/> над />, що задовольняютьспіввідношенню />
Дискримінантом /> векторів /> у знакозмінному просторі /> називається визначник />
Зокрема, якщо /> - база простору /> й /> у цій базі, те /> Якщо /> - інша база, то співвідношення /> показує, що /> для якогось /> із />. Отже, канонічний образ елемента /> в /> не залежить відбази; він називається дискримінантом знакозмінного простору /> й позначається через />. Тут множина /> визначається очевиднимобразом: беремо />, приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо,що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис />, де />, буде позначати,що /> дорівнюєканонічному образу елемента /> в /> або, інакше кажучи, що /> має базу />, для якої />. Якщо />, то думаємо />.
Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір/> зі знакозмінноюформою />. Нехай/> - його база,а /> - сполученабаза сполученого простору />. Нехай /> в. /> Тоді />. Легко бачити, що матриця лінійногоперетворення />, певного раніше, щодо баз /> і /> дорівнює />; дійсно, якщо />, те
/>
Аналогічно матриця перетворення /> щодо баз /> і /> дорівнює />.
Пропозиція 10 Будь-які /> векторів /> знакозмінного простору/>, такі, що/>, лінійнонезалежно.
Доказ. Залежність /> спричиняє /> для />. Це означає залежність міжрядками матриці />, що неможливо, тому що дискримінантне дорівнює 0.
Пропозиція11 Наступнітвердження для знакозмінного простору /> рівносильні:
/>,
/>,
/>,
/> біективно, /> біективно.
Доказ. Можна вважати, що />. Зафіксуємо базу /> простору />, і нехай /> - сполучена база. Нехай/> в. /> Через 9
 />
/>
/> оборотна />
/> біективно,
тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне(4). Далі
 /> біективно
/>
/>
/>
/>
/>,
так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне(1).
Визначення 12Знакозмінний простір /> називається регулярним,якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов Пропозиція11. Знакозміннийпростір /> називаєтьсявиродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим,якщо />.
Якщо />, то /> регулярно. Якщо />, то через Пропозиція11 і12
/>
Пропозиція.13 Нехай /> - уявлення знакозміннихпросторів. Якщо /> регулярно, то /> - ізометрія.
Доказ. Візьмемо /> з ядра уявлення />. Тоді />. Звідси через регулярністьпростору /> одержуємо,що />.
Пропозиція 14Кожній базі /> регулярного знакозмінногопростору /> відповідаєєдина база /> цьогопростору, називана сполученої до /> відносно /> й така, що /> для всіх />, />. Якщо /> в /> и /> в />, то />.
Доказ.1) Покладемо /> для />, де /> - сполучена до /> база сполученого простору/>. Тоді /> - база, тому що/> біективно.Крім того, />. Цим доведенеіснування бази />. Одиничність безпосередньо треба зрегулярності. 2) Нехай />. Тоді /> й /> Звідси />, так що /> й />.
Розглянемо знакозмінний простір /> зі знакозмінною формою />. Будемо говорити,що /> має ортогональнерозкладання /> на підпростори /> якщо воно є прямою сумою /> з попарно ортогональними/>, тобто /> при />. Назвемо /> компонентами цьогоортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір /> розщеплює /> або що /> є компонентом простору/>, якщо існуєпідпростір /> простору/>, таке, що/>. Маємо /> де добуток береться в./>
Розглянемо два знакозмінних простори /> й /> над тим самим полемо /> й припустимо, щоє ортогональне розкладання />, а /> - сума просторів />, />, причому /> при />. Нехай для кожного />, />, задане уявлення />. Тоді, як відомоз лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення />, що погодиться з кожним /> на />. Насправді легкоперевірити, що /> - уявлення. Ми будемо записувати йогоу вигляді />
Важливим є випадок, коли />, /> для всіх /> і /> для всіх />; тоді />
Якщо дано ще одне таке уявлення />, то
/>
/>
/>
Розглянемо знакозмінний простір /> над полем />. Під ортогональнимдоповненням підпростору /> простору /> в /> розуміється підпростір
/>
співпадаюче також з
/>
Визначимо радикал простору /> як підпростір />. Очевидно,
/>
Пропозиція15 Нехай/> - знакозміннийпростір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто />, де /> при />. Тоді
/>,
/> регулярно /> кожне /> регулярно,
/> регулярно />.
Доказ. (1) Візьмемо в /> довільний елемент /> і запишемо його у вигляді/>, />. Тоді
/>
так що />, звідки />. Обернено, якщо />, де />, те /> звідки />. (2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тількитоді, коли його радикал дорівнює />. (3) Якщо />, />, те /> звідки />. Отже, /> і, виходить, />.
Пропозиція 16 Якщо /> - підпростір знакозмінногопростору />,те /> - ануляторпростору /> в/>, тобто />. Зокрема, />.
Доказ безпосередньо треба з визначень.
Пропозиція 17 Нехай /> - регулярний підпростірзнакозмінного простору />. Тоді /> розщеплює />, точніше, />. Якщо /> - інше розщеплення,/>.
Доказ. Тому що /> регулярно, те />. Отже, через 16
/>
Тому /> й, виходить, />. Далі, якщо />, те/>, звідки />. Порівнюючи розмірності,одержуємо />.
Пропозиція 18 Якщо /> й /> - довільні підпростори регулярногознакозмінного простору /> розмірності />, те
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Доказ. Тому що /> регулярно, те через Пропозиція11 відображення/> біективно.Отже, />, звідкичерез 16 />.Цим доведено (1). Далі, />, тому порівняння дає />. Цим доведено(2). Доведемо тепер (3):
/>
Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.
Розглянемо радикал /> знакозмінного простору />, і нехай /> - підпростір простору/>, таке, що/>. Назвемо всякетаке розкладання радикальним розкладанням простору />. Очевидно, /> визначається не єдиним образом,за винятком випадків, коли /> регулярно або цілком вироджене.
Зі співвідношень
/>
треба рівність />, тому /> регулярно.
Теорема 19 Якщо /> - регулярний знакозміннийпростір розмірності />, те
/>
Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірністьі дискримінант />. Крім того, регулярні знакозмінніпростори однакової розмірності над тим самим полем /> ізометричні.
Доказ. Через регулярність простору /> існують вектори /> й />, що задовольняютьумові />. Томущо />, те цівектори повинні бути незалежними; тому /> - площина. Очевидно,
/>
Зокрема, /> регулярно, тому що дискримінант відміннийвід нуля. Отже, через 17 />. Але /> - також регулярний знакозмінний простір.Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого.Для доказу третього твердження застосовуємо 7. Теорема доведена.
База /> регулярного знакозмінного простору/> називаєтьсягіперболічної, якщо
/>
і сімплектичною, якщо
/>
Якщо
/>
гіперболічна база простору />, то перестановка
/>
симплектична база, і навпаки. По теоремі 19 ненульовийрегулярний знакозмінний простір має гіперболічну базу, а тому й симплектичну базу.
Пропозиція 20 Нехай /> - регулярний знакозміннийпростір, /> -цілком вироджений підпростір і /> - база підпростору />. Тоді існує регулярний підпростір/> простору /> виду />, де /> - регулярні площиний />, />.
Доказ. Випадок /> очевидний. При /> застосовуємо індукцію по/>. Покладемо/> й />. Тоді />, звідки /> через 18. Виберемо/> й покладемо/>. Тоді />, />, і, отже, />. Виходить, /> - регулярна площина,що містить />.У силу 17 можна записати />. Тоді />, тому що /> й /> отже, />. Залишається застосувати припущенняіндукції до /> розглянутогояк підпростір знакозмінного простору />.
Пропозиція 21 Якщо /> - максимальне цілком виродженийпідпростір регулярного знакозмінного простору />, те />. Доказ. Тому що /> цілком вироджене, те/>, тому через 18/>, звідки />.
Якщо допустити, що />, то нескладне застосування тверджень20 і 17 дасть цілком вироджений підпростір, що строго містить /> у протиріччя з максимальністю/>. Тому />.
Пропозиція.22 Якщо /> й /> - максимальні цілком виродженіпідпростору регулярного знакозмінного простору />, що задовольняють умові />, то для кожноїбази /> просторуМ існує така база /> простору />, що /> - симплектична база простору />.
Доказ. Зрозуміло, /> (через 21). Нехай />, — база підпростору />. Тоді /> - база простору/>.
Нехай /> - сполучена до неї база відносно /> (див. 14). Оскільки/>, те елементи/> лежать в./> Виходить,/> - база простору/>, а /> симплектична база в./>
Пропозиція 23 Нехай /> - регулярний знакозміннийпростір і /> його симплектична база.
Нехай /> - максимальне цілком вироджений простір/>. Тоді матричнийізоморфізм, асоційований з />, відображає групу лінійних перетворень /> на групу матриць виду
/>
де /> - оборотна /> - матриця, а /> - матриця /> задовольняє співвідношенню/>.
Доказ. Це легко перевіряється належним застосуванням твердження8.
Теорема Витта 24 Нехай /> і /> - ізометричні регулярнізнакозмінні простори над тим самим полем />. Якщо /> - довільний підпростір простору /> й /> - ізометрія /> в />, то її можна продовжитидо ізометрії простору /> на />.
Доказ. Візьмемо радикальне розкладання />, і нехай /> - база підпростору/> (мається наувазі, що />,якщо />). Застосовуючи20 до регулярного знакозмінного простору />, ми бачимо, що в ньому існує підпростір/> виду /> е /> -регулярні площини й />, />. Тому що /> регулярно, те воно розщеплює />; отже, існує регулярнийпідпростір /> простору/>, таке, що />
Покладемо />, /> і /> для />. Тоді /> Крім того, />радикальнерозкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання />у якому/>де /> - регулярна площина й /> для />. За допомогою 7знайдемо ізометрію простору /> на />, погоджену з /> на кожному />, а отже, на />. Крім того, дане/> відображає/> на />. Виходить, існуєпродовження ізометрії /> до ізометрії простору /> на />.
Далі />, тому що /> ізометричне />, тому /> й, отже, по теоремі 19 існуєізометрія простору /> на />. Таким чином, існує продовження ізометрії/> до ізометріїпростору /> на/>.5. Проективні перетворення
Геометричне перетворення /> абстрактного векторного простору /> на абстрактнийвекторний простір /> - це біекція /> з наступною властивістю:підмножина /> простору/> тоді й тількитоді є підпростором в />, коли /> - підпростір в./>
Очевидно, що композиція геометричних перетворень — геометричнеперетворення й перетворення, зворотне до геометричного, — також геометричне. Геометричнеперетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а такожряди Жордана — і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.
Пропозиція 25 Якщо /> - геометричне перетворенняпростору /> на/>, те для будь-якихпідпросторів />, /> простори /> виконуються співвідношення
/>
/>
/>
Під проективним простором /> простору /> ми будемо розуміти множину всіх підпросторівпростору />.Таким чином, /> складається з елементів множини />, що є підпросторамив />; />. Будь-які два елементи/> й /> з /> мають об'єднанняй перетинання, а саме /> й />, так що /> - ґрати; вона має найбільший елемент/> і найменшийелемент />. Кожномуелементу /> простору/> зіставляєтьсячисло />. Кожне/> з /> володіє поруч Жордана- Гельдера />,і всі такі ряди мають довжину />. Покладемо
/>
і назвемо />, />, /> множинами прямих, площин і гіперплощинпростору /> відповідно.
Проективність /> простору /> на /> - це біекция /> з наступною властивістю:для будь-яких />, /> із /> включення /> має місце тоді й тількитоді, коли />.
Очевидно, що композиція проективностей — проективністьі відображення, зворотне до проективності, — також проективність. Проективністьпростору /> на/> зберігає порядок,об'єднання, перетинання й ряди Жордана — Гельдера для елементів просторів /> і />, що тому справедливовипливає пропозиція.
Пропозиція 26 Якщо /> - проективність простору/> на />, те для будь-якихелементів />,/> з /> виконуються співвідношення
/>
/>
/>
Зокрема, /> відображає /> на /> й визначається своїми значеннямина />, тобтона прямих.
Якщо /> - геометричне перетворення, то відображення/>, отриманезі /> звуженням,є проективністю простору /> на />. Усяка проективність />, що має вид /> для деякого такого/>, буде називатисяпроективним геометричним перетворенням простору /> на />. Чортові ми будемо завжди використовуватидля позначення проективного геометричного перетворення />, отриманого описаним способом з геометричногоперетворення />. Таким чином, /> переводить підпростір /> простору />, тобто крапку /> з />, у підпростір /> простору />. Маємо
/>
Зокрема, композиція проективних геометричних перетвореньі перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.
Геометричне перетворення простору /> є по визначенню геометричнеперетворення простору /> на себе. Множина геометричних перетвореньпростору /> єпідгрупою групи підстановок множини />. Вона буде позначатися через /> і називатися загальноюгеометричною групою простору />. Під групою геометричних перетвореньпростору /> мибудемо розуміти довільну підгрупу групи />. Загальна лінійна група /> й спеціальна лінійнагрупа /> є,отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розумітибудь-яку підгрупу групи />.
Проективність простору /> є по визначенню проективність цьогопростору на себе. Множина проективностей простору /> - підгрупа групи підстановок множини/>, що ми будемоназивати загальною групою проективностей простору />. Застосування риси індуцирує гомоморфізм
/>
Іноді ми будемо використовувати /> замість />, думаючи /> для образа /> підмножини /> із /> при />. Зокрема, /> і /> - підгрупи групипроективностей простору />, вони називаються проективною загальноюлінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору />.
Було доведено, що /> збігається із групою всіх проективностейпростору />,тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору/> будемо розумітибудь-яку підгрупу групи />, а під проективною групою лінійнихперетворень простору /> - будь-яку підгрупу групи />.
Для кожного ненульового елемента /> з /> визначимо лінійне перетворення/>, думаючи />Ясно, що />. Перетворення /> з /> виду /> для якогось /> будемо називатирозтяганням простору />.
Множина розтягань простору /> є нормальною підгрупою групи />, що буде позначатисячерез />. Очевидно,має місце ізоморфізм />. Мають місце наступні дві пропозиції.
Пропозиція 27 Елемент /> групи /> тоді й тільки тодіналежить групі />, коли /> для всіх прямих /> з />. Зокрема,
/>
/>
Пропозиція. 28 Централізатор у /> будь-якого елементаз />, що не єрозтяганням, абелев.
Нехай тепер /> - регулярний знакозмінний простір.Тоді /> буде,звичайно, групою геометричних перетворень простору />. Під групою симплектичних перетвореньзнакозмінного простору /> ми будемо розуміти довільну підгрупуз />. Група />, одержувана із/> застосуваннямгомоморфізму />, називається проективної симплектичноюгрупою знакозмінного простору />. Під проективною групою симплектичнихперетворень простору /> будемо розуміти будь-яку підгрупугрупи />.
Пропозиція 29 Якщо /> - ненульовий регулярнийзнакозмінний простір, те
/>
/>
/>
Доказ є легкою вправою й тому опускається.
Пропозиція 30 Якщо /> - регулярний знакозміннийпростір і />,те />.
Доказ. Взявши симплектичну базу простору />, за допомогою 8без праці переконуємося, що елемент /> із /> тоді й тільки тоді лежить в />, коли />.
Полярністю абстрактного векторного простору /> над полем /> називається біекция/>, />, така, що 1) />, 2) /> для всіх />, /> з />. Якщо /> - регулярний знакозмінний простірнад />, те, мабуть,/> - полярність;вона називається полярністю, певною знакозмінною формою />, наявної на />.
Пропозиція 31 Нехай /> - абстрактний векторнийпростір над полем /> і />. Припустимо, що /> - регулярний знакозміннийпростір щодо кожної із двох знакозмінних форм /> і />. Форми /> й /> тоді й тільки тоді визначають ту самуполярність, коли найдеться такий ненульовий елемент /> із />, що />.
Доказ. Якщо />, то твердження очевидно. Залишаєтьсядовести зворотне твердження. Тому що /> регулярно відносно /> й />, те через Пропозиція11 і12 асоційовані лінійні відображення /> й /> біективні, тобто /> й />. З 16 і припущення про те,що /> й /> визначають ту самуполярність, треба, що /> для всіх підпросторів /> з />. Отже, /> - елемент групи/>, щодо якогоінваріантні всі підпростори з />, Зокрема, щодо нього інваріантні всіпрямі з />. Виходить,через 27 />.Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент /> із />, що /> для всіх /> з />. Але тоді /> для всіх /> з />. Тому />.6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп
Пропозиція 32 Якщо поле /> нескінченно, тегрупи />, /> над /> також нескінченні.
Доказ. Число трансвекцій /> з /> нескінченно.
Теорема 33 Порядок групи /> дорівнює
/>
Порядок групи /> дорівнює
/>
Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група/> ізоморфнагрупі />. Доведемоперше твердження індукцією по />. Якщо />, то /> й можна вважати />.
Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів />, />, таку, що />. Якщо /> фіксовано, то існуєєдина пара />,де /> належитьданій прямій, не ортогональної к./>Тому число пар з /> на першому місці дорівнюєчислу прямих, що не лежать в />, тобто
/>
Таким чином, є /> пара з /> на першому місці, а всього /> пара.
Зафіксуємо яку-небудь пару />. По теоремі Витта для кожної пари/> найдетьсяпринаймні один елемент групи />, що переводить /> в. /> Отже, є точно
/>
елементів з />, що переводять пари /> в парі />. По припущеннюіндукції це число дорівнює
/>
Далі, кожний елемент групи /> переводить /> точно в одну пару. Отже,група /> містить
/>
елементів, що й було потрібно довести.
Пропозиція 34Якщо />, те число максимальних цілкомвырожденных підпросторів простору /> дорівнює
/>
Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа /> групи />, що залишає намісці довільне максимальне цілком вироджений підпростір /> простору />, має порядок
/>
Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу
/>
простору />, у якій вектори /> породжують />. Із 23 треба, щоматриця довільного перетворення /> має вигляд
/>
де />, а /> - симетрична матриця порядку /> над />; ці /> й /> визначаються перетворенням/> однозначно.Крім того, будь-які такі /> й /> відповідають якомусь /> із />. Наше твердженнявиходить тепер, якщо помножити порядок групи /> на число симетричних матриць порядку/> над полем/>, тобто />.
2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір/> простору />. По теоремі Виттавсі максимальні цілком выроджені підпростору простору /> даються формулою />, де /> пробігає групу />. Із зауваження1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростірповторюється точно
/>
раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядкугрупи />, діленомуна зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.
Пропозиція 35 Якщо />, те число регулярних площину просторі /> дорівнює
/>
Доказ. Надходячи, як при доказі твердження 34, переконаємося,що /> повиннемістити
/>
регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище(застосувати теорему 33).
Пропозиція 36 Група /> ізоморфна симетричній групі/>.
Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина/> з /> елементів в /> - мірному регулярномузнакозмінному просторі /> над полем />, що володіє тим властивістю,що будь-які два його різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор /> з /> належить рівнодвом конфігураціям /> і />, так що вони перетинаються по />. Щоб переконатисяв цьому, візьмемо симплектическую базу /> простору />, у якій />. Ясно, що
/>
і
/>
дві різні конфігурації, що перетинаються по множині />. Легка перевіркаперебором показує, що інших конфігурацій, що містять елемент />, немає. Якщо тепер виписативсі різні конфігурації /> в просторі />, то кожний вектор /> із /> з'явиться точноу двох з них, звідки /> й />. Нехай /> - Множина всіх конфігурацій в./>
Якщо /> - довільний елемент із />, то /> тоді й тільки тодіє конфігурацією, коли /> - конфігурація, тому /> індуцирує відображення/>. Ясно, щоце відображення на й, виходить, перестановка на />. Очевидно, що /> є гомоморфне відображення/>. Щоб знайтийого ядро, візьмемо в /> елемент />. Нехай /> такий, що />. Нехай /> і /> - дві конфігурації, що містять/>. Тоді /> не належить однієїз них, скажемо, />. Звідси /> й />. Інакше кажучи, ядро тривіально, іми маємо інективный гомоморфізм />. По теоремі 33 група /> складається з /> елементів, тому/>.7. Центри
Помітимо, що група /> неабелева. Щоб переконатися в цьому,досить взяти нетривіальні проективні трансвекції із /> із прямими. Отже, група /> також неабелева.
Пропозиція 37 Група /> має тривіальний центр, а/>.
Доказ. Розглянемо довільний елемент /> із центра групи />. Нехай /> - довільна прямаз />. Нехай /> - проективна трансвекціяіз /> із прямій/>. Тоді прямійперетворення /> є />. Але />, тому що /> лежить у центрі. Отже, /> для всіх />. Тому /> й, виходить, група/> дійсно немає центра. Друге твердження треба з першого, якщо застосувати гомоморфізм />.8. Комутанти
Пропозиція 38 Якщо />, /> - довільні прямі з />, та множина трансвекційіз /> із прямої/> й множинутрансвекцій з прямій /> сполучені відносно />.
Доказ. По теоремі Витта в групі /> існує такий елемент />, що />. Тоді сполученняелементом /> відображаємножина трансвекцій із /> із прямій /> на множину трансвекцій із/> із прямій/>.
Приклад 39 Дві трансвекції з /> не обов'язковосполучені в. /> Наприклад, трансвекції з прямій />, сполучені з />, мають вигляд />, де /> пробігає />.
Зауваження 40 Нехай /> - симплектическая база простору/>. Якщо /> - довільна симетричнаматриця порядку />2 над /> і /> - лінійне перетворення, певне матрицею /> те ми знаємо, що /> належить групі />. Якщо перетворити /> в />, роблячи 1) додатоккратного одного стовпця до іншого з наступним аналогічним перетворенням відповіднихрядків або 2) перестановку двох стовпців з наступною перестановкою відповідних рядків,то лінійне перетворення /> з матрицею />зновубуде належати групі />, тому що /> теж буде симетричною. У дійсності/> й /> сполучені в. /> Щоб переконатисяв цьому, помітимо, що /> при підходящій матриці /> з />. Перетворення />, певне матрицею/> належить групі/>, і />, тому що />.
Пропозицію 41 Припустимо, що />, />, /> і нехай /> - нормальна підгрупагрупи />, щомістить регулярний елемент /> із відрахуванням />, у вигляді добутку двохтрансвекцій з />. Тоді />.
Доказ. Маємо розкладання />, де /> - регулярна площина. Розглянемо групу
/>
Тоді />. Крім того, />. Це очевидно, якщо />; якщо ж />, те застосовуємо2.1.12 і теорему 2.1.11 [6]. Тому /> - нормальна підгрупа в />, що не втримуєтьсяв. /> Звідситреба, що />.Зокрема, якщо /> - фіксована пряма в />, те /> містить всі трансвекціїплощини /> зпрямій />. Отже,/> містить всітрансвекції із /> із прямій />, а тому в силу 38 взагалівсі трансвекції з /> і />.
Пропозицію 42 Припустимо, що />, /> або />, />, і нехай /> - нормальна підгрупагрупи />, щомістить елемент /> із відрахуванням 2, у вигляді добуткудвох трансвекцій з />. Тоді />.
Доказ.1) Модифікація міркувань, використаних при доказітвердження 41, дозволяє вважати, що />, якщо />, і />, якщо />.
2) Розглянемо спочатку випадок />, />. Тоді /> має вигляд />, причому />, а зірочки рівні/>. Далі ці трансвекціїперестановочні, тому що />, тому ми можемо, якщо потрібно, замінити/> на /> й уважати, що насправді/>. Можна вважати,що ця нова /> є/>. Справді,якщо />, те задопомогою теореми Витта виберемо таке />, що />, />. Тоді />.Замінимо тепер /> на />.Отже, можна вважати, що />. Доповнимо /> до симплектичної бази
/>
простору /> й помітимо, що
/>
Підходящим сполученням ми можемо знайти в /> лінійні перетворенняз матрицями
/>
у базі />. Добуток цих перетворень дорівнюєелементу із /> ізматрицею
/>
Отже, група /> містить />. Таким чином, вона містить всі (=обидві) трансвекції із /> із прямій />. Через 38 звідси треба,що /> міститьвсі трансвекції з /> і, виходить, />.
3) Нехай тепер />, />. Тоді /> й />. Доповнимо /> до симплектичної бази /> Тоді
/>
Сполучення дає нам у /> лінійні перетворення з матрицями
/>
а тому й з матрицями
/>
а виходить, і з матрицею
/>
Інакше кажучи, /> містить /> і, отже, всі трансвекції з />, звідки />. Пропозиція 43 Якщо />, те /> за одним виключенням:/>. Доказ. Нехай />, для якогось />. По теоремі Витта існуєтаке />, що /> - площина й />
Покладемо
/>
Залишилося застосувати 41 й 42. У винятковому випадкузастосовуємо 36 й добре відомі властивості групи />.
Пропозиція 44 Якщо />, те /> за одним виключенням: />.9. Теореми про простоту
Теорема 45 Для будь-якого парного числа/> й кожногополя /> група/> проста завинятком групи />, що простій не є.
Доказ.1) Виняткове поводження групи /> треба з 44. Будемо припускатитому, що /> взагальному випадку й /> при />. Замість проективної групи ми будемомати справу із групою />. Досить розглянути нормальну підгрупу/> групи />, що не втримуєтьсяв підгрупі />,і довести, що />.
2) Спочатку покажемо, що є />, />, такі, що /> - регулярна площина. Дляцього візьмемо в групі /> елемент. /> /> зрушує принаймні одну пряму з />, тобто існує такапряма /> з />, що />. Нехай /> - нетривіальнатрансвекция із /> із прямій />. Тоді елемент /> належить групі/> і є добуткомдвох трансвекцій із /> із різними прямими /> й />. Тому простір перетворення/> є площина/>, зокрема,/>. Якщо /> - гіперболічнеперетворення, то /> - інволюція. Застосуємо тепер твердження1.18, якщо характеристика дорівнює />, і твердження 1.13, якщо характеристикане дорівнює />.Тоді, зокрема, ми одержимо, що /> не є добутком /> трансвекції з />, що суперечитьдопущенню. Отже, /> не може бути гіперболічним. Виходить,існує такий вектор />, що />, тобто /> - регулярна площина.
3) Можна також показати, що є вектор /> і перетворення />, такі, що /> - вироджена площина.Справді, візьмемо в /> елемент />. Існує такий вектор />, що />.
Якщо />, то ціль досягнута, тому будемо вважати,що />.
Виберемо /> так, щоб було
/>
По теоремі Витта в /> найдеться перетворення />, таке, що />, />. Тоді перетворення/> належить /> і переводить /> в />, тому /> - вироджена площина.
4) Візьмемо />, /> так, щоб площина /> була регулярної при /> й виродженій при/>. Тоді перетворення
/>
належить групі />, є добутком двох трансвекцій з /> і його простірє площина />.Тому />.
Пропозиція 46 Якщо /> й /> - нормальна підгрупа групи/>, те /> або />, за винятком групи/>, що, мабуть,не має цю властивість.
Доказ. Із приводу виключення див. 43. Далі, застосовуючидо /> теорему45, одержимо, що /> або />. Допустимо останнє. Тоді
/>
Пропозиція доведена.
Теорему про простоту можна також довести, використовуючигрупи підстановок. Нагадаємо, що групою підстановок непустої множини /> називається підгрупа/> групи всіхпідстановок множини />. Далі, /> називається транзитивної, якщо длябудь-яких />,/> існує такапідстановка /> з/>, що />. Нагадаємо, щорозбивкою множини /> називається множина /> попарно непересічнихпідмножин, об'єднання яких дорівнює />. Тривіальними називаються дві розбивки,що складаються відповідно із самого /> й із всіх одноелементних підмножин.Транзитивна група /> підстановок множини />, якщо існує таканетривіальна розбивка /> множини />, що /> для всіх />, />. У противному випадку група називаєтьсяпримітивної. Наступний результат є тут ключовим.
Пропозиція 47 Примітивна група підстановок/> множини /> проста, якщо виконанінаступні умови:
1) />,
2) для якогось /> стабілізатор /> містить таку нормальну абелевупідгрупу />,що /> породжуєтьсяпідгрупами />,/>.
Для доказу теореми 45 з використанням цього результатурозглянемо /> якгрупу підстановок множини прямі /> простори />. Це можливо через те, що />, будучи підгрупоюгрупи проективностей простору />, точно діє на /> й, виходить, /> природно ізоморфнагрупі підстановок множини />. Ми знаємо, що група /> транзитивна (теоремаВитта), /> (див.44) і, нарешті, множина проективних трансвекцій із /> із прямій /> разом з тотожним перетвореннямутворить нормальну абелеву підгрупу стабілізатора прямій /> в />, що разом зі своїми сполученимив /> породжуєгрупу />. Томувсе, що залишилося зробити, перш ніж послатися на 47, — це перевірити, що група/> примітивна.
Пропозиція 48 При /> група /> підстановок множини /> прямі простори/> примітивна.
Доказ.1) Розглянемо розбивку /> множини />, що містить принаймні дві підмножини,одне із яких, скажемо />, містить не менш двох прямих. Нампотрібно знайти елемент групи />, що не зберігає цю розбивку. Допустимо,що такого елемента не існує.
2) Нехай спочатку /> містить дві різні не ортогональніпрямі />, />. Тоді кожні двірізні прямі />,/> з /> повинні бути неортогональні. Справді, якщо це не так, то найдуться різні />, /> з />, такі, що />. Візьмемо пряму/> з />, не приналежнійпідмножині />.Якщо />, то потеоремі Витта існує таке перетворення /> з />, що />, />, і, отже, воно порушує розбивку. Якщо/>, то зновупо теоремі Витта є таке />, що />, /> і, виходить, /> знову порушує розбивка.Отже, ніякі дві різні прямі з /> не є ортогональними. Тільки що проведеніміркування показують, що якщо /> - довільна пряма з />, те /> містить всі прямі з />, не ортогональнік./>Тепер очевидно,що можна знайти в /> пряму />, не ортогональну до />, але ортогональнудо /> тоді першаумова спричиняє, що />, а друге — що />, — протиріччя.
3) Ми можемо, таким чином, уважати, що всі прямі з /> попарно ортогональні.Міркування, використані в п.2), показують тоді, що якщо /> - довільна пряма з />, те /> містить всі прямі,ортогональні до />, а це неможливо. Пропозиція доведена.10. Основні результати
Нехай /> - кінцева група, /> і /> - підгрупи групи />. Будемо говорити,що група /> допускаєфакторізацію />, якщо для всякого /> має місце рівність />, де />, />. Факторізація називаєтьсямаксимальної, якщо /> й /> максимальні підгрупи в групі />. Ми розглянемомаксимальні факторізації симплектичної групи />, певної над кінцевим полем />.
Нехай /> і /> - цілі числа, />, />. Якщо /> - просте число, що ділить/> і не ділитьчисла /> для/>, то /> називають примітивнимпростим дільником числа />.
Добре відомо, що при />, /> і /> завжди є примітивний простий дільникчисла />. Нехай/>, де /> - просте число,/> - ціле позитивнечисло. Позначимо /> найбільший примітивний простий дільникчисла /> (так,що /> ділить/> і не ділить/> для />). Визначимо /> як добуток всіхпримітивних простих дільників />. Ми будемо розглядати максимальніфакторізації групи />. Відзначимо, що
/>
Теорема. 49Нехай />, де /> - непарне число. Якщо />, де /> й /> - максимальні підгрупигрупи />, тоді/>, де /> - максимальна параболічнапідгрупа групи />, ізоморфна /> й, яка має порядок
/>
Доказ. Припустимо, що /> ділить />. Із [6] треба, що /> є однієї з наступних груп/>, />, /> або />. Нехай спочатку/>. У цьому випадку/>. Із [6] треба,що /> це в точностімаксимальна параболічна підгрупа групи /> /> й />. З порівняння порядків групи /> й добутки /> одержуємо наступнумаксимальну факторізацію:
/>
Нехай тепер /> є однієї з наступних груп />, /> або />. Із сказаного вищевипливає, що /> не ізоморфно />. З пункту 2.4 [7] одержимо,що /> є /> або />. По теоремі 2.4D[7] /> є 3 або7. Якщо />, тоді5 ділить />.У цьому випадку із [6] треба, що /> одна із груп />, />, />. Оскільки />, те /> ділить />. Однак /> не ділиться на/>. Протиріччяз тим, що />.Отже, /> і />. Тому що 27 ділить/>, то /> є параболічноюпідгрупою групи /> й має місце факторизация:
/>
Теорема 49 доведена.
Нехай />, де /> - позитивне число. Тоді ортогональнагрупа /> й />. /> позначає сплетеннягрупи /> із групою/>, тобто />, де />. Очевидно, що />; /> - максимальна параболічнапідгрупа в /> порядку/>; /> - група Судзукипорядку />,де />.
Лема 50 Нехай />. Тоді
/>
Доказ. Із [8] треба, що /> є максимальною підгрупою в. /> Нехай /> і />. Позначимо
/>
де /> матриця в канонічному базисі симплектичногопростору />,/>, />, />.
Тоді /> - група, що фіксує розкладання:
/>
Із [8] треба, що стабілізатор цього розкладання />, /> і />.
Лема доведена.
У наведених позначеннях з урахуванням таблиці 1 [7] ілеми 50 одержимо:
Теорема 51 Нехай />, де />. Якщо />, де /> й /> - максимальні підгрупи вгрупі />. Тоді
1) />,
2) />,
3) />,
4) />,
5) />.
Висновок
У дипломній роботі знайдені максимальні факторізації симплектичнихгруп />. Доведенонаступні теореми.
Теорема 1. Нехай />, де /> - непарне число. Якщо />, де /> й /> - максимальні підгрупигрупи />, тоді/>, де /> - максимальна параболічнапідгрупа групи />, ізоморфна /> й має порядок
/>
Теорема 2. Нехай />, де />. Якщо />, де /> й /> - максимальні підгрупи в групі />. Тоді
1) />,
2) />,
3) />,
4) />,
5) />.
Список використаних джерел
1. Монахов В.С. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. — К., 2004
2. Каргаполов М.І., Мерзляків Ю.И., Основи теорії груп. — К., 2004
3. Хол Ф., Теорія груп. — К., 2003
4. Горенстейн Д., Кінцеві прості групи: введення в їхню класифікацію., — К.,2003
5. Казарін Л.С., Факторізації кінцевих груп розв'язними підгрупами // Укр. мат.журн. 1991. Т.43, N 7 — і 8. С.947 — і 950.
6. Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary lineargroups. Trans. Amer. Math. Soc. V.14, 1913. p.123--142.
7. Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizationsof the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math.Soc. V.86, N.432. p.1--151.
8. Suzuki M., A new type of simple groups of finiteorder. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p.868--870.