ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯСТАТИСТИКА
ЧАСТЬI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.Случайные и достоверные события. Алгебра событий. Классическое и статистическоеопределение вероятности.
2.Общее определение вероятности: аксиомы Колмогорова.
3.Теоремы сложения. Условная вероятность и независимость.
4.Теоремы умножения. Формула полной вероятности и формула Бейеса.
5.Случайные величины- дискретные и непрерывные. Функция распределения и ее свойства.
6.Плотность вероятности распределения непрерывной случайной величины.
7.Числовые характеристики случайных величин (и их вероятностный смысл): математическоеожидание; дисперсия и среднее квадратическое отклонение; мода и медиана;коэффициент вариации; асимметрия, эксцесс.
8.Модельные законы распределения.
· Биномиальноераспределение и его числовые характеристики. Схема Бернулли-схема формированиябиномиальной случайной величины. Формула Бернулли. Теорема Пуассона и теоремыМуавра-Лапласа.
· Гипергеометрическоераспределение и его числовые характеристики. Урновая схема- схема формированиягипергеометрического распределения.
· РаспределениеПуассона и его числовые характеристики.
· Равномерноеи показательное распределения. Числовые характеристики.
· Нормальноераспределение. Правило 3 сигм.
9…Предельные теоремы: Закон больших чисел; центральная предельная теорема.
10.Зависимость случайных величин: ковариация и корреляция.
ЧАСТЬII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ
1.Первичная обработка данных. Генеральная совокупность и выборка. Полигон и гистограмма.2. Выборочные оценки числовых характеристик.
3.Теория оценивания. Точечные оценки и их свойства: несмещенность;состоятельность;
эффективность.Метод моментов.
4.Оценки максимального правдоподобия и их свойства.
5.Доверительные интервалы для средней и дисперсии нормальной генеральнойсовокупности. 6. Доверительные интервалы для неизвестной вероятности.
7.Проверка гипотез. Общая схема проверки гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. F,T-критерии. 8.c2-критерий.
9.Схема дисперсионного анализа.
10.Регрессионный анализ.
Таблицавыбора заданий по вариантам для выполнения контрольной работы по курсу «Теориявероятностей и математическая статистика» Номер варианта соответствует последнейцифре в № зачетки
№
варианта задание 1 задание 5 задание 8 задание 9 задание12 1 1 10 1 5 8 2 2 9 3 1 2 3 4 3 5 8 7 4 3 6 1 2 6 5 5 4 6 10 9 6 7 8 1 2 5 7 8 7 2 3 3 8 6 6 5 2 2 9 9 4 6 7 10 10 10 5 2 10 9
ПРАВИЛАВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Привыполнении контрольных работ (далее К.Р.) необходимо строго придерживатьсяуказанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, незачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. КаждаяК.Р. выполняется в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кромекрасного. Необходимо оставлять поля шириной не менее 2 см для замечаний рецензента.
2. Внешнееоформление К.Р.: на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента,его инициалы; название дисциплины; номер контрольной работы; вариант; названиеучебного заведения; проставлена дата ее выполнения и подпись студента.
3. Вработу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по соответствующемуварианту. В случае не выполнения этого требованияставится «незачет».
4. Передрешением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
5. К.р.представляется не позднее установленных сроков. В случае не выполнения этоготребования проверка К.Р. производится в неустановленные сроки (после сессии).
6. ЕслиК.Р. «не зачтена», то ее необходимо переделать в соответствии с указаниями,данными в рецензии, и с надписью «повторная», сдать напроверку, приложив рецензию к работе.
7. Вноситьисправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
8. К.Р.с оценкой «зачет» обязательно представляется на экзамене (зачете).
!!!Экзамен (зачет) начинается с проверки знаний студента по выполненной К.Р… Еслипри этом обнаруживается не самостоятельность выполнения К.Р. и непониманиястудентом смысла проведенных операций, то экзаменатор ставит «незачет»,аннулируя предварительный «зачет» К.Р., а в ведомость оценку «неудовлетворительно»по данной дисциплине.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАЗАДАНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКОЕОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Брошенастандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) два;б)меньше пяти.
2. Вящике находится 90 красных и 15 черных шаров. Наудачу извлекается один шар.Какова вероятность, что он а) красный, б) белый, в) черный.
3. Брошенастандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) три; б)меньше трех.
4. Случайнымобразом выбирается число из множества {12,20,32,41,53,64,72,86}.Какова вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 2.
5. Студентзнает 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что предложенный вопросстудент а) знает б) не знает.
6. Изколоды в 36 карт случайным образом достается одна. Какова вероятность того, чтоа) эта туз; б) дама черви или король черви.
7. Изслова " вероятность " наугад выбирается одна буква. Каковавероятность, что это будет а) буква «В»; б) согласная буква.
8. Влотерее 1000 билетов, из них на 1 билет, попадает выигрыш 500 руб., на 10билетов по 50 руб. и на 60 билетов по 10 руб. Некто покупает 1 билет. Каковавероятность, что он выиграет а) 50 рублей; б) не менее 50 рублей.
9. Вмагазин поступило 150 цветных телевизоров, среди которых 50 фирмы Самсунг.Некто случайным образом покупает телевизор. Какова вероятность, что он от фирмыСамсунг.
10. Набирая номер телефона, забылипоследнюю цифру. Какова вероятность того, что набирая ее случайным образом, правильнонаберем номер. Как изменится эта вероятность, если дополнительно известно, чтоэто четная цифра.
ЗАДАНИЕ2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Дляопределения доли бракованных изделий были взяты случайным образом 200 изделий.При проверке оказалось, что среди них 5 бракованных. Какова вероятность, чтопроизведенная деталь является а) бракованной б) стандартной.
2. Обследованиепоказало, что из 1000 зашедших в магазин потенциальных покупателей, действительноприобрело товар 190. Какова вероятность того, что зашедший в магазин человек а)приобретет товар б) не приобретет товар.
3. Стрелокпроизвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень 57 раз. Какова вероятность,что стрелок поразит мишень.
4. Из500 телевизоров 490 проработало без поломок 10 000 часов и более. Какова вероятность,что произведенный по данной технологии телевизор проработает не менее 10 000часов без поломок.
5. Запоследние 100 дней курс доллара повышался 25 раз. Какова вероятность, что наследующих торгах курс доллара повысится.
6. Статистикапоказала, что из последних 1000 новорожденных 560-мальчики. Какова вероятностьтого, что следующий новорожденный будет мальчик.
7. Из1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 у.е. Каковавероятность, что отдельная семья имеет доход выше 1000 у.е.
8. Приаттестации 100 сотрудников неаттестованными оказались 8. Какова вероятностьпройти аттестацию у данной категории сотрудников.
9. Относительнаячастота появления бракованных изделий на автоматической срочной линии составляет0,02. Сколько проверялось изделий, если известно, что бракованных было 8?
10.Из 1000 проверенных изделийоказалось, что 130 из них — «подделки». Какова вероятность, чтоприобретенный товар является «подделкой»?
ЗАДАНИЕ3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
1. Технологическийпроцесс контролируется тремя независимо работающими приборами, вероятностиотказа которых 0,1;0,1;0,2 соответственно. Определите вероятность выхода изстроя хотя бы одного прибора.
2. Вероятностьтого, что на торговую площадку в течении минуты придет одно сообщению равна0,3, то, что два равна 0,15, то, что три сообщения — 0,05. Какова вероятностьтого, что в течении следующей минуты придет от одного до трех сообщений включительно.
3. Вероятностьтого, что индекс N ценной бумаги Авозрастет равна 0,4, а для ценной бумаги В эта вероятность равна 0,3.Вероятность того, что индекс Nвозрастет одновременно для обоих ценных бумаг равна 0,15. Какова вероятностьтого, что а) индекс N возрастет хотябы для одной ценной бумаги; б) индекс Nне возрастет ни у одной ценной бумаги.
4. Вероятностьтого, что студент изучает английский равна 0,8, а немецкий 0,3. Вероятностьтого, что студент изучает оба языка равна 0,2. Найти вероятность того, чтослучайно взятый студент а) изучает хотя бы один язык; б) не изучает ни одного.
5. Вероятностьтого, что станок А выйдет из строя в течении смены равна 0,1, а для станкаВ-0,05. Вероятность того, что оба станка выйдут из строя в течении смены — 0,01. Найти вероятность того, что в течении смены а) выйдет из строя хотя быодин станок; б) не выйдут из строя оба станка.
6. Рабочийобслуживает три станка, вероятности отказа станков в течении смены р1=0,4;р2=0,25; р3=0,15 соответственно. Найти вероятность того,что в течении смены откажут ровно два станка.
7. Вусловиях предыдущей задачи положить p1=0,45;p2=0,1,p3=0,35.
8. Длясигнализации об аварии установлено два независимо работающих датчика, вероятностиотказа которых p1=0,2и p2=0,1.Найти вероятность того, что при отказе сработает ровно один датчик.
9. Вурне находится n=10 красных и m=20белых шара. Из урны без возвращения вынимают три шара. Какова вероятность того,что среди них два белых. При решении использовать теоремы сложения и умножения.
10.В условиях предыдущей задачиположить n=20, m=40.
ЗАДАНИЕ4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА
1. Вмагазин поступили телевизоры с двух заводов в соотношении 30% с завода №1 и 70%с завода №2. Продукция завода №1 содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, азавода №2-10%. Найти вероятность того, что купленный телевизор содержит скрытыйдефект.
2. Пустьмы находимся в условиях предыдущей задачи. Известно, что купленный телевизороказался со скрытым дефектом. Требуется найти вероятность того, что онпроизведен на заводе №2.
3. Вурне 1 содержится 3 белых и 3 черных шара, а в урне №2 содержится 5 белых и 1черный шар. Из случайно выбранной урны достается один шар. Какова вероятностьтого, что это белый шар?
4. Вусловиях предыдущей задачи, стало известно, что вынутый шар оказался белый.Какова вероятность того, что случайно выбрана была урна №2.
5. Известно,что 5% всех мужчин и 3% всех женщин — дальтоники. В группе из 100 человек 60 мужчини 40 женщин. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек — дальтоник.
6. Пустьмы находимся в условиях предыдущей задачи и предположим, что выбранный человек- дальтоник. Какова вероятность, что это женщина.
7. Вероятностьтого, что «хороший» эксперт оценит неправильно ценную бумагу равна0,05, эта вероятность для «среднего» эксперта 0,15. В контореработает 5 «хороших» и 3 «средних» эксперта. Для оценкиценной бумаги случайным образом выбран эксперт. Найти вероятность того, чтоценная бумага будет оценена неправильно.
8. Пустьмы находимся в условиях предыдущей задачи. И пусть известно, что ценная бумагаоценена неправильно. Какова вероятность того, что ошибку допустил«хороший» эксперт.
9. Двацеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй — 4%. Дляконтроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти деталисмешаны в одну партию, и из нее на удачу извлекают одну деталь. Каковавероятность того, что она бракованная?
10.В условиях предыдущей задачи сталоизвестно, что деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она изцеха №1.
ЗАДАНИЕ5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Вследующих задача дискретная случайная величина задана законом распределения. Требуетсяпостроить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию,среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.1. х 1 4 /> p 0.3 0.6 0.1 2. х -1 1 2 p 0.25 0.25 0.5 3. x -1 4 p 0.1 0.3 0.6 4. x -2 2 p 0.1 0.3 0.6 5. x -5 5 p 0.1 0.6 0.3 6. X -1 2 P 0.2 0.2 0.6 7. X 1 6 P 0.5 0.4 0.1 8. X -3 3 P 0.4 0.2 0.4 9. X -2 5 P 0.5 0.1 0.4 10. X -1 1 P 0.4 0.2 0.4
Вследующих задачах непрерывная случайная величина Х задана плотностьюраспределения вероятности:
/>
Требуетсявычислить константу А и математическое ожидание Х. Найти вероятность Р(с
11. a=0, b=3, c=1, d=2. 16.a=3, b=8, c=0, d=5.
12. a=0, b=2, c=1, d=3. 17.a=3, b=10, c=1, d=2.
13. a=1, b=5, c=2, d=3. 18.a=4, b=8, c=1, d=5.
14. a=1, b=7, c=5, d=10. 19.a=5, b=10, c=0, d=7.
15. a=1, b=10, c=5, d=7. 20.a=5, b=8,c=7, d=8.
ЗАДАНИЕ6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ
1. Вероятностьрождения мальчика равна 0,52. Случайная величина Х- число родившихся мальчиковсреди 1000 новорожденных. Найти числовые характеристики Х и вероятности
а)Р (/>=520)б) Р(510£/>£530).
2.Вероятностьтого, что клиенту страховой компании понадобится страховка равна 0,01. Случайнаявеличина Х- число клиентов, которые обратятся в страховую компанию застраховкой из 10000 застраховавшихся. Найти числовые характеристики Х ивероятности а) Р(/>=100) б)Р(90£/>£110).
3.Вероятность того, что зашедший в магазин посетитель приобретет товар равна0,35. Случайная величина Х- число посетителей, которые приобрели товар из 1000вошедших в магазин. Найти числовые характеристики Х и вероятности
а)Р(Х=350) б) Р(320£Х£380).
4.По предварительным опросам известно, что 40% опрошенных готовы проголосовать навыборах мэра города за №. Найти вероятность того, что из 50000 жителей, имеющихправо проголосовать, за № отдадут голоса а) ровно 20000 человек; б) от 15000 до25000 человек.
5.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная детальокажется бракованной, равна 0,1. Найти вероятность, что среди 500 деталейокажется бракованными а) ровно 50; б) от 40 до 60.
6.Вероятность нарушения герметичности банки консервов 0,001. Найти вероятностьтого, что среди 20000 банок с нарушениями окажутся а) ровно 20; б) от 15 до 25.
7.Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность того, чтосреди 200 посаженных семян взойдет а) ровно 160; б) от 140 до 180.
8.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что приперевозке бутылка будет повреждена равна 0,003. Найти вероятность того, чтомагазин получит поврежденными: а) ровно 3 бутылки; б) более 5 бутылок.
9.Книга издается тиражом 10000 экземпляров. Технология изготовления предполагает,что вероятность того, что в книге будет иметься дефект брошюровки равна 0,0003.Найти среднее число книг с дефектом брошюровки. Найти вероятность того, чточисло книг с дефектом брошюровки будет: а) хотя бы одна; б) более 4.
10.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятностьотказа любого элемента в течении часа равна 0,005. Найти числовые характеристикиХ- числа элементов отказавших в течении часа. Найти вероятность того, что в течениичаса откажет а) хотя бы один элемент; б) от 4 до 6 элементов.
ЗАДАНИЕ7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. РАВНОМЕРНОЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Числосообщений Х, поступающих на пульт диспетчера в течении часа, подчиняется законуПуассона с параметром l=5(сообщений в час). Найти числовые характеристикиХ и вероятности следующих событий:
а)Р(Х=0); б) Р(Х>3).
2. Впорт в среднем приходит 2,5 судна в день. Предполагается, что Х- число судов зашедшихв порт в течении суток, имеет распределение Пуассона. Найдите числовыехарактеристики Х и вероятности следующих событий:
а)Р(Х³1);б) Р(х£3).
3. Интервалывремени между приходами в порт судов распределены по показательному закону с интенсивностьюl=5(часов). Найти числовые характеристики Х- время между приходами двух судов.Вычислить: а)
Р(Х/>(1,2)); б) Р(Х/>(4,6))
4. Времямежду двумя сообщениями, поступающими на торговую площадку (с.в.Х), имеетпоказательное распределение с параметрами l=0,5 (часа). Найтичисловые характеристики Х и следующие вероятности а)
Р(Х
5. С.в.Х — время безотказной работы элемента имеет показательное распределение, причемизвестно, что среднее время безотказной работы элемента рано 1,5 суток. Найтичисловые характеристики Х и следующие вероятности:
а)Р(Х
6. Случайнаявеличина Х- время обслуживания клиентов в мастерской имеет показательноераспределение с функцией распределения F(х)=1-е-3х(отсчетвремени берется в часах). Найти числовые характеристики Х и следующиевероятности
а)Р(Х
7. Автобусынекоторого маршрута имеют интервал движения 10 мин. С.в. Х — время, в течениикоторого пассажиру придется ждать автобус, имеет равномерное распределение.Найти числовые характеристики Х и вероятность того, что пассажир будет ждатьавтобус более 3 минут.
8. С.в.Х — имеет равномерное распределение на отрезке [2,6]. Найти функцию распределенияи плотность распределения вероятности, числовые характеристики Х и вероятностьР(Х/>(3,4)).
9. Шкалалабораторных весов имеет цену деления 1 грамм. При взвешивании вес округляетсяв ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определениямассы: а) будет заключена между DXи 2DX? б) будет менее 0,2 грамма.
10.Минутная стрелка часов перемещаетсяскачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в настоящий моментчасы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 15 секунд.
ЗАДАНИЕ8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛО 3-Х СИГМ
1. Автоматштампует детали. Контролируемый размер является случайной величиной Х, имеющейнормальное распределение с параметром а=50, />=0,02. Выписать функциюраспределения и плотность распределения с.в. Х. Деталь считается годной, еслиее размеры попадают в интервал от 49,96 до 50,04. Найдите процент бракованныхдеталей.
2. Жирностьмолока коров в область (в %) есть нормально распределенная с.в. с математическиможиданием равным 4% и среднеквадратическим отклонением 0,03. Вычислитьвероятность того, что в наудачу взятой пробе жирность молока будет: а) более4%; б) менее 4%; в) от 3,95 до 4,05%. Выписать плотность распределения даннойс.в.
3. Продолжительностьработы прибора есть нормально распределенная с.в. с параметрами а=1000 ч. и />2=900ч. Найти вероятность того, что продолжительность горения лампы составляет: а)более 1000 ч. б) менее 1000 ч. в) от 940 ч. до 1060 ч. Выписать плотность распределенияданной с.в. и изобразить решение п. в) на графике плотности.
4. Ростлюдей призывного возраста предполагается нормально распределенным со средним170 см. и средним квадратическим отклонением 7 см. Определить процент лиц,имеющих рост а) более 170 см. б) менее 170 см. в) от 170 до 180 см. Решение п.в) изобразить схематично на графике плотности распределения.
5. Изменениеиндекса ценной бумаги на фондовой бирже может быть смоделировано как нормальнораспределенная случайная величина с параметрами а=1 и />2=0,01. Найти вероятностьтого, что на следующих торгах индекс ценной бумаги будет а) более 1 б) менее 1в) от 0,98 до 1,02. Выписать функцию распределения и плотность распределенияданной с.в.
6. Среднийпроцент выполнения плана предприятиями отрасли составляет 103%, среднееквадратическое отклонение 2%. Предполагая, что выполнение плана предприятиямиподчиняется нормальному закону, определить процент предприятий, выполняющихплан: а) более 103% б) менее 103% в) от 99% до 107%. Решение п. в) схематичноизобразить на графике плотности распределения.
7. Диаметрдеталей, изготовленных цехом, является с.в., имеющей нормальное распределение сматематическим ожиданием равным а=5 см. и дисперсией 0,0004. В каких границахможно практически гарантировать диаметр деталей. Если данная с.в. выйдет за этиграницы, то объясните ситуацию. Подсчитайте процент деталей, заключенных впределах от 4,96 до 5,04.
8. Наавтомате изготовляют заклепки. Диаметр заклепок можно считать нормально распределеннойс.в. со средним 3 мм и среднем квадратическим отклонением 0,1. Какие размерыдиаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью: а) 0,95; б)0,9973.
9. Контролируемыйразмер детали представляет собой нормально распределенную с.в. с параметрамиМХ=150 мм />(Х)=2мм. а) Найти вероятность брака, если допустимые размеры должны быть 150±3мм. б) Какую точность контролируемого размера можно гарантировать свероятностью 0,97. в) За какие границы практически не выйдет контролируемыйразмер детали. Если он выйдет за эти границы, то постарайтесь объяснитьситуацию.
10.Вес отдельной коробки конфетпредставляет собой нормально распределенную с.в. со средним 500 гр. и среднимквадратическим отклонением 10 гр. а) Найти процент коробок, вес которых более500 гр. б) Найти процент коробок, вес которых заключен в пределах 500±15гр.
ЭЛЕМЕНТЫМАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ЗАДАНИЕ9. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПО НЕСГРУППИРОВАННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ
1-10.В следующих задачах дана выборка. Требуется:
а)Построить статистический ряд распределения частот и полигон частот;
б)Вариационный ряд;
в)Найти «хорошие» оценки математического ожидания и дисперсии;
г)Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.
1. 0,1,1,3,1,2,2,0,1,0.
2. 1,5,1,2,1,3,2,3,1,2.
3. 10,8,10,11,9,10,8,9,10,10.
4. 50,45,45,55,45,50,40,45,50,45.
5. 20,22,20,24,20,22,20,20,25,22.
6. -1,1,0,1,1,2,-1,1,2,1.
7. 9,5,5,7,5,7,3,5,9,7.
8. 15,12,8,15,10,15,8,12,15,12.
9. 10,20,20,5,15,20,5,10,20,5.
10. 0,-1,2,-2,0,0,-1,2,-1,-2.
ЗАДАНИЕ10. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
1. 25рабочих контролировались в течении месяца по признаку — процент выполнения нормвыработки за месяц. По выборочным данным были рассчитаны />=102,3% — среднийпроцент выработки и дисперсия S2=16.Найти 95% доверительный интервал для генеральной средней, если известно, чтопризнак имеет нормальное распределение.
2. Используяданные задачи 1, определите, каким должен быть минимальный размер выборки длятого, чтобы оценить среднюю месячную норму выработки с 95% надежностью и смаксимальной ошибкой (точностью) не более 0,5(%).
3. Избольшой партии электроламп случайным образом взята выборка из 100 ламп. Средняяпродолжительность горения лампы, оцененная по выборке оказалась равной 1200 ч.Из предыдущих проверок известно, что данный признак имеет нормальное распределениес дисперсией s2=2500. Найти 97%доверительный интервал для генеральной средней.
4. Используяданные задачи 3, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того,чтобы оценить среднюю продолжительность горения лампы с 99% надежностью и сточностью не более 100 (ч).
5. Произведено15 замеров контролируемого признака детали, изготовляемой станком-автоматом. Повыборочным данным найдено S2=20мкм. Найти точность работы станка с надежностью 0,95. Предполагается, чтоконтролируемый признак имеет нормальное распределение.
6. Попредварительному опросу населения большого города, в котором участвовало 900жителей, за мероприятие Х, готовы проголосовать 400 человек из опрошенных жителей.Найти 90% доверительный интервал, в котором находится истинный процент готовыхпроголосовать за мероприятие Х.
7. Используяданные задачи 6, определите, каким должен быть минимальный размер выборки длятого, чтобы оценить истинный процент «за» с 95% надежностью и с точностьюне более 2%.
8. Недельныедоходы фирмы подчинены нормальному закону распределения. По 25-еженедельнымнаблюдениям за доходами фирмы найдено S2=1200.Найдите 95% доверительный интервал для среднего квадратического отклонениянедельных доходов.
9. Среднийпривес 16 поросят, которым давали в пищу добавку А, составил 30 кг, а S2=1,5.Считая, что данный признак имеет нормальное распределение, найдите 90% доверительныйинтервал для генеральной средней.
10.Среди 400 деталей, изготовленныхстанком-автоматом, 20 оказалось нестандартных. Найдите доверительный интервал,покрывающий с надежностью 0,98 неизвестную вероятность «брака».
ЗАДАНИЕ11. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. F,T — КРИТЕРИИ
1-5.Для сравнения организации работы на двух однотипных
предприятиях,были взяты выборочные данные объемами n1и n2соответственно по признаку — объемы выпущенной продукции в у.е. Оценкидисперсии /> и /> даны ниже.Можно ли считать, что предприятия работают одинаково точно. Уровень значимостивыбрать самостоятельно.
1. n1=10, n2=15; />
2. n1=16, n2=9; />
3. n1=12, n2=17; />
4. n1=8, n2=17; />/>/>
5. n1=11, n2=9; />
6-10.Для сравнения производительности работы двух однотипных отделов торговли, быливзяты две соответствующие выборки объемами n1и n2соответственно, по которым подсчитаны выборочные характеристики:/>/> /> Проверьте гипотезу отом, что производительность отделов одинакова. Уровень значимости выбратьсамостоятельно.
6.n1=15,n2=20;/>/>/>/>/>
7.n1=20,n2=16;/>/>
8.n1=12,n2=8;/>/>/>
9.n1=9,n2=14;/>/>/>/>
10.n1=8,n2=20;/>
ЗАДАНИЕ12.Критерий Пирсона
1-3.Ниже приведены данные о фактических объемах сбыта (в у.е.) в пяти районах. Согласуютсяли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков.Уровень значимости выбрать самостоятельно.1. Район 1 2 3 4 5 Объем сбыта 75 90 85 70 80 2. Район 1 2 3 4 5 Объем сбыта 85 120 140 70 85 3. Район 1 2 3 4 5 Объем сбыта 50 65 70 80 35
4-10.В следующих задачах для приведенных сгруппированных данных проверить гипотезу отом, что они получены из нормальной генеральной совокупности. Уровеньзначимости выбрать самостоятельно.