Основная часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения: Рассмотрим приведённоеквадратное уравнение: x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графикизависимостей:y=x2 иy=-px-q.
График первой зависимостинам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график естьпрямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинатыточек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению хсоответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то естьпарабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения: чертимпараболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересеченияявляются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуетсябольшой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в видеx2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямойможно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаютсяв двух точках с абциссами x1=0.8 иx2=2.2(см. рисунок 1).
2.Решить уравнение: x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение неимеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислимдискриминант:
D=(-1)2-4=-3
А поэтому уравнение не имееткорней.
3. Решить уравнение:x2-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертитьпараболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общуюточку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1; уравнение имеет одинкорень х=1(обязательно проверить это вычислением).
II) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называетсямножество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение вверное равенство.Графики уравнений с двумя переменнымивесьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая,уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4– окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумяпеременными определяется так же, как и степень целого уравнения с однойпеременной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собоймногочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считаютравной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либоуравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, леваячасть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотримграфический способ решения.
Пример1: решить систему ⌠ x2+y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системекоординат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системекоординат графи)
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координатылюбой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координатылюбой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждойиз точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнениюсистемы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы.Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересеченияграфиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5),С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, системауравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2,у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения вуравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решенийявляются точными, а первое и третье – приближёнными.
III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решаюткак аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения напримере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1.Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения:х=2πп, где пЄZ и х=π/2+2πk, где kЄZ(Обязательнопроверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2: Решить уравнение:tg2x+tgx=0.Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего.Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x uy=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, гдеkЄZ.(Проверить это вычислениями)
Применение графиков врешении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|
На интеграле(-1;-∞)по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, наэтом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х-2.Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1]исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2
На интеграле (1;+∞)опять получаем линейное неравенство 2х
Однако тот же самыйрезультат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений.На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1|иy=4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2)график функции y=f(x)расположен под графиком функции у=4, а этоозначает, что неравенство f(x)
II)Неравенствас параметрами.
Решение неравенств с однимили несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу болеесложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например,неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а,естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство√1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое изэтих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целыйкласс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметруа конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств являетсячастным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решитьнеравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значенияхпараметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найтивсе решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
Для решения данногонеравенства с двумя параметрами a u b воспользуемсягеометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b2|a|, то прямая y=bпересекает график функции y=f(x) вдвух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2
Ответ:Еслиb
Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).
III)Тригонометрическиенеравенства:
При решении неравенств стригонометрическими функциями существенно используется периодичность этихфункций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшиетригонометрические неравенства. Функция sinx имеетположительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,
sinx
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множествовсех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.
Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим этонеравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть –отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sinx=-1/2 имеетодно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает.Значит, если –π/2sin(-π/6)= –1/2.Все эти значения х неявляются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке[π/2;3π/2] функция sin xмонотонно убывает иуравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6.Следовательно, если π/2sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решенияминеравенства. Для xЄ[7π/6;3π/2]имеем sin x
В силу периодичности функцииsin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, такжеявляются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этогонеравенства не являются.
Ответ: -π/6+2πn
Рисунок 10.