Зміст
Введення
Рішення рівнянь із параметрами
Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних ізвластивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями
Висновок
Література
Введення
Актуальність даної теми визначається необхідністю вмітивирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінюваннязнань.
Ціль даної роботи розповісти про рішення рівняньіз параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною йтригонометричною функціями.
Для досягнення поставленоїмети необхідно вирішити наступні задачі:
дати визначення поняттямрівняння з параметрами;
показати принцип рішенняданих рівнянь на загальних випадках;
показати рішення рівнянь ізпараметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною йтригонометричною функціями.
Для виконання поставленоїмети були використані наступні методи: використання літератури різноготипу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу поматематиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008році.
Об'єктом дослідницькоїроботи було рішення рівняньіз параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій.
Структура даної роботи містить у собі теорію, практичну частину,висновок, бібліографічний список.
Рішення рівнянь ізпараметрами
рівняння параметрфункція логарифмічна
Задачі з параметрами відіграютьважливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури вшколярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане зтим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь,для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються наєдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи.
Більшість посібниківадресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачамипотрібно набагато раніше — паралельно з відповідними розділами шкільноїпрограми по математиці.
Якщо в рівнянні деякікоефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, товони називаються параметрами, а рівняння параметричним.
Природно, такий невеликийклас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим,але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачуванапопулярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, — ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення навираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібнихвиражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих дослідженьвпливають і на рішення, і на відповідь.
Основне, що потрібно засвоїтипри першому знайомстві з параметром, — це необхідність обережного, навіть, якщохочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашудумку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.
Необхідність акуратного обігуз параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робитьзадачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа,вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.
Звичайнов рівняння буквами позначають невідомі.
Вирішитирівняння — значить:
знайтимножину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння,крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називаніпараметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченноюмножиною рівнянь.
Приодних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших — має тільки одинкорінь, при третіх — два корені.
Прирішенні таких рівнянь треба:
1)знайти множину всіх доступних значень параметрів;
2)перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени,що не містять невідомого в праву;
3)привести подібні доданки;
4)вирішувати рівняння ax = b.
Можливотри випадки.
1. а/>0, b – будь-яке дійснечисло. Рівняння має єдине рішення х = />.
2. а= 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х/> R.
/>3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b
рішеньне має.
Зробимоодне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є записвідповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би«гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складаннявідповіді — це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забутивідбити у відповіді всі етапи рішення.
Утільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення.Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.
Відповідь:
х = /> при а /> 0, b – будь-яке дійснечисло;
х — будь-яке число при а = 0, b = 0;
рішеньнемає при а = 0, b? 0.
Рішення рівнянь із параметрами,зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічноюфункціями
1. Знайдемо значенняпараметра n, при яких рівняння 15·10х – 20 = n – n · 10х + 1не має коренів?
Рішення: перетворимо задане рівняння: 15·10х– 20 = n – n · 10х + 1; 15·10х + n· 10х + 1 =n + 20; 10х ·(15 + 10n) = n + 20; 10х = />.
Рівняння не буде мати рішеньпри /> ≤ 0, оскільки 10х завжди позитивно.
Вирішуючи зазначенунерівність методом інтервалів, маємо: /> ≤0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; — 20 ≤ n ≤ — 1,5.
Відповідь: />.
2. Знайдемо всі значенняпараметра а, при яких рівняння lg2 (1 + х2) + (3а– 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не має рішень.
Рішення: позначимо lg(1 + х2) = z, z >0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z2 + (3а – 2) · z + а2= 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)2 – 4а2= 5а2 – 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2– 12а + 4
Відповідь: (0,4; 2).
3. Знайдемо найбільше цілезначення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a – 7має рішення.
Рішення: перетворимо задане рівняння:
cos2x + asinx = 2a– 7; 1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7; sin2х — />asinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) · /> = 0.
Рішення рівняння (sinх – 2) ·/> = 0 дає:
(sinх — 2) = 0; х належитьпорожній множині.
sinх — /> = 0; х = (-1)narcsin /> + πn, n /> Z при /> ≤ 1. Нерівність />≤ 1 має рішення 2 ≤а ≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра адорівнює 6.
Відповідь: 6.
4. Указати найбільше цілезначення параметра а, при якому корінь рівняння 4х2 — 2х + а= 0 належить інтервалу (- 1; 1).
Рішення: корінь заданого рівняння рівні: х1=/> (1+ />)
х2 =/>, при цьому а ≤/>.
За умовою -1 (1+ />)
— 1 > /> > — 3.
Рішенням, що задовольняютьзазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: — 3
Нерівність — 3 виконується при всіх а ≤/>, нерівність />а≤ />. Таким чином, припустимізначення параметра а лежать в інтервалі (-2; />.
Найбільше ціле значенняпараметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1),дорівнює 0.
Відповідь: 0.
5. При яких значенняхпараметра а число корінь рівняння
/>2 -/> х /> = 0 дорівнює а?
Рішення: побудуємо ескіз графіка функції, в = />2 -/> х /> при цьому врахуємо, щофункція в – парна і її графік – симетричний щодо осі ординат, у силу чого можнаобмежитися побудовою тільки його правої частини ( х ≥ 0). Також урахуємо,що тричлен х2 — 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, апри х = 4 – мінімум, рівний – 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола
в = х2 — 8х + 7 змінімумом умін рівним — 9 при х хв = 4, і коріннями х1= 1 і х2 = 7;
/>
суцільними лініями зображеначастина параболи в = />2 – 8х+ /> (1
х2 — 8х + 7 при 1
(Ескіз лівої частини графікафункції при х
Проводячи горизонталі в = а,а /> N, одержуємо k крапок їїперетинання з лініями ескізу графіка. Маємо:
а [1; 6] 7 8 9
/> к 4 8 7 6 4 2
Таким чином, а = k приа = 7.
Відповідь: 7.
6. Указати значення параметраа, при якому рівняння
х4 + (1 – 2а)х2+ а2 – 4 = 0 має три різних корені.
Рішення: усяке біквадратне рівняння в загальномувипадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тількизнаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у виглядінуля.
Корінь заданого рівняннярівні:
х = />
Одна з пар корінь будедорівнює 0, якщо (2а-1) = /> .Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 />>/>, маємо: (2а – 1) = /> />(2а – 1)2 = 17 –4а />
4а2 – 4а +1 = 17 –4а />а = 2.
Відповідь: 2.
Указати ціле значенняпараметра p, при якому рівняння
/>cosx – 2sinx = /> +/> має рішення.
Рішення: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 /> р ≤ 2; поєднуючиприпустимі значення параметра р, маємо:
0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 вихіднерівняння приймає вид – 2sinх = 2/> />х належить порожній множині( у силу обмеженості синуса).
При р = 1 вихіднерівняння приймає вид:
cosx-2sinx = /> +1.
Максимальне значення різниці(cosx-2sinx) становить
/> = (- sinx – 2cosx) = 0 />tgx =-2, при цьому sinx =
sin (arctg(-2)) = />, cosx – 2sinx = />, що менше /> +1.
Отже, при р = 1рівняння рішень не має.
При р = 2 вихіднерівняння приймає вид
/>.
Максимальне значення різниці /> становить /> при х = arctg(-/> ) (при цьому sinx = /> , cosx = />). Оскільки />> /> +1, то рівняння /> = /> буде мати рішення.
Відповідь: 2.
8. Визначити числонатуральних n, при яких рівняння /> не маєрішення.
Рішення: х ≠ 0, n? 10.
/> />/>
Рівняння х2 – 8х –n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 +n(n-10) n2 -10n+16 (n-2) (n-8) 2
У знайденому інтервалі 5натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n? 10, знаходимо, щозагальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.
Відповідь: 6.
9. Знайти найменше цілезначення параметра а, при якому рівняння
/>(0 )має рішення.
Рішення: за умовою 1 > sinx > 0 />1 ,
1 > cosx > 0/> 1 ,
Отже, 2 .
Зводячи обидві частинизаданого рівняння у квадрат, маємо:
/> = а2 />/> = а2 />
/>/> = а2.
Уведемо змінну z = />. Тоді вихідне рівнянняприйме вид:
z2 + 2z – а2= 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант
D = 1 + а2позитивнийпри будь-якому а.
З огляду на, що 2 а, містимо, що найменше цілезначення параметра а, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Висновок
Під час створення даногопроекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами,зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричноюфункціями » і якоюсь мірою одержали нові.
По завершенню роботи миприйшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективнихкурсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формуєлогічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання поцій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.
Література
1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами.– К., 2002.
2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників увузи. – К., 1994р.
3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, — К., 2003р.
4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.
5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004
6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.