ФедеральноеАгентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
МосковскийГосударственный Институт Стали и Сплавов
(технологическийуниверситет)
Кафедраэкономики и менеджмента
Курсоваяработа по высшей математике на тему:
«Приложениеинтегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач».
Выполнила:
Рашидуллина А.Г.
группа МЭ-07-3
Проверил(а):
Дьяченко О. Н.
Москва
2005
Задание № 1
экстремумнепериодическая функция фурье
Найтинаибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)= y2 +x2+6x+ -4y в замкнутой ограниченнойобласти D:x2+y2/>4; x+y/>2.
Теория:
I). Если из уравнениясвязи найти yкак функция x,т.е f(x, y(x)) тогда задача сводитсяк отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной назаданном отрезке.
Находимзначение функции в точках, в которых выполнено необходимое условие наличияэкстремумов функции (точки попадания в данную область)
Из найденныхзначениях выбираем наибольшее и наименьшее значения.
(x0,y0) – точка условногоэкстремума f(x;y)
Длямаксимума:
1. (x0;y0) – удовлетворяетуравнению связи />
2. Существуеттакая окрестность точки (x0;y0), что для любых (х; у), таких что
/>
(Аналогичнодля минимума).
II). Нахождение точек вкоторых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции методоммножителей Лагранжа.
z=f(x;y), />.
1. Составляемфункцию 3-х переменных />
2. Дляфункции Fнаходим точки в которых выполнено необходимое условие обычного экстремума:
/>/>
Решение.
/>
1). Находимточки в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума.
/>/>
Точка (-3, 2)/>(т.е непринадлежит области определения).
2). Находимнаибольшее и наименьшее значения на границе области.
а) />
/>
б). Находимточки в которых выполнено необходимое условие условного экстремума с помощьютеоремы Лагранжа.
/>
/>
/>.x y z 2 -4 2 16
/>
/> -1,5
/>
/> -10,4
Ответ:
zнаиб.(2;0)=16.
/>Задание № 2
Заводпроизводит два вида продукции: А и В. Единица продукции вида А требует 2 часана обработку деталей, 4 часов на сборку и 82 часов на упаковку. А единицапродукции типа В требует соответственно 3, 12 и 6 часов. Оборудование заводапозволяет потратить на эти операции соответственно 48, 168 и 144. Единицапродукции первого вида даёт прибыль в размере $11, а второго — $10. Требуетсясоставить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.Решить задачу двумя способами ( геометрическим методом и симплексным методом). На обработку деталей, час На сборку, час На упаковку, час Прибыль с ед. продукции Продукция типа А 2 4 8 11 Продукция типа В 3 12 6 10 Завод позволяет, час 48 168 144
Геометрическийметод:
X-количество продукциитипа А
Y-количество продукциитипа В
Тогда 11X+10Y – общая выручка,максимизируя ее, получаем целевую функцию.
11X+10Y/>max — целевая функция,обеспечивающая заводу максимальную прибыль.
Условияограниченности времени:
2X+3Y/>48,
4X+12Y/>168,
8X+6Y/>114,
X>0,Y>0
/>
/>Рассмотрим вначале геометрический метод. Вобщем случае, он применим лишь в том случае, если ЗЛП содержит не более 2-хпеременных величин (не считая самого значения целевой функции). В некоторыхслучаях ЗЛП с числом переменных более двух может быть сведена к ЗЛП с двумяпеременными, однако здесь мы не будем касаться этих возможностей. Сутьгеометрического метода заключается в следующем:
1) Наплоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится системаограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически системунеравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеетрешения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он можетбыть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимыхрешения ЗЛП.
2) Находимградиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторонунаибольшего возрастания функции.
3) Строимтак называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либоконстанте. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.
4) Возможныдва варианта:
1) Целеваяфункция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе внаправлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственноеоптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе областидопустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлятьсобой оптимальное решение.
2) Целеваяфункция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линиюуровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.
2X+3Y=4, (1)
4X+12Y=168, (2)
8X+6Y=114. (3)
В данномслучае многоугольник ODABC представляет собой область допустимых решенийЗЛП. Как можно видеть из рисунка оптимальным решением ЛЗП является точка A с координатами (12;8).
Напересечении графиков (1) и (3) достигается максимальное значение функции:
Решаемсистему из (1) и (3) уравнения
/>
Получаем: X=12; Y=8.
Подставим вцелевую функцию:
11*12+10*8=132+80=242.
Т.е.максимальная прибыль в 212$ будет достигаться при следующем плане выпуска 12единиц товара А и 8 единиц товара В.
Симплексныйметод:
Однако ЗЛП сдвумя переменными на практике встречаются редко. В реальных задачах их числоможет доходить до сотен. Мощным инструментом для решения подобных задачявляется симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностьюаналитическим, что позволяет использовать его в ЗЛП с практически любымконечным числом переменных. Здесь мы не будем останавливаться подробно насимплекс-методе. Укажем лишь основные его черты. Для его использования всеограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этогообычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, чтооптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимыхрешений ЗЛП. Вначале выбирается произвольно любая вершина многогранника(иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затемосуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживаетсяоптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертойсимплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход кследующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевойфункции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимальногорешения. Решим рассмотренную ранее задачу симплекс-методом.
Решение:
11X+10Y → max
/>2X+3Y/>48, + U1
4X+12Y/>168, + U2
8X+6Y/>114 + U3 X(11) Y(10) U1(0) U2(0) U3(0) F(0) U1(0) 2 3 1 48 U2(0) 4 12 1 168 U3(0) 8 6 1 144 Инд.строка U1(0) 08.мар 1 -0,2222 8 Y(6) 01.мар 1 янв.18 6 U3(0) 28.мар -0,4444 1 36 Инд.строка -2 01.мар 36 X(4) 1 03.авг -0,0833 3 Y(6) 1 -0,125 01.дек 5 U3(0) -9,3333 01.мар 1 8 Инд.строка 03.апр 01.июн 42
При введениидополнительных переменных получаем:
4X+4Y+0·U1+0·U2+0·U3→max
4X+4Y+U1=32
6X+18Y+U2=108
12X+8Y+U3=84
Процессперебора вершин многогранника допустимых решений в поисках оптимального отразимв следующей симплекс-таблице:
a22-разрешающий элемент
a11-разрешающий элемент
Т.к. виндексной строке мы достигли положительного (все элементы положительны),следовательно находимся в оптимальном решении.
В итогеполучаем:
X=3; Y=5; U3=8 — базисные переменные
U1=0; U2=0 — свободныепеременные
F max = 42 – достигнутамаксимальная прибыл
Задание № 3
Разложить вряд Фурье по синусам функцию f(x)=/>на отрезке [0;2].
Теория:
Определение.Функциональный ряд вида />
называетсятригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a0, an, и bn(n=1,2,…) называютсякоэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.
Если данапериодическая функция f(x) с периодом 2π, то целью применения ряда Фурье являетсяотыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Такимобразом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-π, π):
/>.
При этомкоэффициенты Фурье находят по формулам:
/>, />,/>
Ряд Фурье дляфункции с периодом 2l.
Пусть f(x) есть периодическаяфункция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Тогда при разложении ее вряд Фурье получим формулу:
/>,
гдекоэффициенты a0, an, и bn вычисляются по формулам:
/>, /> />
О разложениив ряд Фурье непериодической функции.
Пусть нанекотором отрезке /> задана кусочнo-монотонная функция f(x). Покажем, что даннуюфункцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию /> с периодом />, совпадающую сфункцией f(x) на отрезке />. Разложимфункцию /> вряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка /> (кроме точек разрыва) совпадает сзаданной функцией f(x),т.е. мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке />.
Рассмотрим,далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определениеэтой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочномонотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мыпродолжим определение функции f(x) при /> так: f(x) = />, то получим нечетнуюфункцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) “продолжена нечетнымобразом”).
Решение:
Приразложении ряд Фурье по синусам функцию на интервале [0;2] продолжаем нечётнымобразом.
Доопределимфункцию четным образом (симметрично относительно oy).
Найдемкоэффициенты Фурье:
а0=
аn=0
bn=
/>
/>
Ответ: f(x)=/>/>
a) Нарисоватьграфик функции f(x)на отрезке [0;2].
/>
b) Написатьк чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [0;2].
Теория: Определение. Функция f (x) называетсяудовлетворяющей условиям Дирикле на сегменте [a, b], если:
1. функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на немконечное число точек разрыва 1 рода;
2. функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].
ТеоремаДирикле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2π удовлетворяет на любом сегменте условиямДирикле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится вовсех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функциив этой точке. В каждой точке x0разрыва функции сумма ряда равна среднемуарифметическому предельных значений функции при x→x0слева и справа, т.е.:
S(x) = 0,5[f(x0+ 0)+f(x0 — 0)]
Во всехточках непрерывности функции f(x) ряд сходится к значениям функции в этих точках, т.е. S(x)=f(x) на интервале [0,/>; в точке x=0 (точка разрывафункции) ряд сходится к 0, т.к.
/>
Ответ: S(0)=0
c) Нарисовать графиксуммы ряда на отрезке [-2;6] :
1)для четного
/>
2) длянечетного
/>
c) Пользуясьравенством Парсеваля, найти сумму:
/>
Теория: Для функции f(x), такой, что f2(x)ÎL(-p;p),справедливо равенство Парсеваля:
/>
Решение: Период рассматриваемойфункции равен p, поэтому поменяем пределы интегрирования с [0;2p] на [0;p], а коэффициент 2вынесем, тогда:
/>
Ответ: />