Терема Ферма. Бесконечный спуск длянечётных показателей n.
Получены другие формулыдля решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможнымдоказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер)доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска спомощью формул древних индусов: x= a/>— b/>, y=2ab, z= a/>+ b/>.
Другие формулы: x = /> + b, y = /> + a, z= /> + a+ b (1).
В (1) a и bлюбые взаимно простые положительные целые числа, одноиз них – чётное, другое – нечётное. Пусть a– чётное, b–нечётное: a=2c/>, b=d/>, откуда/>=2cd.
После подстановкизначений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d/> (2),
где c и d любые целыеположительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;
X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Еслиопределены и целы cи d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.
Предположим, чтоуравнение Ферма x/>+ y/>= z/> имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующимобразом:
(x/>)/>+ (y/>)/>= (z/>)/> (4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4), то должновыполняться следующее условие:
x/>= X; y/>= Y; z/>= Z; где X,Y,Z из (2) (5).
Чтобы числаx,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x=/>=(/>)/>; y=/>=(/>)/>; z=/>.
Для упрощения достаточнорассмотреть два целых числа /> и/> (n – нечётное):
/> =/>=/> и />= />=/>.
Подкоренные выражениясодержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждыйсомножитель должен являться целым числом в степени n:
d= g/>; 2 c= h/>, следовательно, /> =/>; />= />.
Так как x,/> – целые, x – поусловию, а /> – из-за нечётн. n, то g/>+ h/>= k/>, где k– целое.
Тройка решений g,h,k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньшечисла x первой тройки решений, потому чтонаибольшее число kиз g,h,k меньше />, таккак />=g/>, а />x, так как x=(/>)/>. Число kзаведомо меньше числа z.
Повторим те жерассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):
(g/>)/>+ (h/>)/>= (k/>)/>; g=/>=(/>)/>; h=/>=(/>)/>; k=/>.
/> = />=/> и />= />= />.
d= p/>; 2 c= q/>, следовательно, /> =/>; />=/>.
p/>+ q/>= r/>, где r– целое число. Все три числа p,q,r меньше числа /> извторой тройкирешений и rk.Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до />.
При данных конечных целыхположительных числахx,y,z не может существовать бес-конечной последовательностиуменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен.Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (ивсех простых) значений показателя n(n>2) несуществует.
Для чётных n=2mне кратных 4: (x/>)/>+(y/>)/>=(z/>)/>,m– нечётное. Если нет целых троекрешений для показателяm,то их нет и для 2m(этопоказал Эйлер). Для n=4 и n=4k(k=1,2,3…) уже доказано, что целыхположительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов