Представления конечных групп

Курсовая работа
«Представления конечных групп»
Содержание
Основные обозначения
Введение
1. Представления конечных групп
1.1 Представления групп
1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
1.3 Лемма Шура
1.4 Соотношения ортогональности для характеров
1.5 Индуцированные представления
1.6 Произведение представлений
Заключение
Список использованных источников
Основные обозначения
/> – группа
/> – порядок группы />
/> – единичный элемент группы />
/> – единичная подгруппа, единичная группа
/> – множество всех простых делителей натурального числа />
/> – множество всех простых делителей порядка группы />
/> – центр группы />
/> – подгруппа Фиттинга группы />
/> – подгруппа Фраттини группы />
/> – коммутант группы />
/> – централизатор подгруппы /> в группе />
/> – нормализатор подгруппы /> в группе />
/> – группа всех автоморфизмов группы />
/> – группа всех внутренних автоморфизмов группы />
/>-/> является подгруппой группы />
/> – />является собственной подгруппой группы />
/> – />является максимальной подгруппой группы />
/> – />является нормальной подгруппой />
/> – />является субнормальной подгруппой группы />
/> – />является минимальной нормальной подгруппой группы />
/> – индекс подгруппы /> в группе />
/> – прямое произведение подгрупп /> и />
/> – полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы />
Введение
В данной работе приведены доказательства следующих теорем:
Теорема. Непустое подмножество />группы />будет подгруппой тогда и только тогда, когда />и />для всех />.
Группой называется непустое множество /> с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:
1) операция определена на />, т.е. /> для всех />;--PAGE_BREAK--
2) операция ассоциативна, т.е. /> для любых />;
3) в /> существует единичный элемент, т.е. такой элемент />, что /> для всех />, что /> для всех />;
4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого /> существует такой элемент />, что />.
Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если /> – конечное множество, являющиеся группой, то /> называют конечной группой, а число /> элементов в /> – порядком группы />.
Подмножество /> группы /> называется подгруппой, если /> – группа относительно той же операции, которая определена на />. Запись /> означает, что />– подгруппа группы />, а /> – что />– собственная подгруппа группы />, т.е. /> и />.
Централизатор. Пусть /> – непустое подмножество группы />. Совокупность всех элементов группы />, перестановочных с каждым элементом множества />, называется централизатором множества />в группе /> и обозначается через />.
Лемма
1. Если /> – подмножество группы />, то централизатор /> является подгруппой.
2. Если /> и /> – подмножество группы /> и />, то />
3. Если /> – подмножество группы /> и />, то />
Центр группы.Центром группы /> называется совокупность всех элементов из />, перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через />. Ясно, что />, т.е. центр группы /> совпадает с централизатором подмножества /> в группе />. Кроме того, />.
Зафиксируем в группе /> элемент />. Пересечение всех подгрупп группы />, содержащих элемент />, назовем циклической подгруппой, порожденной элементом />, и обозначим через />.
Теорема. Циклическая подгрупппа />, порожденная элементом />, состоит из всевозможных целых степеней элемента />, т.е. />
Следствие. Циклическая подгруппа абелева.
Порядок элемента. Пусть /> – элемент группы />. Если все степени элемента /> различны, т.е. /> для всех целых />, то говорят, что элемента /> имеет бесконечный порядок.
Нормализатор. Если /> – непустое подмножество группы /> и /> то /> и /> Элемент /> называется перестановочным с подмножеством />, если />. Равенство /> означает, что для любого элемента /> существует такой элемент />, что />. Если элемент /> перестановочен с подмножеством />, то /> и />. Совокупность всех элементов группы />, перестановочных с подмножеством />, называется нормализатором подмножества />в группе /> и обозначается через />. Итак,
/>
Лемма.Пусть />– непустое подмножество группы />, />– произвольный элемент группы />. Тогда:
1) />;
2) />;    продолжение
--PAGE_BREAK--
3) />;
4) />;
5) если /> – подгруппа группы />, то />
Подгруппа /> называется нормальной подгруппой группы />, если /> для всех />. Запись /> читается: »/> – нормальная подгруппа группы />«. Равенство /> означает, что для любого элемента /> существует элемент /> такой, что />.
Теорема. Для подгруппы />группы />следующие утверждения эквивалентны:
1)/> – нормальная подгруппа;
2) подгруппа /> вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. /> для всех />;
3) подгруппа /> совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. /> для всех />.
Лемма.Пусть />– подгруппа группы />. Тогда:
1) />;
2) если /> и />, то />;
3) /> – наибольшая подгруппа группы />, в которой /> нормальна;
4) если />, то />. Обратно, если />, то />;
5) /> для любого непустого подмножества /> группы />.
Простая группа. В каждой группе /> тривиальные подгруппы (единичная подгруппа /> и сама группа />) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе /> нет других нормальных подгрупп, то группа /> называется простой. Единичную группу /> считают непростой.
Представления конечных групп
1.1 Представления групп
Пусть /> – группа всех невырожденных матриц порядка /> над полем /> комплексных чисел. Если /> – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в />
/>G/>,
такой, что
/>,
/>(единичная матрица),
/>. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.
Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы /> в />, является представлением степени />. Оно называется тождественным представлением группы /> и обозначается через />.
Пример 1.2 Если /> – некоторое представление группы />, то для каждой невырожденной матрицы /> отображение /> также является представлением этой группы.
Пусть /> и /> – два представления группы />. Если существует невырожденная матрица />, такая, что что
/>,
то представления /> и /> называются эквивалентными. Тот факт, что представления /> и /> эквивалентны, мы будем обозначать так: />. Отношение /> определяет классы эквивалентных представлений группы />.
Пример 1.3. Пусть /> – симметрическая группа степени />. Для элемента
/>
через /> обозначим матрицу, /> строка которой имеет вид />, где 1 стоит на /> месте. Другими словами,    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
где
/>
Такое отображение /> является точным представлением группы />.
1.4. Пусть />–конечная группа, состоящая из элементов /> и пусть />– симметрическая группа на />. Отображение, которое ставит в соответствие элементу /> подстановку
/>
является инъективным гомоморфизмом группы /> в />. С такой подстановкой /> мы свяжем матрицу
/>
где, как и в примере />,
/>
Тогда отображение /> является точным представлением группы />. Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим /> следующим образом:
/>
Тогда
/>
и, если />, то каждый диагональный элемент равен нулю.
регулярное представление группы /> определяется аналогично с использованием гомоморфизма
/>
Другими словами,
/>
Пусть /> – некоторый гомоморфизм из /> в />, т.е. подстановочное представление группы />. Представив подстановку /> в виде матрицы />, как это сделано в примере 1.3, мы получим представление />
Пусть /> – представление степени />. Говорят, что />приводимо, если существует такая невырожденная матрица />, что
/>
где /> и /> – квадратные матрицы порядка /> и /> соответственно, причем /> Отметим, что представления
/>
/>
эквивалентны, поскольку />для матрицы
/>
Скажем, что представление />неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения /> и /> являются представлении степеней /> и /> соответственно.
Для заданных представлений /> и /> группы /> степеней /> и /> соответственно отображение
/>
является представление степени /> этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений /> и /> и обозначается через />.
Представление /> группы /> называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица />, такая, что
/>
где каждое /> является неприводимым представлением группы />.
1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
Представление />группы />называется унитарным, если для всех />матрица />является унитарной, т.е. />. Здесь />обозначает матрицу, транспонированную к />, где />, а />– величина, комплексно – сопряженная к />. В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Матрица />называется эрмитовой, если />, и положительно определенной, если />для каждого ненулевого столбца />. Следующая лемма тривиальна.
Лемма 2.1.Пусть />– произвольная невырожденная матрица. Тогда />– положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.
Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы />найдется невырожденная верхнетреугольная матрица />, такая, что />.
Доказательство. Пусть />. Тогда /> и />. Пусть
/>.
Положим
/>
Тогда
/>
и /> – положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы />.
Теорема 2.3. Пусть />– конечная группа. Для каждого представления />группы />найдется невырожденная верхнетреугольная матрица />, такая, что />является унитарной матрицей для всех />.
Доказательство. Положим
/>
Тогда в силу леммы 2.1 /> является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица />, такая, что /> и поэтому />. Так как
/>
то />, т.е. />; поэтому />– унитарная матрица.
Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.
Доказательство. Пусть />– приводимое представление конечной группы />, и пусть /> разлагается следующим образом:
/>
В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица />, такая, что /> – унитарная матрица. Так как /> верхнетреугольная, то /> имеет вид
/>
Поскольку />, мы получаем
/>
откуда следует, что />.
1.3 Лемма Шура
Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть />и />– неприводимые представления группы />степеней />и />соответсвенно. Пусть />– такая />– матрица, что
/>
Тогда либо
/>,
либо
/>и /> невырожденная.
Доказательство. Допустим, что />. Покажем, что тогда имеет место />. Предположим, что либо />, либо /> и /> вырожденна. Тогда существуют матрицы /> и />, такие, что
/>
где />. Так как />, то
/>
где
/>
/>    продолжение
--PAGE_BREAK--
Таким образом, />, если />, и />, если />. В любом случае /> или /> приводимо, что противоречит условию.
Теорема 3.2. Пусть />– неприводимое представление группы />. Пусть />– такая матрица, что />для всех />. Тогда />, где />.
Доказательство. Пусть /> – некоторое собственное значение матрицы />. Тогда />, а, кроме того,
/>
откуда в силу леммы Шура следует, что />
Теорема 3.3. Пусть />– абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.
Доказательство. Пусть /> – неприводимое представление группы />. Поскольку /> коммутирует с каждой матрицей />, из предыдущей теоремы следует, что />, где />. Поскольку /> неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.
1.4 Соотношения ортогональности для характеров
Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.
Характеры. Для квадратной матрицы /> порядка /> обозначим через /> ее след, т.е.
/>
Путем прямых вычислений доказывается следующая
Лемма 4.1.
/>
/>для произвольной квадратной матрицы />.
Для представления /> группы /> положим /> Тогда /> – функция, принимающая значения в множестве /> и называемая характером представления />. Очевидно, что /> равно степени представления />. Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая
Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер.
Поскольку />, имеет место равенство />. Таким образом, /> принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы />. Такие функции называются функциями классов.
Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть /> – группа порядка />, а /> и /> – ее неприводимые представления степеней /> и /> соответственно. Для произвольной /> – матрицы /> пусть
/>
Тогда, положив />, получаем
/>
Поскольку />, как и />, пробегает группу />, то
/>
Предположим, что /> и /> неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура />. Отсюда для />-го элемента матрицы /> получаем
/>
В частности, если взять /> для некоторой пары /> и /> в остальных случаях, то
/>
Пусть теперь />. Тогда в силу теоремы 3.2 /> для некоторого />. При этом />-ый элемент матрицы /> равен
/>
где /> и /> для />. Вычислив след матрицы
/>
мы получаем /> (здесь /> – степень представления />), откуда    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Пусть /> для некоторой пары /> и />, если /> или />. Тогда
/>
Тем самым мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.3. Пусть />– группа порядка g.
(1) Пусть />– неприводимое представление группы />степени />. Тогда
/>
(2) Пусть /> – неприводимое представление, не эквивалентное представлению />. Тогда
/>
Пусть /> – характеры представлений /> и />. Положив в предыдущей теореме /> и просуммировав по />, мы получаем теорему.
Теорема 4.4. (Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть />– группа порядка g.
(1) Если />– неприводимый характер группы />, то
/>
(2) Если /> – характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы />, то
/>
Отметим, что /> для всех />, поскольку теорема 2.3 утверждает, что /> эквивалентно некоторому унитарному представлению /> и потому
/>
Пусть /> – представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы /> и /> – характеры представлений />. Обозначим через /> классы сопряженных элементов группы />, причем />, и пусть /> – представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.
Теорема />. />
Для функций />, определенных на группе /> порядка /> и принимающих значения в поле />, определим скалярное произведение /> по следующему правилу:
/>
В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо /> будем писать />. Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:
/>
/>
В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:
Теорема />. Пусть />– характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы />. Тогда />
Кратности неприводимых представлений. Пусть /> – некоторое представление группы />. Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению
/>
где /> – неэквивалентные неприводимые представления. Число /> называется кратностью представления /> в />, и мы записываем
/>
Пусть /> – характер представления /> и /> – характер представления />. Тогда
/>
Если />, то /> и /> называют неприводимыми компонентами представления /> и характера /> соответственно.
Теорема 4.5.Пусть />– группа и />– характер некоторого ее представления. Пусть />– кратность неприводимого характера />в />. Тогда    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Доказательство. Пусть разложение /> в сумму неприводимых характеров имеет вид />, где /> – кратность />. Тогда
/>
Теорема 4.6. Пусть />– представления группы />, а />– их характеры. Тогда />и />эквивалентны в том и только том случае, когда />.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты /> в /> и /> определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы /> вполне приводимо, представления /> и /> эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление /> имеет в /> и /> одну ту же кратность. Таким образом, /> тогда и только тогда, когда />.
Пусть /> – характер правого регулярного представления группы /> порядка />. Отметим, что
/>
Для характера /> произвольного неприводимого представления /> выполняется соотношение
/>
/>равно степени представления />). Следовательно, справедлива следующая
Теорема 4.7. Пусть />– характер правого регулярного представления группы />. Тогда каждое неприводимое представления />этой группы входит в />с кратностью />, где />– степень представления />. Таким образом,
/>
где суммирование ведется по всем неприводимым характерам /> группы />.
Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер /> левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому />.
Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в /> в качестве компоненты, и поэтому /> имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы /> совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.
Теорема 4.8. Пусть />– полный набор различных неприводимых характеров группы />. Пусть />– степень />, а />– порядок группы />. Тогда
/>
и
/>
для />.
Для доказательства достаточно вычислить /> на элементе />, используя (4.8).
Второе соотношение ортогональности для характеров. Пусть /> – группа, а /> – ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса />:
/>
Определим произведение /> и /> по правилу
/>
где />, а суммирование ведется по />. Для элемента /> обозначим через /> число пар />, таких, что />. Тогда для /> имеется в точности /> пар />, таких, что />, поскольку /> тогда и только тогда, когда /> для />. Поэтому каждый элемент из /> появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.
/>
Совокупность всех элементов /> для /> также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через />.
Тогда
/>    продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> – неприводимое представление группы /> и /> – степень />. Определим /> по правилу
/>
Тогда
/>
поскольку /> пробегает />, как и />. Значит, /> коммутируют с /> и в силу теоремы 3.2
/>
Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим
/>
где /> – характер представления /> и />. В силу (4.10)
/>
Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству
/>
или
/>
Пусть /> – все различные неприводимые характеры группы /> и /> – степень />. Равенство (4.14) имеет место для каждого />. Просуммировав (4.14) по />, получим
/>
/>
/>
Отсюда
/>
Величина /> равна порядку централизатора /> элемента /> в группе />. Поскольку в силу (4.5) />, мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.9. (Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть />– множество всех различных неприводимых характеров группы />, и пусть />– полный набор представителей классов сопряженных элементов группы />. Тогда
/>
где /> – порядок /> и суммирование ведется по всем неприводимым характерам /> группы />.
Теорема 4.10. Число различных неприводимых характеров группы />равно числу ее классов сопряженных элементов.
Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть /> есть /> – матрица, а /> есть /> – матрица. Если определитель квадратной матрицы />, имеющий порядок />, отличен от нуля, то />.
Пусть /> – все различные неприводимые характеры группы />, а /> – полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме />
/>
Поэтому />. В силу теоремы 4.9
/>
Отсюда следует, что /> и потому />.
1.5 Индуцированные представления
Пусть /> – группа и /> – ее подгруппа. Обозначим через /> и /> порядки групп /> и /> соответственно. Если /> – некоторая функция на />, то через /> обозначим ее ограничение на />. В случае когда /> – функция классов на />, /> также является функцией классов на />. Если /> – характер некоторого представления /> группы />, то /> представляет собой характер ограничения /> представления /> на />.
По функции />, заданной на />, определим функцию /> на /> правилом    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
полагая /> для />, не принадлежащих />. Отметим, что /> является функцией классов на />, даже еслм /> не является функцией классов на />. Если /> не сопряжен ни с каким элементом из />, то />.
Лемма 5.1. Пусть />– функция классов на группе />, а />– функция классов на подгруппе />группы />. Тогда
/>
Доказательство. Имеем
/>
Вклад в сумму дают лишь такие пары />, что />. Поэтому, суммируя по тем парам />, для которых /> при некотором />, получаем
/>
/>
/>
Если /> – характер некоторого представления группы />, то назовем />индуцированным характером группы /> и скажем, что /> индуцирован с />. Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы />.
Пусть /> – множество представителей левых смежных классов группы /> по />:
/>
Для представления /> подгруппы /> определим матрицу /> так:
/>
где для />, не содержащихся в />, полагаем />. Это обобщение правого регулярного представления группы />. Мы покажем, что
/>
– представление группы /> степени />, где />, а /> – степень />. При фиксированных /> и /> множество /> содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по />, поэтому среди матриц />, лишь одна ненулевая. Аналогично, множество /> содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по /> и среди матриц />, также лишь одна ненулевая. Обозначим />-й блок матрицы /> через />. Тогда
/>
Покажем, что />. Имеется единственное число />, такое, что />, и единственное число />, такое, что />. Если />, то />. Если же />, то /> и />, поскольку />. В любом случае /> и следовательно, />. Поскольку />, матрица /> невырожденна. Таким образом /> является представлением группы />.
Пусть /> – характер />, а /> – характер />. Тогда
/>
/>
Тем самым мы получим />. Назовем />индуцированным представлением группы /> и будем говорить, что /> индуцировано с />. Сказанное суммирует следующая
Теорема 5.2. Пусть />– группа и />– ее подгруппа. Пусть />– представление />степени />, а />– его характер. Тогда индуцированное представление />имеет степень />, где />, и характер    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть />– подгруппа в />. Пусть />– полный набор неприводимых характеров группы />, а />– полный набор неприводимых характеров группы />. Тогда
/>
в том и только том случае, когда
/>
Другими словами, если /> – неприводимое представление группы />, а /> – неприводимое представление />, то /> является неприводимой компонентой в /> кратности /> тогда и только тогда, когда /> является неприводимой компонентой в /> кратности />.
Доказательство. Пусть /> и />. В силу леммы 5.1
/>
1.6 Произведение представлений
Пусть />– квадратные матрицы порядков />и />соответственно, и пусть />. Определим кронекерово, или тензорное, произведение />матриц />и />следующим образом:
/>
Значит, />представляет собой квадратную матрицу порядка />. Непосредственными вычислениями устанавливается следующая
Лемма 6.1.
(1) />,
(2) если />имеют степень />, a />– степень />, то />
Пусть />и />– представления группы />. Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение
/>
также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений /> и обозначают через />. Пусть /> – характеры представлений /> соответственно. По лемме 6.1 (1)
/>
Пусть /> – полный набор неприводимых представлений группы />, а /> – характер />. Отображение /> также является неприводимым, и его характер – это />, где />. Пусть />.
Теорема 6.2. Равенство
/>
имеет место тогда и только тогда, когда
/>
Доказательство.
/>
/>
Таким образом, кратность вхождения /> в /> равна кратности вхождения /> в />
Теорема 6.3. Пусть />– точное представление группы />и />– его характер. Пусть />– число различных значений, которые принимает />на />. Тогда каждое неприводимое представление группы />входит в
/>
для некоторого />, где />.
Доказательство. Предположим, что неприводимое представление /> не входит в />. Пусть /> – характеры /> и /> соответственно. Тогда    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
для />. Пусть /> принимает на /> значение />. Положим /> и />. В силу (6.1)
/>
для /> Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для />. Поскольку />, эта система имеет решение />.
Пусть /> – степень представления />, т.е. />. Мы можем считать, что />. Покажем, что />. Пусть />, т.е. />. Обозначим через /> циклическую группу, порожденную элементом />. По теореме 3.3 /> эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы />
/>
Пусть /> – порядок элемента />. Тогда />. Взяв след в равенстве (6.3), получаем />. Это означает, что />, т.е. />. Плскольку /> точно, />. Поэтому /> и />. Полученное противоречие доказывает теорему. />
Таблицы характеров. Пусть /> – группа и /> – классы сопряженных элементов в />. Пусть /> – нерпиводимые характеры группы />, а /> – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения /> таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы />, в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с />, а столбцы – классами сопряженности группы />, начиная с класса />.
Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы />, а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.
Заключение
Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.
Путем прямых вычислений доказали лемму:
/>
/>для произвольной квадратной матрицы /> и теорему: Пусть />– группа и />– ее подгруппа. Пусть />– представление />степени />, а />– его характер. Тогда индуцированное представление />имеет степень />, где />, и характер
/>
Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма: />,
(2) если />имеют степень />, a />– степень />, то />
Список использованных источников
4 Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.
4 Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.
4 Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195
4 Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24