B.А. Будников
Б 903 Решение алгебраическогоуравнения n-ой степени — Новосибирск: Интернет,Блоги: budnikov57@mail.ru, 2010.- 26 с.
В работе предложеноаналитическое решение (в радикалах) алгебраического уравнения n — ой степени. Решены Проблемысобственных значений для нахождения Функций от Матриц и устойчивости решенийлинейных дифференциальных и разностных уравнений. Метод решения основан напоследовательном получении алгебраического уравнения относительно квадратовнезависимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходногоуравнения. Метод характеризуется простотой и требует только умения решатьквадратные уравнения и извлекать корни n — ой степени из комплексного числа. Алгоритм решения легкоподдаётся программированию. Приведены конкретные примеры решения алгебраическихуравнений с третьей по восьмую степень включительно.
Статья может быть полезнаСпециалистам, занимающимся решением задач Высшей Алгебры, а также Студентамвысших учебных заведений, интересующимся сложными математическими Проблемами.
Введение
Проблема решения в радикалахалгебраического уравнения произвольной степени, так называемого Вековогоуравнения, интересовала математиков всех времён и народов. Удача Тартальи иФеррари в решении уравнений третьей и четвёртой степеней внесла надежду науспехи в этом направлении и далее. Однако Решения долгое время найти неудавалось / 1/. Могу с уверенностью сказать, что все Великие математики, втечение последних пятисот лет, занимались решением уравнений высших степеней. Уравнениепятой степени решали Ньютон, Лейбниц, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Тэйлор, Абель,Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гильберт и многие другие (Список можно было бы ещёдолго продолжать). В справочниках по высшей Математике сказано, что НЕ СУЩЕСТВУЕТрешения в радикалах алгебраических уравнений выше четвёртой степени / 2/. Казалосьбы, не существует и решать не надо! Однако в Технике очень важно выбиратьпараметры Систем в соответствие с принципами Оптимальности, чтобы Объекты,описываемые системами дифференциальных или разностных уравнений, удовлетворялизаданному Критерию качества (например, минимуму потребляемой Энергии илимаксимальному быстродействию).
Для пояснения дальнейшихрассуждений введём систему условных обозначений.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
* — знак умножения,
** — знак возведения в степень,
ABS (x) — абсолютная величина комплексной переменной x,
Re x, Im x — действительная и мнимая величины комплексной переменной xсоответственно,
Mod x, Fi x — модуль иугол комплексной переменной x соответственно,
SIN (x), COS (x) — тригонометрические функции sinx и cosx,
ARCTAN (Im x, Re x) — обратная тригонометрическая функция arctg ( (Im x) / (Re x)).
SQRT (x) — операция извлечения квадратного корня из действительногочисла x.
PI = 3.141592653589793- число π.
В 1683 году друг Г.В. Лейбница Э.В.фон Чирнгауз (1651 — 1708) опубликовал в журнале «Acta Eruditorum» методпреобразования алгебраического уравнения в уравнение той же степени с меньшимчислом членов.
Чирнгауз из уравнения
(x**n) + A1* (x**(n — 1)) + A2* (x** (n — 2)) +… + An = 0,
и уравнения с неопределёнными коэффициентами
y = B1* (x** (n — 2)) + B2* (x**(n — 3)) + … + Bn-1,
исключал x.Он полагал, что в полученном уравнении
(y**n) + C1* (y**(n — 1)) + C2* (y** (n — 2)) + … + Cn = 0,
можно будет подобратькоэффициенты Bi, от которых зависят Ci,так, что все коэффициенты Ci, кроме одного, обратятся внуль. Тогда последнее уравнение примет вид
( y**n) + Cn = 0,
и исходное уравнениеотносительно переменной x будет разрешимо в радикалах.
Отметим, что в общем случаекоэффициент Cn может бытькомплексной величиной, для которой, в соответствие с теорией функцийкомплексного переменного, существуют понятия модуля и угла вектора накомплексной плоскости. Для упрощения рассуждений будем полагать коэффициент Cn действительной величиной ( (-Cn) >0)
Пусть q= (-Cn) ** (1/n), тогда уравнениеотносительно переменной yi легкоможет быть решено
yi = q* (COS (2*(i — 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (i — 1) *PI/ n),
где q — арифметический корень n — ой степени из числа (-Cn),
i — порядковый номер корня уравнения, i= 1, n;
j — квадратный корень из ( — 1), мнимая величина.
Выражение COS(2* (i — 1) *PI/ n) + j*SIN (2*(2* (i — 1) *PI/ n) задаёт корни уравнения
( (x**n) — 1) / (x — 1) = 1 + x + (x**2) + … + (x** (n — 1)) =0.
Последнее представляет собойвыражение для суммы n членовгеометрической прогрессии с основанием x.
Чирнгаузу удалось решить такимобразом уравнение при n = 3, но в общем случае приём кцели не приводил. Лейбниц, которому Чирнгауз сообщил письмом в 1677 году идеюметода, заметил, что ничего не получается даже для уравнения пятой степени.
Исаак Ньютон (1643 — 1727) послебезуспешных попыток точно решить уравнение пятой степени разработалприближённый метод численного определения действительного корня алгебраическогоуравнения произвольной степени, получивший его имя и используемый до сих пор (такназываемый метод касательных Ньютона). Суть метода заключается в следующем: Предположим,что действительный корень заданного алгебраического уравнения y1находится в интервале (a, b).
Вычисляют значениеалгебраической функции F (a) илиF (b), ( F(a) = (a**n)+ A1* (a** (n — 1)) + A2* (a**(n — 2)) + …+ An ), записывают уравнение касательной в этой точке иопределяют точку пересечения касательной с осью абсцисс, которой присваиваютновое значение a или b.
Процесс вычислений выполняют дотех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности вычислений EPS (y1 = a или y1 = b взависимости от того с какой стороны (слева или справа) решено приблизиться ккорню y1).
Метод всегда сходится, но НИЧЕГОне говорит об оптимальных значениях коэффициентов уравнения, которыенепосредственно связаны с параметрами Систем.
Следующий этап развития теориирешения уравнений связан с творчеством Леонарда Эйлера (1707 — 1783), который,как и все предшественники, считал возможным решение уравнений любой степени.
Эйлер установил, что уравнениявторой, третьей, четвёртой степеней сводятся к уравнениям первой, второй итретьей степеней, которые он назвал «разрешающими уравнениями», резольвентами.
Резольвенту приведённогокубического уравнения (x**3) + B2*x + B3= 0, Эйлер получил, положив
x = (A** (1/ 3))+ (B** (1/ 3)).
Для приведённого уравнениячетвёртой степени (x**4) + B2*(x**2) + B3*x+ B4 = 0, он рекомендовал подстановку
x = (A** (1/ 4)) + (B**(1/ 4)) + (C** (1/ 4)).
Тем самым он открыл ДРУГОЙспособ решения уравнения четвёртой степени, отличный от решения Феррари.
Эйлер полагал, что приведённоеуравнение n-ой степени
(x**n) + B2* (x**(n — 2)) + B3* (x** (n — 3)) + … + Bn = 0,
может быть решено с помощьюподстановки
x = (A** (1/ n))+ (B** (1/ n)) + … + (G** (1/ n)),
где число слагаемых равно (n — 1). Им использовались и другиеподстановки. Однако уравнение выше четвёртой степени Эйлеру решить не удалось.
При доказательстве невозможностирешения уравнения пятой степени Н.Х. Абель (1802 — 1829) опирался напредложенную Эйлером подстановку
x = w + A* ( (v**(1/ 5)) + B* ( (v** (2/ 5)) + C* ( (v** (3/ 5)) + D* ( (v** (4/ 5)),
применив опыт великогоМатематика в своей работе.
Феликсом Клейном (1849 — 1925) написанамонография / 3/, в которой наиболее полно показана сложность нахождения точногорешения уравнения пятой степени. Книга содержит 336 страниц текста, а решения — нет! Оговорюсь сразу, что я вовсе не собираюсь принижать вклад Великихматематиков в Науку, напротив, преклоняюсь перед их Волей и Настойчивостью прирешении столь сложной Задачи. Они, как все лучшие представители Человечества,опережали своё Время. При отсутствии средств вычислительной техники все попыткибыли обречены: не было не только персональных компьютеров, но даже простых калькуляторов.Точность вычислений на логарифмической линейке для этой цели оставляла желатьлучшего.
Мне удалось решитьалгебраическое уравнение n — ойстепени в радикалах, но Решение это — приближённое и требует вычисленийс высокой степенью точности. За всё надо платить, бесплатно НИЧЕГО не даётся! Дляопределения корней уравнения не требуется знание интервала, где алгебраическаяфункция меняет свой знак (интервала нахождения действительного корня), чтоотличает разработанный Метод решения от численных методов расчёта. Дляопределения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Лии пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей,идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n — ой степени нужно только умениерешать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корнимогут быть определены с любой степенью точности, если мощность персональногокомпьютера позволяет избежать влияния погрешностей округления на вычисления.
Отметим также, что с Решением Вековогоуравнения решаются Проблемы собственных значений при вычислении Функций отМатриц и Устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений,описывающих движения сложных технических Объектов с постоянной и переменнойструктурой (например, вентильных преобразователей). В любом учебнике по ТеорииАвтоматического Управления / 4/ можно прочитать: Решение линейногодифференциального уравнения устойчиво, если все корни характеристическогоуравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней. Решениеразностного уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнениянаходятся внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости с центром вначале координат.
Оптимальное управление Системамитребует отдельного рассмотрения. Скажу лишь, что Оптимальные параметры Системмогут быть достигнуты на Границе устойчивости.
Ниже приводятся СУТЬ методаРешения алгебраических уравнений и конкретные Примеры определения корнейуравнений с третьей по восьмую степень включительно, доказывающие ПРАВИЛЬНОСТЬполученных результатов и уже изложенные автором в других работах / 5, 6/.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Общий вид алгебраическогоуравнения n — ой степени
(x**n) + A1* (x**(n-1)) + A2* (x** (n-2)) + … + A (n-1) *x + An = 0, (1)
где
n — порядок алгебраического уравнения, ___
Ai — коэффициенты уравнения, любые действительные числа, i = 1,n.
Случай комплексных коэффициентовуравнения в данной работе не рассматривается.
Поскольку Вычисления наперсональном Компьютере обладают конечной точностью, целесообразно уравнение (1)нормировать по старшему коэффициенту An, чтобы непроисходило переполнения разрядной сетки. Нормирующий коэффициент RCn = (ABS (An))** (1/n). Если n — нечётная величина, знак абсолютной величины обычноопускают. Вычисления на персональном Компьютере всегда ведутся с определённойстепенью точности EPS, которая задает Критерийокончания Счета.
Критерий окончания Счета: Еслиалгебраическая функция, заданная уравнением (1), при вычисленном значении корняxi меньше величины ABS (EPS*An), то вычисления названногокорня прекращают. Далее понижают порядок исходногоуравнения до величины (n — 1), если корень xi — действительный, или до величины(n — 2), если xi принадлежитпаре комплексно — сопряжённых корней. Вся процедура повторяется сначала дляполученного уравнения более низкого порядка до тех пор, пока не будут найденывсе корни исходного уравнения (1). Если возможности Компьютера не достаточны,следует понизить степень точности EPS (в ущерб точностивычисления корней) или приобрести более мощную Персоналку. (Персоналка — персональная вычислительная Машина для каждого Пользователя)
Очевидно, что чем мощнееКомпьютер, тем больше возможностей для решения уравнений более высоких Степенейn.
ЛОГИКА РАССУЖДЕНИЙ.
В общем случае, корниалгебраического уравнения отличаются друг от друга по величине. Следовательно,ВСЕГДА можно выделить в Решении наибольший по модулю (доминирующий) инаименьший корни. (Уместно оговориться сразу, что наименьший по модулю кореньбудет доминирующим в уравнении, обратном данному).
Попробуем последовательновозводить корни в квадрат и сравнивать их по величине между собой. Посленескольких таких операций легко убедиться, что все корни уравнения дляквадратов относительно переменной xc = (x** (2**J)) — ничтожно малы, кромедоминирующего корня xc1.
ВСЕ коэффициенты уравнения,кроме первых двух, будут стремиться к нулю и, следовательно, ими можнопренебречь. Тогда корень xc1 может быть найден изквадратного уравнения, а корень исходного алгебраического уравнения определитсявыражением x1 = (xc1** (1/ (2**J))).
Зачастую, при обеспечениизаданной степени точности EPS, раньше вычисляетсядоминирующий корень обратного уравнения, поэтому РЕКОМЕНДУЕТСЯ определятьдоминирующие корни как прямого, так и обратного, уравнений.
При этом удаётся минимизироватьзатраты машинного времени и, следовательно, добиться максимальной скоростивычислений.
Уравнение (1) является частнымслучаем другого алгебраического уравнения n — ой степени для переменной xc = (x** (2**J)), где J — шаг преобразования, J = 1,m, m и n — любые натуральные числа.
(xс**n) + B1* (xс**(n-1)) + B2* (xc**(n-2)) + … + B (n-1) *xc + Bn= 0, (2)
где
B1 = — ((C1**2) — (2*C2)),
B2 = (C2**2) — (2*C1*C3) + (2*C4),
B3 = — ( (C3**2)- (2*C2*C4) + (2*C1*C5) — (2*C6)),
………………………………………………………
B (n-1) = ( (-1)** (n-1)) * ( (C (n-1) **2) — (2*C (n-2) *Cn)),
Bn = ( (-1) **n)* (Cn**2).
Уравнение (2) может бытьполучено умножением исходного уравнения (1) на уравнение для корней, взятых с обратнымзнаком. Например, для случая n = 3 этовыглядит следующим образом:
( (x**3) + A1*(x**2) + A2*x + A3) * ( (x**3) — A1* (x**2) + A2*x — A3) = 0.
Тогда относительно переменной xc = (x**2) получают уравнение (2) приJ = 1
(xc**3) — ( (A1**2)- (2*A2)) * (xc**2) + ( (A2**2) — (2*A1*A3)) *xc — (A3**2) = 0.
Не вызывает сомнений, что
J = 0, Bi = Ai, xc = x.
J = 1, Ci = Ai, xc = (x**2).
J = 2, Ci = Bi для J= 1, xc = (x**4).
………………………………………….
Пусть L= (2**J) — величина степени корня xc1на J -ом шаге преобразования,
xc1 = (x1**L).
Как уже отмечалось выше, наопределённом шаге преобразований J всекоэффициенты уравнения (2), кроме первых двух B1 и B2, становятся пренебрежительно малы и их можно отбросить. Тогдакорень xc1 может быть найден из квадратного уравнения,получаемого путём отбрасывания ничтожно малых старших коэффициентов. (Неследует забывать, что исходное уравнение (1) уже нормировано по старшемукоэффициенту An).
(xc1**2)+ D1* (xc1) + D2= 0, (3)
D1 = B1, D2 = B2 — для прямого уравнения,
D1 = (Bn-1) / Bn, D2= (Bn-2) / Bn — для обратногоуравнения.
Совершенно очевидно
xc1 = (- D1/ 2) + ( ( ( — D1/2) **2) — D2) ** (1/ 2),
или
xc1 = (- D1/ 2) — ( ( ( — D1/ 2) **2) — D2) **(1/ 2), (4)
Корень исходного уравнения
x1 = (xc1** (1/L)). (5)
Если алгебраическая Функция привычисленном значении корня x1 F(x1) не удовлетворяет Критерию окончания Счета,переходят к следующему шагу преобразования (Jприсваивают значение J + 1) до тех пор, пока не будетдостигнута требуемая точность вычислений EPS.
Уместно отметить, что величина xc1 может быть как действительной, так и комплекснойвеличиной. При вычислении корня x1 следует подвергатьПроверке ВСЕ КОРНИ степени L из переменной xc1:
Если xc1- комплексная величина (общий случай), тогда
PI = 3.141592653589793,I2 = 1, L
Mod xc1 = SQRT( (Re xc1) **2) + ( (Im xc1) **2)),
Fi xc1 = ARCTAN(Im xc1, Re xc1),
Re x1 = ( (Modxc1) ** (1/L)) *COS ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2),
Im x1 = ( (Modxc1) ** (1/L)) *SIN ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2).
Теорема:
Для любого алгебраическогоуравнения при заданной степени точности EPSвсегда существует такая величина J, при которойкорень квадратного уравнения (3) совпадает с одним из корней исходногоуравнения (1).
При выборе формулы расчётаследует помнить, что
Если I1= 1 или I1 = 2, то вычисление xc1осуществляется по формуле (3) для прямого уравнения (2).
Если I1= 3 или I1 = 4, то вычисление xc1происходит по формуле (3) для уравнения, обратного уравнению (2).
Теорема может быть доказана спомощью Метода Математической Индукции.
В заключение отметим, что вработе / 5/ коэффициенты квадратного уравнения (3) определены несколько иначе,однако корни исходного алгебраического уравнения (1) вычисляются с той же степеньюточности EPS. Ввиду того, что коэффициенты Аi алгебраического уравнения (1) являются независимымипеременными, но возможны и ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, указать величину J заранее не представляется возможным. Программы, используемыедля проверочных расчётов, составлены автором на алгоритмическом языке FORTRAN — 90 и доказали свою высокуюЭффективность.
Проверка всегда позволяетизбежать Ошибок.
ПРОВЕРКА.
Дано алгебраическое уравнениетретьей степени
(x**3) — 11* (x**2) — 10*x + 200 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0.00001.
Нормирующий коэффициент для исходногоуравнения RC3 = 5,8480.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 1
Порядковый номер преобразования J = 3
Корень x3- действительный
x3 = 10,000.
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 5,0000;x2 = — 4,0000.
Дано алгебраическое уравнениетретьей степени
(x**3) — 25* (x**2) + 216*x — 580 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0.00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC3 = — 8,3396.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 5
Порядковый номер преобразования J = 3
Корень x3- действительный
x3 = 5,0000.
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = 10,000;Im x1 = 4,0000;
Re x2 = 10,000;Im x2 = — 4,0000.
Дано алгебраическое уравнениечетвёртой степени
(x**4) +6* (x**3) — 57* (x**2) — 110*x + 600 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC4 = 4,9492.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корень x4- действительный
x4 = — 10,000.
Корень x3- действительный
x3 = 5,0000.
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 3,0000;x2 = — 4,0000.
Дано алгебраическое уравнениечетвёртой степени
(x**4) +0* (x**3) + 67* (x**2) — 808*x + 1740 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC4 = 6,4586.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3, I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 4,0000; Im x3 = 10,000;
Re x4 = — 4,0000; Im x4 = — 10,000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 3,0000;x2 = 5,0000.
Дано алгебраическое уравнениечетвёртой степени
(x**4) +4* (x**3) — 66* (x**2) + 76*x + 1360 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC4 = 6,0727.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 1
Порядковый номер преобразования J = 0
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 10.000;x4 = — 4.0000.
Корни x1,x2 — комплексно — сопряжённые
Re x1 = 5,0000; Im x1 = 3,0000;
Re x2 = 5,0000;Im x2 = — 3,0000.
Дано алгебраическое уравнениечетвёртой степени
(x**4) — 2* (x**3) + 70* (x**2) — 888*x + 3944 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC4 = 7,9247.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 15.
Порядковый номер преобразования J = 4.
Корни x3,x4 — комплексно — сопряжённые
Re x3 = 5,0000; Im x3 = 3,0000;
Re x4 = 5,0000; Im x4 = — 3,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 4,0000;Im x1 = 10,000;
Re x2 = — 4,0000;Im x2 = — 10,000.
Дано алгебраическое уравнениепятой степени
(x**5) +18* (x**4) — 96* (x**3) — 1198*(x**2) — 1425*x + 2700 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC5 = 4,8559.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x5- действительный
x5 = 1,0000.
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 9,0000;x4 = — 20,000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = — 3,0000;x2 = — 5,0000.
Дано алгебраическое уравнениепятой степени
(x**5) +24* (x**4) + 19* (x**3) — 1646*(x**2) — 9222*x — 14040 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC5 = — 6,7526.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 1.
I2 = 5
Порядковый номер преобразования J = 3
Корень x5- действительный
x5 = — 20,000.
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 3,0000;x4 = 9,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 5,0000;Im x1 = 1,0000;
Re x2 = — 5,0000;Im x2 = — 1,0000.
Дано алгебраическое уравнениепятой степени
(x**5) +30* (x**4) + 309* (x**3) +2510* (x**2) + 6150*x — 9000 =0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC5 = — 6,1780.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 2
Порядковый номер преобразования J = 1
Корень x5- действительный
x5 = 1,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 5,0000;x4 = — 20,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 3,0000;Im x1 = 9,0000;
Re x2 = — 3,0000;Im x2 = — 9,0000.
Дано алгебраическое уравнениепятой степени
(x**5) +36* (x**4) + 496* (x**3) +4576* (x**2) + 23460*x + 46800= 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC5 = 8,5911.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корень x5- действительный
x5 = — 20,000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 3,0000;Im x3 = 9,0000;
Re x4 = — 3,0000;Im x4 = 9,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 5,0000; Im x1 = 1,0001;
Re x2 = — 5,0000;Im x2 = — 1,0001.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +1* (x**5) — 261* (x**4) + 251*(x**3) + 14708* (x**2) — 13260*x — 79200 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 6,5532.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 3,0000;x6 = — 2,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 11,000;x4 = — 15,000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 10,000;x2 = — 8,0000.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +13* (x**5) — 29* (x**4) — 660*(x**3) — 17300* (x**2) — 79944*x + 411840 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 8,6256.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = — 8,0000;x6 = 3,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 2,0000; Im x3 = 10,000;
Re x4 = — 2,0000; Im x4 = — 10,000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = — 15,000;x2 = 11,000.
4.3 Дано алгебраическоеуравнение шестой степени
(x**6) +8* (x**5) — 246* (x**4) — 2592*(x**3) + 35945* (x**2) — 15176*x — 190740 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 7,5871.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 3,0000;x6 = — 2,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 11,000;x4 = 10,000;
Корни x1,x2 — комплексно — сопряжённые
Re x1 = — 15,000; Im x1 = 8,0000;
Re x2 = — 15,000; Im x2 = — 8,0000.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +9* (x**5) — 44* (x**4) + 1034*(x**3) — 4800* (x**2) — 170200*x — 312000 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходногоуравнения RC6 = 8,2355.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3, I2 = 2.
Порядковый номер преобразования J = 1.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = — 15,000;x6 = — 2,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 10,000;x4 = — 8,0000;
Корни x1,x2 — комплексно — сопряжённые
Re x1 = 3,0000; Im x1 = 11,000;
Re x2 = 3,0000; Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +16* (x**5) + 27* (x**4) — 226*(x**3) + 15462* (x**2) — 343880*x — 751400 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 9,5348.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 2.
Порядковый номер преобразования J = 1.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 10,000;x6 = — 2,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 15,000; Im x3 = 8,0000;
Re x4 = — 15,000; Im x4 = — 8,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = 3,0000;Im x1 = 11,000;
Re x2 = 3,0000;Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +21* (x**5) + 284* (x**4) +4486* (x**3) + 36328* (x**2) +298480*x + 1622400 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 10,840.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 9.
Порядковый номер преобразования J = 4.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = — 8,0000;x6 = — 15,000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = 3,0000; Im x3 = 11,000;
Re x4 = 3,0000; Im x4 = — 11,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000;Im x1 = 10,000;
Re x2 = — 2,0000;Im x2 = — 10,000.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +20* (x**5) + 70* (x**4) — 1784*(x**3) — 12879* (x**2) — 279676*x + 991848 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 9,9864.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 1.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 11,000;x6 = 3,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 15,000; Im x3 = 8,0000;
Re x4 = — 15,000; Im x4 = — 8,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000;Im x1 = 10,000;
Re x2 = — 2,0000;Im x2 = — 10,000.
Дано алгебраическое уравнениешестой степени
(x**6) +28* (x**5) + 439* (x**4) +5618* (x**3) + 71090* (x**2) +375544*x + 3907280 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC6 = 12,550.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 19.
Порядковый номер преобразования J = 5.
Корни x5,x6 — комплексно-сопряжённые
Re x5 = — 15,000; Im x5 = 8,0000;
Re x6 = — 15,000; Im x6 = — 8,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = 3,0001;Im x3 = 11,000;
Re x4 = 3,0001;Im x4 = — 11,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0001; Im x1 = 10,000;
Re x2 = — 2,0001; Im x2 = — 10,000.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) — 12* (x**6) — 128* (x**5) +1950* (x**4) — 2321* (x**3) — 30018*(x**2) + 37728*x + 142560 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = 5,4486.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x7- действительный
x7 = — 2,0000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 11,000;x6 = 9,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 5,0000;x4 = — 12,000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 4,0001;x2 = — 3,0000.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) +2* (x**6) — 21* (x**5) — 480* (x**4) — 11794* (x**3) + 99364* (x**2) — 38400*x — 561600 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = — 6,6275.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x7- действительный
x7 = — 2,0000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 5,0000;x6 = 4,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 12,000;x4 = 9,0000;
Корни x1,x2 — комплексно — сопряжённые
Re x1 = — 3,0000;Im x1 = 11,000;
Re x2 = — 3,0000;Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) +4* (x**6) — 240* (x**5) — 930*(x**4) + 19919* (x**3) + 22286*(x**2) — 276240*x — 475200 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = — 6,4712.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x7- действительный
x7 = — 2,0000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 5,0000;x6 = — 3,0000;
Корни x3,x4 — комплексно — сопряжённые
Re x3 = — 12,000;Im x3 = 4,0000;
Re x4 = — 12,000;Im x4 = — 4,0000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 11,000;x2 = 9,0005.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) — (x**6) — 80* (x**5) — 160* (x**4) — 7961* (x**3) + 67841* (x**2) + 51960*x — 673200 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = — 6,8013.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 1.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 4.
Корень x7- действительный
x7 = — 12,000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 3,9999;x6 = — 3,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 11,000;x4 = 5,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000;Im x1 = 9,0000;
Re x2 = — 2,0000;Im x2 = — 9,0000.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) +18* (x**6) + 91* (x**5) — 528*(x**4) — 18082* (x**3) — 141180*(x**2) + 720800*x + 1872000 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = 7,8712.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 2.
Порядковый номер преобразования J = 1.
Корень x7- действительный
x7 = — 2,0000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 9,0000;x6 = 5,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 12,000;Im x3 = 4,0000;
Re x4 = — 12,000;Im x4 = — 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 3,0000; Im x1 = 11,000;
Re x2 = — 3,0000; Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнение седьмойстепени
(x**7) +13* (x**6) + 181* (x**5) +1107* (x**4) — 4492* (x**3) — 130*(x**2) — 725200*x + 2652000 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = 8,2728.
Коэффициент выбора формулы расчетаI1 = 1.
I2 = 17.
Порядковый номер преобразования J = 5.
Корень x7- действительный
x7 = — 12,000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 5,0001;x6 = 3,9999;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 3,0000;Im x3 = 11,000;
Re x4 = — 3,0000;Im x4 = — 11,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 9,0000;
Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 9,0000.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) +15* (x**6) — 16* (x**5) — 1392*(x**4) — 14233* (x**3) — 101775*(x**2) + 537400*x + 2244000 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = 8,0777.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x7- действительный
x7 = — 3,0000.
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 11,000;x6 = 5,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 2,0000;Im x3 = 9,0000;
Re x4 = — 2,0000;Im x4 = — 9,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 12,000; Im x1 = 4,0000;
Re x2 = — 12,000; Im x2 = — 4,0000.
Дано алгебраическое уравнениеседьмой степени
(x**7) +29* (x**6) + 469* (x**5) +5171* (x**4) + 32180* (x**3) +59950* (x**2) — 382000*x — 8840000= 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC7 = — 9,8254.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4, I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корень x7- действительный
x7 = 5,0000.
Корни x5,x6 — комплексно-сопряжённые
Re x5 = — 2,0000;Im x5 = 9,0000;
Re x6 = — 2,0000;Im x6 = — 9,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 12,000; Im x3 = 4,0000;
Re x4 = — 12,000; Im x4 = — 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 3,0000;Im x1 = 11,000;
Re x2 = — 3,0000;Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +1* (x**7) — 236* (x**6) + 358*(x**5) + 9757* (x**4) — 26423*(x**3) — 59346* (x**2) +127440*x + 151200 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00003.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 4,4406.
Коэффициент выбора формулы расчетаI1 = 3.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = — 2,0000;x8 = — 1,0000;
Корни x5,x6 — действительные
x5 = — 15,000;x6 = 3,0002;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 7,0000;x4 = 12,000;
Корни x1,x2 — действительные
x1 = 5,0001;x2 = 3,9997.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +14* (x**7) + 77* (x**6) + 1046*(x**5) — 11317* (x**4) — 66934*(x**3) + 430495* (x**2) +109650*x — 1827000 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 6,0634.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = 3,0001;x8 = — 2,0000;
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 5,0001;x6 = 3,9998;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 15,000;x4 = — 7,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 1,0000; Im x1 = 12,000;
Re x2 = — 1,0000; Im x2 = — 12,000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +20* (x**7) — 125* (x**6) — 3906*(x**5) — 913* (x**4) + 128248*(x**3) + 33893* (x**2) — 698826*x — 607320 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 5,2836.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = — 2,0000;x8 = — 1,0000;
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 5,0000;x6 = 3,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = — 7,0001;x4 = 12,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 15,000; Im x1 = 3,9999;
Re x2 = — 15,000; Im x2 = — 3,9999.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +33* (x**7) + 435* (x**6) +3925* (x**5) + 21545* (x**4) — 155853*(x**3) — 1297839* (x**2) +1818455*x + 7338450 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 7,2144.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = 3,0000;x8 = — 2,0000;
Корни x5,x6 — комплексно-сопряжённые
Re x5 = — 15,000; Im x5 = 4,0000;
Re x6 = — 15,000; Im x6 = — 4,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 5,0000;x4 = — 7,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 1,0000;Im x1 = 12,000;
Re x2 = — 5,0004;Im x2 = — 12,000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +6* (x**7) — 207* (x**6) — 744*(x**5) + 6135* (x**4) + 18930*(x**3) + 17543* (x**2) — 322320*x — 327600 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 4,8912.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = — 15,000;x8 = — 1,0000;
Корни x5,x6 — действительные
x5 = — 7,0000;x6 = 12,000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 3,9997;x4 = 5,0002;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 2,9999;
Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 2,9999.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +19* (x**7) + 171* (x**6) +1821* (x**5) — 3285* (x**4) — 90963*(x**3) — 95035* (x**2) +320675*x + 3958500 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00005.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 6,6787.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 17.
Порядковый номер преобразования J = 5.
Корень x8- действительный
x8 = — 15,000;
Корни x6,x7 — комплексно-сопряжённые
Re x6 = — 1,0000;Im x6 = 12,000;
Re x7 = — 1,0000;Im x7 = — 12,000.
Корни x4,x5 — действительные
x4 = 5,0000;x5 = — 7,0000;
Корень x3- действительный
x3 = 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000;Im x1 = 3,0000;
Re x2 = — 2,0000;Im x2 = — 3,0000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +25* (x**7) — 1* (x**6) — 3997*(x**5) — 22165* (x**4) + 27671*(x**3) + 429697* (x**2) +1699693*x + 1315860 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 5,8197.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x8- действительный
x8 = — 1,0000;
Корни x6,x7 — комплексно-сопряжённые
Re x6 = — 15,000;Im x6 = 3,9999;
Re x7 = — 15,000;Im x7 = — 3,9999.
Корни x4,x5 — действительные
x4 = — 6,9978;x5 = — 7,0000;
Корень x3- действительный
x3 = 4,9984;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0004;Im x1 = 2,9971;
Re x2 = — 2,0004;Im x2 = — 2,9971.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +38* (x**7) + 624* (x**6) +6946* (x**5) + 53590* (x**4) +76618* (x**3) — 1243008* (x**2)- 6182290*x — 15899980 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 7,9465.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 1.
I2 = 16.
Порядковый номер преобразования J = 5.
Корни x7,x8 — комплексно-сопряжённые
Re x7 = — 15,000; Im x7 = 4,0001;
Re x8 = — 15,000; Im x8 = — 4,0001.
Корни x5,x6 — комплексно-сопряжённые
Re x5 = — 1,0002;Im x5 = 12,000;
Re x6 = — 1,0002;Im x6 = — 12,000.
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 5,0015;x4 = — 7,0057;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 1,9978; Im x1 = 3,0071;
Re x2 = — 1,9978; Im x2 = — 3,0071.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +13* (x**7) — 139* (x**6) — 2139*(x**5) — 3282* (x**4) + 68366*(x**3) + 41148* (x**2) — 348192*x — 319680 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 4,8763.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 9.
Порядковый номер преобразования J = 4.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = — 1,0000;x8 = — 15,000;
Корни x5,x6 — действительные
x5 = 3,0000;x6 = — 2,0000;
Корни x3,x4 — действительные
x3 = 12,000;x4 = 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 7,0000; Im x1 = 5,0000;
Re x2 = — 7,0000; Im x2 = — 5,0000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +26* (x**7) + 330* (x**6) +3410* (x**5) + 13755* (x**4) — 56128*(x**3) — 750358* (x**2) +719700*x + 3862800 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 6,6583.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = 3,0000;x8 = — 2,0000;
Корни x5,x6 — действительные
x5 = — 15,000;x6 = 4,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 1,0000; Im x3 = 12,000;
Re x4 = — 1,0000; Im x4 = — 12,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 7,0000;Im x1 = 5,0000;
Re x2 = — 7,0000;Im x2 = — 5,0000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +32* (x**7) + 200* (x**6) — 3456*(x**5) — 50935* (x**4) — 192668*(x**3) + 364414* (x**2) +1793820*x + 1284048 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 5,8019.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = — 2,0000;x8 = — 1,0000;
Корень x6- действительный
x6 = 3,0000;
Корни x4,x5 — комплексно-сопряжённые
Re x4 = — 15,000;Im x4 = 3,9999;
Re x5 = — 15,000;Im x5 = — 3,9999.
Корень x3- действительный
x3 = 12,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 7,0000;Im x1 = 5,0002;
Re x2 = — 7,0000;Im x2 = — 5,0002.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +45* (x**7) + 916* (x**6) +12200* (x**5) + 116345* (x**4) +630537* (x**3) + 925550* (x**2)- 7666718*x — 15515580 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 7,9222.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 3.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = 3,0000;x8 = — 2,0000;
Корни x5,x6 — комплексно-сопряжённые
Re x5 = — 7,0000; Im x5 = 5,0000;
Re x6 = — 7,0000; Im x6 = — 5,0000;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 15,000;Im x3 = 4,0000;
Re x4 = — 15,000;Im x4 = — 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 1,0000; Im x1 = 12,000;
Re x2 = — 1,0000; Im x2 = — 12,000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +18* (x**7) — 50* (x**6) — 2468*(x**5) — 16413* (x**4) — 3790*(x**3) + 169678* (x**2) +852096*x + 692640 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 5,3711.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 4.
I2 = 3.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корни x7,x8 — действительные
x7 = — 15,000;x8 = — 1,0000;
Корень x6- действительный
x6 = 12,000;
Корни x4,x5 — комплексно-сопряжённые
Re x4 = — 7,0000;Im x4 = 5,0000;
Re x5 = — 7,0000;Im x5 = — 5,0000;
Корень x3- действительный
x3 = 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000;Im x1 = 3,0000;
Re x2 = — 2,0000;Im x2 = — 3,0000.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +18* (x**7) — 50* (x**6) — 2468*(x**5) — 16413* (x**4) — 3790*(x**3) + 169678* (x**2) +852096*x + 692640 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00005.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 7,3339.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 2.
I2 = 17.
Порядковый номер преобразования J = 5.
Корень x8- действительный
x8 = — 15,000;
Корни x6,x7 — комплексно-сопряжённые
Re x6 = — 1,0000;Im x6 = 12,000;
Re x7 = — 1,0000;Im x7 = — 12,000;
Корни x4,x5 — комплексно-сопряжённые
Re x4 = — 7,0000; Im x4 = 5,0000;
Re x5 = — 7,0000; Im x5 = — 5,0000;
Корень x3- действительный
x3 = 4,0000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 2,0000;Im x1 = 3,0001;
Re x2 = — 2,0000;Im x2 = — 3,0001.
Дано алгебраическое уравнениевосьмой степени
(x**8) +50* (x**7) + 1165* (x**6) +17914* (x**5) + 201957* (x**4) +1563958* (x**3) + 7735883* (x**2)+ 21352090*x + 33617090 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,001.
Нормирующий коэффициент дляисходного уравнения RC8 = 8,7261.
Коэффициент выбора формулырасчета I1 = 1.
I2 = 16.
Порядковый номер преобразования J = 5.
Корни x7,x8 — комплексно-сопряжённые
Re x7 = — 15,000; Im x7 = 4,0002;
Re x8 = — 15,000; Im x8 = — 4,0002;
Корни x5,x6 — комплексно-сопряжённые
Re x5 = — 2,0026;Im x5 = 2,9975;
Re x6 = — 2,0026;Im x6 = — 2,9975;
Корни x3,x4 — комплексно-сопряжённые
Re x3 = — 0,9999; Im x3 = 12,000;
Re x4 = — 0,9999; Im x4 = — 12,000;
Корни x1,x2 — комплексно-сопряжённые
Re x1 = — 6,9976;Im x1 = 4,9993;
Re x2 = — 6,9976;Im x2 = — 4,9993.
Выводы
Предложен Метод приближённогорешения алгебраического уравнения n-ой степени врадикалах, характеризующийся простотой и доступностью для практическогоприменения.
Метод основан напоследовательном получении общего алгебраического уравнения относительноквадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корнямисходного уравнения.
Для решения уравненийразработанным Методом не требуется знания специальных разделов Высшей Алгебры: теорийгрупп Абеля, Галуа, Ли и пр. и специальной математической терминологии: полей,колец, идеалов, изоморфизмов и т.д., нужно лишь умение решать квадратныеуравнения и извлекать корни n — ой степени из комплексного числа.
Разработанный Метод решенияможет быть использован при проведении оптимизационных расчётов и определении Оптимальныхпараметров сложных технических Систем, часть которых может быть достигнута наГранице устойчивости.
На конкретных примерах доказана ПРАВИЛЬНОСТЬразработанного Метода и приведены Примеры решения алгебраических уравнений стретьей по восьмую степень включительно.
Решение может быть проверено Студентами,обладающими математическими знаниями в объеме институтского курса и имеющиминавыки программирования на языках высокого уровня.
Литература
1. В.А. Никифоровский. В мире уравнений — Москва, Издательство «Наука»,(Серия «История науки и техники») АКАДЕМИЯ НАУК СССР, 1987. — 176 с.
2. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров иучащихся ВТУЗОВ. — Москва, «Наука», Главная редакция физико-математическойлитературы, 1980. — 976 с., ил.
3. Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени: Пер. снем. / Под ред. А.Н. Тюрина. — Москва, «Наука», Главная редакцияфизико-математической литературы, 1989. — 336 с.
4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского.- Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы,1987. — 712 с.
5. В.А. Будников. Классическая Алгебра. — Новосибирск, Типография ООО«ЮГУС — ПРИНТ», 2008. — 16 с.
6. В.А. Будников. Метод решения алгебраических уравнений. Решение Вековогоуравнения. — СТАТЬИ ДЕПОНИРОВАНЫ в «СИБКОПИРАЙТ», № 2480 от 02.09.08.,Новосибирск, 2008. — 21 с.