Теория вероятностей. ОтПаскаля до Колмогорова
Санкт-Петербург 2010
Введение
Сейчас уже трудноустановить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, овозможности количественного измерения возможности появления случайного события.Мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительноговремени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей. Втечение долгого периода исследователи ограничивались рассмотрением разного родаигр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет ограничиватьсяпростыми и прозрачными математическими моделями. Однако следует заметить, чтомногие отлично понимали то, что позднее было прекрасно сформулированоХристианом Гюйгенсом: «…я полагаю, что при внимательном изучении предметачитатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываютсяосновы очень интересной и глубокой теории».
На первомэтапе изучения случайных явлений внимание ученых было сосредоточено на трехзадачах:
1) подсчетчисла различных возможных исходов при бросании нескольких костей;
2) разделставки между игроками, когда игра прекращена где-то посередине;
3) определениечисла бросаний двух или нескольких костей, при которых число случаев,благоприятствующих выпадению на всех костях одинаковых граней хотя бы при одномбросании, было большим, чем число случаев, когда это событие не появится ниразу.
Числоразличных исходов при бросании трех игральных костей было определено в 960 г. епископом Виболдом из города Камбрэ. Он считал, что таких исходов 56. Позднеевыяснится, что это не так.
Попыткаподсчитать число исходов при бросании трех игральных костей, включая иперестановки, имеется в поэме Ричарда де Форниваль, написанной впромежутке от 1220 до 1250 г. В части поэмы, посвященной играм и спорту,имеются следующие рассуждения: «Одинаковое число очков на трех костях можнополучить шестью способами. Если число очков на двух костях совпадает, а натретьей от него отлично, то мы имеем 30 способов, поскольку одна пара моглабыть выбрана шестью способами, а третье число лишь пятью. Если очки на всехкостях различны, то мы имеем 20 способов, поскольку 30 раз по 4 равно 120, нокаждая возможность появляется шестью способами. Таким образом, существует всего56 возможностей.
Одинаковыечисла очков на всех костях можно получить только единственным способом; одинаковыечисла очков на двух костях, а третье отличное от них тремя способами».
Хотя в текстеявно указано лишь число случаев по Виболду, но фактически Ричард деФорниваль подготовил подсчет общего числа равновероятных случаев прибросании трех костей: 6*1+30*3+20*6 = 216.
Специальногоупоминания заслуживает одна из первых математических книг начала эпохиитальянского Возрождения, написанная Лукой Пачоли (1445–1514) и носившаяназвание «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности».В разделе необычных задач в упомянутой книге были помещены две следующие:
1) Компания играет в мяч до60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми обстоятельствамиигра прекращена до ее окончания, причем одна сторона в этот момент имеет 50, адругая – 30 очков. Спрашивается, какую долю общей ставки должна получить каждаясторона?
2) Трое соревнуются встрельбе из арбалета. Кто первым достигнет 6 лучших попаданий, тот выигрывает.Ставка 10 дукатов. Когда первый получил 4, второй 3, а третий 2 лучшихпопадания, они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо.Спрашивается, какой должна быть доля каждого?
Пачолипредложил решение, которое позднее многократно оспаривалось, поскольку оно былопризнано ошибочным. А именно он предложил делить ставку пропорционально числувыигранных партий.
1. ИсследованияДж. Кардано и Н. Тарталья
Существенноепродвижение в решении первичных задач теории вероятностей связано с именамиитальянских ученых Кардано (1501–1575) и Тарталья (1499–1557). Врукописи «Книга об игре в кости» были решены многие задачи, связанные сбросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. Онправильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти прибросании двух и трех костей. Кардано указал число возможных случаевпоявления хотя бы на одной из двух костей определенного числа очков. Карданопредложил рассматривать отношение 1/6 (вероятность выбрасывания заданного числаочков при бросании одной кости), 11/36 (вероятность получить хотя бы на однойиз двух костей грань с заданным числом очков) которое мы теперь называемклассическим определением вероятности. Кардано не заметил, что стоял напороге введения важного понятия для всего дальнейшего развития большой главыматематики, да и всего количественного естествознания. Рассматриваемые имотношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чемкак характеристика возможности появления случайного события при испытании. Карданои Тарталья предложили новое решение задачи Пачоли о разделеставки, однако и их решения были ошибочными.
2.Исследования Галилео Галилея
Такимобразом, уже в 16 веке возникли задачи вероятностного характера и разыскивалисьподходы к их решению. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становилисьосновой новой теории и позволяли решать отдельные задачи. Значимый вклад в этотпрогресс внес Галилео Галилей (1564–1642). Его работа «О выходе очковпри игре в кости» была посвящена подсчету возможных случаев при бросании трехкостей. Число всех возможных случаев Галилей подсчитал простым иестественным путем, возвел 6 (число различных возможностей при бросании однойкости) в 3 степень и получил 216. Далее он подсчитал число различных способов,которыми может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костяхочков. При подсчете Галилей пользовался полезной идеей: костинумеровались (первая, вторая, третья) и возможные исходы записывались в видетроек чисел, причем на соответствующем месте стояло число очков, выпавшее накости с данным номером. Эта простая мысль для своего времени оказалась весьмаполезной.
Галилей, в сущности, повторилрезультаты, полученные значительно раньше рядом предшественников. Однако эта,теперь простая задача, в ту пору была серьезным испытанием и для мыслителя стольвысокого ранга как Галилей.
Заметим, чтоу Галилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся не надвероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые имблагоприятствуют.
Для теориивероятностей и математической статистики большое значение имеют соображения Галилеяпо поводу теории ошибок наблюдений. До него никто этим не занимался. Таким образом,все, что он написал ан эту тему ново для его времени и важно даже в наши дни.Свои мысли и выводы он достаточно подробно изложил в одном из основных своихпроизведений: «Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой икоперниковой».
3. ВкладПаскаля и Ферма в развитие теории вероятностей
Обычносчитают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых Б. Паскаля(1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). От этой переписки сохранились лишьтри письма Паскаля и четыре письма Ферма. В этой переписке ещеотсутствует понятие вероятности, и оба ученых ограничиваются рассмотрениемчисла благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в историиимеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилийу исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и тойже идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательноговыигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачаткииспользования математического ожидания и теорем о сложении и умножениивероятностей. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов кзадачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем,когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значениедля зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интересов Паскаляк задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы спридворным французского королевского двора шевалье де Мере, которыйинтересовался литературой, философией и одновременно был страстным игроком. Вэтой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю.
1) Сколькораз нужно подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующихвыпадению хотя бы раз двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда нипри одном бросании не появляются две шестерки одновременно?
2) Какнужно разделить ставки между игроками, когда они прекратили игру, не набравнеобходимого для выигрыша числа очков?
Основноесодержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки.Решение Паскаля подробно излагается в письме:
«Вот примерно,что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют,например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля.
Предположим,что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и есливыигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру;если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по двевыигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, токаждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.
Примите же вовнимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если онпроигрывает, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на этупартию, и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоляверных, ибо в случае проигрыша я их все равно получил бы, но остальные 32пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделимже эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32пистоля».
Далее Паскальрассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ниодной и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. Вобоих случаях рассуждения те же, что были приведены выше.
Ферма предложил следующеерешение этой задачи:
Пусть довыигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В трех. Тогда для завершенияигры достаточно сыграть максимум четыре партии. Возможные исходы представлены ввиде таблицы:ПАРТИИ
1
2
3
4
АААА
АААВ
ААВА
ААВВ
АВАА
ВААВ
ВААА
АВАВ
АВВА
ВАВА
ВВАА
ВВВА
ВВАВ
ВАВВ
АВВВ
ВВВВ
ИГРА ВЫИГРАНА
ИГРОКОМ А после двух партий А после четырех партий А после трех партий В после трех или четырех партий
В первыходиннадцати исходах выигрывает А, в последних пяти В. Таким образом,ставка между игроками должна быть разделена в отношении 11/5. Т.е. игрок Аполучит 11/16, а В получит 5/16 ставки. Очевидно, что Ферма, как и Паскаль,делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры.Однако, они и сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы.
Паскаль одновременно сразмышлениями над проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма,разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился «Трактат обарифметическом треугольнике», внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики.В этом трактате есть параграф, в котором изложены правила использованиякомбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем,состоит в следующем: пусть игроку /> довыигрыша всей игры не хватает />
Партий, аигроку /> /> партий, тогда ставкадолжна делиться между игроками в следующем отношении:
/>
4. РаботаХ. Гюйгенса
Значительноевлияние на развитие теории вероятностей оказала работа Х. Гюйгенса(1629–1695). Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой вПариж в 1655 г., где он познакомился с рядом видных ученых и услышал отних сведения относительно задач о разделе ставки в азартных играх, которыеразрабатывались Паскалем и Ферма. Результатом явилась его работа,опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Ф. ванСхоутена «Математические этюды».
Работа Гюйгенсасостоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения весьмаразличны по своему содержанию. Первые три являются теми принципами, на основекоторых Гюйгенс основывал последующие решения.
Предложение1. Если я имею равные шансы получить /> или />, то это мне стоит />.
Предложение2. Если я имею равные шансы получить />или />, то это мне стоит столькоже, как если бы я имел />.
Предложение3. Если число случаев, в которых получается сумма />,равно />, а число случаев, вкоторых получается сумма />, равно />, то стоимость моегоожидания равна />.
Ясно, чтоэтими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания дляслучайной величины, принимающей два или три значения. В первых двухпредложениях значения, принимаемые случайными величинами, равновероятны, а втретьем предложении вероятность значения /> равна/> и вероятность значения /> равна />. Понятие вероятности у Гюйгенсаеще не выделено, и он все время оперирует числами шансов, благоприятствующих томуили другому событию. Гюйгенс говорил о стоимости, за которую он готовуступить свое право на получение выигрыша. Термин «ожидание» был введен вупотребление Схоутеном при переводе.
Предложения 1и 2 представляют собой ничто иное, как версию задачи о разделе ставки.
«Предположим,что я играю против другого лица на то, кто первым выиграет 3 партии, и что яуже выиграл 2 партии, а он 1. Я хочу знать, какая часть ставки причитается мне,когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки… Нужно заметитьсначала, что достаточно принять во внимание число партий недостающих той идругой стороне. Так как верно, что если бы мы играли на то, кто выиграет 20партий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то я имел бы такоеже самое преимущество, как и в изложенном случае, где при трех партиях явыиграл две, а он только одну, а это потому, что в обоих случаях мне недостаеттолько одной партии, а ему двух. Затем, чтобы вычислить часть, причитающуюсякаждому из нас, нужно обратить внимание на то, что произошло бы, если бы мыпродолжали игру. Верно и то, что выиграв партию, я получил бы полностью суммуставки, которую обозначу />. Ноесли первую партию выиграет мой противник, то наши шансы станут равными,принимаю во внимание, что каждому из нас будет недоставать по одной партии;значит, каждый из нас имел бы право на />,что согласно первому предложению, эквивалентно сумме половин, т.е. />, так что моему соперникуостается />».
Предложения 4–9работы Гюйгенса посвящены решению задач, связанных с безобидным делениемставки. Например, в предложении 8 рассмотрено деление ставки между тремяигроками, когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии, авторому и третьему по две. Предложения 10–14 содержат различные задачи, связанныес бросанием костей. В конце работы помещены 5 задач без решений, которые Гюйгенспредложил читателю для самостоятельных размышлений.
К концу 17века завершался длительный период накопления первичных сведений о случайныхсобытиях, точно поставленных задач и подходов к их решению. Многие выдающиесяумы занимались этими вопросами и с разных позиций подходили к количественнойоценки возможности наступления случайного события. Ферма фактическипользовался понятием математического ожидания, использование которого длярешения разнообразных задач было широко развито Гюйгенсом; Паскаль,Ферма и Гюйгенс использовали представления о теоремах сложения иумножения вероятностей, и подошли вплотную к понятию вероятности, однако егоони не ввели. Если бы исследователи того времени задали себе вопрос, чтовозможнее при четырехкратном бросании кости хотя бы раз выбросить шестерку илипри двадцатипятикратном бросании двух костей хотя бы раз выбросить на обеихкостях шестерки, они были бы вынуждены ввести классическое понятие вероятностии далее его использовать. Однако этого в 17 веке не произошло и введение внауку классического понятия вероятностей принадлежит лишь 18 столетию. Периодпредыстории завершался и начинался период истории теории вероятностей. Дляэтого уже был создан достаточно прочный фундамент.
5. Первыеисследования по демографии
Одним изтолчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования ДжонаГраунта (1620–1675) и Вильяма Петти (1623–1687) по демографии. Ихработы наглядно продемонстрировали, каким мощным орудием могут служить дляизучения массовых явлений статистические наблюдения, если их соответствующимобразом обработать. Первой работой, с которой начинается история статистики какобласти научного знания, следует назвать книгу Граунта, опубликованную в1662 г. под названием «Естественные и политические наблюдения,перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные над бюллетенями смертности.По отношению к управлению, религии, торговле, росту, воздуху, болезням и разнымизменениям означенного города».
Основнаязадача, которая интересовала Граунта, состояла в указании метода,который позволял бы установить с достаточной точностью возрастной составнаселения города в результате наблюдений за возрастом умерших. С этой целью им былипроанализированы 229 250 регистраций смертей в Лондоне происшедших за 20 лет.Среди этих смертей было отмечено 71 124 смерти детей от 0 до 6 лет.Причины смертей были тщательно перечислены Граунтом. Он специально отметил, чтоотношение числа смертей детей от 0 до 6 лет к общему числу смертей за тот жепериод времени, равное 71 124/229 250, приблизительно равняется 1/3. Инымисловами, Граунт ввел представление о частоте события. Для развитиятеории вероятностей это обстоятельство сыграло огромную роль, как и егозамечание: «…мы бы хотели отметить, что некоторые из случайностей имеютпостоянное отношение к числу всех похорон». Здесь Граунт вплотнуюподошел к представлению о статистической устойчивости средних. Им быласоставлена первая таблица смертности.
Граунт прекрасно понимал, чтоточность его выводов тем больше, чем больше наблюдений имеется для обработки.Именно в связи с этим он отметил, что недостаточно ограничиваться обработкойбюллетеней смертности только за одну неделю для получения полноценных выводов осоставе населения.
Понятиечастоты подхватили другие авторы. Так в небольшой книге В. Петти «Дваочерка по политической арифметике, относящиеся к людям, зданиям, больницам вЛондоне, Париже», вышедшей в 1682 г. в Лондоне, а через два года во французскомпереводе в Париже, были даны сравнительные данные о смертности в госпиталяхшарите Парижа и Лондона.
Работы Граунта,Петти и ряда их последователей представляют собой ничто иное, как первыешаги в области математической статистики.
Непосредственнымпродолжателем исследований, начатых Граунтом и Петти, былзнаменитый английский астроном Эдмунт Галлей (1656–1742). В 1693 г.Галлей опубликовал в изданиях Лондонского королевского общества двестатьи «Оценка степеней смертности человечества, выведенная на основаниилюбопытных таблиц рождений и погребений города Бреславля, с попыткой установитьцену пожизненных рент» и «Несколько дальнейших замечаний по поводуБреславльских бюллетеней смертности». Одна из причин интереса Галлея ктаблицам смертности состоит в том, что сами Граунт и Петтисознавали недостаточную обоснованность своих выводов, поскольку у нихотсутствовали численность населения и возраст умерших. Кроме того, в городах,которые они изучали, был большой приток населения извне. Это обстоятельстводелает указанные города «неподходящими в качестве стандарта для этой цели,которая требует, если это возможно, чтобы население, с которым имеют дело, былосовершенно закрытым, т.е. таким, где все умирают там, где они родились, где нетникаких эмигрантов и иммигрантов. По словам Галлея, бреславльскиематериалы не имеют указанных дефектов.
На основанииимевшихся у него данных Галлей составил таблицу смертности, которую онрассматривал одновременно и как таблицу доживающих по возрасту лиц, так и какраспределение населения по возрасту. Он ввел в науку понятие о вероятнойпродолжительности жизни, как о возрасте, которого одинаково можно достигнуть ине достигнуть. На современном языке это медиана длительности жизни. Ввычислениях Галлея можно заметить использование им принципов, лежащих воснове теорем сложения т умножения вероятностей, а также рассуждения, близкие кформулировке закона больших чисел.
Работы Галлеяимели очень большое значение для развития науки и применений статистическихисследований о народонаселении к вопросам страхования.
6. Возникновениеклассического определения вероятности
До конца 17в. наука так и не подошла к введению классического определения вероятности.Однако в 30-х годах 18-го столетия классическое определение вероятности стало общеупотребительным,и никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числаблагоприятствующих событию шансов. Введение классического определениявероятности произошло не в результате однократного действия, а занялодлительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывноесовершенствование формулировки, переход от частных задач к общему случаю. Еще вкниге Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (1657) нет понятиявероятности как числа, заключенного между 0 и 1 и равного отношению числаблагоприятствующих событию шансов к числу всех возможных. А в трактате Я. Бернулли«Искусство предположений» (1713) понятие это введено, хотя и в несовершеннойформе. Что же заставило Бернулли ввести в научный обиход классическоепонятие вероятности?
Несомненно,что формулировка закона больших чисел, осуществленная Бернулли, сама посебе является достаточным для этого основанием. Однако сильное влияние на ходмыслей ряда исследователей, в том числе и Бернулли, оказали работы Граунтаи Петти. Их произведения убедительно показали преимущества понятиечастоты перед понятием численности. Понятие частоты, т.е. отношение числанаблюдений, в которых появляется определенное свойство, к числу всехнаблюдений, позволяет получить серьезные практические выводы. Отсюда оставалсяодин шаг до введения классического определения вероятности. Выводы Граунтаи Петти относительно устойчивости некоторых событий подготовили почву ик формулировке закона больших чисел.
Бернулли дал такое определениевероятности: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее, какчасть от целого». Далее было пояснение сказанного на примере, которыйпоказывает, что Бернулли в данную им формулировку вкладывал тот жесмысл, какой мы вкладываем в классическое определение вероятности.
Интересныдругие рассуждения его работы. Бернулли задал вопрос: как определитьвероятность случайного события, если у нас нет возможности подсчитать числавсех возможных и благоприятствующих ему шансов? Ответ был им сформулированследующим образом: «Но здесь нам открывается другая дорога для достиженияискомого. И то, что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно получить a posteriori, т.е. из многократногонаблюдения результатов в подобных примерах… Ибо, если, например, при наблюдениях,сделанных некогда над тремя сотнями людей того же возраста и сложения, в какихнаходится теперь Тит, было замечено, что из них двести до истечения 10 летумерли, а остальные остались в живых и дальше, то можно заключить с достаточнымоснованием, что имеется вдвое больше случаев Титу умереть в течение ближайшегодесятилетия, чем остаться в живых по истечении этого срока… Этот опытный способопределения числа случаев по наблюдениям не нов и не необычен».
Важноподчеркнуть, что в высказанных отрывках достаточно четко прослеживается мысль остатистическом определении вероятности. Таким образом, в трактате Бернуллиприсутствуют обе концепции вероятности классическая и статистическая. Обе ониизложены не очень четко, но они уже введены в рассмотрение и использованы.Введено в рассмотрение понятие вероятности случайного события, как числа,заключенного между 0 и 1. Достоверному событию приписывается максимальновозможное значение вероятности единица, а невозможному минимальное ноль. Крометого, было ясно сказано, что это число может быть определено двумя различнымиспособами: путем подсчета числа равновозможных случаев, которыеблагоприятствуют событию, и всех возможных случаев и вычисления их отношенияили же путем проведения большого числа независимых испытаний и вычислениячастоты события.
Монмор в своей книге «Обзоранализа азартных игр» использовал введенное Бернулли понятие вероятностии применил его к решению достаточно сложных задач. В частности Монморрассмотрел и правильно решил следующую задачу: имеется /> предметов, пронумерованныхчислами от 1 до />. Спрашивается,чему равна вероятность того, что при последовательном вынимании этих предметовнаудачу (без возвращения) хотя бы один предмет будет вынут так, что номервынимания совпадет с присвоенным ему номером. Эта вероятность оказалась равной />.
А. Муавр принял классическоеопределение вероятности, данное Бернулли, и вероятность событияопределил в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: «Следовательно,мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, азнаменатель число всех случаев, при которых оно может появиться или непоявиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность егопоявления». Муавр, как и Бернулли не заострял внимание на то, чтошансы должны быть равновероятными. Это замечание впервые было введено вопределение классической вероятности лишь П. Лапласом в его«Аналитической теории вероятностей». Лагранж об этом еще не задумывалсяи давал определение вероятности в точности по Муавру. По-видимому, на Лапласаповлияла дискуссия, начатая Д`Аламбером, который при решении задачи овероятности выпадения (при бросании двух монет) герба на одной из монет и решкина другой, определил ее равной 1/3. Это он мотивировал тем, что имеется лишьтри возможности:
1) на обеихмонетах выпадает герб;
2) на обеихмонетах выпадает решка;
3) на одноймонете выпадает герб, а на другой решка.
7. Формированиепонятия геометрической вероятности
Уже в первойполовине 18 века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеетограниченную область применений и возникают ситуации, когда оно не действует, апотому необходимо какое-то естественное его расширение. Обычно считают, чтотаким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона(1707–1788), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы наразграфленную плоскость и предложил ее решение. Однако, задолго до рождения Бюффонапоявилась работа, в которой фактически уже был поставлен вопрос о нахождениигеометрической вероятности. В 1692 г. в Лондоне был опубликован английскийперевод книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх»,выполненный Д. Арбутнотом (1667–1735). В конце первой частипереводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована задачасовсем иной природы, по сравнению с теми, которые были рассмотрены великимавтором. Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении «для того,чтобы она была решена теми, кто считает такого рода проблемы достойнымивнимания». Задача, предложенная Арбутнотом состоит в следующем: наплоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед, с ребрами, равными />,/>,/>. Спрашивается, как частопараллелепипед будет выпадать гранью />? Сам Арбутнотне сделал даже попытки решить придуманную им задачу. Это было осуществленозначительно позднее Т. Симпсоном (1710–1761) в книге «Природа изаконы случая». Идея решения состоит в следующем: опишем около параллелепипедасферу и спроектируем из центра на поверхность ее все ребра, боковые грани иоснования. В результате поверхность сферы разобьется на шесть непересекающихсяобластей, соответствующих граням параллелепипеда. «Нетрудно заметить, чтоопределенная часть сферической поверхности, ограниченная траекторией, описаннойтаким образом радиусом, будет находиться в таком же отношении к общей площадиповерхности, как вероятность появления некоторой грани к единице». Здесьзаключены принципы разыскания геометрических вероятностей: вводится мерамножества благоприятствующих событию случаев и берется ее отношение к меремножества всех возможных случаев. В нашем случае полная мера сводится к площадиповерхности шара.
Бюффон дважды публиковалработы, посвященные геометрическим вероятностям. Первая публикация относится к1733 г., когда он сделал в Парижской академии наук доклад, напечатанныйпод названием «Мемуар об игре под названием франк-карро». Цель, которую ставилперед собой Бюффон, состояла в том, чтобы показать, что «геометрия можетбыть использована в качестве аналитического инструмента в области теориивероятностей», в то время, как до тех пор «геометрия казалась мало пригоднойдля этих целей», поскольку для них использовалась только арифметика. Играфранк-карро состоит в следующем: пол разграфлен на одинаковые фигуры. На полбросается монета, ее диаметр /> меньшекаждой из сторон и монета целиком укладывается внутрь фигуры. Чему равнавероятность того, что брошенная наудачу монета пересечет одну или две стороныфигуры?
Дляопределенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольниками со сторонами />, />. Легко подсчитать, чтоплощадь полосы между основным прямоугольником со сторонами, параллельнымисторонам основного на расстоянии />откаждой из его сторон и целиком расположенного внутри основного, равна />. Легко понять, что центрмонеты, попав внутрь малого прямоугольника, не только не пересечет, но даже некоснется сторон основного. Значит, вероятность того, что монета пересечет поменьшей мере одну из сторон основного прямоугольника равна />.
Втораязадача, сформулированная Бюффоном, состоит в следующем: плоскостьразграфлена равноотстоящими параллельными прямыми. На плоскость наудачубросается игла. Один игрок утверждает, что игла пересечет одну из параллельныхпрямых, другой, что не пересечет. Определить вероятность выигрыша каждого изигроков. Менее известна задача об игре, когда игла бросается на плоскость,разграфленную на квадраты. В решении этой задачи Бюффон допустил ошибку,позднее исправленную Лапласом.
После Бюффоназадачи на геометрические вероятности стали систематически включаться в трактатыи учебники по теории вероятностей. В прекрасном для своего времени учебнике«Основания математической теории вероятностей» (1846) В.Я. Буняковского(1804–1889) имеется большой раздел, посвященный геометрической вероятности. Внего включена задача Бюффона о бросании иглы и частный случай игрыфранк-карро, когда плоскость разбита на равнобедренные треугольники.
Серьезный шагв развитии геометрических вероятностей связан с именами Ламе (1795–1870),Барбье, Д. Сильвестра (1814–1897), М. Крофтона,которые не просто поставили новые задачи, но и привлекли к их решению понятиемеры множества. На базе их рассмотрений позднее возникла новая ветвь геометрии,получившая название интегральная геометрия.
Сильвестр первый после Бюффонарасширил тематику задач на геометрические вероятности. Им была предложеназадача о четырех точках или задача Сильвестра: четыре точки взятынаудачу внутри выпуклой области. Чему равна вероятность того, что, взяв этиточки в качестве вершин, можно составить выпуклый четырехугольник?
Сильвестр отчетливо понимал, чтопри вычислении геометрических вероятностей приходится брать отношение площадейили объемов тех областей, которые благоприятствуют событию и в которыхпомещаются всевозможные события. Фактически так поступали и раньше. Но при этомпроизносили другие слова, которые или не имели определенного смысла или же несоответствовали производимым действиям. Сравнив результаты вычислений дляразличных областей, Сильвестр предложил найти те области, для которыхвероятность получения выпуклого четырехугольника достигает максимума илиминимума. Первые результаты принадлежат Крофтону. Он доказал, чтоминимум достигается для круга. Там же он высказал предположение, что минимумдостигается и для эллипса. Это предложение было доказано лишь В. Блашке(1923). Дельтейль показал, что максимальная вероятность формированиявыпуклого четырехугольника достигается для треугольной области. Несомненно, чтов 19 веке на развитие проблематики геометрических вероятностей особое влияниеоказал Крофтон. Он начал изучать пересечение случайными прямыми заданныхвыпуклых контуров.
Нанеобходимость совершенствования понятия геометрической вероятности несомненноевлияние оказала книга Ж. Бертрана (1822–1900), в которой на хорошоподобранных примерах было показано, что логически понятие геометрическойвероятности не выдерживает критики. Играя на неопределенности терминологии,казалось бы для одной и той же задачи, ему удалось получить несколько разныхответов. В качестве основной мишени им была выбрана задача о проведении наудачухорды внутри круга. Критика Бертрана привлекла внимание математиков кобщим вопросам логического обоснования теории вероятностей.
В 20 векеинтерес к геометрическим вероятностям не ослабел, а вырос, поскольку, помимочисто математического интереса, они приобрели серьезное прикладное значение вфизике, биологии, медицине, инженерном деле и т.д.
8. Основныетеоремы теории вероятностей
Следующийважный вопрос: кто и когда выделил в теории вероятностей основные ее теоремысложения, умножения и полной вероятности? Формулировки этих теорем не удалосьзаметить ни в переписке Ферма с Паскалем, ни в трактате Гюйгенса.Однако зачатки этих теорем можно проследить буквально с первых шагов теориивероятностей как математической науки.
Так в работахПаскаля можно увидеть, что он отчетливо понимал как следует подсчитыватьчисло благоприятствующих шансов для события />,если нам известны шансы для несовместимых событий />,составляющих событие />. Это, конечно,еще не теорема сложения, но важный шаг на пути ее формулировки. В работах Я. Бернуллии Н. Бернулли дается отчетливая формулировка правило числениявероятности противоположного события, если известна вероятность прямого.
Первая четкаяи окончательная формулировка теорема сложения вероятностей находится в работе Т. Байеса(1702–1761), носящей название «Опыт решения задач по теории вероятностейпокойного достопочтенного мистера Байеса, члена Королевского общества. Сообщеномистером Прайсом в письме Джону Кентону, магистру искусств, члену Королевскогообщества». В этой работе содержится определение несовместимых событий. Байесупотребляет другой термин «неплотные события». По Байесу «несколькособытий являются неплотными, если наступление одного из них исключаетнаступление других». Байес сформулировал теорему сложения в следующемвиде: «Если несколько событий являются неплотными, то вероятность того, чтонаступит какое-то из них, равно сумме вероятностей каждого из них».
Четкоевыделение теоремы умножения было осуществлено Муавром в 1718 г. Вовведении к «Доктрине шансов» он определил важное понятие независимостислучайных событий: «Мы скажем, что два события независимы, когда каждое из нихне имеет никакого отношения к другому, а появление одного из них не оказываетникакого влияния на появление другого». Еще более определенно им даноопределение зависимых событий: «два события зависимы, когда они связаны друг сдругом и когда вероятность появления одного из них изменяется при появлениидругого». Теорему умножения Муавр сформулировал следующим образом:«…вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностипоявления одного из них на вероятность того, что другое должно появиться, еслипервое из них уже появилось. Это правило может быть обобщено на случайнескольких событий».
О вероятностисовместного наступления нескольких событий Муавр писал следующее «…надообозначить одно из них как первое, другое как второе и т.д. Тогда вероятностьпоявления первого должна рассматриваться как независимая от остальных, вторая –в предположении, что первое произошло, третье – в предположении наступленияпервого и второго и т.д. Следовательно, вероятность наступления всех событийравна произведению всех только что указанных вероятностей». Муавротметил, что разыскание условных вероятностей, как правило, представляет собойсложное занятие.
Формулировкатеоремы умножения у Байеса такая же, как у Муавра. Единственно, вчем Байес пошел дальше Муавра это в формулировке следствия овычислении вероятности /> по вероятностям /> и />. Это предложение далооснование приписывать Байесу формулы, носящие его имя. Вдействительности у него их нет, поскольку он не знал формулы полной вероятности.
Результат,приписываемый Байесу, по-видимому, впервые получил современнуюформулировку у Лапласа в его «Опыте философии теории вероятностей». Вглаве «Общие принципы теории вероятностей» он сформулировал принцип, которыйотносится к вероятности гипотез, или, как писал Лаплас, вероятностипричин, словесно сформулировал известное «правило Байеса». Более того, этотпринцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности.
Такимобразом, основные принципы действия с вероятностями вычленялись длительнымпутем. Их многократно использовали при решении отдельных задач, но неформулировали их в качестве особых предложений. Потребовалось почти целоестолетие, чтобы после введения в науку понятия вероятности сформулировать дляэтого понятия систему правил действия с ним. Такие правила широкоиспользовались фактически, но потребности в их формулировании не ощущали.Попутно при этом вводились и дополнительные понятия, которые позволяли глубжевникать в природу вещей. В нашем случае этими понятиями являются понятиянесовместимости и независимости случайных событий.
9. Задачао разорении игрока
Серьезнуюроль в развитии теории вероятностей играла задача о разорении игрока, онапозволяла оттачивать методы решения сложных вопросов и в какой-то мере являласьисходным пунктом для развития теории случайных процессов. Именно в этой задачевпервые начали изучать состояние системы в зависимости от времени. Точнееположение игроков после заданного числа партий. Эта задача была впервыесформулирована в Гюйгенсом в книге «О расчетах в азартных играх». Этойзадачей занимались многие выдающиеся математики Я. Бернулли, Н. Бернулли,Муавр, Лаплас и др.
Первыеподходы к решению задачи о разорении игрока почти одновременно были предложенытремя математиками Монмором, Муавром и Н. Бернулли. Ихрезультаты относились к 1710–1711 г. Задача Гюйгенса в ихформулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид: игроки /> и /> имеют соответственно /> и /> франков и при каждойпартии некоторой игры один из них выигрывает у другого 1 франк. Вероятностьвыигрыша игрока /> для каждойпартии равна />, для игрока /> вероятность выигрыша равна/>. Спрашивается, чему равнывероятности /> и /> того, что игрок /> выиграет (соответственноигрок />) игру (т.е. игрок /> выиграет все деньги /> раньше, чем /> выиграет их у />).
Муавр нашел, что
/>, />.
И чтоматематическое ожидание числа /> необходимыхдля завершения игры партий равно />.
Ему жеудалось найти вероятности />, чтоигрок /> выиграет игру за /> партий (соответственновыиграет за /> партий игрок />). Вдобавок им был подробнорассмотрен случай, когда />.
В 1710 г.формулы для /> в случае /> нашел Монмор. Своисоображения он переслал Иоганну Бернулли, который передал письмо своемуплемяннику Николаю. Ответное письмо Н. Бернулли от 26 февраля 1711 г.содержало решение и для случая />.
Рассмотрениерешений этих ученых ясно показывает, что все они владели приемами оперированияс вероятностями сложных событий. Практически они безукоризненно точноиспользовали теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полнойвероятности, хотя в ту пору они еще не получили точной формулировки.Происходило накопление опыта и выделение тех правил, которые постояннонеобходимы при подсчете вероятностей сложных событий.
10. Возникновениепредельных теорем теории вероятностей
Напоследующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея,впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли рассматривать нетолько точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотическиепостановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. В первую очередьследует указать на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именноон послужил источником для различного рода уточнений как в 18-ом веке, так и впоследующие столетия.
Я. Бернулли дал формулировку своейтеоремы в отличном от принятого теперь виде, использовал для обозначенияиспытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова «плодовитый»,«фертильный», а для противоположных исходов слово «стерильный».
«Пусть числофертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближеннокак /> или же это число относитсяк числу всех случаев как /> или жекак />. Последнее отношениенаходится, следовательно, между /> и />. Нужно доказать, что можнопроизвести столь большое число опытов, что число появившихся фертильныхнаблюдений к числу всех опытов будет больше, чем />,и меньше, чем />». Ясно, что этаформулировка лишь словесно отличается от принятой теперь.
Книга«Искусство предложений» Я. Бернулли быта тщательно изучена егоплемянником Н. Бернулли. В его работе «О применении искусствапредположений в вопросах прав», исходя из таблиц Граунта, он изучалвопрос о вероятности дожития до определенного возраста. На основаниидолголетних регистраций рождений он отметил тот факт, что мальчиков рождаетсябольше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мальчиков к числурождений девочек оказывается, как он считал, равным 18:17.
Далее Н. Бернуллирассмотрел пример, когда имеется 14 000 рождений. Тогда, согласно формуламН. Бернулли, имеет место равенство (/> означаетфактическое число рождений мальчиков)
/>
Фактическоечисло рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяетвычислить вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено вуказанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести,сложны.
В точностиэтот пример рассмотрен Лапласом в «Аналитической теории вероятностей». Вкачестве искомого значения вероятности неравенства /> Лапласуказал величину 0.994303.
В двухпоследних изданиях книги Муавра «Доктрина шансов» был помещен переводего статьи 1733 г. Согласно словам самого автора «Я помещаю здесь переводмоей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, ноникогда не публиковавшейся». В кратком введении Муавр отметил, что длярешения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членовбиномиального распределения и что вычисления становятся громоздкими при большихзначениях числа испытаний. В результате перед Муавром возник вопрос оразыскании асимптотической формулы. Эта задача была им благополучно решена.Основная трудность, которая при этом возникала, состояла в оценке факториала /> при больших значениях />. Муавр доказал, что/>, где />, однако это его неудовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными вматематику. Стирлинг показал, что />.Известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала вслучае больших чисел, таким образом, следовало бы назвать формулой Муавра.Использовав найденную им формулу «Стирлинга», Муавр первоначальновыяснил, что в случае /> средний членбинома /> асимптотически равен />, а затем доказал локальнуютеорему, названную его именем. Далее Муавр получил локальную теорему дляслучая /> фактически в принятомтеперь виде.
Имея в рукахлокальную теорему, Муавр без затруднений сформулировал и интегральную,правда, только для симметричных границ.
Муавр отметил, чтоинтегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности />, т.е. для решения обратнойзадачи, задачи математической статистики.
11. Контролькачества продукции
В связи спереходом промышленности на массовое изготовление изделий, резко увеличилсяинтерес к проверке качества изделий, входящих в принимаемую партию. Появиласьглубокая по содержанию и значительная по своим практическим применениям теориястатистических методов приемочного контроля, основанная на широкомиспользовании теории вероятностей.
Первым шагом,относящимся к этому кругу идей, следует считать одну из задач, рассмотренных Т. Симпсономв книге «Природа и законы случая» (1740 г.). Имеется данное число вещейразличного сорта /> вещей первого, /> второго и т.д. Наудачудерутся /> вещей. Найти вероятностьтого, что при этом будет взято /> вещейпервого сорта, /> второго и т.д.
Спустя сто снебольшим лет, к этой задаче вновь вернулся М.В. Остроградский(1801–1862) в работе «Об одном вопросе, касающемся вероятностей» (1846). Он вычислилнеобходимые для практического применения таблицы. Приведем подлинные слова Остроградского.«В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно,но мы не знаем, сколько из них какого цвета. Мы извлекаем некоторое количествошаров, подсчитав, сколько из них белых и сколько черных, снова кладем в сосуд.Требуется определить вероятность того, что общее число белых не выходит изнаперед заданных пределов. Или, лучше сказать, мы ищем зависимость между этойвероятностью и пределами, о которых идет речь.
Чтобы понятьважность этого вопроса, представим себя на месте того, кто должен получитьбольшое число предметов, причем должны выполняться некоторые условия, и кто,чтобы проверить эти условия, должен на каждый предмет потратить некотороевремя. Перед армейскими поставщиками часто стоят такого рода задачи. Для нихшары, содержащиеся в сосуде, представляют получаемые предметы, белые, напримерпредметы приемлемые, как удовлетворяющие определенным условиям, а черныенеприемлемые.
Таким образом,если бы вопрос, который мы перед собой поставили, был решен, поставщик мог бывоспользоваться этим, чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто оченьутомительную механическую работу, как, например, проверку большого количествамешков муки или штук сукна».
Общее числошаров в урне известно, но неизвестен ее состав. Его и следует оценить привыборке, взятой из урны наудачу. Для этой цели Остроградский используетформулы Байеса.
Статистическиеметоды приемочного контроля получили особенно бурное развитие в годы Второймировой войны, поскольку было необходимо принимать огромные партии однороднойпродукции, а проверять ее сплошь не было возможностей по ряду причин. Нетвозможности здесь перечислить даже основные этапы развития теории статистическихметодов приемочного контроля. Большое число исследователей работали надразличными проблемами этой тематики и внесли в ее развитие крупный вклад. Изотечественных ученых заслуживают быть отмеченными А.Н. Колмогоров, В.И. Романовский,С.Х. Сираждинов, Ю.К. Беляев и др.
12. Развитиетеории ошибок наблюдений
Ужеупоминалось, что Галилей заложил основы теории ошибок измерений и ввел врассмотрение ряд важных понятий, которые сохранили значение и в наши дни.
Позднее подвлиянием в первую очередь астрономических и геодезических наблюдений интерес кошибкам измерений значительно возрос. Знаменитый астроном-наблюдатель ТихоБраге (1546–1601) обратил внимание на то, что каждое отдельное измерениенесет в себе возможную ошибку и точность измерений значительно повышается, еслипроизвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое.
Казалось бы,от И. Кеплера (1571–1630), сделавшего так много для формированиязаконов движения планет, следовало ожидать повышенного внимания к методамобработки результатов наблюдений. Но эти вопросы фактически остались в сторонеот его интересов, и он заметил только то, что хороший наблюдатель производитизмерения с ошибками ограниченной величины.
Первыепопытки построить математическую теорию ошибок измерений принадлежат Р. Котсу(1682–1716), Т. Симпсону (1710–1761) и Д. Бернулли (1700–1782).
Позднеетеория ошибок измерений привлекла внимание практически всех видных специалистовв области теории вероятностей. Она оказала серьезное влияние на постановкузадач и разработку методов математической статистики.
13. Формированиепонятия случайной величины
Ведениепонятия случайной величины связано с именами многих ученых, которые хотя и неиспользовали этого термина, но фактически исследовали отдельные его свойства.
Начиная с Котса,Симпсона и Н. Бернулли в 18-ом веке начала развиватьсятеория ошибок наблюдений, возникшая в первую очередь под влиянием астрономии.Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения.Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ упомянутых ученых.Он же ввел в обиход термин «случайная» и «систематическая ошибка» измерения.Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя,условиями наблюдения. Первая же зависит от многочисленных причин, влияниекоторых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению.Теперь мы ясно видим, что ошибка измерения представляет собой случайнуювеличину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей.
Но с понятиемслучайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли,Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел числопоявлений интересующего его события в /> независимыхиспытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения/> с вероятностями,задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр,исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной:числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше,он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей. Однако никто изперечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимостьвведения нового понятия случайной величины.
Первоначальносчиталось, что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическуюпрогрессию с неопределенной, но очень малой разностью. Затем постепенно отэтого предположения отказались и стали представлять себе, что возможныезначения, принимаемые ошибками наблюдений, заполняют целый отрезок, вероятностивозможных значений определялись посредством плотности распределения. И если Д. Бернуллив отношении плотности распределения вероятностей допускал еще определенныевольности, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра с плотностью распределения ужебыло все в порядке. Это была неотрицательная функция, интеграл которой по всейпрямой равен 1, а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялсяинтегралу от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже былаизвестна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределенияслагаемых. В книге «Аналитическая теория вероятностей» Лаплас умелооперирует с плотностями распределения, ставит и решает ряд интересных задач, нонигде не вводит понятия случайной величины. Он либо использует язык теорииошибок измерений, либо язык математического анализа и не ощущает потребности вновом понятии теории вероятностей.
Перваяполовина 19-го века принесла новые задачи, которые нуждаются в понятиислучайной величины. Прежде всего, это исследования бельгийскогоестествоиспытателя А. Кетле (1796–1874), заметившего, что размерыорганов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению.Изучение уклонений снаряда от цели явилось предметом исследования многихученых; они также пришли к выводу о нормальном распределении этой величины.
Многочисленныеисследования многих крупных математиков подготовили почву для введения понятияслучайной величины. По-видимому, первый шаг был сделан Пуассоном вмемуаре 1832 г. «О вероятности средних результатов наблюдений». Терминаслучайная величина у Пуассона еще нет, но он пишет о «некоторой вещи»,которая способна принять значения /> соответственнос вероятностями />. Он рассмотрелтакже непрерывные случайные величины и их плотности распределения.
Итак, Пуассономбыл сделан важный шаг в науке, он ввел в научный обиход новое понятие –случайную величину. Его первоначальный термин «вещь» не привился и вскореперестал употребляться. Чебышев в своих мемуарах по теории вероятностейуже использует термин «величина» и автоматически считает все случайныевеличины, с которыми имеет дело, независимыми. В работе же Ляпунова потеории вероятностей систематически используется термин «случайная величина» ивсюду, где это необходимо, оговаривается, что автор имеет дело с независимымислучайными величинами.
Определениеслучайной величины, данное Пуассоном, теперь уже не может считатьсяматематическим. Это скорее описание реального объекта изучения, обращение кинтуиции, полученной в результате научного и житейского опыта. Даже несложныйлогический анализ этого определения показывает, что из него совсем не следуютправила для действий над случайными величинами. Для того, чтобы случайнаявеличина приобрела статус полноценного математического понятия, ей необходимодать строго формализованное определение. Это было сделано в конце 20-х годов А.Н. Колмогоровымв небольшой статье, посвященной аксиоматике теории вероятностей, а затем вподробностях изложено в его знаменитой книге «Основные понятия теориивероятностей». Подход Колмогорова стал теперь общепринятым, поскольку онполноценно включил теорию вероятностей в общий стиль современного изложения,принятый в математике.
14. Законбольших чисел
Знаменитаятеорема Я. Бернулли о сближении при увеличении числа наблюденийвероятности события /> с частотой егопоявления получила первое обобщение лишь в 1837 г. в работе Пуассона«Исследования о вероятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских».Именно в этом мемуаре он ввел сам термин «закон больших чисел». Но егорезультаты не внесли в теорию вероятностей существенного прогресса, поскольку видейном плане они не выходили за пределы концепции Я. Бернулли.Существенный сдвиг в этом направлении связан с работой Чебышева «О среднихвеличинах» (1867). В этой работе он перешел от рассмотрения случайных событий кслучайным величинам. Теорема Чебышева теперь излагается во всехучебниках теории вероятностей. Она неоднократно позднее служила источникомобобщений.
В 1909 г.Э. Борель для /> показал,что в случае схемы Бернулли имеет место более сильное предложение, чем законбольших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г. это предложение напроизвольное /> распространил итальянскийматематик Кантелли, что />.
Этопредложение получило наименование усиленного закона больших чисел. Широкоеобобщение усиленного закона больших чисел было дано Колмогоровым вработе 1930 г., а также в 1934 г. в его монографии «Основные понятиятеории вероятностей».
В 1935 г.Хинчин ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, котороедолжно было дать максимально общую форму закона больших чисел для положительныхслучайных величин. Пусть /> последовательностьнеотрицательных случайных величин. Про суммы /> говорят,что они относительно устойчивы, если можно найти такие положительные константы />, что при /> выполнено соотношение />.
В случаеодинаково распределенных величин /> Хинчинуудалось найти необходимое и достаточное условие для относительнойустойчивости сумм />. Ученик Хинчина А.А. Бобровраспространил этот результат на случай разнораспределенных слагаемых.
Существенноерасширение проблематики, связанной с законом больших чисел, было осуществлено В.И. Гливенков работах, относящихся к 1929–1933 гг., когда он начал рассматриватьпредельные теоремы для случайных величин со значениями в функциональныхпространствах. Вершиной его результатов является замечательная теорема осходимости эмпирических распределений к истинной функции распределениянаблюдаемой случайной величины. Теорема Гливенко, сразу же после ееопубликования, была названа Кантелли основной теоремой математическойстатистики.
15.Центральная предельная теорема
Теорема Муаврао сходимости распределений центрированного и нормированного числа появленийсобытия /> в /> независимых испытаниях, вкаждом из которых событие /> можетнаступить с одной и той же вероятностью />,к нормальному распределению долгое время служила образцом для последующихобобщений. Первое обобщение принадлежит Лапласу и уже формулируется какпредельная теорема для сумм независимых случайных величин />, каждая из которыхравномерно распределена на отрезке />. Лапласрассматривал дискретные случайные величины с увеличивающимся числом возможныхзначений. Этим самым давалась аппроксимация непрерывного распределениядискретным.
Существенноепродвижение исследований по предельной теореме связано с именем Пуассона.Он рассмотрел схему последовательности независимых испытаний с разнымивероятностями появления события /> вкаждом из испытаний. Пуассон доказал для этого случая локальную теорему.здесь же он дал ошибочное обобщение этой теоремы на суммы произвольныхнезависимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, при условии ихцентрирования суммами математических ожиданий и нормирования квадратным корнемиз суммы дисперсий слагаемых.
Интерес кнормальному распределению в начале 19-го века возрос в связи с появлениемзнаменитых исследований Лежандра и Гаусса по формулировке иобоснованию метода наименьших квадратов.
Второйтолчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теориивероятностей, была статистическая физика, начала которой были построены всередине 19-го века. Первый общий результат в этом направлении былсформулирован в 1887 г. Чебышевым. Для доказательства этогопредложения Чебышевым был разработан весьма сильный метод, получившийназвание метода моментов и являющийся одним из крупнейших достижений науки тоговремени. Однако, в формулировке теоремы и ее доказательстве был допущен рядпромахов, которые сразу же взялся исправлять ученик Чебышева А.А. Марков.Им была строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева. Ляпуновна протяжении 1900–1901 гг. обобщил полученные результаты.
Общностьрезультатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников.Именно в ту пору появился термин «центральная предельная теорема» дляобозначения условной сходимости функций распределения нормированных ицентрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению.
Многие ученыезанимались и добились некоторых результатов при изучении центральной предельнойтеоремы: Линдеберг (1922), Феллер (1934), Бернштейн(1927), Хинчин и Леви (1935)…
Исследованиевопроса сходимости функции распределения к нормальному закону не окончились и внаши дни.
16. Общиепредельные распределения для сумм
Естественныйвопрос о том, какие распределения возможны в качестве предельных для суммнезависимых случайных величин при условии, что они примерно одинаковы повеличине, возник только в двадцатые-тридцатые годы 20-го века. Этот вопросподробно исследовали Колмогоров, Гнеденко, Леви, Хинчин.
17. Формированиепонятий математического ожидания и дисперсии
Понятиематематического ожидания в самых начальных его элементах было введено в теориювероятностей очень рано: впервые оно появилось в переписке Паскаля и Ферма.В более явной форме оно было введено Гюйгенсом. Но в ту пору этомутермину придавался смысл ожидания той средней цены, которую можно дать заприобретение случайной величины, дающей выигрыш /> свероятностью />.
Для 18-говека обращение к математическому ожиданию было не характерным. Все вниманиепривлекало понятие вероятности случайного события. В знаменитой книге Лапласа«Аналитическая теория вероятностей» нет определения математического ожидания итем более правил действия с ними. Возможно, это связано с тем, что Лапласне рассматривал и понятия случайной величины, вместо этого он изучал ошибкинаблюдений, плотности их распределений и даже вывел, и использовал формулу дляплотности суммы двух независимых ошибок.
Казалось бы,создание и развитие теории ошибок наблюдений должно было стимулировать изучениечисловых характеристик случайных величин. Однако этого не случилось. Впрочем,для нормального распределения были введены понятия истинного значения иточности наблюдений; было известно, как их вычислять по плотностираспределения. Таким образом, для этого частного случая уже была известнаформула для вычисления математического ожидания и дисперсии.
В начале 19-говека нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку с нимстолкнулись в теории ошибок наблюдений и, казалось, доказали в работах Гауссаи Лежандра, что распределение ошибок наблюдений должно быть нормальным.Остальные распределения потеряли интерес, о них попросту не думали. Несомненно,в связи с этим никто не помышлял о доказательстве теорем относительно математическихожиданий и дисперсий, поскольку для нормального распределения уже было всеизвестно. Заметим, что в книге Чебышева «Опыт элементарного анализатеории вероятностей» понятия случайной величины, математического ожидания идисперсии даже не упоминаются. Однако в курсе лекций по теории вероятностей,которые систематически он читал в Петербургском университете, Чебышевговорит о величинах (имея в виду случайные величины), их математическоможидании и дисперсии. Более того, в этих лекциях было сказано, что «оно(понятие математического ожидания) имеет большее значение на практике, чем самавероятность, потому что на основании ее у нас составляется суждение о том, чтомы можем ожидать перед появлением известного события».
В этихлекциях имеется доказательство и формулировка теорем о математическом ожиданиии дисперсии суммы случайных величин. Там же он привел и вывод своегознаменитого неравенства. При этом он предполагал как нечто самоочевидное, чторечь идет о независимых величинах.
Только вучебнике «Исчисление вероятностей» (1913–1924) строго доказываются и теорема оматематическом ожидании произведения и о математическом ожидании суммы соспециальным упоминанием о том, что она верна не только для независимых величин.
Понятиеслучайного процесса принадлежит прошлому столетию и связано с именами Колмогорова,Хинчина, Слуцкого, Винера (1894–1965). Это понятие в наши дни являетсяодним из центральных не только в теории вероятностей, но также вестествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теориисвязи. Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстроразвивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство взначительной мере определяется ее глубокими связями с практикой.
20-ый век немог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено им отпрошлого. В то время, как физика, инженера, биолога интересовал процесс, т.е.изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им вкачестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарныесостояния. Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца 19-гоначала 20-го века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общихприемов. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогусоздания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А.К. Эрлангабыла начата новая важная область поисков, связанная с изучением загрузкителефонных сетей. Число абонентов изменяется во времени случайно, адлительности каждого разговора обладает большой индивидуальностью. И вот в этихусловиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способностителефонных сетей, коммутационной аппаратуры и управляющих связью систем. РаботыЭрланга оказали значительное влияние не только на решение чистотелефонных задач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, вчастности, процессов гибели и размножения.
Во второмдесятилетии двадцатого века начались исследования динамики биологическихпопуляций. Итальянский математик Вито Вольтера разработал математическуютеорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений. Позднее рядбиологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастическихпредставлений. Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеипроцессов гибели и размножения.
Теорияброуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок, быларазработана в 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским(1872–1917) и А. Эйнштейном (1879–1955). Позднее высказанные имиидеи использовались неоднократно как при изучении физических явлений, так и вразличных инженерных задачах.
Попыткаизучения средствами теории вероятностей явления диффузии была предпринята в1914 г. двумя известными физиками Н. Планком (1858–1947) и Фоккером.
Мы должныупомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и поразным поводам. Во-первых, это работы А.А. Маркова (1856–1922) поизучению цепных зависимостей. Во-вторых, работах Е.Е. Слуцкого(1880–1948) по теории случайных функций. Оба эти направления играли оченьсущественную роль в формировании общей теории случайных процессов.
В 1931 г.была опубликована большая статья Колмогорова «Об аналитических методах втеории вероятностей», а через три года работа Хинчина «Теория корреляциистационарных стохастических процессов», которые следует считать началомпостроения общей теории случайных процессов. В первой из этих работ былизаложены основы теории марковских процессов, а во второй – основы стационарныхпроцессов. Они были источником огромного числа последующих исследований.
Обеупомянутые основополагающие работы содержат не только математическиерезультаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходнымпунктом для построения основ теории случайных процессов.
Но необщефилософское содержание является основным достоинством работы Колмогорова.В ней были заложены основы теории случайных процессов без последействия иполучены дифференциальные уравнения (прямые и обратные), которые управляютвероятностями перехода. В этой же работе был дан набросок теории скачкообразныхпроцессов без последействия, подробное развитие которой позднее было дано Феллероми Дубровским.
Построениедругого класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено Хинчиным.Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получилзнаменитую формулу для коэффициента автокорреляций. Эта работа послужилаоснованием для последующих исследований Крамера, Вальда, Колмогорова имногих других ученых.
Заключение
В историикаждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда этанаука еще не создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которыеотносятся к ее компетенции. С таким же положением мы сталкиваемся и в теориислучайных процессов. Этой теории еще не было, не было и свойственных ейпонятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины вовремени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались.
Теориявероятностей имеет богатую и поучительную историю. Она наглядно показывает каквозникали ее основные понятия и развивались методы из задач, с которымисталкивался общественный прогресс. При этом мы увидим, как человечествопереходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, каксоздание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистическихпредставлений к более широким стохастическим концепциям, тем самым, открываяновые возможности для глубоких заключений о природе вещей.
Теориявероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направленияисследований. Эти направления представляют значительный общетеоретический иприкладной интерес.