Контрольна робота
З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика
Прізвище,ім’я, по-батькові студента
Данiщук Мирослава Евгенiївна
Прізвище та ініціали викладача
Степахно Ірина Василівна
Київ 2009 рік
Зміст
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Завдання 7
Список використаної літератури
Завдання 1
В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:
а) жовта; б) синя.
Розв’язання:
Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:
а) Рч = 36/50 = 0,72
Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:
б) Рс = 14/50 = 0,28.
Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.
Завдання 2
Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.
n=300; p=0,05; m1=25; m2=60
n=500; p=0,05; m1=10; m2=250
Розв’язання:
Якщо випадкова величина попадає в інтервал />.
Позначимо шукану імовірність Рn (m).
Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:
/>
Позначимо через Вm складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис /> буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому — не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те
/>
Подія Вmможна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює /> Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати /> способами. Отже,
/>
/>
/>
Завдання 3
Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення σ Х.
Х
1
3
5
7
11
p
0,10
0,15
0,42
0,25
0,08
Розв’язання.
а) Математичне сподівання величини визначається як:
/>
Запишемо результати в таблиці.
Х
1
3
5
7
11
P
0,10
0,15
0,42
0,25
0,08
Х*Р
0,10
0,45
2,10
1,75
0,88
/>
б) Дисперсія визначається як:
Х
1
3
5
7
11
Р (Х)
0,10
0,15
0,42
0,25
0,08
Х — М (Х)
-4,28
-2,28
-0,28
1,72
5,72
(Х — М (Х)) 2
18,32
5, 20
0,08
2,96
32,72
P (Х) * (Х — М (Х)) 2
1,83
0,78
0,03
0,74
2,62
/>
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =6,00.
в) середнє квадратичне відхилення δхзнаходиться як корінь квадратний з дисперсії.
/>
Завдання 4--PAGE_BREAK--
Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення σ Х. n=3; p=0,5
Розв’язання.
Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:
/>
Підставивши значення параметрів, отримаємо:
/>
Запишемо ряд розподілу цієї величини:
Таблиця 1
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pn(m)
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таблиця 2
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pn(Х)
1.29E-01
9.68E-03
4.84E-04
1.82E-05
5.45E-07
1.36E-08
2.92E-10
5.47E-12
9.12E-14
1.37E-15
/>
Рис.1. Графік біноміального розподілу
а) Математичне сподівання величини визначається як:
/>
Запишемо результати в таблиці 3.
Таблиця 3
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pn(Х)
1.29E-01
9.68E-03
4.84E-04
1.82E-05
5.45E-07
1.36E-08
2.92E-10
5.47E-12
9.12E-14
1.37E-15
ХP (Х)
1.29E-01
1.94E-02
1.45E-03
7.26E-05
2.72E-06
8.17E-08
2.04E-09
4.38E-11
8.21E-13
1.37E-14 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
1
2
4
5
12,00
f (x)
0,033
0,081
0,081
0,033
0,228
/>
16,000
9,000
1,000
0,000
26,000
/>
0,528
0,729
0,081
0,000
5,928
Отже, D (X) = 5,928
/>
Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:
/>
б) М (Х) =2.
Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.
Таблиця 6
Допоміжні розрахунки
Сума
x
0,5
1
3
3,5
8,00
f (x)
0,13
0,24
0,24
0,13
0,74
/>
2,25
1
1
2,25
6,50
/>
0,29
0,24
0,24
0,29
1,07
Отже, D (X) = 1,07.
/>
Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:
/>
Завдання 6
Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).
скласти варіаційний ряд вибірки.
побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.
обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.
Розв’язання.
Складемо варіаційний ряд.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
73
68
70
65
73
71
66
69
78
70
67
67
67
76
71
72
68
74
73
70
Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:
/>,
де />і /> — відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин.
/>; />; n = 4. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>.
Таблиця 7
І
ІІ
ІІІ
ІV
65,00 — 68,25
68,25 — 71,50
71,50 — 74,75
74,75 — 78,00
65
66
67
67
67
68
68
69
70
70
70
71
71
72
73
73
73
74
76
78
f=7
6
5
2
S=7
13
18
20
Побудуємо гістограму розподілу.
/>
Рис.1. Гістограма розподілу
Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів
/>
Рис.2. Полігон частот
3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.
Мода Мо — найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.
Мода визначається, як:
/>,
де хо та h — відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;
/> — частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.
З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 — 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа xo=65,00, частота fmo=7, передмодальна частота fmo-1=0, післямодальна частота fmo+1=6. Маємо:
/>
Медіана Ме — це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:
/>,
де fme — частота медіанного інтервалу;
Sfme-1 — кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:
/>
В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.
Кумулятивна частота Sme3 = 13, Sme2-1 = 7, fme = 6, хо = 68,25, h=3,25.
Підставивши у (2.2), маємо:
/>
Середнє арифметичне /> обчислюється за формулою:
/>
Дисперсія обчислюється за формулою:
/>
Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.
/>
/>
/>
Ексцес Ekхарактеризує крутизну кривої розподілу.
/>,
де /> — центральний момент четвертого порядку.
У нашому випадку:
/>
Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.
Результати обчислень наведені у табл.8.
Таблиця 8
65,00 — 68,25
68,25 — 71,50
71,50 — 74,75
74,75 — 78,00
Сума
x
66.63
69.88
73.13
76.38
286.00
x2
4 438.89
4 882.52
5 347.27
5 833.14
20 501.81
f
7
6
5
2
20.00
S
7
13
18
20
58.00
dj
0.35
0.30
0.25
0.10 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
15,16
(хі — хср)
-13,16
-10,16
-6,16
-4,16
-3,16
-0,16
2,84
3,84
5,84
-24,42
(хі — хср) 2
173,11
103,17
37,91
17,28
9,97
0,02
8,08
14,77
34,14
398,46
За методом χ2-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал hk від теоретичного їх числа fpk, де pk -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.
Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:
/>,
де />-квантиль χ2-критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3;
pj=F (bk — ak) =/> —
теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал
Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: />.
Таблиця 9.2
Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл
k
Значення
pk
fj
(fj-npk) /npk
1
2
0,425
1
0,177
2
5
0, 193
2
1,077
3
9
0,092
3
2,619
4
11
0,073
8
8,971
5
12
0,067
19
22,579
6
15
0,060
18
18,997
7
18
0,066
16
12,523
8
19
0,071
13
8,651
9
21
0,088
9
3,856
Сума
112
1,134
89
79,451
/>
Рис.1. Емпіричні дані розподілу
/>=/>=/>= 10,48773.
Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується.
Список використаної літератури
Дідиченко М.П. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. — Харків, 1996. — 208 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. для студ. вузов. — 7. изд., стереотип. — М.: Высшая школа, 2001. — 479 с.
Задорожня Т.М., Коляда Ю.В., Мамонова Г.В. Збірник задач з теорії ймовірності та математичної статистики (для студентів економічних спеціальностей): Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Державна податкова адміністрація України; Академія держ. податкової служби України. — Ірпінь: Академія ДПС України, 2001. — 76 с.
Колемаев В.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. Учеб. пособие. — М.: ГУУ, 2001. — 87 с.
Малайчук В.П., Петренко О.М., Рожковський В.Ф. Основи теорії ймовірності і математичної статистики: Навч. посібник / Дніпропетровський національний ун-т. — Д.: РВВ ДНУ, 2001. — 163 с.
Салтыкова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / Восточный ин-т экономики, гуманитарных наук, управления и права. — Уфа: Восточный университет, 2001. — 77 с.
Тимченко Л.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів економічних спеціальностей. Харків: ХДПУ, 1999. — 140 с.
Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учеб. — практ. пособие / Государственный комитет РФ по статистике; Межотраслевой ин-т повышения квалификации руководящих работников и специалистов в области учета и статистики — М.: МИПК учета и статистики, 2001. — 232 с.
Фетисова Т.М., Тарасова О.Ю., Потапов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие по решению задач / Южно-Уральский гос. ун-т. Златоустовский филиал. Кафедра высшей математики №3. — Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. — 82 с.
Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. естеств. спец. вузов. — Минск: Новое знание, 2000. — 206 с.
Филиппенко В.И. Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие по курсу «Теория вероятностей» / Криворожский гос. педагогический ин-т. — Кривой Рог, 1993. — 40 с.