--PAGE_BREAK--Задание 2
На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2h
.На плоскость случайным образом (на удачу) бросается тонкий стержень (игла) длиной 2l(lh).Появление центра на отрезке 2hв любой его точке равновозможно, как и появление любого значения угла φ между стержнем и прямой на интервале (,π).
Попадание центра стержня на отрезок 2hи угловая ориентация φ стержня – события независимые. Требуется при заданных исходных данных 2hи 2l:
1.Определить вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую.
2.Методом статистических испытаний определить эмпирическое значение числа π при заданных h,lи числе испытаний n≥100. Описать опыт и представить таблицу результатов испытаний.
Дано: 2h=80; 2l=62
Решение:
Обозначим:
Событие А – игла пересекла какую-либо прямую
Введем обозначение Х – расстояние от середины иглы до ближайшей прямой
Угол φ – угол, составленный иглой с параллелью
1.Определим вероятность Р(А)
Положение иглы полностью определяется заданием Х и φ, причем Х принимает значение от 0 до h, возможные значения φ от 0 до π. Другими словами середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами hи φ.
Таким образом данный прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения центра иглы. Площадь фигуры G=h*π
Найдем теперь такую фигуру g, каждая точка которой благоприятствует появлению события А, т.е.каждая точка которой может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель при условии, что
X
Таким образом заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:
g=
P(A)=
P(A)=0.4936
Значит, вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую равна 0.4936.
2.Методом статистических испытаний определим эмпирическое значение числа . Я буду проводить опыт с бросанием иглы 200 раз. Если игла пересечет какую-либо прямую(событие А) то вероятность данного опыта – 1, если не пересечет то вероятность данного опыта равна – 0.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А
1
1
1
1
1
№
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
А
1
1
1
1
№
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
А
1
1
1
1
1
1
№
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
А
1
1
1
1
№
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
А
1
1
1
1
№
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
А
1
1
1
1
1
1
1
№
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
А
1
1
1
1
№
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
А
1
1
1
№
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
А
1
1
1
1
1
1
№
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
А
1
1
1
1
1
1
№
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
А
1
1
№
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
А
1
1
1
1
1
1
№
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
А
1
1
1
1
1
1
№
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
А
1
1
1
1
1
1
№
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
А
1
1
1
1
1
1
№
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
А
1
1
1
1
1
1
№
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
А
1
1
1
1
1
№
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
А
1
1
1
1
1
№
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
А
1
1
1
№
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
А
1
1
1
1
1
Событие А наступило в 99 испытаниях. Статистическим способом найдем вероятность наступления события А.
Р(А)=
Р(А)= откуда
откуда
Эмпирическое значение числа
Ответ:
1. Вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую:
2. Методом статистических испытаний эмпирическое значение числа π при заданных h, lи числе испытаний n≥100:
Задание 3
Структурная схема системы доведения информации об экономических угрозах до руководства некоторой фирмы имеет вид:
Отказы элементов при передаче информации — события независимые. Известны вероятности передачи информации об угрозе i-м элементом, Pi(i=1,…,8).
Найти вероятность доведения информации о поступившей экономической угрозе до руководства фирмы.
Дано: Р1=Р2=Р8=0.69; Р3=Р4=Р6=0.84; Р5=Р7=P9=0.79
Найти: Р(А)-?
Решение:
Обозначим событие А – исправность системы
событие А1 – безотказная работа элемента 1
событие А2 – безотказная работа элемента 2
событие А3 – безотказная работа элемента 3
событие А4 – безотказная работа элемента 4
событие А5 – безотказная работа элемента 5
событие А6 – безотказная работа элемента 6
событие А7 – безотказная работа элемента 7
событие А8 – безотказная работа элемента 8
гипотеза H1 – элементы 5 и 6 работают
гипотеза Н2 – элементы 5 и 6 не работают
гипотеза Н3 – элемент 5 работает, а 6 не работает
гипотеза Н4 – элемент 5 не работает, а 6 работает
Рассмотрим систему и бозначим ее за систему В
Используем метод разложения систему по базисному элементу, основанное на теореме о полной вероятности.
1) Пусть имеет место гипотеза Н1 и 5 и 6 элементы работают, тогда
Найдем вероятность исправности данной системы:
Р(Н1)=Р(А5)*Р(А6)=0.6636
Р(B/H1)=P[(A1+A3)*(A7+A4)*A2]*P(H1)=(P1+P3-P1*P3)*P2*(P7+P4-P7*P4)*P(H1)=(0.69+0.84-0.5796)*0.69*(0.79+0.84-0.6636)*0.6636= =0.655776*0.6413034=0.4205
2) Пусть имеет место гипотеза Н2 и 5 и 6 элемент не работают, тогда
Найдем вероятность исправности данной системы:
Р(H2)=(1-P5)*(1-P6)=0.21*0.16=0.0336
P(B/H2)=P[(P1*P2*P7)+(P3*P4)]*P(H1)=(0.69*0.69*0.79+0.84*0.84-0.69*0.69*0.79*0.84*0.84)*0.0336=0.2743
3) Пусть имеет место гипотеза Н3 и тогда 5 элемент работает и 6 элемент не работает, тогда
Найдем вероятность исправности данной системы:
P(H3)=P5*(1-P6)=0.16*0.79=0.1264
P(B/H3)=P[(P1+P3)*(P2*P7+P4)]*P(H3)=(0.69+0.84-0.5796)*(0.5451+0.84-0.4579)*0.1264=0.9504*0.9272*0.1264=0.1113
4) Пусть имеет место гипотеза Н4 и 5 элемент не работает и 6 работает, тогда
P(H4)=(1-P5)*P6=0.21*0.84=0.1344
P(B/H4)=P[(P1*P2+P3)*(P7*P4)]*P(H4)=(0.69*0.84+0.69-0.69*0.84*0.69)* *(0.79+0.69)*0.1344=(0.5796+0.69-0.39924)*(0.79+0.69-0.5451)*0.1344= 0.87036*0.9349*0.1344=0.1094
Полная группа событий:
P(B)=P(B/H1)+P(B/H2)+P(B/H3)+P(B/H4)=0.4205+0.02743+0.1113+0.1094=
=0.66863
Теперь рассмотрим систему В вместе с 8 и 9 элементом:
А-исправность системы
Р(А)=Р[(P8*P9)+(P*P9)]=P8*P9+ P*P9 — P8*P9* P*P9=0.5451+0.5282-0.29=0.7833
Ответ:
Вероятность доведения информации о поступившей экономической угрозе до руководства фирмы равна 0.7833
Задание 4
Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью P1; от второй — с вероятностью P2. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью P3; для второй — P4. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?
Дано: Р1=0,95; Р2=0,90; Р3=0,09; Р4=0,01
Найти: Р(А)-?
Решение:
Обозначим Р(А) – вероятность того, что инвестор получит прибыль.Всего 3 возможных варианта получения прибыли:
1.получение прибыли и с первого предприятия и со второго(Р1*Р2)
2.получения прибыли с первого, а со второго нет(Р1*Р4)
3.получения прибыли со второго, а с первого нет(Р2*Р3)
Используем теорему сложения вероятностей для трех совместных событий:
P(A)=P[(P1*P3)+(P2*P3)+(P1*P4)]=P1*P2+P2*P3+P1*P4-P1*P2*P2*P3-P1*P2*P1*P4-P1*P4*P2*P3+P1*P2*P2*P3*P1*P4=0.855+0.081+0.0095-0.0693-0.0082-0.0008+0.00065=0.867895
P(A)=0.8697
Ответ:
Вероятность того, что инвестор, получит прибыль равна 0,8679
продолжение
--PAGE_BREAK--Задание 5
Случайная величина – годовой доход наугад взятого налогоплательщика. Плотность распределения вероятностей случайной величины задана в виде:
где a
– неизвестный параметр распределения, а величины bи cявляются константами, значения которых заданы в таблице вариантов задания.
Требуется :
1) Определить значения параметра «а» и построить график функции f
(х).
2) Найти функцию распределения F
(х)и построить её график.
3) Определить математическое ожидание m
x, дисперсию D
xи среднее квадратическое отклонение годового дохода .
4) Вычислить значения третьего µ
3 и четвертого µ
4 центральных моментов, и определить коэффициенты ассиметрии Аsи эксцесса Ex
.
5) Определить размер годового дохода Х1 в тыс. у.е., не ниже которого с вероятностью Р окажется годовой доход случайного выбранного налогоплательщика.
Дано:
с=0,7
b=0,30
P=0,55
Найти: 1) a-? f(x)-?
2) F(x)-?
3) mx,-?; Dx -?; -?
4) µ
3-?;µ4-?
5) Х1-?
Решение:
1)Для определения параметра «а» воспользуемся свойством плотности распределения:
Возьмём нижний предел равным «с»:
отсюда «а» равен
а=
Подставим значения и получим а:
а==
Построим график плотности распределения при вычисленном параметре а:
2) Для определения функции распределения воспользуемся формулой:
Нижним пределом также возьмем «с»:
F(x) =
F(x) =
0,2158· (0.7-x-4,3), при x≥0,7
0, при x
3) Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой:
4) Центральный момент k-ого порядка вычисляется по формуле:
Начальный момент k-ого порядка определяется равенством:
Выразим центральные моменты 3 и 4 порядка через начальные моменты:
μ3=ν3 — 3ν1ν2+ 2ν13
μ4= ν4 — 4ν1ν3 + 6ν12ν2 — 3ν14
Вычислим начальный моменты 2,3,4-го порядков:
Коэффициенты ассиметрии и эксцесса расчитываются по формулам:
Подставляя известные значения получаем:
5) Для определения вероятности воспользуемся формулой для расчета вероятности попадания СВ в интервал:
P(x1≤X)=1-P(X
Подставляя известные значения получаем:
Ответ:
1) значения параметра «а» равно 0.9277.
2) функция распределения имеет вид:
F(x) =
0,2158· (0.7-x-4,3), при x≥0,7
0, при x
3) математическое ожидание Mx=0,9122, дисперсия Дx=0,0839, среднее квадратическое отклонение годового дохода равно σ =0,2897.
4) значения третьегои четвертого центральных моментов равно 3=0,127 и 4=1,8859 соответственно, коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны AS=5,222 и EC=264,7405.
5) размер годового дохода Х1 в тыс. у.е., не ниже которого с вероятностью Р окажется годовой доход случайного выбранного налогоплательщика равен 0,8045.
Задание 6
Производится «n» независимых испытаний, в каждом из которых события А может появиться с вероятностью Р.
Требуется:
1)Определить вероятность того, что событие А появится при n– испытаниях равно k— раз.
2)Определить вероятность того, что событие А появится при n– испытаниях более m— раз.
3)Определить вероятность того, что событиеА появится при n– испытаниях не менее k
1— раз, но не более k
2— раз.
4)Вычислить среднее число появления события А при n– испытаниях и среднее квадратическое отклонение числа появлений события А.
5)Определить с какой вероятностью должно появляться события А в каждом из «n» — опытов при условии, что вероятность не появления события А ни в одном из «n» — опытов равна Р0.
Дано:
n=10; k=4; P=0.6; m=2; k1=3; k2=6; P=0.3; q=0.4
Найти:
1) Р(m=3)-?
2) Р(m>1)-?
3) Р(2≤m≤5)-?
4) mx-?; -?
5) Р1 (А)-?
Решение:
Поскольку испытания независимы и р=const, то используем схему Бернулли. Обозначим Х число испытаний в которых событие А наступило. Х={1,2,..10}
X принадлежит биномиальному закону распределения.
1) Для расчёта вероятности наступления события kраз применяем формулу Бернулли
2) Для того, чтобы найти вероятность того, что событие наступит более mраз воспользуемся формулой ) Р(m>1)=1 – [Р(0)+Р(1)+Р(2)]
3) Для нахождения вероятности наступления события не менее m1, но не более чем m2раз (m1≤m≤m2) воспользуемся формулой
4) Так как Х принадлежит биномиальному распределению, то
5)
Ответ:
1) Р(k=3)=0.1114
2) Р(x>2)=0.88694
3) Р(3≤x≤6)=0.6045
4) mx=6;2.4 =1.54
5) p=0.1204
Задание 7
Дискретная двумерная случайная величина (X
,
Y) описывается законом распределения вероятностей, заданного рядом распределения вероятностей, представленным в таблице:
Xi
Yj
X1
X2
Y1
P11
P12
Y2
P21
P22
Y3
P31
P32
Требуется:
1. Определить частные законы распределения компонентXи Yслучайного вектора соответственно.
2. Определить условный закон распределения случайной величины Xпри условии, что Y
приняла значение yj.
3. Определить условный закон распределения случайной величины Yпри условии, что Xприняла значение xi
.
4. Вычислить математические ожидания и дисперсии компонент Xи Y
.
Дано: P11=0,15; P12=0,10
P21=0,25; P22=0,15
P31=0,15; P32=0,20
Yj=Y2
Xj=X1
Решение:
1)Определим закон распределения компонент случайного вектора X, для этого воспользуемся формулой: , где представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина Xпримет значение , таким образом получим ряд распределения случайной величины X.
В результате получим закон распределения:
X
X1
X2
P(X)
0,55
0,45
Произведем проверку, для этого сложим вероятности:
P(X) = 0,55+0,45=1;
Следовательно закон распределения Х вычислен правильно.
Определим закон распределения компонент случайного вектора Y, для этого воспользуемся формулой:
Получим следующий закон распределения:
Y
Y1
Y2
Y3
P(Y)
0,25
0,40
0,35
Проверка:
P(Y) =0,25+0,40+0,35=1
2) Для того чтобы определить условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что величина Yприняла значение Yj, воспользуемся формулой:
где n= 1,2, а P(Yj) — вероятность того, что Yпримет значение Yj, определенное из закона распределения компоненты Y. Подставив данные в формулу, получаем:
Проверка: 0,625+0,375=1;
Мы определили условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что величина Yприняла значение Y2.
3) Аналогично определим условный закон распределения случайной величины Y, при условии, что величина Х приняла значение Хi.:
Проверка:
Мы определили условный закон распределения случайной величины Y, при условии, что величина Xприняла значение X1.
4) Вычислим математическое ожидание компонент Xи Y:
х1=1, x2=2 следовательно
y1=1, y2=2, y3=3 следовательно продолжение
--PAGE_BREAK--